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I Encuentros de Investigación Matemática entre España e Iberoamérica CIMAC 07-08
Encuentro Iberoamericano
Extensiones y Aplicaciones
Polinomios Ortogonales
Diferenciales
Matriciales
sobre
Polinomios
Ortogonales,
que
satisfacen
Ecuaciones
Mirta M. Castro
Departamento de Matemática Aplicada
Universidad de Sevilla
Resumen
Los polinomios ortogonales matriciales fueron introducidos por el matemático
ucraniano M.G. Krein en los años 50. Al considerar posibles aplicaciones de estos
polinomios es importante concentrarse en aquellos que satisfacen alguna propiedad
extra. En particular, en los años 90, A. Durán planteó el problema de clasificar aquellos
polinomios matriciales que satisfacen ecuaciones diferenciales de segundo orden,
cuestión que ha sido estudiada además por otros autores. Como resultado de este
estudio, recientemente han aparecido diversos ejemplos que muestran la riqueza y la
complejidad de la teoría de polinomios ortogonales matriciales (POM).
En las presentes charlas se describen situaciones donde los POM satisfacen ecuaciones
diferenciales de orden impar. Esta cuestión se aleja mucho de la teoría clásica de
polinomios ortogonales escalares. En el caso escalar los ejemplos posibles de
polinomios ortogonales de coeficientes independientes de n que satisfacen ecuaciones
diferenciales, de segundo orden en este caso, consisten exactamente en los polinomios
de Hermite, Laguerre, Jacobi y Bessel, este último excluyendo la condición de
positividad para el peso de ortogonalidad.
Se analizará además el problema de caracterizar el álgebra de operadores diferenciales
asociada a una familia fija de POM.
Material de trabajo
M.M. Castro, F.A. Grünbaum: Orthogonal matrix polynomials satisfying first order
differential equations: a collection of instructive examples. Journal of Nonlinear
Mathematical Physics, Volume 12, Supplement 2 (2005), 63–76 [PDF, 142KB].
M.M. Castro, F.A. Grünbaum: The Algebra of Differential Operators Associated to a
Family of Matrix-Valued Orthogonal Polynomials: Five Instructive Examples.
International Mathematics Research Notices, Volume 2006, Article ID 47602,
Pages 1–33 [PDF, 627KB].
M.M. Castro, F.A. Grünbaum: The Noncommutative Bispectral Problem for
Operators of Order One. Constructive Approximation (2007), OF1–OF19 [PDF,
191KB].
A.J. Durán, F.A. Grünbaum: A survey on orthogonal matrix polynomials satisfying
second order differential equations. Journal of Computational and Applied
Mathematics 178 (2005), 169–190 [PDF, 279KB].
CENTRO DE INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA DE CANARIAS • La Laguna (Tenerife), 26-28 de noviembre de 2007
I Encuentros de Investigación Matemática entre España e Iberoamérica CIMAC 07-08
Encuentro Iberoamericano
Extensiones y Aplicaciones
sobre
Polinomios
Ortogonales,
A.J. Durán, F.A. Grünbaum: P.A.M. Dirac meets M.G. Krein: matrix orthogonal
polynomials and Dirac’s equation. J. Phys. A: Math. Gen. 39 (2006), 3655–3662
[PDF, 107KB].
CENTRO DE INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA DE CANARIAS • La Laguna (Tenerife), 26-28 de noviembre de 2007