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DEPARTAMENTO DE FÍSICA FUNDAMENTAL
PROPUESTA DE TRABAJO DE FIN DE GRADO
Grado en Matemáticas
Curso 2016/2017
1 - Título: Técnicas de Monte Carlo y el problema de la percolación en
Física
Tutor: M. Ángeles Pérez García
Cotutor:
Área de conocimiento preferente: Física Teórica
Área de conocimiento afín:
Tipo: Trabajo de revisión e investigación bibliográfica.
Modalidad: específico
Descripción:
Los sistemas físicos constituidos por muchas partículas pueden tener una
dinámica compleja. A través de una descripción estadística las Técnicas de
Monte Carlo pueden caracterizarlos y determinar agrupamientos o clusters
en un espacio de datos. En este trabajo se realizará un estudio teórico y
computacional al problema de percolación en sistemas físicos en una y dos
dimensiones.
Citas bibliográficas:
D. Stauffer,A. Aharony, Introduction To Percolation Theory, Ed. Taylor &
Francis (1994)
W.G. WanzellerI; A. CucchieriII; T. MendesII; G. KreinI, Braz. J. Phys. vol.34
(2004)
http://dx.doi.org/10.1590/S0103-97332004000200021
Las asignaturas del grado con las que está directamente relacionado:
Física I
Análisis numérico I, II, III
Informática I
Estadística Matemática
GRADO EN MATEMÁTICAS
TRABAJO FIN DE GRADO - CURSO 2016-2017
2 - TUTORA: María Jesús Rivas López. (Departamento de Estadística)
Título: Diseño D-óptimo para modelos de tiempo de fallo acelerado.
DESCRIPCIÓN: Una prueba acelerada de vida útil modela el rendimiento del producto (por
lo general, los tiempos de fallo) a niveles elevados de esfuerzo, de manera que se puedan
extrapolar los resultados nuevamente a las condiciones normales. La meta de una prueba
acelerada de vida útil es acelerar el proceso de fallo para obtener información oportuna sobre
productos de larga duración. Los modelos de tiempo de fallo acelerado (AFT) son por tanto
ampliamente utilizados en los procesos industriales, por ejemplo para el estudio del tiempo
hasta la rotura de un material utilizado en estructuras de ingeniería. Últimamente estos
modelos están siendo utilizados también en ensayos clínicos de supervivencia, pues miden el
efecto de las covariables que influyen en el tiempo de fallo directamente en la función de
supervivencia, lo cual permite una fácil interpretación del efecto de la covariable sobre dicho
tiempo de supervivencia. El objeto de este trabajo es encontrar la matriz de información para
este tipo de modelos teniendo en cuenta la censura por la derecha que pueden presentar los
datos. Esto nos permitirá poder diseñar de forma óptima un experimento de fallo acelerado.
AREAS PREFERENTES:
265.- Estadística e Investigación Operativa
015.- Análisis Matemático
595.- Matemática Aplicada
ASIGNATURAS RELACIONADAS:
Estadística Matemática
Teoría de la Probabilidad
MODALIDAD: Trabajo teórico-experimental.
CITAS:
Rivas‐López, M. J., López‐Fidalgo, J., & Campo, R. D. (2014). Optimal experimental
designs for accelerated failure time with Type I and random censoring. Biometrical
Journal, 56(5), 819-837.
Lawless, J. F. (2011). Statistical models and methods for lifetime data (Vol. 362). John
Wiley & Sons.
Orbe, J., & Núñez-Antón, V. (2006). Alternative approaches to study lifetime data under
different scenarios: from the PH to the modified semiparametric AFT model. Computational
statistics & data analysis, 50(6), 1565-1582.
DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA
PROPUESTA DE TRABAJO DE FIN DE GRADO
GRADO EN MATEMÁTICAS
CURSO 2016/2017
3 -Título: Diseño óptimo de experimentos en modelos exponenciales.
Tutor: Mª Teresa Santos Martín
Descripción del trabajo: El diseño de experimentos trata de obtener los mejores
estimadores de los parámetros del modelo subyacente en un experimento, sin necesidad
de aumentar el tamaño del mismo y por tanto, el coste. El diseño permite minimiza los
errores que se cometen en las estimaciones de dichos parámetros teniendo en cuenta
diferentes criterios de optimización. Muchos procesos naturales se modelizan a través
de modelos exponenciales por ello la importancia de su estudio. El objetivo de este
trabajo será el estudio de los diseños D-óptimos y A-óptimos para modelos exponenciales
y la realización de un programa informático para la obtención de los puntos óptimos en
ambos criterios.
Tipo: 2. Trabajos de revisión e investigación bibliográfica
Modalidad: Específica
Nº de alumnos: 1
Bibliografía:
- Jesús López-Fidalgo. Optimal designs for the Arrhenius equation. Chemometrics and
Intelligent Laboratory Systems, Mayo 2005.
-Juan M. Rodríguez-Díaz, M. Teresa Santos-Martín. Study of the best designs for
modifications of the Arrhenius equation Chemometrics and Intelligent Laboratory
Systems, Febrero 2009.
Asignaturas del Grado con las que está relacionado: Estadística, Análisis
matemático e Informática.
PROPUESTAS TRABAJOS FIN DE GRADO Curso 2016/2017.
Graduado en Matemáticas
4 - Título: Jacobianas de las curvas algebraicas.
Tutor: José María Muñoz Porras.
Área de conocimiento preferente: Álgebra
Área de conocimiento afín: Geometría y Topología
Tipo: Trabajo de revisión e investigación bibliográfica
Modalidad: (Seleccionar la que proceda) Específico (1 estudiante)
Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta (al menos 2):
Geometría Algebraica. Algebra Conmutativa y Ampliación de Algebra Conmutativa
Citas bibliográficas (al menos 2):
- Hartshorne, R. Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics, n. 52. SpringerVerlag, 1977
- Mumford, David. Curves and their Jacobians. The University of Michigan Press, Ann
Arbor, Mich., 1975.
Descripción (al menos 500 caracteres incluidos espacios):
En este trabajo se describirá los resultados que permiten clasificar los divisores de una
curva algebraica módulo la equivalencia lineal. Se pretende que se comprendan las dos
líneas clásicas de construcción: la analítica y la algebraica. También se estudiarán
algunos problemas clásicos como el morfismo de Abel (integrales abelianas). Un índice
del trabajo podría ser el siguiente: Productos simétricos de curvas y clasificación de
divisores efectivos, construcción analítica de las Jacobianas de superficies de Riemann
compactas, construcción algebraica de las Jacobianas de curvas algebraicas, e integrales
abelianas.
5 - Título: El teorema de Belyi.
Tutor: Francisco José Plaza Martín
Área de conocimiento preferente: Álgebra
Área de conocimiento afín: Geometría y Topología
Tipo: Trabajo de revisión e investigación bibliográfica
Modalidad: (Seleccionar la que proceda) Específico
Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta (al menos 2):
-Análisis Complejo,
-Geometría Proyectiva y Geometría Algebraica.
Citas bibliográficas (al menos 2):
-
-
Belyĭ, G. V. (1980). "On Galois Extensions of a Maximal Cyclotomic Field".
Mathematics
of
the
USSR-Izvestiya
14
(2):
247.
doi:10.1070/IM1980v014n02ABEH001096. Edit
Girondo, Ernesto; González-Diez, Gabino (2012), Introduction to compact Riemann
surfaces and dessins d'enfants, London Mathematical Society Student Texts 79,
Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-74022-7, Zbl 1253.30001
Descripción (al menos 500 caracteres incluidos espacios):
En 1979 Belyi publicó su resultado que afirma que para una curva algebraica proyectiva
no singular C definida sobre los complejos, se cumple que está definida sobre el cierre
algebraico de Q si y solo si se presenta como un revestimiento de la recta proyectiva
ramificada solamente en 0,1 e infinito. Por otro lado, este tipo de revestimientos se
describen en términos de ciertos grafos denominados " dessins d'enfants". Surgen así
conexiones naturales entre los anteriores objetos y otros como la presentación de la
superficie de Riemann como cociente del semiplano superior de Siegel o con la
geometría enumerativa que se deduce de los grafos.
6 - Título: Teoría de Morse-Bott
Tutor: Antonio López Almorox
Área de conocimiento preferente: Geometría y Topología
Área de conocimiento afín: Álgebra
Tipo: Trabajo de revisión bibliográfica e investigación
Modalidad: Específica (1 estudiante)
Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta: Geometría
Diferencial II, Métodos Geométricos en Física, Topología AlgebraicaCitas bibliográficas:
- J. Milnor; ‘Morse Theory`, Annals of Mathematics Studies, number 51, Princeton
University Press. 1963.
- A. Banyaga y D. Hurubise, ‘Lectures on Morse Homology`, Kluwer Texts in the
Mathematical Sciences, Vol 29, Springer Science+Business Media, 2004.
-Y.Matsumoto, ‘An Introduction to Morse Theory`. Translations of Mathematical
Monograhps. Vol 208. AMS .2002.
- M. Morse, ‘The Calculus of Variations in the Large`. AMS. 1934
- R.Bott, ‘Nondegenerate Critical Manifolds`, Annals of Mathematics, Vol 60, nº. 2, 248261, 1954.
Descripción:
La teoría de Morse fue desarrollada por Marston Morse entre los años 1925 y 1934
quien inicialmente aplicó sus resultados al estudio de algunos problemas variacionale.
Poco más tarde resultaría ser una técnica muy fructífera para estudiar problemas de
Topología Diferencial. Uno de los resultados fundamentales son las denominadas
desigualdades de Morse que establecen una relación entre los puntos críticos de una
función definida en una variedad diferenciable y los grupos de homología de esta. En la
década del 50, Raoul Bott empleando métodos de la teoría de Morse estudió los grupos
de homología y homotopía para los espacios simétricos compactos, de este trabajo se
obtiene una demostración del teorema de periodicidad de Bott, además se introducen
las funciones deMorse–Bott las cuales son una generalización de las funciones de Morse.
Durante la década de los 60, la teoría de Morse fue empleada para estudiar algunos
aspectos topológicos en variedades como se encuentran en los trabajos de Stephen
Smale que condujeron a la solución de la conjetura de Poincaré para dimensiones
mayores que 4. En los años 80, aparece un nuevo enfoque de la teoría de Morse debido
a Witten: la idea fundamental de su trabajo es asociar a una función de Morse definida
en una variedad riemanniana compacta de dimensión finita un complejo de cadena
llamado el complejo de Morse–Witten, donde el k-ésimo grupo de la cadena es el grupo
abeliano libre generado por los puntos críticos de índice k de f y cuyo operador borde
realiza un conteo algebraico delas líneas de flujo asociadas con el campo gradiente. La
homología del complejo de Morse–Witten es conocida como la homología de Morse.
La elegancia y el carácter interdisciplinario de la teoría de Morse se han tornado
herramientas útiles para comprender y solucionar problemas matemáticos en muy
diversas áreas
El trabajo que se propone es un trabajo de revisión bibliográfica e investigación sobre la
teoría de Morse-Bott. El objetivo de este trabajo de fin de grado es exponer los aspectos
fundamentales de la teoría de Morse y su generalización posterior dada por R.Bott. Para
ello, el estudiante deberá previamente comprender los tópicos elementales de
Topología Algebraica (Homología singular y CW-complejos) necesarios para el posterior
desarrollo del trabajo. Paralelamente se analizará la Teoría de Morse para funciones en
variedades compacta y los conceptos centrales relacionados con la misma (puntos
críticos, métrica hessiana, funciones de Morse, lema de Morse, deformaciones de
campos gradientes, las relaciones o desigualdades de Morse, complejo CW asociado y
variación de la homotopía de la variedad al atravesar un valor crítico, etc.). Se tratará
también que el estudiante sepa implementar estas técnicas a situaciones geométricas
interesantes o aplicarlas en la resolución de problemas concretos. Como último objetivo
fundamental, el estudiante deberá comprender la generalización de Bott de la teoría de
Morse al caso en que las funciones posean diferentes tipos de subvariedades críticas (no
sólo puntos críticos aislados) y cómo el concepto de función de Morse-Bott permite
obtener información topológica de la variedad. Se deberá buscar ejemplos en la
literatura y desarrollarlos como muestra de la asimilación de las ideas de la teoría de
Morse-Bott. Aunque no será un objetivo central, se tratará también que el estudiante
llegue a comprender los aspectos y la dificultades técnicas de la extensión de estas ideas
al caso no compacto o para espacios de dimensión infinita con objeto de ver la aplicación
de esta teoría a ciertos problemas variacionales asociados a lagrangianos como por
ejemplo los relacionados con el estudio de las geodésicas en variedades riemannianas.
7 - Título: Fibrados vectoriales y módulos proyectivos: Teorema de Serre-Swan
Tutor: Carlos Tejero Prieto
Área de conocimiento preferente: Geometría y Topología
Área de conocimiento afín: Álgebra
Tipo: Trabajo de revisión e investigación bibliográfica.
Modalidad: (Seleccionar la que proceda) Específico (1 estudiante)
Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta (al menos 2):
Topología, Geometría Diferencial I, Geometría Diferencial II, Geometría Algebraica,
Topología Algebraica
Citas bibliográficas (al menos 2):
[1] W. H. Greub, S. Halperin, R. Vanstone, Connections, Curvature, and Cohomology. Vol.
I: De Rham Cohomology of Manifolds and Vector Bundles, Academic Press (1972)
[2] A. S. Morye, Note on the Serre-Swan theorem, Math. Nachr. (2-3) 286, 272-278
(2013)
[3] J. P. Serre, Fasceaux algébriques cohérents, Ann. Math. (2) 61, 197-278 (1955)
[4] R. G. Swan, Vector bundles and projective modules, Trans. Am. Math. Soc. 105, 264277 (1962)
Descripción (al menos 500 caracteres incluidos espacios):
Serre demostró en [3] que en una variedad algebraica afín la categoría de fibrados
vectoriales algebraicos es equivalente a la categoría de los módulos finito generados
proyectivos sobre su anillo de coordenadas. Posteriormente, Swan probó en [4] que si
X es un espacio topológico compacto Hausdorff, entonces la categoría de fibrados
vectoriales sobre X es equivalente a la categoría de los C0(X)-módulos finito generados
proyectivos. El primer objetivo de este trabajo consiste en dar una demostración de
estos resultados que se conocen como Teorema de Serre-Swan clásico. Más
generalmente se dice que en un espacio localmente anillado (X, O X ) se cumple el
Teorema de Serre-Swan si existe una equivalencia de categorías entre la categoría de
los O X -módulos localmente libres de rango finito y la categoría de los Γ(X, O X )-módulos
finito generados proyectivos. El segundo objetivo del presente trabajo consiste en
extender el Teorema de Serre-Swan a otros espacios anillados: espacios topológicos
paracompactos de dimensión finita, variedades diferenciables paracompactas de
dimensión finita, etc.
8-
Título: Caracterización geométrica de las geometrías clásicas: Afín proyectiva y
euclídea.
Tutor: Carlos Sancho de Salas
Área de conocimiento preferente: Geometría
Área de conocimiento afín: Álgebra
Tipo: Trabajo de revisión e investigación bibliográfica
Modalidad: Específico
Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta Geometría (2º de
Grado en Matemáticas), Geometría Proyectiva (3º de Matemáticas).
Citas bibliográficas (al menos 2):
-E. Artin, Geometric Algebra, Wiley Classics Library Edition Published 1988, Interescience
Publishers, inc.,New York.
-D. Hughes, F. Piper, Projective Planes, Springer-Verlag New York Inc. 1973.
Descripción: Se trata de determinar las geometrías clásicas a partir de sus rectas. Es
decir, dado un conjunto X con una familia de subconjuntos prefijado R, a los que se
denomina rectas de X (es decir, una geometría lineal), qué propiedades mínimas (o
axiomas) deben de cumplir éstas para que (X,R) sea el espacio afín, el espacio
proyectivo, el espacio euclídeo, etc.
Este trabajo pretende aclarar la equivalencia entre la noción que se da de dichas
geometrías en las correspondientes asignaturas del grado en Matemáticas y la noción
clásica previa a la revolución algebraica. Es decir, cuáles son los presupuestos
subyacentes a dichas geometrías sobre los que se sustentan.
Lo que es patente es que las definiciones que se dan en el grado se corresponden con
los espacios clásicos pero no es tan claro que las clásicas sean necesariamente de las
primeras. Por ejemplo, de la noción axiomática de Euclides del espacio afín (o euclídeo)
no se sigue de modo directo la existencia de un espacio vectorial (ni siquiera de un
cuerpo) que opera libre y transitivamente en dicho espacio, etc. Pero sí que, de esta
última definición de espacio afín, se sigue inmediatamente el que se verifique los
axiomas de Euclides.
9 - Título: Variedades complejas
Tutor: Pablo M. Chacón Martín
Área de conocimiento preferente: Geometría y Topología
Área de conocimiento afín:
Tipo: Trabajo de revisión e investigación bibliográfica
Modalidad: Específico
Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta (al menos 2):
Geometría Diferencial II, Análisis Complejo I
Citas bibliográficas (al menos 2):
S. KOBAYASHI y K. NOMIZU, Foundations of differential geometry vol II, New York, John
Wiley, 1969.
Zheng, Fangyang, Complex Differential geometry, American Mathematical SocietyInternational Press, 2000.
Descripción (al menos 500 caracteres incluidos espacios):
Se propone el estudio inicial de la geometría de las variedades complejas. Dada una
variedad diferenciable se introducirán las estructuras casi-complejas, su torsión,
variedades casi-complejas y complejas, métricas hermíticas, etc. para poder demostrar
resultados básicos en geometría diferencial compleja. Se abordarán también
propiedades locales de la curvatura seccional holomorfa y ciertos resultados de
subvariedades complejas.
La bibliografía básica incluirá algún artículo de investigación. Esta propuesta tiene como
prerrequisito haber cursado la asignatura Geometría Diferencial II y se recomienda
cierta familiaridad con el análisis complejo.
10 - Título: Espacios finitos
Tutor: Fernando Sancho de Salas
Área de conocimiento preferente: Geometría y Topología
Área de conocimiento afín: Algebra
Tipo: Trabajo de revisión e investigación bibliográfica
Modalidad: Específico
Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta (al menos 2):
-Topología
- Topología Algebraica
Citas bibliográficas (al menos 2):
-
Barmak, Jonathan A. Algebraic topology of finite topological spaces and
applications. Lecture Notes in Mathematics, 2032. Springer, Heidelberg, 2011.
xviii+170 pp.
- J.P. May. Finite topological spaces. Notes for REU (2003). Available at http://
www.math.uchicago.edu/~may/MISCMaster.html.
-
Stong, R. E. Finite topological spaces. Trans. Amer. Math. Soc. 123 1966 325–340.
Descripción (al menos 500 caracteres incluidos espacios):
El trabajo trata del estudio de los espacios topológicos finitos y de sus aplicaciones
topológicas y algebraicas. En primer lugar se hará un estudio elemental de las
propiedades de dichos espacios. En segundo lugar se estudiará su homotopía y la
clasificación homotópica de los espacios finitos vía los modelos minimales. En tercer
lugar se estudiará la teoría de haces sobre los espacios finitos y su cohomología. Por
último se verán sus aplicaciones a la cohomología de espacios no finitos,
particularmente a la cohomología de esquemas.
11 - Título: Bases en espacios de Banach
Tutor: Ángel Tocino
Área de conocimiento preferente: Análisis Matemático
Área de conocimiento afín: Álgebra
Tipo: Trabajo de revisión e investigación bibliográfica
Modalidad: Específico
Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta (al menos 2):
Análisis Funcional y Álgebra Lineal
Citas bibliográficas:
Singer, I. Basis in Banch spaces. Springer, 1970
Facenda, J.A. Geometría de espacios de Banach, Universidad de Sevilla, 1998.
Descripción: Partiendo del concepto de base de Schauder en un espacio de Banach, de
sus propiedades elementales y de ejemplos básicos estudiados en la asignatura Análisis
Funcional se plantea el problema de existencia de bases bajo diferentes supuestos.
Nuevos conceptos como los de sucesión básica, bases equivalentes, bases
incondicionales, sistemas biortogonales, etc. permiten abordar resultados que
responden algunas de las cuestiones, ya que otras permanecen sin resolver. Se estudia
también la relación de la existencia de bases en un espacio y su dual, generalizando el
estudio al caso de bases definidas con topologías diferentes a la de la norma
12 - Título: Teoremas tauberianos en el contexto del análisis armónico
Tutor: Luis Manuel Navas Vicente
Área de conocimiento preferente: Análisis
Área de conocimiento afín: Álgebra
Tipo: trabajo de revisión e investigación bibliográfica
Modalidad: (Seleccionar la que proceda) Específico (1 estudiante)
Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta (al menos 2):
Análisis Funcional, Análisis Complejo, Análisis Armónico
Citas bibliográficas (al menos 2):
Functional Analysis (Walter Rudin)
Applied and Computational Complex Analysis (Peter Henrici)
Multiplicative Number Theory I (Hugh L. Montgomery, Robert C. Vaughan)
Descripción (al menos 500 caracteres incluidos espacios):
Sea 𝐿𝐿1 (ℝ𝑛𝑛 ) el espacio vectorial de funciones integrables sobre ℝ𝑛𝑛 en el sentido de
Lebesgue. 𝐿𝐿1 (ℝ𝑛𝑛 ) es un álgebra respecto a la convolución de funciones. Los ideales
cerrados de este álgebra son lo mismo que los subespacios vectoriales cerrados
invariantes por traslaciones. Un tal subespacio invariante es igual a todo 𝐿𝐿1 (ℝ𝑛𝑛 ) si las
transformadas de Fourier de sus elementos no tienen ceros comunes, es decir, si
�𝑓𝑓∈𝑋𝑋�𝑥𝑥 ∶ 𝑓𝑓̂(𝑥𝑥) = 0� = ∅.
Esto implica que las traslaciones de una función integrable 𝐾𝐾 ∈ 𝐿𝐿1 (ℝ𝑛𝑛 ) son densas en
� no tiene ceros. De esto se deduce un
𝐿𝐿1 (ℝ𝑛𝑛 ) si y sólo si su transformada de Fourier 𝐾𝐾
teorema de gran importancia, el teorema tauberiano de Wiener: dada 𝐾𝐾 ∈ 𝐿𝐿1 (ℝ𝑛𝑛 ) tal
� no tiene ceros, si para alguna función esencialmente acotada 𝜑𝜑 ∈ 𝐿𝐿∞ (ℝ𝑛𝑛 ) se
que 𝐾𝐾
� (0) cuando 𝑥𝑥 → ∞, entonces (𝑓𝑓 ∗ 𝜑𝜑)(𝑥𝑥) → 𝑐𝑐𝑓𝑓̂(0) para
tiene que (𝐾𝐾 ∗ 𝜑𝜑)(𝑥𝑥) → 𝑐𝑐𝐾𝐾
cualquier función integrable 𝑓𝑓. Una condición adicional dada por Pitt, la «oscilación
lenta» de 𝜑𝜑, permite concluir bajo las mismas hipótesis que 𝜑𝜑(𝑥𝑥) → 𝑐𝑐.
Sirviéndose del teorema tauberiano de Wiener, que como vemos se sitúa en el contexto
del análisis armónico abstracto, Walter Rudin dio una modificación de la demostración
clásica del teorema del número primo. Dicho teorema dice que la probabilidad de que
un entero positivo entre 1 y 𝑥𝑥 sea primo, es asintótica a 1/ln(𝑥𝑥). Es un ejemplo notorio
del papel importante que juegan los teoremas tauberianos en la teoría analítica de
números. Los métodos clásicos emplean la transformada de Laplace o de Mellin y las
series de Dirichlet en vez de la transformada de Fourier. Para este trabajo proponemos
explorar la relación entre los diversos puntos de vista como manera de establecer
profundas relaciones entre el análisis, la aritmética y el álgebra.
13 - Título: Anillos y módulos Cohen-Macaulay
Tutor: Ana Cristina López Martín
Área de conocimiento preferente: Álgebra
Área de conocimiento afín: Geometría
Tipo: Trabajo de revisión e investigación bibliográfica
Modalidad: (Seleccionar la que proceda) Específico (1 estudiante) / General (para varios
estudiantes): Especifico
Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta (al menos 2):
Álgebra Conmutativa, Ampliación de Álgebra Conmutativa y Geometría Algebraica
Citas bibliográficas (al menos 2):
(1)
Y. Yoshino, Cohen-Macaulay modules over Cohen-Macaulay rings, London
Mathematical Society Lecture Note Series, 146.
(2)
W. Bruns, J. Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press, 39,
1998
Descripción (al menos 500 caracteres incluidos espacios):
La teoría de módulos de Cohen-Macaulay sobre anillos locales noetherianos juega un
papel central en el álgebra conmutativa. El objetivo de este trabajo es introducir al
estudiante en dicha teoría y en sus aplicaciones a la geometría algebraica. Se pretende
trabajar en dos líneas: algebraicamente, en la relación de los módulos Cohen-Macaulay
con las sucesiones de Auslander-Reiten y, desde un punto de vista geométrico, en el
tipo de singularidad que define el espectro de un anillo Cohen-Macaulay con un número
finito de módulos Cohen-Macaulay.
Se comenzará con las nociones de profundidad y dimensión proyectiva de un módulo,
la fórmula (de Auslander-Buschbaum) que relaciona ambas y el complejo de Koszul. Se
demostrarán las propiedades básicas de la categoría de módulos Cohen-Macaulay y de
las sucesiones de Auslander-Reiten. Se trabajarán ejemplos de anillos Cohen-Macaulay
y Gorenstein y, si fuera posible, se estudiará la estructura de dichos módulos sobre
singularidades aisladas de dimensión 1 y 2.
14 - Título: Teorema de Janet-Cartan.
Tutor: Ricardo J. Alonso Blanco
Área de conocimiento preferente: Análisis Matemático
Área de conocimiento afín: Geometría y Topología
Tipo: Trabajo de revisión e investigación bibliográfica.
Modalidad: Específico (1 estudiante)
Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta (al menos 2):
Ecuaciones en derivadas parciales
Ecuaciones diferenciales
Análisis III
Geometría diferencial I y II
Citas bibliográficas (al menos 2):
Janet, M., Sur la possibility de plonger un espace riemannian donne dans un espace
euclidien, Ann. Soc. Pol. Math., 5(1926), 38-43.
Cartan, E., Sur la possibility de plonger un espace riemannian donne dans un espace
euclidien, Ann. Soc. Pol. Math., 6(1927), 1-7.
Bryant, R. L.; Chern, S. S.; Gardner, R. B.; Goldschmidt, H. L.; Griffiths, P. A., Exterior
differential systems. Mathematical Sciences Research Institute Publications, 18.
Springer-Verlag, New York, 1991.
Han, Qing; Hong, Jia-Xing, Isometric embedding of Riemannian manifolds in Euclidean
spaces. Mathematical Surveys and Monographs, 130. American Mathematical Society,
Providence, RI, 2006.
Descripción (al menos 500 caracteres incluidos espacios): Es el primero de los teoremas
de inmersión isométrica: las subvariedades de un espacio euclideo Rn (con la métrica
estándar) heredan una estructura de Riemann; se trata del recíproco, es decir, si toda
variedad riemanniana se obtiene del modo anterior o, en otras palabras, si puede
sumergirse en un espacio euclídeo respetando la estructura métrica. El problema se
traduce en la posibilidad de resolver un sistema de ecuaciones en derivadas parciales.
La respuesta positiva a este problema en el caso local y analítico se debe a Cartan (con
el precedente de Janet para dimensión 2). El trabajo que se propone consiste en estudiar
la demostración (en alguna de sus versiones modernas), explicitar los detalles, añadir las
técnicas y resultados previos necesarios para su comprensión y redactar todo ello de
modo que sea un texto autocontenido hasta un nivel razonable.
15 - Título: Teoría espectral de álgebras de Banach y aplicaciones
Tutor: Jesús Rodríguez Lombardero
Área de conocimiento preferente: Análisis Matemático
Área de conocimiento afín: Álgebra, Geometría y Topología
Tipo: 2
Modalidad: Específico (1 estudiante)
Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta (al menos 2):
Análisis Funcional, Análisis Armónico, Topología
Citas bibliográficas (al menos 2):
Folland, G. B.: A course in abstract harmonic analysis, CRC Press, 1995
Gelfand, I., Raikov, D., Shilov, G.: Commutative normed rings, Chelsea, 1964
Loomis, L. H.: An introduction to abstract harmonic analysis, Van Nostrand, 1953
Descripción (al menos 500 caracteres incluidos espacios):
En varias ramas de las matemáticas es habitual pensar los elementos de un anillo como
funciones sobre su espectro de ideales primos, lo que ha dado lugar a diversos teoremas
de representación espectral. Gelfand aplicó esta idea a las álgebras de Banach
conmutativas sobre el cuerpo de los números complejos; su teoría tiene varias
aplicaciones importantes, entre las que podemos destacar:
1. Completaciones de un espacio topológico completamente regular, que se obtienen
como espectros de ciertas subálgebras del anillo de funciones continuas complejas.
2. Si G es un grupo localmente compacto y A es el anillo de convolución de las funciones
integrables en G para la medida de Haar, el espectro de A se identifica con el grupo dual
de G y la representación espectral de A en el anillo de las funciones continuas sobre el
grupo dual es la transformación de Fourier. Este resultado permitió definir la
transformación de Fourier de modo intrínseco y supuso un gran avance en el estudio del
Análisis Armónico.
3. La aplicación de esta teoría a ciertas subálgebras del álgebra de los automorfismos
continuos de un espacio de Hilbert permite recuperar diversos resultados de la teoría
espectral para estos operadores.
El trabajo que se propone consiste en estudiar la teoría espectral de álgebras de Banach
conmutativas y algunas de las aplicaciones que acabamos de citar. Para realizar este
trabajo es muy recomendable tener conocimientos de análisis funcional, teoría de la
medida, topología y análisis armónico.
16 - Título: Funciones enteras.
Tutor: Pascual Cutillas Ripoll.
Área de conocimiento preferente: Análisis Matemático.
Área de conocimiento afín: Geometría y Topología
Tipo: Trabajos de revisión e investigación bibliográfica.
Modalidad: Específico.
Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta:
Análisis Complejo I,
Análisis Complejo II.
Citas bibliográficas:
Levin, J. - Distribution of zeros of entire functions. Translations of Math. Monographs,
Vol. 5, Amer. Math. Soc.
Rubel, L. A. – Entire and Meromorphic Functions. Springer.
Descripción: Realización de una presentación de los conceptos y resultados
fundamentales relacionados con las funciones enteras de una variable o sea, las
funciones holomorfas en todo el plano complejo C, comenzando por los conceptos
básicos de orden y tipo de una función entera, la expresión del orden y el tipo a partir
de los coeficientes del desarrollo en serie de potencias de la función, y la demostración
del teorema de factorización de Weierstrass. Después de esto se explicará el concepto
de género de una función entera y se expondrá el teorema de Borel sobre la relación
existente entre el orden de un producto de Weierstrass canónico y el exponente de
convergencia de su sucesión de ceros. También se incluirán la definición de la función
característica de una función meromorfa en C, el teorema de Nevanlinna y el estudio de
la relación entre la función característica de una función entera y el logaritmo del
máximo de su módulo sobre un disco de radio variable, con idea de poder exponer una
demostración del teorema de factorización de Hadamard.
17 - Título: Bases de casi‐potencias en el espacio de funciones analíticas en un disco
Tutor: Mercedes Maldonado Cordero
Área de conocimiento preferente: Análisis Matemático
Área de conocimiento afín: Matemática Aplicada
Tipo: Trabajo de revisión e investigación bibliográfica.
Modalidad: Específico (1 estudiante)
Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta: Análisis Funcional,
Análisis Complejo y Análisis Armónico.
Citas bibliográficas (al menos 2):
•
Ibragimov, I. I., Nagnibida, N. I.: The matrix method and quasi-power bases in the
space os analytic functions in a disc. Russian Math. Surveys 30:6 (1975), 107154.
•
Oskolkov, V. A.: On the completeness and quasi-power basis property of systems
{zn f(λ n z)}. Math. USSR Sbornik, Vol. 66( 1990), No. 2.
Descripción (al menos 500 caracteres incluidos espacios):
En este trabajo se pretenden recoger algunos de los resultados existentes sobre bases
en el espacio de funciones analíticas en un disco de radio R, 0≤R< ∞ , en el que la
convergencia viene definida por la convergencia uniforme sobre conjuntos compactos.
Las bases a estudiar son las conocidas como bases de casi‐potencias. Se utilizarán
métodos matriciales (dada la correspondencia entre matrices infinitas y operadores
lineales) y la relación existente entre este tipo de bases en el espacio de funciones
analíticas en un disco y el conjunto de automorfismos de ese espacio.
18 - Tutora: María Jesús Senosiain Aramendía
Título: Los espacios de funciones analíticas como espacios de sucesiones.
Caracterización de los operadores de orden uno equivalentes a la derivada.
Área de conocimiento preferente: Análisis Matemático
Área de conocimiento afín: Álgebra
Tipo: Trabajo de revisión e investigación bibliográfica.
Modalidad: Específico (1 estudiante)
Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta: Análisis Funcional,
Análisis Complejo I y II.
Citas bibliográficas (al menos 2):
1.-G. Köthe, Topological vector spaces I. Springer- Verlag. New York Inc., New York
(1969)
2.-R. Meise and D. Vogt, Introduction to functional Analysis. The clarendom Press,
Oxford University Press (1997)
3.- A. Pietsch, Nuclear locally convex spaces. Springer-Verlag. NewYork(1972)
Descripción (al menos 500 caracteres incluidos espacios):
Se trata de probar que los espacios de funciones analíticas en un disco (H(D)) o en todo
el plano complejo (H(C)) son isomorfos a espacios de sucesiones de series de potencias
de tipo finito, el espacio de las funciones holomorfas en un disco, y de tipo infinito, los
de las funciones enteras, y que además son espacios nucleares.
Posteriormente se consideran operadores diferenciales de la forma pI+qD, donde D
representa el operador derivada. Se trata de probar que condiciones deben cumplir para
que sean equivalentes a D, es decir que existe un isomorfismo T tal que (pI+qD)T=T D.
19 -
Título: Clasificación de endomorfismos con polinomio anulador en espacios
vectoriales de dimensión infinita.
Tutor: Fernando Pablos Romo
Área de conocimiento preferente: Álgebra
Área de conocimiento afín: Geometría y Topología
Tipo: Trabajo de revisión e investigación bibliográfica.
Modalidad: Específico
Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta:
-
Álgebra Lineal I (1º curso).
-
Álgebra Lineal II (1º curso).
-
Álgebra Conmutativa y Computacional (3º curso).
Citas bibliográficas:
- M. Atiyah, J. M. Macdonall, Introducción al álgebra Conmutativa, Ed. Reverte (1989).
- M. Castellet e I. Llerena, Álgebra Lineal y geometría, Ed. Reverté (1991).
- D. Hernández Ruipérez, Álgebra Lineal, Manuales Universitarios Universidad de
Salamanca (1985).
- J. A. Navarro, Álgebra Conmutativa Básica, Manuales de la UNEX, 19.
Descripción: El trabajo consistirá en recopilar resultados que permitan la clasificación
de endomorfismos en espacios vectoriales de dimensión infinita que tengan un
polinomio anulador. El trabajo contendrá la clasificación de módulos finito generados
sobre anillos íntegros y de ideales principales, de la que se deduce la clasificación
rigurosa de endomorfismos en espacios vectoriales de dimensión finita. Los invariantes
que se determinen para clasificar endomorfismos en espacios vectoriales de dimensión
infinita deben generalizar la clasificación en el caso de dimensión finita. El trabajo
deberá incluir varios ejemplos numéricos de cómputo de invariantes en el caso de
dimensión infinita que permitan al lector conocer la forma de cálculo de los mismos.
20 - Título: Álgebras de Frobenius: una introducción a la teoría cuántica de campos
topológica de 2-dimensiones.
Tutor: Daniel Hernández Serrano
Área de conocimiento preferente: Geometría y Topología
Área de conocimiento afín: Álgebra
Tipo: Trabajo de revisión e investigación bibliográfica
Modalidad: Específico
Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta (al menos 2):
Álgebra Lineal, Álgebra, Algebra Conmutativa y Geometría Algebraica
Citas bibliográficas:
-
Joachim Kock, “Frobenius algebras and 2D topological quatum field theories”.
Cambridge University Press 2004
-
L. Abrams, “Two-dimensional topological field theories and Frobenius algebras”.
Journal of Knot Theory and Ramifications 5, 335-352 (2000).
Descripción: El trabajo pretende introducir al estudiante en la teoría cuántica de campos
topológica de 2-dimensiones (2dTQFT) desde un punto de vista puramente matemático.
La motivación ń es la existencia de una equivalencia entre la categoría de 2dTQFT y la
de álgebras de Frobenius conmutativas. No se pretende que el estudiante haga un
estudio profundo de este equivalencia, sino de que aprenda con rigor las álgebras de
Frobenius y sea capaz de ilustrar la idea de esta equivalencia definiendo
matemáticamente qué se entiende por una 2dTQFT. El estudiante deberá hacer un
breve repaso de álgebra lineal y álgebra tensorial, recordar la noción de álgebra y
aprender la de coálgebra, hacer un breve estudio de definiciones básicas de módulos
para con ello ser capaz de definir las álgebras de Frobenius, dar sus propiedades y
expresar dichas propiedades en términos de superficies topológicas, que deberá definir
también con rigor. Finalmente, ha de ser capaz de aprender y explicar nociones básicas
del lenguaje categorial y functorial para dar sucintamente la idea que motiva este
trabajo.
21 - Título: Revestimientos cíclicos de curvas no singulares.
Tutor: Esteban Gómez González
Área de conocimiento preferente: Geometría y Topología
Área de conocimiento afín: Álgebra
Tipo: Trabajo de revisión e investigación bibliográfica
Modalidad: Específico
Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta (al menos 2):
Ampliación de Álgebra Conmutativa. Geometría Algebraica. Representaciones de
Grupos
Citas bibliográficas:
-
Cornalba, M. On the locus of curves with automorphisms. Ann. Mat. Pura Appl.,
149 (1987), 135-151
-
Gómez González, E. Cyclic coverings of a smooth curve and branch locus of the
moduli space of smooth curves. Complex geometry of groups (Olmué,
1998), 183–196, Contemp. Math., 240, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999.
-
Harvey, W. J. Cyclic groups of automorphisms of a compact Riemann surface.
Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 17 1966, 86–97.
Descripción:
Toda curva con grupo de automorfismos no trivial puede ser recuperada como un
revestimiento cíclico entre curvas lisas. Se propone realizar un estudio de tales
revestimientos, hasta alcanzar una equivalencia entre revestimientos cíclicos de grado
distinto de la característica del cuerpo base y unos datos de construcción sobre la curva
base; concretamente, un divisor efectivo y un haz de línea verificando ciertas
condiciones. Dicha equivalencia es totalmente explícita y constructiva lo cual permite
dar la estructura local y global del revestimiento a partir de los datos de construcción.
Además se puede determinar, en función de los datos de construcción del
revestimiento, las propiedades geométricas del revestimiento y determinar los
isomorfismos entre ellos. Esto permite generalizar la construcción al caso relativo y
deducir el teorema de equivalencia de datos de construcción dado por Cornalba a partir
del cálculo local del revestimiento.
En el caso de que el estudiante esté interesado, se puede estudiar la relación que existe
entre los datos de construcción dados y la teoría de grupos Fuchsianos.
22 - Título: Códigos convolucionales multidimensionales.
Tutor: José Ignacio Iglesias Curto
Área de conocimiento preferente: Álgebra
Área de conocimiento afín: Geometría y Topología
Tipo: Trabajo de revisión e investigación bibliográfica
Modalidad: Específico
Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta (al menos 2):
Teoría de códigos, Álgebra
Citas bibliográficas:
[1] Johannesson, Rolf, and Kamil Sh Zigangirov. Fundamentals of convolutional coding.
Vol. 15. John Wiley & Sons, 2015.
[2] McEliece, Robert J. "The algebraic theory of convolutional codes." Handbook of
coding theory 1 (1998): 1065-1138.
[3] Weiner, Paul A. Multidimensional convolutional codes. Diss. University of Notre
Dame, 1998.
Descripción: Los códigos convolucionales generalizan la noción de códigos lineales. Se
definen como submódulos sobre el anillo de polinomios en una variable con coeficientes
en un cuerpo finito. Esta definición supone una mayor complejidad en los elementos
usados para definir y estudiar estos códigos, así como en su implementación y
decodificación. A cambio, permiten la interrelación entre los datos transmitidos
secuencialmente lo que entre otras cosas ofrecen la posibilidad de corregir errores
consecutivos de peso mayor, como son los que ocurren en las aplicaciones reales.
Un paso más en esta generalización son los códigos convolucionales
multidimensionales, definidos sobre un anillo de polinomios en varias variables. Este
orientación, de reciente desarrollo, está motivada además de por su evidente interés
teórico, por la idea de una codificación de los datos no secuencial, sino en varias
dimensiones, permitiendo una aún mayor interrelación entre los datos y
consiguientemente una mayor capacidad de corrección de errores.
El objetivo del trabajo es comprender y exponer la teoría básica de códigos
convolucionales y hacer una exposición más detallada de los distintos aspectos
concernientes a los códigos convolucionales multidimensionales. Respecto a estos, se
estudiarán algunas de las líneas más recientes de investigación. En función del interés
del alumno opcionalmente se podrá dar una orientación más práctica al trabajo,
implementando algún algoritmo de decodificación o realizando algún estudio
comparativo de distintos códigos usando Mathematica.
23 - Título: Condiciones de escisión para fibrados vectoriales en el espacio proyectivo.
Tutor: Darío Sánchez Gómez.
Área de conocimiento preferente: Álgebra.
Área de conocimiento afín: Geometría y topología.
Tipo: Trabajo de revisión e investigación bibliográfica centrados en diferentes campos
relacionados con la titulación.
Modalidad: (Seleccionar la que proceda) Específico (1 estudiante)
Asignaturas del grado directamente relacionadas con la propuesta (al menos 2):
Topología algebraica, Geometría algebraica.
Citas bibliográficas (al menos 2):
-
Okonek, Schneider y Spindler; Vector bundles on complex projective spaces,
Birkhäuser.
Husemöller; Fibre Bundles, Springer Verlag.
Descripción (al menos 500 caracteres incluidos espacios):
El objetivo del trabajo es introducir al estudiante en el problema de determinar bajo qué
circunstancias un fibrado vectorial en el espacio proyectivo descompone como suma
directa de fibrados de línea. Para ello el estudiante deberá familiarizarse con las
nociones y algunas propiedades básicas de los fibrados vectoriales y de los fibrados
proyectivos. Además se realizará un trabajo de revisión bibliográfica de los resultados
conocidos más relevantes sobre dicho problema como son la clasificación de los fibrados
vectoriales en la recta proyectiva dada por Grothendieck y el criterio de escisión de
Horrocks.
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PROPUESTA DE TRABAJO FIN DE GRADO
GRADO EN MATEMÁTICAS
CURSO 2016/2017
24-Título: Análisis Numérico de Inecuaciones Variacionales
Tutor: Luis Ferragut Canals
Asignatura vinculada: Cálculo Científico
Descripción del trabajo.:
Los problemas no lineales son muy diversos y escapan a una clasificación general, por lo que difícilmente se pueden desarrollar métodos numéricos con validez universal. En este TFG se propone estudiar problemas no lineales asociados a inecuaciones variacionales, su análisis numérico y algunas aplicaciones a la resolución de problemas de frontera libre. El TFG consistirá en: 1. Aproximación Variacional abstracta de inecuaciones variacionales.
2. Aproximación numérica mediante el M.E.F. de algunos problemas no lineales asociados a
principios variacionales.
3. Algoritmos numéricos.
4. Resolución práctica de problemas de frontera libre (problema del obstáculo, torsión
elastoplástica, derrame de un fluido de tipo Bingham en una tubería, etc. )
Bibliografía:
Ferragut L. Métodos Numéricos en problemas no lineales. http://hdl.handle.net/10366/111149
Glowinski R.. Numerical Methods for Nonlinear Variational Problems. Ed. Springer Verlag, Berlín 1984. Ciarlet, P.G. The Finite Element Method for Elliptic Problems. Ed. North Holland, Amsterdam, 1980. Página 1 de 2 Facultad de Ciencias, Plaza de los Caídos, S/N. 37008 Salamanca, España Telf.: + 34 923294451, Fax: + 34 923294514 Web: http://ciencias.usal.es , Email: dec.fc@usal.es *DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA
PROPUESTA DE TRABAJO FIN DE GRADO
GRADO EN MATEMÁTICAS
CURSO 2016/2017
Modalidad: Trabajo propuesto por el tutor.
•
Específico
•
General
X
Nº de alumnos : 1 1 1
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PROPUESTA DE TRABAJO FIN DE GRADO
GRADO EN -----MATEMATICASCURSO 2016/2017
25-Título: Desarrollo de una aplicación móvil ANDROID para la asignatura de análisis
numérico III Tutor: Jesús Vigo Aguiar
Cotutor:
Descripción del trabajo:
Descripción del trabajo: Se trata de un trabajo para aquellos alumnos que siguen el itinerario de
informática y han cursado las asignaturas de matemática aplicada del grado. El alumno deberá realizar un
interface y herramientas adecuadas para la gestión de la parte práctica de la asignatura Análisis Numérico
III. Es decir, para cada de los algoritmos que se mencionan a continuación se realizará su programación y
dicha programación se incluirá en una app conjunta de la parte práctica asignatura. Además de la
programación el alumno debe incluir resultados teóricos relacionados, así como contraejemplos en caso
de que los haya Obviamente el alumno deberá haber cursado la asignatura Análisis Numérico III y tener
una clara vocación por la programación. Abstenerse personas sin conocimientos previos en programación
ANDROID.
NECESARIO que los alumnos hablar con el tutor antes de elegir este trabajo. El tutor ayudara al alumno a
discernir si el alumno está capacitado o no para este trabajo. Abstenerse alumnos que no hayan
programado previamente en Android o lenguaje similar y por supuesto los que no hayan cursado dicha
asignatura.
Bibliografía:
-
D. Kincaid y W. Cheney. Análisis Numérico Adison Wisley 1999.
Android Reference manual and User guide 7.0 (https://developer.android.com/index.html)
Página 1 de 4
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PROPUESTA DE TRABAJO FIN DE GRADO
GRADO EN -----MATEMATICASCURSO 2016/2017
Índice a desarrollar en Android del trabajo:
1. Motivación y uso del Android:
1.1. Historia de Android.
1.2. Motivar la Elección de Android para esta app.
1.3. Herramientas utilizadas.
1.4. Aritmética de un procesador en Android.
1.5. Motivación matemática y educacional para el desarrollo de esta app.
2. Programación de apps para Interpolación y aproximación polinomial
2.1. Interpolación polinómica.
2.2. Polinomio interpolador de Newton. Diferencias divididas
2.3. Ventajas
2.4. Desventajas
2.5. Ejemplos concretos de uso de la app.
3. Derivación numérica: Programación de apps para la Extrapolación de Richardson.
4. Integración numérica: Programación de apps para la regla del trapecio compuesta
5. Integración numérica de problemas de valor inicial
5.1 Conceptos de convergencia, consistencia y orden.
Página 2 de 4
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PROPUESTA DE TRABAJO FIN DE GRADO
GRADO EN -----MATEMATICASCURSO 2016/2017
5.2 Método de Euler.
5.3 Métodos de Runge-Kutta para distintos ordenes. Método clásico de orden 4
5.4 Métodos de varios pasos tipo Adams
Otra información:
Tipo:2
Modalidad: General
Areas afines: cualquiera de las áreas del depto. de informática que imparten en la titulación
Página 3 de 4
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GRADO EN -----MATEMATICASCURSO 2016/2017
Tipo: 2
Modalidad:
•
Específico
•
General
x
Nº de alumnos :
1
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GRADO EN MATEMÁTICAS
CURSO 2016/2017
26- Título: Automorfismos de G-estructuras.
Tutora: Mª Teresa de Bustos Muñoz
Cotutor: Antonio Fernández Martínez
Descripción del trabajo:
Dada una estructura matemática, uno de los objetos matemáticos básicos es su grupo de automorfismos.
El objeto de este Trabajo Fin de Grado es el estudio de los grupos de automorfismos de estructuras geométricodiferenciales. Más concretamente, se verá una teoría general de automorfismos con especial énfasis en la cuestión
de cuándo el grupo de automorfismos puede ser dotado de una estructura de grupo de Lie. El concepto de Gestructura permitirá tratar de una forma unificada muchas de las estructuras geométricas. El trabajo comenzará con la definición de G-estructura de una variedad diferenciable como un subfibrado del
fibrado principal de las referencias lineales de la variedad, con grupo estructural G. De este modo, el alumno
adjudicatario de este trabajo deberá contar con un conocimiento sólido de la teoría de fibrados principales,
fibrados asociados y conexiones.
Bibliografía:
1.- Shoshichi Kobayashi, “Transformation Groups in Differential Geometry” Editorial Springer, año 2012.
ISBN:9783642619816
2.- Jean Louis Koszul, “Lectures on groups of transformations” Editorial: Tata Institute of Fundamental
Research año 1965.
Areas de conocimiento: Matemática Aplicada (Preferente), Geometría y Topología (Afín)
Página1de2
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GRADO EN MATEMÁTICAS
CURSO 2016/2017
Tipo: 2
Modalidad: Trabajo de revisión e investigación bibliográfica.
● Específico
● General
X
Nº de alumnos :
Página2de2
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GRADO EN MATEMÁTICAS
CURSO 2016/2017
27- Título: Clases características de estructuras geométricas.
Tutor: Antonio Fernández Martínez
Cotutora: Mª Teresa de Bustos Muñoz
Descripción del trabajo:
El título de este trabajo fin de grado se corresponde con la primera sección del aclamado artículo de Atiyah, Bott
y Patodi “On the Heat Equation and the Index Theorem” en el cual se da una demostración del teorema del índice
utilizando las clases características de operadores diferenciales en lugar de las técnicas de topología global del
artículo de Atiyah y Singer o analíticas en el artículo de Atiyah y Bott. De este modo, el objetivo será la
caracterización de Gilkey de las clases de Pontrjagin de las estructuras riemannianas como los únicos invariantes
valorados en el álgebra exterior con una condición de racionalidad y homogeneidad.El trabajo comenzará con la
definición de conexión en un fibrado vectorial complejo como un operador diferencial de primer orden de las
secciones del fibrado vectorial a las 1-formas sobre la base a valores en el fibrado vectorial, de manera que se
recomienda que el alumno adjudicatario de este trabajo maneje con soltura este tipo de conceptos.
Bibliografía:
1.- Peter B. Gilkey, “Invariance theory , the heat equation and the Atiyah-Singer index theorem”,
Editorial Publish or Perish Inc., USA, año 1984. http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/gilkey1.pdf
2.- M. Atiyah, R.Bott y V.K. Patodi “On the Heat Equation and the Index Theorem” Inventiones math. 19, 279330 (1973).
Areas de conocimiento: Matemática Aplicada (Preferente), Geometría y Topología (Afín)
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GRADO EN MATEMÁTICAS
CURSO 2016/2017
Tipo: 2
Modalidad: Trabajo de revisión e investigación bibliográfica.
X
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● General
Nº de alumnos :
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PROPUESTA DE TRABAJO FIN DE GRADO
GRADO EN MATEMATICAS
CURSO 2016/2017
28- Título: Valoración de opciones con métodos numéricos: Modelo Europeo.
Tutor: Mª Isabel Asensio Sevilla
Cotutor: José Manuel Cascón Barbero
Descripción del trabajo: Una opción es un contrato que da al titular el derecho, pero no la
obligación, de comprar (call) o vender (put) el activo subyacente a un precio predeterminado (strike)
hasta una fecha concreta (vencimiento). El precio de una opción puede ser modelado mediante una
ecuación diferencial estocástica, que bajo ciertas condiciones, puede ser reducida a una ecuación en
derivadas parciales mediante una operación de cobertura (Black-Scholes, 1973). El objetivo de este
trabajo de grado es la revisión del modelo de Black-Scholes para la valoración de opciones de tipo
europeo. Se resolverá analíticamente cuando sea posible, y se aproximará numéricamente el caso
general. Para la aproximación numérica se empleará el método de elementos finitos combinado con
técnicas adaptativas y/o estabilización.
Área de conocimiento: Matemática Aplicada, Estadística
Asignaturas: Cálculo científico, Procesos estocásticos, Introducción a las finanzas.
Conocimientos previos: Ecuaciones en derivadas parciales, método de elementos finitos,
programación con MatLab, cálculo estocástico (recomendable, pero no necesario).
Bibliografía:
Black, F., Scholes, M. (1973). The Pricing of Options and Corporate Liabilities. The Journal of
Political Economy, 81( 3): 637-654.
Vázquez, C. (2010). An introduction to Black-Scholes. Modeling and Numerical Methods in
Derivatives Pricing, Departamento de Matemática, Facultad de Ciencias Empresariales,
Universidad Austral.
Tipo: Trabajo de revisión e investigación bibliográfica.
Modalidad:
•
Específico
•
General
x
1
Nº de alumnos :
2
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PROPUESTA DE TRABAJO FIN DE GRADO
GRADO EN MATEMÁTICAS
CURSO 2016/2017
29-Título: Modelos matemáticos para simular la propagación de comportamiento fanáticos.
Área de Conocimiento: Matemática Aplicada
Tutor: Ángel Martín del Rey
Descripción del trabajo:
El terrorismo es una de las principales preocupaciones de nuestra sociedad. La lucha contra el mismo no sólo se
lleva a cabo desde el punto de vista policial sino que también las Matemáticas pueden ayudar a comprender
ciertas facetas de dicho fenómeno como es el caso del proselitismo y captación de nuevos terroristas.
El objetivo de este trabajo es describir y analizar de manera detallada los principales modelos matemáticos
existentes para estudiar la propagación de los comportamientos fanáticos (véase [1, 2, 3]). Se explicitarán las
ecuaciones, se estudiará la estabilidad del sistema y se mostrarán las principales medidas de control que se
derivan del estudio matemático realizado.
Áreas de conocimiento: Matemática Aplicada (preferente), Análisis Matemático (afín).
Asignaturas del grado con las que está relacionado: Ecuaciones Diferenciales, Métodos Geométricos en
Ecuaciones Diferenciales, Análisis Numérico II.
Bibliografía:
[1] C. Castillo-Chávez, B. Song, Models for the transmission dynamics of fanatic behaviors, in: H.T. Banks and C. CastilloChávez (eds.), Bioterrorism: Mathematical Modeling Applications in Homeland Security, SIAM Frontiers in Applied
Mathematics, vol. 28, SIAM, Philadelphia, 2003, pp. 155-172.
[2] A. Goyal, J.B. Shukla, A.K. Misra, A. Shukla, Modeling the role of government effors in controlling extremism in a
society, Mathematical Methods in the Applied Sciences 38 (2015) 4300-4316.
[3] F.J. Santonja, A.C. Tarazona, R.J. Villanueva, A mathematical model of the pressure of an extreme ideology on a
society, Computers and Mathematics with Applications 56 (2008) 836-846.
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PROPUESTA DE TRABAJO FIN DE GRADO
GRADO EN MATEMÁTICAS
CURSO 2016/2017
Tipo: 1
Modalidad: Teórico-experimental
Tipo: 1
Modalidad:
•
Específico
•
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X
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PROPUESTA DE TRABAJO FIN DE GRADO
GRADO EN MATEMÁTICAS
CURSO 2016/2017
30- Título: Criptografía post-cuántica: el algoritmo de cifrado NTRU.
Área de Conocimiento: Matemática Aplicada
Tutor: Ángel Martín del Rey
Descripción del trabajo: Los actuales protocolos criptográficos de clave pública de uso común se basan en los
algoritmos RSA y ElGamal. El ciclo de vida de tales algoritmos está próximo a finalizar, de manera que los
criptosistemas basados en curvas elípticas eran los elegidos inicialmente para su reemplazo en un futuro no muy
lejano.
En agosto de 2015, la NSA (National Security Agency) sugirió abandonar este plan y apostar por el desarrollo de
protocolos criptográficos resistentes al criptoanálisis mediante algoritmos de naturaleza cuántica (RSA no es
resistente al criptoanálisis cuántico –el algoritmo cuántico de Shor factoriza números enteros en tiempo
polinómico- y se piensa que los criptosistemas basados en curvas elípticas tampoco lo son). Esto es lo que se
conoce como Criptografía post-cuántica.
El objetivo de este trabajo es el estudio y análisis detallado de uno de los principales candidatos a criptosistema
post-cuántico: el criptosistema de clave pública NTRU (véase [1, 2]) que aunque fue propuesto hace varios años,
es inmune al algoritmo de Shor.
Áreas de conocimiento: Matemática Aplicada (preferente), Álgebra (afín).
Asignaturas del grado con las que está relacionado: Códigos y Criptografía, Álgebra, Matemática Discreta y
Optimización.
Bibliografía:
[1] J. Hoffstein, J. Pipher, J.H. Silverman, NTRU: A ring-based public key cryptosystem, Proceedings of ANTS-III, Lecture
Notes in Computer Science vol. 1423, 1998, pp. 267-288.
[2] Y. Pan, Y. Deng, A General NTRU-Like Framework for Constructing Lattice-Based Public-Key Cryptosystems,
Proceedings of WISA 2011, Lecture Notes in Computer Science vol. 7115, 2012, pp. 109-120.
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FacultaddeCiencias,PlazadelosCaídos,S/N.37008Salamanca,España
Telf.:+34923294451,Fax:+34923294514Web:http://ciencias.usal.es,Email:dec.fc@usal.es
*DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA
PROPUESTA DE TRABAJO FIN DE GRADO
GRADO EN MATEMÁTICAS
CURSO 2016/2017
Tipo: 1
Modalidad: Teórico-experimental
Tipo: 1
Modalidad:
•
Específico
•
General
X
Nº de alumnos :
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Telf.:+34923294451,Fax:+34923294514Web:http://ciencias.usal.es,Email:dec.fc@usal.es
PROPUESTA DE TRABAJO DE FIN DE GRADO EN MATEMÁTICAS
31 -
Título: EL MÉTODO DE LA RAZÓN DE VEROSIMILITUDES EN
CONTRASTES DE HIPÓTESIS
Tutor Académico: Ramón Ángel Ardanuy Albajar
Descripción: Se trata de hacer un estudio del Método de la Razón de Verosimilitudes para construir Contrastes de Hipótesis, su definición, la relación con los contrastes de hipótesis de máxima potencia, su relación con las pruebas Bayesianas,
determinar la distribución asintótica, y ver sus aplicaciones en Estadística Clásica,
tanto para los casos de medias y varianzas de distribuciones normales, como para
pruebas de adherencia de ajuste, tablas de contingencia y pruebas de homogeneidad. En el estudio se tendrá en cuenta el teorema de Neyman y Pearson para contrastes de máxima potencia de hipótesis simples así como la extensión al caso de
hipótesis compuestas.
Área de Conocimiento Preferente: Estadística e Investigación Operativa.
Área de Conocimiento Afín: Análisis Matemático.
Tipo y Modalidad: Trabajo Teórico-Experimental
Bibliografía:
De Groot M.H. (2003): “Probabilidad y Estadística”, Addison-Wesley Iberoamericana, México, 2ª ed.,
Gómez Villegas M.A. (2005): “Inferencia Estadística”, Díaz de Santos, Madrid.
Tutor: Javier Villarroel
Propuesta: Grado en Matemáticas
Conocimientos previos: Procesos estocásticos,
32 - Título: proceso estocásticos de renovación compuestos con correlación entre saltos
y tiempos.
Areas de conocimiento preferentes: Estadística e Investigación Operativa
Referencias:
1. Steven Shreve, Stochastic calculus for Finance, Springer Verlag
2. Richard Sforzo, Basics of applied Stochastic process, Springer Verlag
Asignaturas del Grado relacionadas: Proesos estocásticos, Introducción a la Finanza,
Cálculo de probabildades
Modalidad (según se indica en el Art. 3 del Reglamento de TFG de la Universidad):
trabajo teórico-experimental y/o trabajos de revisión e investigación bibliográfica
Descripción:
Se consideran proceso estocásticos de renovación compuestos, es decir tales que:
1. las trayectorias son funciones escalera que casi seguramente permanecen constantes con
valor sobre [T_n, T_{n+1}) y presentan saltos en puntos t=T_n.
2. Los tiempos entre saltos
T_n-T_{n-1} (tiempos de espera) definen una sucesión positiva de variables aleatorias
independientes idénticamente distribuidas (v.a.i.i.d.).
3. Los saltos S_n en T_n definen una sucesión de variables aleatorias independientes
idénticamente distribuidas
4. Se admite correlación entre las variables aleatorias S_n y T_n
Se comenzará estudiando el proceso de Poisson compuesto aditivo y multiplicativo, muy
empleado en finanzas y ciencias actuariales. En dinámica bursatil encontramos dos tipos de
variaciones diferentes: por un lado la oscilación usual, producida, por ejemplo por la
habitual compra-venta de acciones, o cualquier desajuste que produzca cambios marginales
en el precio del subyacente. Este componente de modeliza a través del prceso de Wiener. .
Por otro lado, existe una componente debida a variaciones bruscas, debido a la llegada de
nueva información de vital trascendencia y que llega en instantes determinados. Es
esta parte la que se modela mediante un proceso de salto.
Consideramos después procesos estocásticos de salto de tipo proceso de renovación y,
más generalmente proceso de renovación compuestos, pero sin correlaciones de los
tiempos con los saltos.
Pasaremos después a estudiar la influencia de correlaciones tiempo-salto.