Download Introducción al curso de Cálculo 1 Modelos de Probabilidad

Introducción al curso de Cálculo 1
Cálculo y Probabilidad
Modelos de Probabilidad
Uno de los objetivos de la ciencia consiste en predecir y describir sucesos del mundo en que vivimos. Una
manera de hacerlo es construir modelos matemáticos que describen adecuadamente el mundo real.
Experimentos Aleatorios
Existen dos tipos de fenómenos o experimentos en la naturaleza: los deterministas y los aleatorios. Un
experimento determinista es aquel que produce el mismo resultado cuando se le repite bajo las mismas
condiciones, por ejemplo, medir el volumen de un gas cuando la presión y la temperatura son constantes
produce teóricamente siempre el mismo resultado, o medir el ángulo de un rayo de luz reejado en un
espejo resulta siempre en el mismo resultado cuando el ángulo de incidencia es el mismo y el resto de
las condiciones son constantes. Muchas otras leyes de la física son ejemplos de situaciones en donde bajo
idénticas condiciones iniciales, el resultado del experimento es siempre el mismo. En contraparte, un
experimento aleatorio es aquel que cuando se le repite bajo las mismas condiciones, el resultado que se
observa no siempre es el mismo y tampoco es predecible. El lanzar una moneda al aire y observar la cara
de la moneda que mira hacia arriba, o registrar el número ganador en un juego de lotería, son ejemplos
cotidianos de experimentos aleatorios.
Espacio Muestral
El espacio muestral, o también llamado espacio muestra, de un experimento aleatorio es el conjunto de
todos los posibles resultados del experimento, y se le denota generalmente por la letra griega
mayúscula). A un resultado particular se le denota por la letra
Ejemplo
ω
Ω
(omega
(omega minúscula).
Si un experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda dos veces, existen entonces cuatro
resultados imaginables: (S,S), (S,A), (A,S), (A,A). Por tanto, hay cuatro puntos puntos muestrales
que forman el espacio muestral.
Ejemplo
Si un experimento aleatorio consiste en observar el sexo de los nacidos en cierta población,
existen dos resultados posibles: varón y hembra; por tanto, hay dos puntos muestrales en el espacio
muestral.
En los ejemplos anteriores se el espacio muestral está formado por un número nito de puntos muestrales.
Ejemplo
Si un experimento aleatorio consiste en determinar el número de tiradas de una moneda que
deberá hacerse hasta que aparezca la primera cara. Esta puede aparecer en la la tirada 1, 2, ...,n,...
Aquí el espacio muestral está formado por una innidad numerable de puntos muestrales
Cardinalidad del Espacio Muestral
Equivale a la cantidad de elementos que lo conforman. Se denota
Ejemplo
n(Ω)
ó
card (Ω)
Calcular la cardinalidad de los espacios muestrales de los siguientes experimentos aleatorios
a) Se elije al azar una carta de una baraja inglesa
b) Se escoge al azar un punto dentro de un circulo de radio 1.
c) En un recipiente hay 100 gramos de dulces y se toman algunos para pesarlos
Facultad de Ciencias UNAM
Cálculo Diferencial e Integral I
Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz
1
Introducción al curso de Cálculo 1
Solución
Cálculo y Probabilidad
a) En este caso el espacio muestral es el conjunto de todos los naipes de la baraja inglesa, la
cardinalidad es
n(Ω) = 52
b) El espacio muestral es
Ω = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 < 1}
y la cardinalidad de este espacio muestral es la cantidad de puntos que cumplen esta condición,
esto es,
n(Ω) = ∞
c) En este último caso, el espacio muestral es
Ω = [0, 100]
y su cardinalidad
n(Ω) = ∞
Eventos
Un evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio
Ejemplo
Si se tiran 2 dados, uno blando y uno rojo, el espacio muestral sería:
6, 6 6, 5
5, 6 5, 5
4, 6 4, 5
3, 6 3, 5
2, 6 2, 5
1, 6 1, 5
6, 4
5, 4
4, 4
3, 4
2, 4
1, 4
6, 3
5, 3
4, 3
3, 3
2, 3
1, 3
6, 2
5, 2
4, 2
3, 2
2, 2
1, 2
6, 1
5, 1
4, 1
3, 1
2, 1
1, 1
El primer número es el resultado del dado blanco y el segundo el del dado rojo. Describir los
siguientes eventos
a) El resultado suma 4
b) El resultado suma 6
c) El dado blanco cae en 5
d) Los dos números son iguales
Solución
{(1, 3), (2, 2), (3, 1)}
{(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}
blanco cae en 5: {(5, 1), (5, 2), (5, 3) (5, 4) (5, 5)}
números son iguales: {(1, 1), (2, 2), (3, 3) (4, 4) (5, 5), (6, 6)}
a) El resultado suma 4:
b) El resultado suma 6:
c) El dado
d) Los dos
El concepto de probabilidad
Ejemplo
a
Analizar los juegos que se proponen a continuación, en los que participan dos jugadores.
Se lanza un dado normal, con caras numeradas del 1 al 6. Se establece que el jugador A gana
si sale un número par, mientras que el jugador B gana si sale un número mayor igual que 4.
b
Se lanzan 2 monedas. El jugador A gana si los resultados de ambas monedas son iguales. El
jugador B gana si sale águila.
c
En una ruleta dividida en 8 partes iguales, el jugador A gana si la bola cae en un número
mayor igual que 5, y el jugador B gana gana si la bola cae en un número menor igual que 4.
¾Quien tiene mayor probabilidad de ganar en cada uno de los juegos que se han propuesto?
Facultad de Ciencias UNAM
Cálculo Diferencial e Integral I
Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz
2
Introducción al curso de Cálculo 1
Cálculo y Probabilidad
Si bien no es posible predecir el resultado de un experimento aleatorio, si lo es la posibilidad que tiene
de ocurrir.
Denición 1. La probabilidad es una medida de cuán posible es que se presente un resultado en un
experimento aleatorio.
En un experimeto aleatorio con espacio muestral nito, la probabilidad del evento simple i es:
P (i) =
Ejemplo
1
n(Ω)
Se extrae una carta de una baraja inglesa. ¾Cuál es la probabilidad de que la carta sea el 5 de
corazones?
Solución
En este caso se tiene que la cardinalidad del espacio muestral es 52. Así la probabilidad es:
P (5 de corazones) =
En general, la probabilidad de un evento A, que se denota
en A dividido entre el número de resultados en
1
52
P (A), se obtiene como el número de resultados
Ω.
Denición 2. Denición de Laplace La denición de Laplace para la probabilidad de un evento A es:
P (A) =
n(A)
n(Ω)
Si un experimento aleatorio tiene probabilidad 1 se denomina suceso seguro.
Ejemplo
Al lanzar una moneda y que el resultado sea aguila o sol
Si un experimento aleatorio tiene probabilidad 0 se conoce como suceso imposible
Ejemplo
Al lanzar un dado y que el resultado sea 7
Según lo anrerior tenemos que:
a) Debemos ser capaces de calcular la probabilidad del evento seguro
b) Si podemos calcular la probabilidad de que un evento A ocurra entonces también debemos poder
calcular la probabilidad de que no ocurra A, esto es,
Ac
c) Si podemos calcular la probabilidad de que ocurra el evento
Aj , j = 1, 2, 3, ...
entonces, también
debemos estar en condiciones de calcular la probabilidad de que ocurra al menos uno de los
de
∞
[
Aj
esto es,
j=1
Sigma Álgebra
Considerando lo anterior, se pueden establecer ciertos principios que permiten que la probabilidad
tenga sentido como medida.
1. Debe ser posible calcular la probabilidad del evento seguro
Facultad de Ciencias UNAM
Cálculo Diferencial e Integral I
Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz
3
Introducción al curso de Cálculo 1
Cálculo y Probabilidad
2. Si es posible calcular la probabilidad de que un evento A ocurra entonces también debe ser posible
calcular la probabilidad de que no ocurra A, que se denota
Ac
3. Si es posible calcular la probabilidad de que ocurra cada evento
Aj , j = 1, 2, 3, ...
individualmente
entonces, también se debe estar en condiciones de calcular la probabilidad de que ocurra al menos
uno de los
Aj
∞
[
, esto es, de
Aj .
j=1
Es decir, debe ser posible calcular la probabilidad de que ocurran eventos que involucren mas de un evento
simple,
Ejemplo
Si se lanza un dado justo (cualquier cara es igualmente posible), obtener un numero del 1 al 6
1
6
5
por lo que la probabilidad de no obtener 2 (es decir obtener 1,3,4,5 o 6) debería ser , notese que
6
el evento no obtener 2 involucra a mas de un evento simple.
debe ser un evento de probabilidad 1 (suceso seguro) . La probabilidad de obtener el numero 2 es
Denición 3. Una colección F de subconjuntos de Ω es una σ − algebra (sigma álgebra) , si cumple las
siguientes condiciones:
1. Ω ∈ F
2. Si A ∈ F entonces Ac ∈ F ∞
3. Si A1 , A2 , . . . ∈ F entonces
[
Aj ∈ F .
j=1
Ejemplo
Considere el experimento aleatorio de lanzar una moneda y determine una sigma algebra
asociada a dicho experimento
Solución
Ω = {A, S}
F = {{A} , {S} , {A, S} , Ø}
Es necesario considerar un estructura matemática como la sigma álgebra para evitar cualquier error
o ambigüedad en el calculo de las probabilidades asociadas a un experimento de interés. El objetivo
de denir el espacio muestral. la medida de probabilidad y la sigma álgebra es lograr una traducción
matemática adecuada de los eventos de la realidad que se pretenden estudiar.
Facultad de Ciencias UNAM
Cálculo Diferencial e Integral I
Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz
4