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Teoría Espectral
Stephen B. Sontz
Centro de Investigación en Matemáticas, A.C.
(CIMAT)
Guanajuato, Mexico
Mini-curso impartido en Colima
29 septiembre 2016 - Tercer día
Introducción
Hay dos dichos populares a propósito de la mecánica cuántica.
Primero: Para aprender bien la mecánica cuántica, hay que
resolver quinientos problemas.
Segundo: Nadie comprende la mecánica cuántica.
Pero no hay contradicción.
El primero quiere decir que podemos resolver problemas en
la mecánica cuántica a partir de unas reglas dadas, que
podemos aprender con la práctica.
El segundo quiere decir que no hay explicación de las reglas
de la mecánica cuántica (hasta la fecha).
Hoy vamos a ver las reglas de la mecánica cuántica en un
modelo sencillo que se llama un modelo de dos niveles.
Sistemas de Dos Niveles
He aquí una lista de varios ejemplos de sistemas de dos
niveles.
I
I
I
I
Moléculas al dentro de un laser. (Siempre y cuando
solamente son importantes dos niveles de su energia.)
Sistemas con spin 1/2. (Como electrones, quarks,
protones, neutrones, algunos átomos y algunos núcleos.
Spin es un tipo de momento angular. Con spin 1/2 hay
exactamente los valores −1/2, 1/2 en una dirección dada.
Fotones. (Un fotón tiene spin 1 y masa cero. Tiene dos
valores −1, 1 en una dirección dada.
Qubits. El qubit es el objeto básico de la computación
cuántica y la información cuántica. Efectivamente, no es
otro ejemplo, sino una aplicación posible de todos los
ejemplos anteriores.)
Un Espacio Vectorial
Un espacio vectorial de dimensión 2 sobre el campo C es
α
2
C :=
: α, β ∈ C .
β
Definiciones: Para un par de elementos de este espacio
α
γ
ψ=
∈ C2 y φ =
∈ C2 ,
β
δ
definimos un producto interior por
hψ, φi := α∗ γ + β ∗ δ
(donde α∗ es la conjugación compleja) y una norma por
1/2
||ψ|| := hψ, ψi1/2 = |α|2 + |β|2
.
Se dice que ψ, φ ∈ C2 son ortogonales si hψ, φi = 0.
Se dice que ψ ∈ C2 es un estado si ||ψ|| = 1.
Observables
Identificamos dos estados ψ, φ ∈ C2 si existe λ ∈ C tal que
ψ = λφ. (Por lo tanto, |λ| = 1.)
Un estado es la descripción completa en nuestro modelo
matemático del sistema físico en un instante de tiempo.
Los observables son ciertas matrices 2 × 2 que vemos
también como operadores lineales que mandan C2 a C2 .
µ
α β
µ
2
∈ C 7→
∈ C2
ν
γ δ
ν
donde se trata del producto matricial de una matriz 2 × 2 por
una matriz 2 × 1.
El resultado siguiente viene en todo buen texto de álgebra
lineal. (Por ejemplo, véase [1].)
Teorema: Para cada matriz A, existe una matriz única A∗ tal
que hφ, Aψi = hA∗ φ, ψi para todos vectores φ, ψ en C2 .
Observables
Definiciones: La matriz A∗ del teorema anterior se llama la
matriz adjunta de la matriz A.
Si A = A∗ se dice que la matriz A es auto-adjunta.
En la mecánica cuántica si A es auto-adjunta, también se dice
que A es observable.
En breve, una cantidad medible en el laboratorio, que tiene
exactamente dos valores posibles σ y τ (reales), tiene una
representación por una matriz 2 × 2 que es un operador
auto-adjunto o un observable: A = A∗ . La relación entre el
observable A y los números medidos σ y τ es la siguiente: Hay
dos estados ψ, φ ∈ C2 tales que
Aψ = σψ y Aφ = τ φ.
Si
Matrices de Pauli
∗ ∗ α β
α γ
A=
,
entonces
A∗ =
γ δ
β ∗ δ∗
que implica que α, δ ∈ R y β = γ ∗ . Entonces,
a
b − ic
A=
b + ic
d
donde a, b, c, d ∈ R. O sea, {A = A∗ } es un espacio vectorial
sobre R de dimensión 4. Una base es la matriz identidad I con
las matrices de Pauli:
0 1
0 −i
1 0
σ1 =
σ2 =
σ3 =
1 0
i 0
0 −1
Se sigue que
σ12 = σ22 = σ32 = I
σ1 σ2 = iσ3 = −σ2 σ1
σ2 σ3 = iσ1 = −σ3 σ2
σ3 σ1 = iσ2 = σ1 σ3
Un Teorema
Definición: Si Aψ = κψ para algún 0 6= ψ ∈ C2 y κ ∈ C, se dice
que κ es un eigenvalor de A y que ψ es un eigenvector de A.
Teorema: Los eigenvalores de una matriz auto-adjunta A son
reales.
Demostración: Supongamos que κ ∈ C es un eigenvalor de
A, es decir, Aψ = κψ con ψ 6= 0. Entonces se tiene que
hψ, Aψi = hψ, κψi = κ hψ, ψi = κ||ψ||2 .
Además, usando A = A∗ , se sigue que
hA∗ ψ, ψi = hAψ, ψi = hκψ, ψi = κ∗ hψ, ψi = κ∗ ||ψ||2 .
Pero hψ, Aψi = hA∗ ψ, ψi por la definición de A∗ .
Entonces (κ − κ∗ ) ||ψ||2 = 0.
Usando ψ 6= 0 (que implica que ||ψ|| =
6 0), se sigue que κ = κ∗ .
Por lo tanto, el eigenvalor κ es real. QED.
Sobre Eigenvalores y Eigenvectores
Teorema: Eigenvectores que corresponden a dos eigenvalores
distintos de una matriz auto-adjunta A son ortogonales.
Demostración: Supongamos que Aψ = κψ, Aφ = λφ, y
A = A∗ con κ 6= λ, ψ 6= 0 y φ 6= 0. Ya sabemos por el teorema
anterior que κ y λ son números reales. De un lado
hφ, Aψi = hφ, κψi = κ hφ, ψi .
Del otro lado, usando A = A∗ ,
hA∗ φ, ψi = hAφ, ψi = hλφ, ψi = λ hφ, ψi .
De la definicíon de A∗ (que implica hφ, Aψi = hA∗ φ, ψi), se
sigue que
(κ − λ) hφ, ψi = 0.
Pero, por hipótesis, κ − λ 6= 0. Por lo tanto, se tiene que
hφ, ψi = 0, que quiere decir que φ y ψ son ortogonales. QED.
Mediciones
Un resultado que necesitamos del álgebra lineal es:
Teorema: Si A es una matriz auto-adjunta, entonces existe
una base ortonormal de C2 cuyos elementos son
eigenvectores de A.
Se llama el teorema espectral para matrices auto-adjuntas.
Supongamos que un sistema físico de dos niveles se
encuentra en un estado φ ∈ C2 , o sea ||φ|| = 1, y que
queremos medir la cantidad que corresponde a un observable
A que tiene eigenvalores λ1 6= λ2 y eigenvectores
correspondientes que son estados ψ1 , ψ2 ∈ C2 . Es decir,
Aψ1 = λ1 ψ1
Aψ2 = λ2 ψ2
(1)
¿Qué pasará? Un principio básico de la mecánica cuántica
es que la medición nos dará precisamente uno de los dos
eigenvalores λ1 , λ2 . ¿Cuál?
Mediciones
Notemos que ψ1 , ψ2 es una base ortonormal del espacio C2 .
Además, φ ∈ C2 . Entonces, podemos escribir el estado φ como
una combinación lineal de los dos elementos de la base, es
decir existen α1 , α2 ∈ C tales que
φ = α1 ψ1 + α2 ψ2
|2
Se sigue que |α1 + |α2 |2 = 1. Una regla de la mecánica
cuántica es que la medición dará el valor λj con probabilidad
|αj |2 = | ψj , φ |2 para j = 1, 2
En tal caso, despues de la medición el sistema se quedará en
el estado ψj . Se dice que ha sucedido una transición
φ → ψj .
Además, se dice que el número complejo αj = ψj , φ es la
amplitud de probabilidad para la transición φ → ψj . En
cambio, como ya hemos visto, el número real |αj |2 es la
probabilidad de la transición φ → ψj para j = 1, 2.
Valor Esperado
Resulta que el número real hφ, Aφi tiene una interpretación
probabilista importante. Usando que ψ1 , ψ2 es una base
ortonormal, calculamos que
hφ, Aφi = hα1 ψ1 + α2 ψ2 , α1 λ1 ψ1 + α2 λ2 ψ2 i
= |α1 |2 λ1 + |α2 |2 λ2 .
La última expresión es la probabilidad |α1 |2 de medir λ1 (a
saber, la fracción de veces que medimos λ1 ) por el valor λ1
y luego más la probabilidad |α2 |2 de medir λ2 (a saber, la
fracción de veces que medimos λ2 ) por el valor λ2 .
Entonces, hφ, Aφi es el valor esperado (en el sentido de la
teoría de probabilidad) de las mediciones de A en el estado φ.
La diferencia entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica
consta más que nada en el uso de probabilidad en una manera
fundamental en la mecánica cuántica.
Dinámica
Para H auto-adjunta dada, la ecuación de evolución temporal
es
dψt
= Hψt ,
i~
dt
2 es el estado del sistema en el tiempo t ∈ R.
donde ψt ∈ C√
Además, i = −1. Es una ecuación diferencial ordinaria lineal
de primer orden. Para tener un problema con solución única,
vamos a dar una condición inicial ψ0 = φ ∈ C2 , donde φ es
un estado. Por EDO la solución para todo tiempo t ∈ R es
ψt = e−itH/~ φ
La definición de la exponencial de una matriz M es la usual:
∞
eM := I + M +
X 1
1
1
1 2
M + M3 + · · · + Mn + · · · =
Mk
2!
3!
n!
k!
k =0
Dinámica
Entonces, la solución del problema de la dinámica depende del
conocimiento de la matriz e−itH/~ , que podemos calcular
usando el álgebra lineal.
También por un resultado del álgebra lineal, se tiene que H
auto-adjunta implica que e−itH/~ preserva la norma. Entonces,
||ψt || = ||e−itH/~ φ|| = ||φ|| = 1 para cada t ∈ R. Esto quiere
decir que ψt ∈ C2 es un estado para cada tiempo t. Es la razón
física por tomar H auto-adjunta.
Ejemplo: H = ~ω σ1 .
1
1
1
(−iωt)2 σ12 + (−iωt)3 σ13 + (−iωt)4 σ14 + ·
2!
3!
4!
1
1
1
1
= I − (ωt)2 I + (ωt)4 + · · · − i ωtσ1 − (ωt)3 σ1 + (ωt)5 σ1 +
2!
4!
3!
5!
= cos(ωt)I − i sin(ωt)σ1
e−itωσ1 = I − iωtσ1 +