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SEGUIMIENTO DE OBJETOS MEDIANTE SISTEMAS DE OPTICA ADAPTATIVA V.F. Canales, 1 S. Harrison, 2 J.E. Oti, 1 D. M. de Juana1 and M.P. Cagigal1 1 Departamento de Fisica Aplicada, Universidad de Cantabria. 2 Imperial College, Londres, Reino Unido 1. Introducción En gran número de aplicaciones se necesita describir la trayectoria de un objeto a partir de una serie de imágenes adquiridas a través de la atmósfera. Estas imágenes presentan un ruido aleatorio debido a la turbulencia atmosférica, y, en estas condiciones, el cálculo de la velocidad del objeto a partir de la posición del centroide en las distintas imágenes presenta un cociente señal ruido muy bajo. Por tanto, en el presente trabajo se propone la combinación de dos técnicas para solucionar este problema: la óptica adaptativa, que permite compensar parcialmente la distorsión en las imágenes, y una técnica velocimétrica basada en la transformada espaciotemporal de la serie de imágenes, que mejora la estimación de la velocidad del objeto. Para este análisis, se ha desarrollado un algoritmo de simulación de imágenes distorsionadas por la atmósfera y adquiridas por un CCD, que se utiliza para analizar la técnica de seguimiento por transformada espacio-temporal y su comportamiento en función del grado de corrección proporcionado por el sistema de óptica adaptativa. 2. Marco teórico Se considera un objeto que se mueve sobre un fondo fijo con velocidad constante v = (vx,vy) (aunque el movimiento no sea uniforme siempre se puede considerar como tal en un intervalo suficientemente corto). La imagen del objeto en un instante tn es igual a la imagen en el instante inicial, t0, pero desplazada. Por tanto su transformada de Fourier (TF) espacial es idéntica salvo un factor de fase. Como consecuencia, si se realiza la TF temporal de la serie de TF espaciales de las imágenes, se obtiene una función delta cuya posición permite deducir la velocidad del objeto.1,2 Sin embargo, en nuestro análisis las imágenes se obtienen a través de la atmósfera, por lo que se distorsionan.3-5 Además, en muchas aplicaciones las imágenes se adquieren en bajo número de fotones, con lo que dos procesos estocásticos independientes afectan a la imagen: las distorsiones atmosféricas y el ruido en la detección de fotones. Como consecuencia, la transformada espaciotemporal ya no es una función delta. Sin embargo, en un amplio rango de condiciones aún se centra en la frecuencia temporal que corresponde al valor correcto de la velocidad.1 3. Simulación y resultados Para analizar la técnica se ha desarrollado una simulación tanto de la distorsión que la atmósfera produce en las imágenes como de la detección en bajo número de fotones. La atmósfera se considera una pantalla de fase6 que sigue la estadística de Kolmogorov, y los frentes de onda se descomponen en la base de los polinomios de Zernike.7,8 El efecto del sistema óptica adaptativa para corregir parcialmente estas aberraciones atmosféricas consiste en eliminar los primeros modos de la descomposición.5 El proceso de detección en bajo número de fotones se simula mediante un generador de números aleatorios con distribución de Poisson. 1 Los frentes de onda se simulan usando 465 modos de Zernike, el muestreo en la pupila es de 65 x 65 modos. El cociente D/r0 es 10 y el muestreo en la imagen es 128 x 128. El objeto en movimiento es una doble gaussiana y su velocidad es de vy=2 y vx=0 pixeles/imagen. La figura 1 muestra un ejemplo del tipo de imágenes obtenidas en la simulación. En primer lugar se estudia, en función del grado de corrección, el número de fotones por imagen que es necesario para una estimación precisa de la trayectoria del objeto. En este análisis se considera que la descripción del movimiento es posible si el cociente señal ruido (SNR) alcanza un valor de 10. Los resultados se muestran en la figura 2, construida para una secuencia de 16 imágenes. Se observa que en estas condiciones, la curva presenta una asíntota vertical, que significa que el SNR requerido no se puede alcanzar si el grado de corrección está por debajo de 12 modos, sea cual sea el número de fotones (energía) detectado. Este es un resultado de gran importancia porque demuestra que el uso de óptica adaptativa es necesario para determinar la trayectoria cuando el valor de D/r0 es alto. También se aprecia en la curva que la energía necesaria decrece con rapidez al aumentar el grado de corrección, lo que demuestra la utilidad de lo sistemas de compensación parcial9,10 (cuyo costo es moderado) para detectar objetos débiles. Por último, para altas correcciones la curva tiende a un valor de 50 fotones por imagen. Este valor representa la mínima energía que se necesita en ausencia de turbulencia atmosférica. Se puede observar que cualquier corrección superior a 36 modos (8 órdenes) apenas supone un decrecimiento de la energía necesaria. Este es un aspecto importante a tener en cuenta para conseguir un diseño óptimo del sistema de seguimiento. Otro estudio interesante se muestra en la figura 3. Representa el número de imágenes necesario en una secuencia con un número fijo de fotones detectados (200 fotones). Al aumentar el grado de corrección se necesitan series de imágenes más cortas. De nuevo se demuestra que los sistemas de compensación parcial son las solución más adecuada. Aparece una asíntota vertical para 6 modos corregidos porque no se puede estimar la velocidad si las imágenes no presentan al menos ese grado de corrección. Por tanto, se comprueba que la óptica adaptativa es necesaria para describir el movimiento de un objeto cuando el cociente D/r0 es alto, lo que en el IR afecta sólo a sistemas de gran apertura, pero en el visible puede afectar a sistemas de apertura moderada. Como regla general, el valor exigido para el SNR sólo se alcanza cuando las imágenes presentan un cociente de Strehl de al menos 0.1. Esta condición se puede relacionar con la varianza residual en el frente de onda mediante la aproximación de Marechal11 SR ≈ exp(−∆ j ) ≈ 0.1 . 4. Conclusiones Se ha demostrado que la transformada espacio-temporal de una secuencia de imágenes es una técnica muy útil para la determinación de la velocidad cuando la atmósfera distorsiona las imágenes. Además se ha descubierto que la corrección por óptica adaptativa es esencial cuando las condiciones son muy adversas. Afortunadamente, en la mayoría de aplicaciones, el moderado grado de corrección que proporcionan los sistemas de costo medio es suficiente. Por otra parte, se ha derivado el número de fotones por imagen (y de imágenes por serie) necesarios para el seguimiento del objeto en función del grado de corrección. Este análisis podría completarse incluyendo ciertas fuentes de error que intervienen en los diversos procesos. Trabajo financiado por la Dirección General de Enseñanza Superior, proyecto AYA2000-1565-C02. 2 REFERENCIAS 1. M.P. Cagigal, L. Vega and P.M. Prieto, Appl. Opt. 34, 1769-1774 (1995). 2. V.F. Canales, M.P. Cagigal and P.M. Prieto, Opt. Eng. 37, 2182-2185 (1998). 3. J. Hardy, Adaptive optics for astronomical telescopes (Oxford Univ. Press, New York, 1998). 4. M.C. Roggemann and B. Welsh, Imaging through turbulence (CRC Press, Boca Raton, Fla., 1996). 5. F. Roddier, Adaptive Optics in astronomy (Cambridge University Press, Cambridge, 1999). 6. J.M. Beckers, Annu. Rev. Astron. Astrophys. 31, 13 (1993). 7. R.J. Noll, J. Opt. Soc. Am. 66, 207-211 (1976). 8. N. Roddier, Opt. Eng. 29, 1174-1180 (1990). 9. G. Vdovin, “Micromachined membrane deformable mirrors,” in Adaptive Optics engineering handbook, R.K. Tyson, ed. (Marcel Dekker Inc., New York, 2000). 10. I. Munro and J.C. Dainty, “A compact low-cost adaptive optics model,” in Adaptive optics for industry and medicine, (S. Restaino and S.W. Teare eds., EE.UU., 2002). 11. M. Born and E. Wolf, Principles of optics (Pergamon, Oxford, UK, 1993). Figura 1. (izqda.) Ejemplo de imagen el objeto doble gaussiana distorsionada por la atmósfera y detectada en bajo número de fotones. (200 fotones, 21 modos compensados ). Figura 2. (abajo izqda.) Núm. de fotones necesarios para obtener un SNR=10 en función del grado de corrección (16 imágenes por secuencia y D/r0 = 10). Figura 3. (abajo dcha.) Número de imágenes en una secuencia para obtener un SNR=10 en función del grado de compensación (número de fotones = 200 y condiciones de atmósfera D/r0=10). 700 600 500 Frames per series Photocounts per frame . C 400 300 200 100 0 256 192 128 64 0 0 10 20 30 40 0 Corrected modes 25 50 75 Corrected modes 3 100