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T-SNAKES Y TRIANGULACIÓN DE DELAUNAY COMO MÉTODO
DE GENERACIÓN DE MALLADOS DE ESTRUCTURAS
ANATÓMICAS PARA LA APLICACIÓN DEL MÉTODO DE
ELEMENTOS FINITOS*
E. Coto, O. Rodríguez
Laboratorio de Computación Gráfica, Escuela de Computación, Universidad Central de
Venezuela, Venezuela, {ecoto | omaira}@opalo.ciens.ucv.ve
RESUMEN
La segmentación de estructuras anatómicas a partir de imágenes médicas y la
reconstrucción de una representación compacta analítica de estas estructuras es un
problema retador. Este trabajo utiliza la técnica de T-Snakes para la extracción del
contorno de una estructura anatómica sobre uno de los cortes de un conjunto de
Tomografías Computarizadas (TC), y luego propaga el contorno detectado hacia el resto de
los cortes para reconstruir la superficie de la estructura anatómica. El interior de la
superficie se representa usando tetraedros obtenidos a partir de la aplicación de una
variante 3D de la Triangulación Restringida de Delaunay, verificando que los mismos
cumplan las condiciones requeridas para el posterior Análisis de Elementos Finitos de la
estructura. Finalmente se incluye un ejemplo de aplicación usando datos de una TC.
PALABRAS CLAVE: análisis de elementos finitos, T-Snake, construcción de superficies,
construcción de volúmenes con tetraedros.
ABSTRACT
The segmentation of anatomic structures from medical images and the
reconstruction of analytical compact representations of these structures is a challenging
problem. This work uses the T-Snakes technique to detect the contour of an anatomic
structure on one slice of a Computer Tomography (CT) image dataset, and then propagates
* Trabajo financiado parcialmente por FONACIT Proyecto S1 - 20001000733
the detected contour through the rest of the slices in order to build the surface of the
anatomic structure. The interior of the surface is built out of tetrahedrons obtained from a
3D variant of the Constrained Delaunay Triangulation, verifying that the tetrahedrons have
the proper conditions for a subsequent Finite Elements Analysis of the structure. We
conclude the paper with an example of this approach using a CT image dataset.
KEYWORDS: finite element analysis, T-Snake, surface generation, tetrahedral volume
mesh generation.
INTRODUCCIÓN
El uso de imágenes médicas se ha expandido más allá de la simple visualización e
inspección de estructuras anatómicas, estas se han convertido en una herramienta para la
planificación y simulación de operaciones, navegación intra-operativa, planeamiento de
radioterapias, etc. La segmentación de estructuras de imágenes médicas y la reconstrucción
de una representación geométrica compacta de estas estructuras es difícil debido al tamaño
del conjunto de datos y a la complejidad y variabilidad de las formas anatómicas de interés.
Más aún, los defectos típicos en los datos muestreados, como el ruido, pueden causar que
los contornos de las estructuras sean indistintos y desconectados. El reto es extraer
elementos de los bordes pertenecientes a la misma estructura e integrar estos elementos en
un modelo coherente y consistente de la estructura.
La técnica de T-Snakes (Topology Adaptive Snakes) [7], es ampliamente utilizada para
segmentar algunas de las más complejas estructuras biológicas de imágenes médicas, de
una manera eficiente y casi automática. Este trabajo utiliza una variante de está técnica
junto con la propagación de la deformación utilizada por Cohen [3][4], para obtener un
mallado de la superficie de la estructura anatómica, la cual puede fácilmente visualizarse
en 3D.
Para aplicaciones en bioingeniería, el análisis de esfuerzos sobre estas estructuras es de
especial interés. Esto demanda que la representación de la estructura anatómica sea
volumétrica, por lo que es necesario también representar el interior de la superficie usando
alguna primitiva geométrica 3D, como hexaedros o tetraedros. Este trabajo utiliza una
variante tridimensional de la Triangulación Restringida de Delaunay [6][2] para generar el
mallado 3D del volumen de la estructura usando tetraedros que cumplen con las
condiciones necesarias para la aplicación de un Análisis de Elementos Finitos.
Las siguientes secciones explican paso a paso cada una de las etapas de la construcción del
volumen tetrahedral y finalmente se incluye un ejemplo de la aplicación de las técnicas
presentadas usando datos de tomografías computarizadas.
DETECCIÓN DE CONTORNOS
El Modelo de Contorno Activo, original de Kass et al [5], es un spline minimizador de
energía que a lo largo de una serie de iteraciones es guiado por fuerzas externas que lo
restringen, e influenciado por fuerzas de la imagen, que lo atraen hacia características de
interés como líneas y bordes (Figura 1). Frecuentemente, a estos modelos se les llama
snakes (serpientes) porque estos parecen arrastrarse por la imagen. El usuario debe
introducir el contorno inicial usando algún tipo de inicialización interactiva o semiautomática.
Figura 1. Un modelo de contorno activo cerrado. El diagrama muestra como el modelo se ajusta
mejor al borde en una próxima iteración
El T-Snake, creado por McInerney y Terzopolous [7], es una aproximación discreta al
modelo convencional de snakes que retiene muchas de sus propiedades, pero a diferencia
de estos, los elementos interconectados en el T-Snake no se mantienen constantes durante
su evolución.
En un T-Snake, el dominio de la imagen se descompone en una cuadrícula (grid) de células
discretas (Figura 2) y a medida que el modelo se mueve bajo la influencia de las fuerzas
externas e internas, este se reparametriza con un nuevo conjunto de nodos y elementos
mediante el calculo eficiente de los puntos de intersección del modelo con la cuadrícula.
Figura 2 Cuadrícula
Existen dos fases distintas de movimiento. En la primera fase, entre etapas de
reparametrización, el T-Snake se comporta como un snake paramétrico estándar. Esta fase
permite que toda fuerza definida por el usuario, o cualquier dato derivada de ella, guíe al
snake. Durante la segunda fase o fase de reparametrización, el snake se reparametriza en
términos de la cuadrícula y se utilizan los puntos fijos de la cuadrícula para llevar registro
de la parte interna del modelo de contorno. Esta fase provee estabilidad, parametrización
intrínseca y adaptabilidad topológica.
Mediante la reparametrización del modelo cada cierto número de iteraciones del proceso
de evolución, se obtiene un técnica de subdivisión del modelo que es simple, elegante y
automática. Además, la cuadrícula provee un marco de trabajo para transformaciones
topológicas robustas. Esto permite que el modelo sea relativamente insensible a su
posición inicial y “fluya” a formas complejas con topologías complejas de una manera
estable.
Este trabajo utiliza un T-Snake con preservación de topología para detectar el contorno de
una imagen de TC que no requiera cambios topológicos del contorno inicial.
Seguidamente, se convierte el T-Snake al modelo de snakes paramétrico tradicional,
desactivando la cuadrícula y por lo tanto evitando la fase de reparametrización. Este ultimo
paso logra que los puntos del contorno queden distribuidos de forma más uniforme sobre el
contorno (Figura 3).
Figura 3 (a) T-Snake inicial (b) contorno detectado con cuadrícula (c) contorno detectado (d)
contorno después del ajuste de la distribución de los puntos
PROPAGACIÓN DE LA DEFORMACIÓN
Una vez detectado el contorno de uno de los cortes, el mismo puede utilizarse como
contorno inicial del snake del contorno adyacente, liberando al usuario de la tarea de
inicializar el modelo. Este proceso se aplica repetidamente sobre el resto de los cortes,
hasta que se haya detectado un contorno en todas las imágenes de TC (Figura 4).
Figura 4 Propagación de la deformación a lo largo de los cortes de una esfera
Esta metodología, que ya ha sido empleada por Cohen [3][4], tiene éxito debido a que los
contornos a detectar no presentan grandes variaciones de un corte a otro para imágenes de
cortes transversales de la estructura, ya que el contorno detectado en un corte adyacente
debe estar cerca del contorno del corte previo. Además no se requiere que el contorno
cambie su topología (se mezcle o se divida) al propagarse de un corte a otro. Por
consiguiente, la detección de los contornos en el resto de los cortes finaliza rápidamente.
Es importante recalcar que para la deformación en el resto de los cortes se utiliza el modelo
de contorno activo tradicional, ya que la aplicación del T-Snake produciría un cambio en el
número de puntos que conforman los contornos de cada corte que no deseamos.
CONSTRUCCIÓN DE LA SUPERFICIE
Una vez propagada la deformación a través de los cortes, se reconstruye la superficie
generando triángulos entre pares de cortes. Como todos los cortes tienen la misma cantidad
de puntos, es posible usar un esquema de triangulación regular conocido (Figura 5).
Figura 5 Esquema de triangulación entre dos cortes
Sin embargo, como la deformación en cada corte es totalmente independiente es posible
que los contornos entre pares de cortes no estén alineados, generando triángulos con forma
irregular, que afectan la suavidad de la superficie (Figura 6).
Figura 6 Formación de triángulos con forma irregular
La alineación de los puntos entre los contornos de dos cortes sucesivos, se logra tomando
cada uno de los puntos en el contorno de un corte y calculando su proyección sobre el otro
contorno. (Figura 7).
Figura 7 Ajuste de puntos en cortes sucesivos. Los
nuevos puntos se muestran en gris
Finalmente es necesario generar triángulos para cerrar la superficie en su parte superior e
inferior. La generación de estos triángulos es realizada usando un triangulador
bidimensional conocido.
A continuación se muestra la reconstrucción de una esfera, generada usando la técnica
anterior.
Figura 8 Superficie de esfera. 47 cortes, 1392 triángulos
CONSTRUCCIÓN DEL VOLUMEN
La construcción del volumen se realiza utilizando Geompack++, que es la versión actual
de Geompack 90 [1]. Este es un paquete de generación de mallados para elementos finitos
ampliamente utilizado que incluye la generación de la triangulación restringida 3D [2] a
partir de mallados de superficies.
A continuación se muestra un corte del mallado de tetraedros de una esfera generado por
Geompack++, utilizando TecPlot (Figura 9).
Figura 9 Corte del mallado de tetraedros de una esfera. 5549 tetraedros
EJEMPLO DE APLICACIÓN
El método anterior se aplicó satisfactoriamente sobre TC de rodilla de un paciente (Figura
10) obteniendo una representación volumétrica de la estructura anatómica, sobre la cual es
posible realizar diferentes análisis de elementos finitos para estudiar el efecto de la
aplicación de fuerzas sobre la misma (Figura 11).
Figura 11 Aplicación de fuerzas al volumen de la rodilla
usando Msc Nastran
Figura 10Volumen de sección de
rodilla. 171 cortes, 20377 tetraedros
TRABAJOS FUTUROS
El punto clave de la reconstrucción del mallado de tetraedros de una estructura anatómica
es la segmentación de los contornos de la misma a partir de TC de un paciente. Una
posible extensión de este trabajo es la de realizar la detección de los contornos usando un
T-Snake sin preservación de topología para lograr la segmentación de estructuras con
formas más complejas como vértebras o metacarpianos. Además, también será necesario
generalizar la técnica de reconstrucción de la superficie para estos casos.
CONCLUSIONES
Se presenta una herramienta eficiente y de fácil uso que combina la generación de
superficies y volúmenes para el análisis de elementos finitos. En este trabajo hemos
tomado como ejemplo la generación de volúmenes de estructuras anatómicas, pero el
método es aplicable a una amplia variedad de tipos de estructuras.
AGRADECIMIENTOS
Al Centro de Bioingeniería de la UCV, y en especial a Gabriela Martínez por su apoyo en
la evaluación de los mallados de tetraedros obtenidos.
REFERENCIAS
1. B. Joe. GEOMPACK -- a software package for the generation of meshes using
geometric algorithms, Advances in Engineering Software, 13(5): 325-331, 1991.
2. B. Joe. Construction of three-dimensional improved quality triangulations using local
transformations. SIAM Journal on Scientific Computing, 16(6):1292-1307, 1995.
3. L.D. Cohen, I. Cohen. Finite-Element Methods for Active Contour Models and
Balloons for 2D and 3D Images. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine
Intelligence, 15(11):1131-1147, 1993.
4. L.D. Cohen. On Active Contour Models and Balloons. Computer Vision, Graphics and
Image Processing: Image Understanding, 53(2): 211-218, 1991.
5. M. Kass, A. Witkin, D. Terzopoulos, D. Snakes: active contour models. International
Journal of Computer Vision, 1(4): 321-331, 1987.
6. L.P. Chew. Constrained Delaunay triangulations. Algorítmica, 4(1): 97-108, 1989.
7. D. Terzopoulos , T. McInerney. T-Snakes: Topology Adaptive Snakes. Medical Image
Analysis, 4(2):73-91, 2000.