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Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniería
Departamento de Vías
Geotecnia
CLASE Nº 7 DE TÚNELES
FORMULACIÓN TEÓRICA
Prof. Silvio Rojas
Mayo, 2009
Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniería
Departamento de Vías
Túneles
En la
práctica la
distribución
de
esfuerzos
alrededor
del túnel
se estima a través de la teoría de la
elasticidad
Por tanto Los resultados están
sometidos a objeciones.
La masa de suelo o roca, está
siempre en un estado de esfuerzos
constantes
SE omite alteraciones de esfuerzos
debido a la temperatura, fuerzas
tectónicas y agua, etc
La abertura del
túnel
Produce cargas adicionales en
algunas zonas alrededor del
túnel y de alivio en otras áreas
Las alteraciones de esfuerzos
se puede considerar que son
unidireccionales
Se considera que el material es
comporta elasticamente durante
la fase inicial, hasta cierta carga
límite.
El comportamiento elástico en la
fase inicial después de la
excavación de la abertura, es
totalmente justificada.
Este primer valor de esfuerzo
elástico, es en realidad un esfuerzo
máximo.
Los esfuerzos son
dependientes del
tiempo
(comportamiento
reológico)
Esfuerzos debido a la
deformación lateral, creep,
relajación de las rocas o
suelos, ocurrencia de
deformación plástica, etc.,
hacen que disminuya.
Teorías de
elasticidad
paara el
cálculo de
esfuerzos
Teoría de Kirsch (1988)
Aplicada a una abertura circular
Para profundidades mayores de diez
veces el diámetro del túnel.
Se apoyó en la
función de Airy, y
encontró para una
abertura circular en
un plato infinito (fig.
1):
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Expresiones de los esfuerzos en un plano perpendicular al eje de la excavación,
expresada en coordenadas polares, tal como lo presenta Perri (1990) y el Instituto
Geológico y Minero de España (1998):
Cuando no se considera el esfuerzo horizontal σho:
1.a
1.b
1.c
Donde:
σo: Esfuerzo vertical que produce el peso del material por encima del túnel.
σθ: Esfuerzo tangencial que existe en cualquier punto del perímetro o dentro de
la masa de material que rodea al túnel.
σr: Esfuerzo radial que existe dentro de la masa de material que rodea el túnel.
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τθr: Esfuerzo cortante que existe dentro de la masa de material que rodea el túnel.
θ: Angulo que forma la línea radial con la horizontal.
R: Radio del túnel.
r: Radio que permite la ubicación de un punto dentro de la masa de material.
σho= K.σo
Cuando se toma en cuenta la presión horizontal (σ
σho) que se ejerce
sobre el plato
2.a
2.b
2.c
Si la presión horizontal (σho), se estima:
σho= K.σo
k: Coeficiente de empuje lateral.
3
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Sustituyendo la ec. 3, en 2, se obtiene:
4.a
4.b
4.c
Varíación de los esfuerzos en la pared, el techo y la solera:
Valores de los parámetros que son representativos para el proyecto del
túnel de Valencia y además considerando que las condiciones constructivas y de
ubicación del túnel en la masa de suelo, cumple con los requerimientos de validez
de la teoría.
Radio del túnel (R = 5 m). Se debe indicar que el radio exacto de
excavación es 4.76 m y su diámetro 9.52 m, sin embargo para fines
de análisis de esfuerzos esta diferencia no tiene importancia.
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Túneles
Peso unitario del material ( γ = 2 ton/m3).
Material en el cual se encuentra embebido del túnel se considera que es
una arena arcillosa con un coeficiente empuje lateral de 0.50 ( k = 0.50).
Angulo de fricción interna = 23 º y una cohesión c = 1 ton/m2 (se consideran
que son parámetros drenados).
Profundidad a la cual se encuentra el techo del túnel se estima de 10 m (H=
10 m).
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Túneles
Esfuerzos tangrnciales σθ:
En la pared (Hastiales):
r=R=5m
σθ = 60 ton/m2 (comprimiendo el perímetro)
Tres veces el valor de σo = 20 ton/m2
σθ disminuye
Se hace asintótico en σθ = 20 ton/m2 a una
distancia seis veces el radio (30 m).
Fig. 2.- Distribución de
esfuerzos en la dirección
horizontal de la pared (fig. 2a),
cubriendo hasta una distancia
de seis veces el radio del túnel.
Se aprecia la coincidencia de las curvas a11 y
a12 para k=0 y k = 0.5 en la distribución de
esfuerzos tangenciales σθ
Significa que el empuje lateral no tiene
ninguna influencia en los esfuerzos
tangenciales en la pared
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Esfuerzos radiales
σr
Esfuerzo radial (curva a21, k=0), es nulo en
el perímetro y aumenta hasta un valor
máximo 7.5 ton/m2 para r = 7 m, donde
luego comienza a disminuir hasta que se
hace asintótico para σr = 0.81 ton/m2 en un
valor de r = 132 m
Fig. 2.- Distribución de
esfuerzos en la dirección
horizontal de la pared (fig. 2a),
cubriendo hasta una distancia
de seis veces el radio del túnel.
En el caso (curva a22, k=0.5) el esfuerzo
radial toma un máximo de σr=10.31 ton/m2
en r = 12.20 m, consiguiendo un valor
asintótico en σr =10.12 ton/m2 a partir de
r=75.76 m.
Esfuerzos tangrnciales σθ:
Cuando k = 0, el mayor esfuerzo tangencial es
negativo (curva b11) con un valor igual σθ = -20
ton/m2, lo que indica que en ese punto existe
tracción.
Pero esta zona de tracción llega hasta un radio
aproximado de 8.66 m (3.66 metros de material
rodeando el perímetro)
Después de los 8.66 m los esfuerzos
tangenciales actúan a compresión pero en
magnitudes bastante pequeñas y con la
tendencia a anularse en zonas retiradas del
perímetro
Fig. 2.- Distribución de
esfuerzos en la dirección del
techo (fig. 2b), cubriendo hasta
una distancia de seis veces el
radio del túnel.
Cuando k=0.5 (curva b12) el esfuerzo
tangencial siempre es positivo, alcanzando
un máximo de 13.75 ton/m2 cuando r =7 m,
para hacerse asintótico en σθ =10.40 ton/m2
cuando es igual a r = 108 m
aproximadamente.
Esfuerzos radiales
σr
Ambas curvas b21 y b22, correspondientes a
k=0 y k= 0.5, tienen comportamientos muy
similares, partiendo de un valor de cero en
el perímetro.
Aumentan con la tendencia a σo = 20
ton/m2 para radios mayores a 200 m.
La curva b21 (k=0) muestra cierta tracción,
en una zona muy pequeña alrededor del
perímetro, que llega a un radio igual a
6.12 m, es decir que en un anillo de 1.12
metros de material rodeando el túnel los
esfuerzos radiales están actuando a
tracción, cambiando inmediatamente a
compresión.
Fig. 2.- Distribución de
esfuerzos en la dirección del
techo (fig. 2b), cubriendo hasta
una distancia de seis veces el
radio del túnel.
Esfuerzos τrθ
En ambas gráficas
existen esfuerzos
cortantes, tanto para el
caso k =0 (curvas a31 y
a32) como para k = 0.5
(curvas b31 y b32).
Los mayores cortantes
cuando k = 0, en r =
8.66 m para el plano a
45º (τrθ = 13.33 ton/m2,
curva b31) y en r=8.66
m para el plano a 60º
(τrθ = 11.55 ton/m2,
curva a31)
En ambos casos a partir de esos puntos comienza a disminuir el
cortante aproximadamente hasta 9 ton/m2 y 10 ton/m2
respectivamente, para r = 30 m.
Esfuerzos τrθ
Cuando se considera
el empuje lateral
(k=0.5, curvas a32 y
b32), la distribución de
los esfuerzos
cortantes alrededor
del túnel son muy
similares al de las
curvas a31 y b31
correspondientes a
k=0, pero con valores
que se reducen
aproximadamente a
la mitad
Cortante máximo para k = 0.5, son τrθ = 5.37 ton/m2 (curva a32, θ = 60º)
y τrθ = 6.20 ton/m2 (curva b32, θ = 45).
Esta disminución de los esfuerzos cortantes se debe al efecto
confinante que tienen los esfuerzos radiales en la masa de suelo.
Esfuerzo tangencial (σθ)
cuando (k=0), ya
que en el plano 60º
(curva a11) en el
perímetro no se
produce ningún
esfuerzo tangencia
Luego incrementa a
un máximo de σθ =
6.67 ton/m2 en el
punto de radio r =
8.66 m, a partir del
cual comienza a
disminuir hasta
hacerse asintótico
en σθ = 5.27 ton/m2.
Cuando k =0, para θ = 45º (curva b11) el esfuerzo tangencial en el
perímetro es el máximo, con un valor de σθ = σo = 20 ton/m2,
haciéndose asintótico en σθ = 10.30 ton/m2 en un radio aproximado
de 30 m.
Esfuerzo tangencial (σθ)
Cuando k=0.5 (curva
a12) para θ = 60º,
existie un esfuerzo
máximo en el
perímetro de 20 ton/m2,
para luego disminuir
aproximadamente a 13
ton/m2.
Para 45º, existe similitud de distribución
entre las curvas b11 (k=0) y b12 (k=0.5),
siendo mayores los esfuerzos tangenciales
cuando se considera el empuje lateral.
Para el plano θ = 45º
caso K = 0.5, los
esfuerzos
tangenciales
son mayores a los
correspondientes a θ =
60º caso k = 0.5,
Existe un máximo de 30
ton/m2 en el perímetro,
para
luego
disminuir
Con K = 0.5 los esfuerzos son mayores en comparación
aproximadamente a 16
con K=0, significa que la roca ha sufrido menos
descompresión. También los cortantes son menores ton/m2 en r = 30 m,
Esfuerzos radiales
σr
En los planos θ = 45º
(curvas b21 y b22) y
θ= 60º (curvas a21 y
a22), tiende a tener
comportamientos
similares
Los mayores
esfuerzos radiales se
alcanzan cuando se
toma en cuenta el
efecto confinante (k =
0.5)
En plano θ = 45º estos esfuerzos radiales son menores en
comparación con θ = 60º, tanto para k=0 como para k=0.5, lo
cual se refleja en mayores esfuerzos cortantes, actuando en el
plano a 45º.
ya a 1 m dentro
de la roca
Disminuye los
esfuerzos de a
compresión
tangenciales.
Los mayores
esf.
Cortantes se
producen a
45º.
El signo
negativo del
cortante
indica que
estamos al
otro lado del
techo.
Disminuye los esfuerzos de
tracción para r = 6 m en el
techo
r=5m
r= 6 m
A r = 6 m, se aprecia como los esfuerzos tangenciales se reducen respecto a los del
perímetro (r = 5 m), tanto a compresión (σθ ≈ 41 ton/m2) como a tracción (σθ ≈ -8
ton/m2) para el caso k = 0 (curva b11), y para el caso k = 0.5 (curva b12) el esfuerzo
en la pared es de aproximadamente a σθ ≈ 38 ton/m2 y para el techo incrementa
respecto al del perímetro a (σθ ≈ 12 ton/m2).
La comparación de las curvas de la fig. 4a y 4b, permite determinar que ya en
puntos dentro de la masa de suelo (r = 6 m) se generan esfuerzos cortantes y
radiales, tanto para k = 0, como para k = 0.5.
En cuanto a los esfuerzos cortantes, sus mayores valores se ocurren en planos
a 45º, cambiando su dirección actuante a ambos lados del techo y de la solera,
es decir que en el primer cuadrante (0º a 90 º) y en el tercer cuadrante (180 º a
270 º) son positivos, mientras que para los otros dos cuadrantes son negativos.
para el caso k = 0.5, los esfuerzos cortantes se reducen aproximadamente a la
mitad, respecto al caso k = 0. Este efecto de la disminución de los esfuerzos
cortantes, se debe al efecto que tienen los esfuerzos radiales, lo cual es reflejado
a través de las curvas b21 (k = 0) y b22 (k = 0.5), donde se nota como el efecto
confinante (k = 0.5), aumenta los esfuerzos radiales, disminuyendo el cortante
(curva b32).
Ya no
existen
esfuerzos de
tracción en
el techo a 3
m alrededor
del
perímetro.
r = 7m
El confinamiento k=0.5
reduce el cortante casi en
50%.
Los mayores esfuerzos
radiales están en la pared.
r=8m
A2m
alrededor del
perímetro
todavía existen
esfuerzos de
tracción.
Los esf.
Tangenciales de
compresión
tienden a
permanecer
constante. (ver
lám 10)
Los esf.
Tangencial
es son
positivos y
constante
k=0.
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Túneles
Que ocurre en el perímetro del túnel, cuando disminuye o aumenta el
coeficiente de empuje lateral “k”, respecto al valor que se ha
considerado para este material (k = 0.5) antes de la excavación.
. Para ello se debe partir de la ec. 4, la cual se evalúa para r = R, resultando, σr = 0,
τθr = 0 y para σθ la siguiente expresión:
(5)
…
θ= 0º
k = 0.50
σθ =50 ton/m2
θ = 90º
k = 0.50
σθ =10 ton/m2
(ver fig. 2a y 2b)
(6)
F: Factor de reparto de tensiones tangenciales
F=3.k–1 (clave y solera )……………………………………..8a
F = 3 – k (pared)……….…..........………………………....8b
(7)
Cuando k > 3, existirá
tracción en la pared
Tracción en la pared
se puede presentar
por el empuje
producido por el
propio revestimiento
al ser colocado
Cuando k < 1/3, se generará
tracción en la clave y la solera.
En el techo se puede producir
tracción por el
desconfinamiento que produce
la excavación.
Para 10º y 20º se
requiere de grandes
coeficientes de empuje
lateral “k” mayores de 3
para poder generarse
tracción.
Para 80º ese
coeficiente esta
cerca de 1/3
Para 60º, 50º y 40º debe ser negativo
totalmente, y para 30º no existe
ninguna posibilidad de empuje lateral.
Para 70º “K” debe
ser menor a 0.20
para
que
se
produzca tracción en
el perímetro
Esfuerzos en planos
a 45º y 60º, para un
coeficiente de empuje
bajo (k=0.25)
No existen
esfuerzos de
tracción σθ, en
ninguna de las dos
direcciones.
θ =90º
a
θ =60
θ =45
Coeficiente de
empuje elevado
(k=3.5) produce
esfuerzos de
tracción σθ en la
pared (curva
a11)
θ =45
un coeficiente
bajo (k=0.25)
genera
esfuerzos de
tracción σθ en
el techo (curva
a21).
θ =60
Teoría elástica plástica – Criterio de rotura de Mohr Coulomb
Suelo alrededor de la
abertura subterránea,
está lejos de
mantenerse en
estado elástico.
Se debe tener en cuenta las
teorías de plasticidad en el estudio
de los túneles construidos en rocas
ó suelos
El estado de esfuerzos,
no se corresponderán con
los presentados en el
desarrollo anterior, dado
que el propio material no
es capaz de soportar
estos esfuerzos y
deformaciones.
Anteriormente, el mayor esfuerzo
tangencial se produce en el perímetro ó
muy cerca del mismo
Se aprecia la influencia del coeficiente de
empuje lateral en los esfuerzos tangenciales
Para que el material permanezca en estado
elástico, su resistencia debe ser superior a
los esfuerzos generados por la excavación
Perri (1990) indica que Fenner
(1938), haciendo uso del criterio
de rotura de Mohr-Coulomb,
derivó una expresión que permite
hallar la zona de plastificación
alrededor del túnel:
(11)
donde:
En el radio de plastificación no interviene la
cohesión del material, y en este caso las
expresiones válidas para los esfuerzos
radiales y tangenciales en dicha zona,
vienen dadas por:
(13.a)
re: Radio de plastificación.
R: Radio del túnel.
σo: Esfuerzo causado por la masa de
suelo, llamada presión hidrostática.
Pi: Presión interna dentro del túnel
(presión ejercida por el sostenimiento).
(12)
(13.b)
Cuando la cohesión se toma
en cuenta, las expresiones del
radio de plastificación y la de
los esfuerzos, dentro de esa
zona, son las siguientes:
Cuando se
considera la
cohesión
14.a
14.b
14.c
14.d
donde:
C: Cohesión del material.
Comentarios:
σθ, σr: Son conocidos por la toería (no son esfuerzos principales y son esfuerzos
que tocan la envolvente de resistencia)
Por tanto el esfuerzo cortante τrθ debe ser determinado por tanteo de círculos en el
diagrama de resistencia.
El círculo trazado en la gráfica arriba no es solución, ya que sobrepasa la
resistencia del material.
Para la zona elástica, se aplicarán las
siguientes
expresiones
para
la
determinación de los esfuerzos radiales
y tangenciales:
15.a
15.b
Continuando con el ejemplo:
Estimación de la distribución de los esfuerzos alrededor del túnel, considerando que
el mismo se encuentra embebido en la arena arcillosa (SC).
Parámetros de resistencia del suelo que rodea el túnel:
φ = 23º y C = 1 ton/m2
•Se va a considerar una presión de sostenimiento (Pi) de 8 ton/m2.
•Aplicando la ec. 11, resulta un valor de re = 6.94 m.
•Aproximadamente 2 m de un anillo de material plastificado.
•La estimación de esfuerzos se hará considerando que el túnel está construido en un
material sin cohesión, y que por consiguiente se utilizarán las ecuc. (11), (13) y (15),
para la estimación de los esfuerzos en la zona plástica y elástica.
Se observa:
A mayor presión
del sostenimiento
Para valores menores
de una presión de
confinamiento de 8
ton/m2
El radio de plastificación
disminuye.
Radio incrementa con una
pendiente considerable.
Para valores menores a 8
ton/m2 el radio de plastificación
es aproximadamente
constante.
Esta presión interna del sostenimiento
debe estar en relación directa con las
inyecciones de contacto realizadas,
una vez que se coloca el soporte.
Esto pudiera justificar
porque una presión
mínima del
sostenimiento de 8
ton/m2.
El tratamiento interno
de la roca debe ser
efectivo
Son esfuerzos
que se estiman
se producen en
la zona plástica
y elástica.
re = 6.94 m.
re = 6.94 m.
El esfuerzo
tangencial en la
zona plástica
alcanza su
máximo valor (σθ
= 28.12 ton/m2)
en el límite entre
la zona plástica –
zona elástica
Luego cae a un valor de (σθ = 23.99 ton/m2) donde comienza a disminuir,
tendiendo al valor de la presión σo = 20 ton/m2.
El mayor esfuerzo tangencial no ocurre en el perímetro del túnel, tal como
sucedió con la teoría de elasticidad.
¿Por qué? La respuesta pudiera ser que la teoría de elasticidad estima los
esfuerzos actuantes, mientras que está teoría estima los esfuerzos en la
roca considerando la descompresión de la misma. Por tanto estos esfuerzos
se corresponden con el estado de máxima resistencia de la roca
decompriomida.
s.r
En La zona
elastica la roca
no se
enccuentra
descomprimida.
El esfuerzo radial en la zona
plástica, tiene los menores
valores
Con una presión interna radial igual
(pi = 8 ton/m2), alcanzando un valor
de 12.32 ton/m2, en el límite donde
finaliza la zona plástica
Luego da un salto a 16 ton/m2 en el límite entre las dos zonas, donde
comienza a incrementar levemente en la zona elástica.
En la zona elastica los esfuerzos tienden a la presión hidrostática
σo = 20 ton/m2
Consideremos ahora que se toma en
cuenta la cohesión de la arena
arcillosa (SC)
C = 1 ton/m2.
Los esfuerzos, no
dependen de la
presión interna en
el túnel.
s.r
“re” es pequeño debido a
la alta presión interna del
soporte “Pi”.
s.r
La cohesión es muy baja y
la fricción, produciéndose
una gran plastificación
alrededor del perímetro.
re=19.64 m
re=19.64 m
Se ve el efecto del soporte interno
(pi = 8 ton/m2, fig. 13) disminuye el
anillo de plastificación
Se debe tener presente el tiempo
que se demora en colocar ese
soporte, parámetro que no está
reflejado en las ecuaciones
utilizadas.
Radio de plastificación
de 19.64 m, mucho
mayor al estimado
cuando se considera
una presión radial
interna de 8 ton/m2,
donde el radio de
plastificación fue
aproximadamente 7 m.
La presencia de una
presión interna pi = 8
ton/m2 (FIG. 13), los
esfuerzos en el perímetro
son mayores (σθ = 18.26
ton/m2, σr = 8 ton/m2).
La fig. 14 (σθ = 3.02 ton/m2,
σr = 0 ton/m2) donde no
existe presión interna.
En el límite de la zona plástica los esfuerzos difieren muy poco
a pesar de que esos esfuerzos se alcanzan para radios de plastificación
diferente.
Si Hay
diferencia
Los esfuerzos tienden a
ser hidrostáticos
La presencia de
la cohesión hace
que la diferencia
entre el esfuerzo
tangencial y
radial, se haga
más pequeña.
La fig. 15, presenta
la distribución de
esfuerzos radiales y
tangenciales,
correspondientes a
tres valores de
cohesión ( C =1
ton/m2, C = 2 ton/m2
y C = 3 ton/m2).
A medida que aumenta la
cohesión el radio de
plastificación (re) disminuye
(C =1 ton/m2 re = 19.64 m; C
= 2 ton/m2 re = 12.37 m; C =
3 ton/m2 re = 9.68 m).
La variación de los esfuerzos
radiales y tangenciales en el límite de
la zona plástica no es considerable
A pesar de que ese límite se ubica a
distancia a distancias diferentes
(σθ) en el límite donde finaliza la zona plástica, es mayor que el valor del
esfuerzo tangencial (σθ) donde se inicia la zona elástica en dicho límite.
Por ejemplo para la fig. 13, estos valores son σθ= 28.74 ton/m2 y σθ =
20.51 ton/m2, respectivamente.
¿Qué podemos decir de estos resultados?.
¿ estos esfuerzos alcanzan la resistencia al corte del material?,
Evaluando el cortante y su resistencia, haciendo la consideración que σθ y
σr son esfuerzos principales:
Para la zona plástica (fig. 13):
El cortante en el límite de la zona plástica será: τ = (28.74-11.27)/2
⇒
τ =8.74 ton/m2
La resistencia al corte será: τf = 1. cos(23)+ ((28.74+11.27)/2). sin(23) ⇒
τf = 8.74 ton/m2
Se aprecia como el cortante alcanza la resistencia al corte plastificando
el material, y por tanto se puede considerar que esa zona plástica está
en un estado de falla.
Para la zona elástica (fig. 13):
El cortante en el límite de la zona plástica será: τ = (20.51-19.49)/2
⇒
τ =0.51 ton/m2
La resistencia al corte será: τf = 1. cos(23)+ ((20.51+19.49)/2). sin(23) ⇒
τf = 8.74 ton/m2
Se observa que evaluando la resistencia al corte con los esfuerzos
estimados con las expresiones de elasticidad, el resultado es el mismo, en
el límite de ambas zonas. Sin embargo el cortante al comienzo de la zona
elástica es bastante pequeño.
τ =8.74 ton/m2
Teoría de plasticidad – Criterio de rotura de Hoek y
Brown (1980
Apoyados básicamente en el criterio de Ladanyi y Archambault (1969) y de
Jaeger (1970), lograron establecer un criterio de falla empírico para masas
rocosas, relacionando los esfuerzos principales en la falla σ1 y σ3, a través de la
siguiente ecuación:
σ 1 = σ 3 + m.σ c .σ 3 + s.σ c 2
(16)
Donde:
σ1 :
Esfuerzo principal mayor en la falla
σ3 :
Esfuerzo principal menor de confinamiento en la falla
σc:
Resistencia a la compresión uníaxial de la roca intacta
m,s :
Son constantes no dimensionales que dependen de la forma y
grado de encaje entre los bloques individuales de la masa rocosa.
Hoek y Brown (1980), consideran que la ley del esfuerzo efectivo, se aplica a este
criterio de falla, es decir:
σ’1 = σ1 – u ...........................................................................................................17a
σ’3 = σ3 – u ........................................................................... ...............................17b
Sustituyendo 17a y17b, en la ec. 16, resulta:
σ 1 = σ 3 + m ⋅ σ c ⋅ (σ 3 − u ) + s ⋅ σ c2
(18)

(
σ 3 − u) 

σ1 = σ 3 + σ c ⋅  m ⋅
+ s 
σc


(19)
1/ 2
Hoek y Brown (1980), recomiendan que cuando no exista disponibilidad de datos de
pruebas de laboratorio, pueden utilizarse las clasificaciones de Barton et al (1973) y
de Bieniawski (1974), para estimar las constantes (m, s), cuyas relaciones se
presentan en la tabla 1.
Tabla 1. Relación aproximada entre la calidad de la masa rocosa y las
constantes empíricas
Criterio de falla empírico:
σ 1 = σ 3 + m ⋅σ c ⋅σ 3 + s ⋅σ c 2
σ

τ = A ⋅ σ c 
− T 
σc

T=
B
Rocas de
carbonatadas
bien
cristalizada
(dolomita,
piedra caliza,
mármol).
Rocas
arcillosas
litificadas
(Argilitas,
limonitas,
pizarras no
arenosas)
Rocas
Arenosas
bien
cementadas
(arenisca y
cuarcita)
Rocas ígneas
de grano fino
(andesita,
doletita,
diabasa,
riolita)
Rocas
metamórficas
e ígneas de
grano grueso
(gneis,
granito,
norita,
cuarzo,
diorita).
m = 17.00
s = 1.00
A = 1.086
B = 0.696
T = -0.059
m = 25.00
s = 1.00
A = 1.22
B = 0.705
T =- 0.040
1 
⋅  m − m 2 + 4 ⋅ s 

2 
Muestras de roca intactas.
Muestras de laboratorio libres
de juntas.
RMR = 100
Q = 500
m = 7.00
s = 1.00
A = 0.816
B = 0.658
T = -0.140
m = 10.00
s = 1.00
A = 0.918
B = 0.677
T = -0.099
m = 15.00
s = 1.00
A = 1.044
B = 0.692
T = -0.067
Criterio de falla empírico:
σ 1 = σ 3 + m ⋅σ c ⋅σ 3 + s ⋅σ c 2
σ

τ = A ⋅ σ c 
− T 
σc

T=
B
Rocas de
carbonatadas
bien
cristalizada
(dolomita,
piedra caliza,
mármol).
Rocas
arcillosas
litificadas
(Argilitas,
limonitas,
pizarras no
arenosas)
Rocas
Arenosas
bien
cementadas
(arenisca y
cuarcita)
Rocas ígneas
de grano fino
(andesita,
doletita,
diabasa,
riolita)
Rocas
metamórficas
e ígneas de
grano grueso
(gneis,
granito,
norita,
cuarzo,
diorita).
1 
⋅  m − m 2 + 4 ⋅ s 

2 
Masa rocosa de muy buena
calidad. Roca inalterada de
encaje apretado, con juntas
meteorizadas. Juntas a ± 3 m.
RMR = 85
Q = 100
m = 3.50
s = 0.100
A = 0.651
B = 0.679
T = -0.028
m = 5.00
s = 0.10
A = 0.739
B = 0.692
T = -0.020
m = 7.50
s = 0.10
A = 0.848
B = 0.702
T = -0.013
m = 8.50
s = 0.10
A = 0.883
B = 0.705
T = -0.012
m = 12.50
s = 0.10
A = 0.998
B = 0.712
T = -0.008
Masa rocosa de buena calidad.
Roca ligeramente alterada con
juntas de 1 a 3 m.
RMR = 65
Q = 10
m = 0.70
s = 0.004
A = 0.369
B = 0.669
T = -0.006
m = 1.00
s = 0.004
A = 0.427
B = 0.683
T = -0.004
m = 1.5
s = 0.004
A = 0.501
B = 0.695
T = -0.003
m = 1.7
s = 0.004
A = 0.525
B = 0.698
T = -0.002
m = 2.5
s = 0.004
A = 0.603
B = 0.707
T = -0.002
Masa rocosa de calidad regular.
Varios conjuntos de juntas
moderadamente meteorizadas y
espaciadas de 0.3 a 1m.
RMR = 44
Q=1
m = 0.14
s = 0.0001
A = 0.662
B = 0.696
T = -0.0007
m = 0.20
s = 0.0001
A = 0.234
B = 0.675
T = -0.0005
m = 0.30
s = 0.0001
A = 0.280
B = 0.688
T = -0.0003
m = 0.34
s = 0.0001
A = 0.295
B = 0.691
T = -0.0003
m = 0.50
s = 0.0001
A = 0.346
B = 0.700
T= -0.0002
Criterio de falla empírico:
σ 1 = σ 3 + m ⋅σ c ⋅σ 3 + s ⋅σ c 2
σ

τ = A ⋅ σ c 
− T 
σc

T=
B
Rocas de
carbonatadas
bien
cristalizada
(dolomita,
piedra caliza,
mármol).
Rocas
arcillosas
litificadas
(Argilitas,
limonitas,
pizarras no
arenosas)
Rocas
Arenosas
bien
cementadas
(arenisca y
cuarcita)
Rocas ígneas
de grano fino
(andesita,
doletita,
diabasa,
riolita)
Rocas
metamórficas
e ígneas de
grano grueso
(gneis,
granito,
norita,
cuarzo,
diorita).
1 
⋅  m − m 2 + 4 ⋅ s 

2 
Masa rocosa de mala calidad.
Numerosas juntas meteorizadas
de 30 cm a 50 mm con algún
relleno de desechos limpios.
RMR = 23
Q = 0.1
m = 0.04
s = 0.00001
A = 0.115
B = 0.696
T = -0.0002
m = 0.05
s = 0.00001
A = 0.129
B = 0.655
T = -0.0002
m = 0.08
s = 0.00001
A = 0.162
B = 0.672
T = -0.0001
m = 0.09
s = 0.00001
A = 0.172
B = 0.677
T = -0.0001
m = 0.13
s= 0.00001
A = 0.203
B = 0.686
T= -0.0001
Masa rocosa de pésima calidad.
Numerosas juntas sumamente
meteorizadas, espaciadas a
menos de 50 mm, con rellenos
– desechos con materiales
triturados finamente.
RMR = 3
Q = 0.01
m = 0.007
s=0
A = 0.042
B = 0.534
T=0
m = 0.010
s=0
A = 0.050
B = 0.539
T=0
m = 0.015
s=0
A = 0.061
B = 0.546
T=0
m = 0.017
s=0
A = 0.065
B = 0.548
T=0
m = 0.025
s=0
A = 0.078
B = 0.556
T=0
La ec. 16, se puede desarrollar como a continuación se indica:
(σ 1 − σ 3 )2
1/ 2
  σ
 
3
= σ c  m ⋅
+ s  
  σc
 

2
σ32 - 2σ1σ3 + σ12 = m.σc.σ3 + s.σc2
σ32 – (2σ1 + m.σc).σ3 + σ12 – s.σc = 0
Desarrollando, se llega a:
(
)
1/ 2
m 1 2 2
± m .σ c + 4.m.σ 1 .σ c + 4.s.σ c 2
2 2
El esfuerzo principal menor vendrá dado por:
m

 1
σ 3 =  σ 1 + ⋅ σ c  − m 2 .σ c 2 + 4.m.σ 1 .σ c + 4.s.σ c 2
2

 2
σ 3 = σ1 +
(20)
(
(21)
)
1/ 2
(22)
Considerando σ1 = 0, se obtiene la resistencia a la tensión σt:
σ3 =σt =
(
)
1/ 2 
σc 
m − m 2 + 4.s
2 

(23)
A partir de la ecuación 16:
s = 1 y σ3 = 0, es decir que σ1 = σc resistencia a la compresión uniaxial (σc) para roca
intacta
A partir de la ecuación 23:
s = 0 la resistencia a la tensión será igual a cero (σt = 0)
Significa que los valores de s varían entre cero y uno (s = 0 para σt = 0 y s =1 para
σ1 = σc
Los estados intermedios de resistencia tendrán valores de s en el rango también de
cero a uno ( 0 < s < 1).
Relaciones entre la resistencia al corte (τf) y el esfuerzo normal (σn), con respecto
a los esfuerzos principales en la falla:
2
 σ1 − σ 3 


2


σn = σ3 +
σ
 σ1 − σ 3 

+m c
2 
8

τf



m.σ c
=  (σ n − σ 3 ) 1 +
σ −σ3

4 1

2









(24)
(25)
Al derivar la ecuación 25, respecto al esfuerzo σn, se obtiene la tangente del ángulo
de fricción interno instantáneo, para determinado esfuerzo normal (σn):
tan φi = 1 +
m.σ c
2(σ 1 − σ 3 )
(26.a )
La cohesión instantánea puede ser calculada a través de la envolvente de
resistencia de Mohr-Coulomb.
Ci = τ f − σ n . tan φi
(26.b)
De la fig. 1, haciendo sumatoria
de fuerzas radiales y tangenciales
(detalle del lado izquierdo), se
obtiene la siguiente ecuación
diferencial:
(27)
(28)
Aplicando la teoría de elasticidad, las deformaciones en la dirección radial y
tangencial se expresan, como:
(29.a)
(29b)
De la suma de ambas
(30)
SE escribe como:
(31)
Sustituyendo en la ec. 28
Resulta
Ec. 28
(32)
Integrando:
(33a)
(33b)
Cambio
(33c)
A partir de las ec. 33b y 33c, se obtiene:
Luego del cambio
Para r = re
σr = σre
Para r = ro
σr = σo.
34
Se evalúa
Sustituyendo en la ec. 34, ambas condiciones, resultan las siguientes
expresiones:
Resulta
(35a)
(35b)
(36)
Restando ambas ec.
Si una de las condiciones se sustituye en la ec. 34, se puede obtener:
(37)
Sustituyendo en la ec. 34
Resulta
(38)
Sustituyendo en la ec. 31 y luego
de algunas consideraciones
(31)
(39)
Se puede decir que (m,s) son constantes del material original, es decir antes de ser
perturbado.
Sin embargo una vez que se hace la excavación, los parámetros se designarán con
las letras (mr,sr), para indicar que el suelo está perturbado ó el macizo rocoso
perturbado.
Significa que la ec.16, se escribirá:
macizo
rocoso
perturbado.
σ 1 = σ 3 + mr.σ c .σ 3 + sr.σ c 2
(40)
Las ec. 28, 38 y 39, vienen de una sumatoria de fuerzas, donde no sean
considerado los esfuerzos cortantes.
(28)
(38)
Por tanto:
El esfuerzo radial σr y el esfuerzo tangencial σθ, son esfuerzos principales,
donde:
σr = σ3
y
σθ=σ1
39
Por tanto la ec. 40, se escribe como:
σ θ = σ r + mr.σ c .σ r + sr.σ c 2
(41)
La sustitución de la ec. 41 en la ec. 28:
(42)
(43)
Cond. De borde
cuando r = R
σr = Pi.
La constante c1, será:
(44)
Sustituyendo la ec. 44 en 43 :
(45)
En la zona elástica de la fig. 11, los parámetros (mr,sr) del material alterado deben
ser sustituidos por los parámetros (m,s) no alterados del material, escribiéndose dicho
criterio de rotura, como:
La ec. 46, debe cumplirse en la frontera
(46)
elásto-plástica:
σ θe = σ re + m.σ c .σ re + s.σ c 2
σθe: Esfuerzo tangencial elástico.
σre: Esfuerzo radial elástico.
Evaluando la ec. 39, en la frontera elasto
– plastica. r = re:
(39)
(47)
La ec. 47, se puede escribir:
(48)
Igualando la ec. 48 con la 46, se obtiene:
(49)
(50)
También el criterio de rotura de la zona plástica debe cumplirse en frontera:
Por tanto para r = re evaluando la ec. 45 , se debe obtener el valor del esfuerzo
radial elástico σre
(45)
(51)
Ec. 49
Igualando la ec. 49 con la 51:
La roca se plastificará cuando la
presión del sostenimiento es inferior
al valor de la presión radial dada por
la ec. 49. Este ec. se escribe por
tanto:
(54)
donde:
Picr: Presión crítica del sostenimiento.
(52)
(53)
Con el conocimiento anterior acerca de los esfuerzos en la masa de material que
rodea al túnel, hablemos de las curvas características del terreno:
Aplicación del criterio de rotura de Hoek y Brown (1980) en la
determinación de las curvas características del terreno
Representación típica de una curva característica, para una excavación
subterránea.
Pernia et al (1988), quienes definen “Una curva característica del terreno, es la
relación entre la variación del esfuerzo radial, que actúa sobre un punto del
perímetro de la excavación subterránea, en función de la deformación que se
produce en ese punto del perímetro de la masa rocosa”.
Puntos (1,6), no existe ningún
tipo de desplazamiento, ya que los
mismos representan el estado del
terreno, antes de la excavación ó
están
lejos
del
frente
de
excavación
y su estado de
tensiones, se considera que no se
altera por la excavación.
Puntos 2, 3, 4 y 7, tensiones ha
cambiado por la excavación del
túnel. La presión ha disminuido,
debido a que han ocurrido
también desplazamientos (u) en
dichos puntos, es decir ha
ocurrido una relajación del túnel,
debido a la excavación.
La curva característica del
sostenimiento, la cual se
intercepta con la curva
característica del terreno en el
punto 5. En el punto 5, ocurre la
interacción del terreno –
sostenimiento, y ambos llegan a
una presión de equilibrio.
Considerando que los puntos (2 y 3)
se ubican próximos a la clave del
túnel, cerca del frente de
excavación. Se observa en la fig.
16b, como los círculos que
representan sus estados de
esfuerzos, se acercan a la
envolvente de falla (Kf).
Pto 5, se considera se ubica en la clave del túnel, pero donde ya existe interacción
del terreno con el sostenimiento. Su estado de esfuerzo de este punto en la fig.
16b, corresponde a una condición más estable, ya que el esfuerzo vertical
disminuye, sin embargo el cortante se hace más pequeño, retirándose de la
envolvente de falla.
Punto estado de esfuerzos en el perímetro en el momento en que se consigue el
equilibrio. Ya no ocurrirá ningún desplazamiento y la presión radial en el perímetro será
cero. Este comportamiento corresponde al de un terreno auto-estable, como el
representado por la curva A.
• Existe la posibilidad que el terreno no alcance el equilibrio sin ningún soporte, y
esto está representado por la curva B, donde se observa que este terreno no es
auto-estable. Si el sostenimiento se demora en colocar, no ocurrirá ninguna
interacción y se tendrá un colapso en el avance.
Entre el punto 1 y el punto 4, se encuentra el comportamiento elástico del material y
luego a partir del punto 4 comienza el comportamiento plástico del mismo. Por tanto
el punto 4, corresponde al estado radial crítico representado por Picr.
Estimación de los desplazamientos radiales[1]
[1] La explicación de las expresiones de desplazamiento está bien dada en el
Manual del Instituto Geológico y Minero de España (1998)
1.- Desplazamiento radial (ue) de la frontera
elasto – plástica, se debe a la disminución de
los esfuerzos en la zona cercana al perímetro,
ocurre un desconfinamiento en esa área,
disminuyendo los esfuerzos radiales y
tangenciales. Aquí el esfuerzo radial
σr disminuirá desde σo a un valor de equilibrio
σre en la frontera elasto – plástica.
(55)
con la ayuda de la ec. 49
(49)
(56)
2.- Deformación volumétrica (eav), debido a
la plastificación de la roca, y que es
positiva cuando el volumen disminuye.
Con la ayuda de la fig. 17, se puede
expresar:
(57)
eav: Deformación volumétrica
re: Radio de plastificación luego que ocurre el desplazamiento radial (ue).
ri: Radio del túnel luego después del desplazamiento radial (ui)
rio: Radio del túnel, igual a “R” definido inicialmente.
ue: Desplazamiento radial de la frontera elasto – plástica.
ui: Desplazamiento radial del perímetro del túnel.
De la ec. 57 ordenando términos se obtiene:
Desplazamiento radial en el perímetro
(58)
(59)
La ec. 52, puede escribirse también en función de determinado r = ri
(52)
Sustituyendo
R por ri (radio
túnel)
(60)
Ec. 56
sustituyendo
Sustituyendo la ec. 56 y la ec. 60 en 59, resulta:
(61)
Ladanyi, propuso la siguiente expresión para eav:
(62)
El factor RR depende de la siguiente condición:
Para
Para
63.1
63.2
La ec. 62, será escrita considerando que ri = R, debido a que cuando en está
ecuación de la deformación volumétrica, se sustituye la ec. 60, quedando la misma
en función de la presión interna Pi, la cual será variable en el cálculo, resulta una
curva característica de poca continuidad, respecto a la curva característica de
comportamiento elástico. Por esa razón en el cálculo, eav será un valor constante.
(64)
La ec. 58, que corresponde a los desplazamientos radiales en el perímetro del
túnel una vez que ocurre plastificación, y con la sustitución previamente la ec. 61,
resulta:
Ec. 68
(65)
Esta última ecuación permite obtener las curvas características correspondientes
al techo, pared y solera del túnel.
Si la presión radial en el perímetro del túnel se mantiene por encima del valor Picr
dado por la ec. 54, el material circundante del túnel, se mantiene en estado
elástico, y para el cual las curvas características se pueden estimar a través de la
siguiente expresión:
Ec. 54
(66)
Curva característica para Pi > Picr
donde:
ui_e: Desplazamientos elásticos en el perímetro del túnel
Pi: Presión interna en túnel, la cual es variable durante el cálculo.
El modelo considera el efecto de la gravedad en la estimación de las curvas
características, a través de:
•Para el techo la presión interna se incrementa: Pi + γ. (re – R)
•Para la pared la presión interna se mantiene:
•Para la solera la presión se disminuye:
Pi
Pi - γ. (re – R)
Curva característica para Pi < Picr
Curva característica para Pi > Picr
•Para el techo : Pi + γ. (re – R)
•Para la pared
donde:
Pi
•Para la solera
Pi - γ. (re – R)
ui_e: Desplazamientos elásticos en el perímetro del túnel
Pi: Presión interna en túnel, la cual es variable durante el cálculo.
Curvas características para el suelo donde se encuentra
embebido el túnel de Valencia
Ell suelo en el cual se encuentra embebido el túnel, se caracterizó:
φ= 23º y C = 1 ton/m2
Este suelo ahora será caracterizado con los parámetros (m, s) de HoeK y Brown
(1988), para lo cual se utiliza la relación aproximada entre la calidad de material y las
constantes empíricas (m,s) dadas por dichos autores. Tomando en cuenta que el túnel
se encuentra ubicado en un suelo, aquí se ha considerado, que la clasificación
equivalente a la de Hoek y Brown (1988), debe ser la de un macizo de mala calidad, y
cuyos parámetros m y s, se le dieron los siguientes valores:
m=0.010 y s = 0.0000001
Luego de plastificado el material, estos valores deben de disminuir, por tanto para el
análisis se tomará:
mr=0.0080 y sr = 0.00000001.
Nuevamente se tiene que presión interna (Pi) ejercida por el revestimiento es de 8
ton/m2, valor tomado en el análisis anterior
1.- Radio de plastificación
Aplicando la ec. 52
el radio de plastificación estimado es un valor no lógico (re = 1264000 m), valor no
real, que puede interpretarse como si la abertura subterránea en este suelo
caracterizado con los parámetros m = 0.010 y s = 0.0000001, se plastificará en un
anillo de grandes dimensiones.
Aquí se tomará un radio de plastificación de 15 m (re = 15 m), es decir que toda la
carga del techo, por encima del túnel analizado.
2.- Esfuerzos radiales y tangenciales
En la
frontera
Límite entre la zona elástica y plástica
A partir de las ecuaciones de elasticidad 49 y 48, estos valores de frontera son,
σre=19.38 ton/m2 y σθe = 20.62 ton/m2.
ec 48
Ec 49
Los esfuerzos son
en la frontera pero
usando los
parámetros
elásticos (m, s)
En la frontera
elasto-plástica
De las ecuaciones de plasticidad 45 y 41, los valores son σre= 8.80 ton/m2 y σθe
= 9.55 ton/m2.
En la misma frontera
En la frontera
pero usando los
parámetros
plásticos (mr,sr)
En el perímetro del túnel
A través de la ecuación de plasticidad 41, el valor de σθe = 8.72 ton/m2 y σr será la
presión Pi aplicada en el perímetro de 8 ton/m2
En el perímetro del túnel a través de la ecuación de plasticidad 41, el valor de σθe =
8.72 ton/m2 y σr será la presión Pi aplicada en el perímetro de 8 ton/m2
0
0
Se produce un
salto en el límite
entre la zona
plástica y la
zona
elástica
(σre=19.38
ton/m2 y σθe =
20.62 ton/m2),
valores que se
mantienen
aproximadamen
te alrededor de
20 ton/m2.
Para la estimación en la zona plástica
Para la estimación en la zona elástica
En la fig. 18, se
observa como los
esfuerzos radiales
y tangenciales se
mantienen
prácticamente
constante (σ
σθp(ri) =
8.72
ton/m2,
σθp(re)
=
9.55
2
ton/m , σrp(ri)= 8
ton/m2,
σrp(re)=8.80
ton/m2).
P_crítica
3.- Presión Crítica (P_crít) en límite entre la zona elástica
y plástica
4.- Variación de la presión radial versus el desplazamiento en el perímetro cuando
la masa de material se encuentra en estado elástico.
La presión radial variará desde σo = 20 ton/m2 hasta P_crít = 19.38 ton/m2
•Los desplazamientos se estiman a través de la ec. 66.
•El módulo de Young y el coeficiente de poisson le corresponden los siguientes
valores: E = 800 ton/m2 y ν = 0.35.
•Los desplazamientos radiales se consideran son los mismos en cualquier
dirección, sin embargo las presiones radiales se estiman no son las mismas en el
techo, solera y pared, por tanto se corrigen de acuerdo a lo comentado arriba.
•Los resultados se muestran en la fig. 19.
Pared
techo
S.r se considera
que son correctas
Solera
4.- Variación de la presión radial versus el desplazamiento en el perímetro cuando
la masa de material se encuentra en estado elástico.
La presión radial variará desde σo = 20 ton/m2 hasta P_crít = 19.38 ton/m2
No tiene importancia:
Po – Peso_Sueo (re-ri):
puede dar negativo
•rango de presiones en el cual se está estimando los desplazamientos es
muy pequeño, es decir que el estado elástico se mantiene en un estado
de esfuerzos de muy poca amplitud (de 20 ton/m2 a 19.38 ton/m2).
Respecto a la fig. 19, se debe indicar:
•El rango de presiones en el cual se está estimando los desplazamientos es
muy pequeño, es decir que el estado elástico se mantiene en un estado de
esfuerzos de muy poca amplitud (de 20 ton/m2 a 19.38 ton/m2).
•No debemos olvidar, que tal vez para el caso analizado no está presente
ningún comportamiento elástico una vez que se hace la abertura, ya que
así lo indicó el radio de plastificación (re), posteriormente modificado.
• Otra consideración importante, es que los desplazamientos
correspondientes al este estado elástico, prácticamente ocurren a presión
uniforme, es decir como si el suelo estuviera en estado de fluencia plástica
5.- Variación de la presión radial versus el desplazamiento en el
perímetro cuando la masa de material se encuentra en estado plástico
•La presión radial variará desde P_crít = 19.38 ton/m2 hasta cero, donde
se espera se alcance el equilibrio sin ningún tipo de soporte.
•Los desplazamientos se estiman a través de la ec. 64 y 65.
•Los parámetros de clasificación del material se consideran son: mr =
0.0080 y sr = 0.00000001 y una resistencia a la compresión simple σc de
8 ton/m2
•El módulo de Young, el coeficiente de poisson tiene los valores: E = 800
ton/m2 y ν = 0.35.
•Para los desplazamientos radiales y las presiones radiales se tienen las
mismas consideraciones que en el punto 4.
Del perímetro una vez plastificada la roca.
Pared
s.r Se considera que es lo
correcto
Techo
Solera
Representando la
presión en un
rango muy
pequeño
Esto es correcto
Representando
la presión en
rango amplio
Si el comportamiento fuera
elástico se estimó
anteriormente
pared
Esto sería en
la zona
elástica
Techo
Gráfico no correcto
Solera
Esto no
es
correcto
Esto no
es
correcto
Diferente al
gráfico para
la zona
elástica
estimado
anteriormente
No es correcto
El anterior fue:
No es correcto
El anterior fue:
No es
correcto
Pi1
()
45
35
_suelo
Pi1
γ()
_suelo
Pi1
γ()
re
ri
25
Pi
re
ri
15
_suelo
Pi
γ()
_suelo
Pi
γ()
re
ri
uie_solera
uie_techo
ui_solera
ui_techo
Pi1
uie
Pi
ui
re
ri(),
5
5
0.002
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
No es
correcto
Ejercicio aplicando las expresiones del manual español:
Ejercicio:
El manual español lo prepara del libro de Hoek y Brown "Underground
Excavations in Rock"
Se supone que se excava una galería de 8 m de ancho, para transporte
general en una mina a 1000 m de profundidad respecto a la superficie.
El terreno es una cuarcita de muy buena calidad con un RMR de 85.
Debido a la proximidad de las explotaciones se supone que la presión de
campo se incrementa hasta alcanzar el valor de 10800 ton/m2.
Los datos referentes a las características geotécnicas del terreno son
los siguientes:
Parámetros elásticos del macizo rocoso:
Resistencia a compresión simple de la roca intacta:
Ton/m2
Esf. Radial y tangencial
en la frontera elasto plástica
Zona plástica
Zona elástica
Evaluando el estado
elástico Pi1 > P_crítica
Desplazamiento
perímetro en pared
estado elástico
Desplazamiento
perímetro techo
estado elástico
Desplazamiento perímetro estado
plástico
Estado plástico
pared
Estado plástico
techo
Estado
elástico
pared techo
Estado plástico
pared techo