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SISTEMA EXPERIMENTAL DE MEDIDA DE LAS MATRICES DE JONES DE UN
MODULADOR FERROELÉCTRICO
Jordi Andilla, Estela Martín-Badosa, Santiago Vallmitjana
Universitat de Barcelona. Departament de Física Aplicada i Òptica.
Diagonal 647, 08028 Barcelona.
Tel +34 93 4021203. Fax. + 34 93 4021142. e-mail: andilla@fao.ub.es
1. Introducción
En el campo del procesado de imágenes se ha generalizado en los últimos años el uso de
moduladores espaciales de luz, dispositivos capaces de modificar de manera controlada las
características de la luz incidente. Un paso previo a su utilización en las diferentes
aplicaciones es su caracterización. Las técnicas habituales que se han empleado hasta el
momento consisten en determinar los cambios que los moduladores introducen en la amplitud
y la fase de la onda incidente [1]. En realidad, la gran mayoría de moduladores basan su
funcionamiento en la modificación de la polarización de la luz. En este trabajo proponemos
un método inspirado en técnicas elipsométricas para determinar directamente la matriz de
Jones del modulador, que describe cómo este dispositivo modifica la polarización de la luz.
Se ha diseñado un sistema experimental automático para llevar a cabo las medidas, con el que
se han comprobado las propiedades de un modulador ferroeléctrico de reflexión.
2. Método de caracterización y matrices de Jones del modulador ferroeléctrico
Supongamos que sobre un modulador incide luz con un estado de polarización descrito
por el vector de Jones J1, y que la luz a la salida tiene un nuevo estado de polarización J2. El
efecto que tiene el modulador sobre el estado de polarización de la luz puede describirse con
una matriz de Jones 2x2 (M), de manera que:
J 2 = MJ 1
(1)
Si se conoce el estado de polarización a la salida para varios estados de polarización de
la luz incidente, es posible determinar la matriz de Jones que caracteriza el sistema. El estado
de polarización de la luz se puede obtener situando un polarizador giratorio y realizando
diferentes medidas de intensidad a la salida en función del ángulo del analizador.
Considerando el caso general de luz polarizada elípticamente, con una elipse de semiejes a y
b, se obtiene una dependencia de la forma:
I(φ) = (a 2 − b 2 ) cos 2 (φ − β) + b 2
(2)
donde (φ - β) es el ángulo entre el eje del analizador y el semieje mayor a.
Apliquemos estas ideas al modulador que queremos caracterizar, para estudiar de
manera teórica cómo sería la respuesta del mismo. Se trata de un modulador analógico
ferroeléctrico (AFLC: analog ferroelectric liquid crystal) de BNS, de 128x128 píxeles y 8
bits [2]. Teóricamente, este modulador actúa como una lámina de media onda cuyo eje óptico
se puede orientar entre -π/8 y π/8, dependiendo del valor del campo eléctrico aplicado, que a
su vez depende del nivel de gris representado. La matriz de Jones de una lámina de media
onda con su eje óptico formando un ángulo θ respecto a la dirección horizontal del
laboratorio, que por conveniencia se toma como el eje x, es:
 cos θ − sin θ   1 0   cos θ sin θ   cos 2θ sin 2θ 
W(θ) = R(−θ)L 2 (0)R(θ) = 


=
 (3)
 sin θ cos θ   0 −1  − sin θ cos θ   sin 2θ − cos 2θ 
Si se añade un analizador a la salida con su eje formando un ángulo φ respecto a la
horizontal, la matriz de Jones total del sistema será:
1 0
1  cos 2θ + cos(2φ − 2θ) sin 2θ − sin(2φ − 2θ) 
P(φ)W(θ) = R(−φ) 
 R(φ)W(θ) = 

2  sin 2θ + sin(2φ − 2θ) cos(2φ − 2θ) − cos 2θ 
0 0
(4)
Para diferentes estados de polarización de entrada, se tendrán diferentes estados a la
salida. Analicemos un caso sencillo: cuando la luz incidente está polarizada linealmente según
el eje x, se tiene:
1
1  cos 2θ + cos(2φ − 2θ) 
J1 =   → J 2 = 

2  sin 2θ + sin(2φ − 2θ) 
0
(5)
y la intensidad de luz a la salida resulta:
I = J2
2
=
1
1 + cos ( 4 θ − 2 φ )  = cos 2 ( φ − 2 θ )
2
(6)
Comparando la ecuación (6) anterior con la ecuación (2) general para una elipse, se ve
cómo en este caso la luz está polarizada linealmente con un ángulo 2θ respecto la dirección
horizontal, cosa que concuerda con el comportamiento de una lámina de media onda.
3. Sistema experimental
Figura 1: Fotografía del sistema experimental.
Se ha diseñado un sistema experimental para analizar el estado de polarización de la luz
después de reflejarse en un modulador ferroeléctrico. La figura 1 muestra una fotografía del
mismo: la luz incidente se refleja en el modulador y el cubo divisor del haz (BS) la desvía
hacia el analizador, que gira conectado a un motor rotatorio. A la salida se sitúa un detector de
luz, que medirá para cada ángulo del analizador la intensidad transmitida. Tanto el control de
los giros del motor como la lectura de la intensidad de salida correspondiente están
controladas y sincronizadas por ordenador, de manera que la medida es totalmente
automática.
Como estadio previo a la caracterización del modulador, se han realizado unas primeras
medidas para un único estado de polarización incidente (polarización lineal según el eje x). El
resultado para un nivel de gris en pantalla g=0 se muestra en la figura 2, donde aparece la
intensidad normalizada en función del ángulo del analizador, en coordenadas polares (a) o
rectangulares (b), así como el ajuste matemático de la función. Este ajuste corresponde a la
función:
I = cos 2 (φ + π / 4)
(7)
REPRESENTACIÓN POLAR
1,0
1,0
0,8
0,4
0,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
0,0
-0,2
0,0
-0,2
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Intensidad normalizada
0,8
0,6
0,6
0,4
0,2
-0,4
0,0
-0,6
-0,8
0
60
120
180
240
300
360
Angulo (º)
-1,0
(b)
(a)
Figura 2. Intensidad de salida normalizada en función del ángulo del analizador.
Se trata de un estado de polarización lineal inclinado -π/4 respecto al eje x. Esto es
coherente con el hecho de que el modulador actúe como lámina de media onda, con su eje a
-π/8 del eje x (ver ecuación (6)). La medida se ha repetido para otros dos niveles de gris
aplicados (g=128 y g=255), y se ha encontrado que el ángulo de inclinación del eje del
modulador respecto la horizontal para cada nivel de gris es:
g = 0 → θ = −π / 8;
g = 128 → θ = 0;
g = 255 → θ = π / 8
Esto confirmaría que el modulador funciona como una lámina de media onda con su eje
orientable. Quedaría completar la medida para todos los niveles de gris para obtener la
dependencia del ángulo θ con el nivel de gris aplicado.
4. Conclusiones
En este trabajo se ha presentado un sistema experimental automático de determinación
de la matriz de Jones de un modulador ferroeléctrico. Los resultados con él obtenidos están de
acuerdo con el modelo teórico del modulador. Este sistema se utilizará para caracterizar
completamente el modulador para todos los niveles de gris. El método podría servir para
caracterizar otros moduladores cuya modulación derive de un cambio en la polarización de la
luz incidente. Sin embargo, siempre que el modulador introduzca fases relativas para
diferentes niveles de gris que no sean consecuencia directa del cambio de polarización de la
luz, será necesario utilizar métodos interferométricos clásicos para medir ese desfase relativo.
5. Bibliografía
[1] E. Martín-Badosa, A. Carnicer, I. Juvells y S. Vallmitjana, Meas. Sci. Technol. 8 (1997)
764
[2] K.A. Bauchert, S.A. Serati, G.D. Sharp y D.J. McKnight, Proc. SPIE 3073 (1997) 170