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INSTITUCIÓN EDUCATIVA
NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR
SEDE LICEO FEMENINO
1 .FACTOR
COMÚN
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a. Numérico: se encuentra el MCD de los coeficientes
b. Variable: sale la variable con el menor exponente
* Lo contrario de sacar factor común es aplicar la propiedad distributiva
2. BINOMIOS
Diferencia de cuadrados. Ej: a2 – b2 = (a - b) (a + b)
Diferencia de cubos. Ej: a3 – b3 = (a – b) ( a2 + ab + b2)
Suma de cubos. Ej: a3 + b3 = (a + b) = (a+ b ) ( a2 – ab + b2)
a.
b.
c.
Trinomio cuadrado perfecto. Ej: x2 + 2x + 1 =(x + 1)2 = (x +1) (x - 1)
X
1
b. Trinomio de la forma x2 + bx + c ejemplo: x2 – 8x + 15 = (x -5)(x-3)
Dos números que se sumados den b y multiplicados den c
c. Trinomio de la forma ax2 + bx + c
Se multiplica y se divide por a y se lleva a la forma x2 + bx + c
Ej: 2y2 – 7y + 3 se multiplica y se divide por 2
2(2y2 – 7y + 3) = (2y)2 – 7(2y) + 3(2) = (2y)2 – 7(2y) + 6
2
2
2
a.
FACTORIZAR ES:
Escribir una expresión algebraica
Como producto de 2 o más factores
3. TRINOMIOS
(2y – 6) (2y – 1) = 2 (y – 3) (2y -1) = (y – 3) (2y – 1)
2
2
Por agrupación: x3 + 2x2 – x – 2 = (x3 + 2x2) – (x + 2)
2
2
) –+(x
= (x
+2)
d. Suma de cubos. Ej:=ax3 +(xb3+=2(a
b)+=2)(a+
b ) –( a1)2 –(xab
+ b 2)
= (x+2)(x-1)(x+1)
b. División sintética : x3 + 2x2 – x – 2
1 2 -1 -2
a.
4. POLINOMIOS
Regla de Ruffinni (x -1) ( x2 + 3x +2)
(x – 1) (x+2)(x +1)
1 + 3 +2
1 3
2 0
1
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GUÍA No. 4 DE TRIGONOMETRÍA GRADO DÉCIMO
Querida estudiante, los temas del tercer periodo identidades trigonométricas y ecuaciones trigonométricas, se
le facilitarán si tienes un perfecto manejo de; factorización, y resolución de ecuaciones de primer y segundo
grado en una variable
RESOLVAMOS LA ACTIVIDAD DE REPASO.
ACTIVIDAD 1.
A. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:
1. 4a2x2b – 25x2b
2. X4 – y4
2
2
3. (a – b) – (a + b)
4.
-
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
3
a + b3 + a + b
mn –n2 + mx – nx
a2 + 2ab + b2 – a3 – b3
x2 – 2xy + y2 – xz + yz
m7- 8m5 + 16m3
2
2
2
(a +a) + 7(a +a) + 12
4
3
2
a + a - 9a – 9a
a6 + 729b3
25x2 – 80xy + 64y2
n2 + n – 42
9a3 – 12a2b + 4a+ b2
X21y3 – x3y21
Cos2θ – sen2 θ
Cos2θ + 2 cosθ + 1
Tan2x – cotx
27sen3x + 8cos3x
Cos7x – 8cos5x + 16cos3x
ACTIVIDAD 2.
Resolver las siguientes ecuaciones:
1. 3x -1 =0
2. 2(x +5)=2x – 5(x -3)
3. 3F -
=
-
4.
5.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
-1=0
-
=
6. 6(p2 + 1)–(2p – 4)(3p + 2) = 3(5p + 21)
cos3x + sen3x
Sen2 θ + 2sen θ + 1
2
Sen ∞ + sen∞ - 42
9cot2β – 6 cotβ + 1
Cos4x + 3cos3x – 4cosx
Senx cosy + tanx cosy
4cosx – 32 + cos2x
7senx – 60 + sen2x
Cot2∞ + 2cot∞tan∞ + tan2∞
6cos2x + 7cosx +2
Sen3x – cos3x
Cos2x + cos2xtan3x
Sec2x + 5secx + 6
4sen2x – 9tan2x
cot2x – 10cotx + 25
cos2x + 2cosx + 1
cos2x – 15cosx- 100
2
tan x – 8tanx – 33
csc2x + 5cscx -50
cot2 x– 10cotx + 25
tan2xsen2x – 10tanxsen2x
+25tan2x
8. (t + 4)2 = 2t(5t- 1) – 7(t -2)
9. 4x2 + 3x – 22 = 0
10. 12h – 4h – 9h2 =0
11. (x – 1)(x +2 – (2x– 3)(x + 4)– x+ 14=0
12.
+m=
2
7. 6l = l + 22
2
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Propiedades de los exponentes
b.
c.
=
=
a.
= xm-n; con m>n
(xm)n = x m.n
; con y ≠ 0
(xy)n =xn *yn
(x + y)n ≠ xn + yn
e.
f.
a2 + b2 = (a+b)(a-b)
(a + b)2 =a2 +2ab+b2
a3 – b3 =(a-b)(a2 +ab+b2 )
(a + b)3 =a3 +3a2b+3ab2+b3
a3 + b3 =(a+b)(a2 -ab+b2 )
OPERACIONES CON FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Las operaciones básicas con las funciones trigonométricas se efectúan de la misma forma que lo hiciste en grado
8°
Los términos semejantes de una expresión trigonométrica son aquellos que involucran los
mismos productos de funciones trigonométricas del mismo ángulo, por ejemplo: 3senx.cosxy;
senx.cosx son términos semejantes
Escribir tres términos semejantes a cada término dado
1. 5tanx
2. 3cot2x
3. Csc(
5. 4cos
6. sec9x
7.
9.
sen2x
4. –
8. cos2(
- csc( )
RECORDAR…
Sen2x ≠ 2senx
(senx)n = sennx
Sen2x = (senx)2
(senx)(cosx) = senxcosx
(sennx)m = senmnx
ACTIVIDAD 3
A. Resolver las siguientes operaciones
3
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1. senx + cosx + 3 senx + 5 cosx
2. tan2x + sec 2x – 5tanx + 4 tanx – 3 sec2x
3. csc(
4.
- cot2x + 5csc(
+ 4cot2x
cos2x + sen3x - cos2x + sen3x
5.
6. 4senx +2cosx +8senx + 4cosx
7. -9cosx + 3sen2x + 4cosx – 3sen2x
8. tanx + 2tany -6secx +4tanx
9.
csc (
–(
sec (
+(
csc (
+ sec (
10. sen(4x) + sen (4x) + cosx - cosx
11.
12. 9senx + 2cosx + 3 tanx – (tanx + secx + 2 cosx)
B. Realizar cada una de las siguientes operaciones si:
P(x) = senx + 1
Q(x)= cos2x – senx +1
R(x)= sen2x + senx
S(x)= cos 2x – cosx
1. P(x) + Q(x)
2. Q(x) – R(x)
3. S(x) + R(x)
4. P(x) – S(x)
5. R(x) – P(x)
6. S(x) – R(x) + [P(x) + Q(x) – 1I]
7. [R(x) + S(x) + P(x)] - [P(x) – R(x)]
8. P(x) +R(x) – [1 + S(x) – Q(x)]
RAZONAMIENTO
Proponer un ejemplo para verificar cada afirmación.
1. sen( + β) ≠ sen + sen β
2. cos( - β)≠ cos - cos β
3. tan (
≠
C. Resolver los siguientes productos
1. (cosx)(senx3cosx)
3. (cosxsenx)(cos2xsenx)(cosxsen2x)
5. (cot3x) (cotxcotx)(cot2x)
2. (tan2x)(tanxsenx)sen3x
4. (tanx)( cos2xsenx)(cosx)
6. (senxcosx)(cosx)(sen3x)(cos3x)
D. Aplicar la propiedad distributiva para resolver los siguientes productos
1. cosx(secx + 3senx)
4. senx (5sen4x – 2)
3
2. 4tanx(tanx + tan x)
5. (tan2x – tanx) cotx
3
2
3. (1 + sec x + tanx)sec x
E. Encontrar la expresión que representa el área de cada rectángulo
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1.
Senx + 2 cosx
2.
senA + 1
Senx – 2
3.
1 - secx
Sec2x + 2secx + 1
Observa y copia en tu cuaderno
División de funciones trigonométricas
Para dividir expresiones que involucran funciones trigonométricas se procede de la misma forma que en la
división de expresiones algebraicas.
Resolver la operación
(tan3x + 2tan2x + 3tanx + 2) ( tanx + 1)
Se resuelve la división siguiendo el mismo procedimiento que se utiliza para dividir polinomios
tan3x + 2tan2x + 3tanx + 2
-tan3x- tan2x
tanx + 1
tan2x + tanx + 2
tan2x + 3tanx
- tan2x - tanx
2 tanx + 2
- 2 tanx - 2
0
Por tanto: (tan3x + 2tan2x + 3tanx + 2) ( tanx + 1) = tan2x + tanx + 2
F. Hallar el cociente de cada división
1. (8senx + 8 4
2. (cos2x – 2cosx -3) (cosx + 1)
3. (cos4x + cos3x) (cos3x + cos2x)
4. (5tan2x – 11tanxsecx + 6sec2x) (tanx – secx)
5. (sec3x + 4sec2x + 4) (secx + 2)
6. (sen2x – 4senxcosx + 4cos2x) (senx – 8 cosx)
5
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G. Factorización de expresiones con funciones trigonométricas
Es posible Factorizar expresiones que involucran funciones trigonométricas mediante los mismos
métodos que se utilizan en la factorización de polinomios.
ACTIVIDAD 4
I.
Factor común
En este caso es necesario identificar un factor que aparezca en todos los términos de la expresión y
aplicar la propiedad distributiva.
Factorizar las siguientes expresiones
a. Sen2x + senxcosx
b. 5tan22x + 25 tan2x
c. 4sec3xtan2x – 2sec4xtan3x
d. 12cos3xsenx + 8cos2xsen2x + 4cosxsen3x
e.
RECORDAR QUE… L a propiedad distributiva
de la multiplicación con respecto a la adición.
csc3x cotx - cscx cotx
xy + xz = x(y + z);
xy – xz = X(y – z)
II.
FACTOR COMUN POR AGRUPACION
En este caso se separa la expresión en dos o más partes de igual cantidad de términos. En cada una de
ellas se identifica el factor común y se aplica la propiedad distributiva.
Factorizar las siguientes expresiones.
a. 3cos3x + 6cos2xm+ 2cosx + 4
b. 4tan5x – 6tan4xn+ 2 tan3x + 2tan2x – 3tanx + 1
c. 3tanx – 5secx -3senxtanx + 5senxsecx
III.
DIFERENCIA DE CUADRADOS
La diferencia de cuadrados de dos expresiones que involucran funciones trigonométricas es igual a la
suma por la diferencia de las expresiones.
Factorizar las siguientes expresiones.
a. Cos2x – sen2x
b. Sen2x – cos2x + secxsenx + cosxsecx
c. Cos2x – sen2xcos2x
d. Cot4x – 16cot2xcsc4x
Factorizar los siguientes trinomios
1. 8cot2x + 12cotx – 8
2. Sec2u – 6secucscu+ 9csc2u
2
3. Cos x - 4
+4
4.
5.
6.
2
2
Cot β + 2cotβtanβ + tan β
Sec2θ + 4secθtanθ + 4 tan2θ
6sen2x – 5senx – 25
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-11senx + 6sen2x + 4
8. 6sen2x + 7cosxsenx – 5cos2x
9. 7 senx – 60 + sen2x
10. 2 tan2x + 4 sec2x + 9tanxsecx
11. 15senx – 8 + 2sen2x
H. SIMPLIFICACION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
7.
=
con b,c,d
RECORDAR QUE…
ad = bc
ACTIVIDAD 5
A. SIMPLIFICACION: para simplificar una fracción en la que el numerados y el denominador
son productos de funciones trigonométricas, se aplica la propiedad de cocientes de
potencias de igual base.
Simplificar las siguientes expresiones
1.
2.
3.
4.
5.
8.
9.
10.
11.
12.
6.
7.
B. Para simplificar una fracción en la que el numerador y el denominador constan de dos o
más términos, se factorizan el numerador y el denominador y se simplifican los factores
comunes.
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SIMPLIFICAR LAS SIGUIENTES EXPRESIONES
1.
2.
3.
C. Razonamiento: marcar con X la expresión equivalente a la expresión dada.
1.
2tanx – cosx
- (2tanx + cosx)
2.
-
3.
4cos2x – 10senxcosx + 25sen2x
4cos2x + 25sen2x
4cos2x+ 10senx+ 25sen2x
4.
-
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RECORDAR QUE…
IV.
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS
Para Factorizar sumas o diferencias de cubos de expresiones que involucran funciones
trigonométricas se sigue el mismo método que se utiliza para Factorizar expresiones de la
forma.
ó
V.
Factorizar las siguientes expresiones
a. Sen3x – cos3x
c. Sen3xcos3x – tan3xsec3x
6
6
b. Tan x – sec x
d. Cos2x + cos2xtan3x
FACTORIZACION DE TRINOMIOS
Para Factorizar expresiones con tres términos que involucran funciones trigonométricas se
utilizan los mismos métodos empleados para Factorizar trinomios cuadrados perfectos de la
forma x2 + bx + c y trinomios de la forma ax2+ bx + c
1. Factorizar las siguientes expresiones
a. Sen2x + 2senxcosx +
d. Sec2x + 5secx +6
cos2x
e. Csc4x -5csc2x + 4
2
b. Tan x – 6tanx + 9
f. 6cos2x +7cosx + 2
c. Cot2x + 4cotx +4
RECUERDA QUE…
Trinomio cuadrado perfecto:
a2 +2ab + b2 =( a+b)2
ó
a2 -2ab + b2 =( a-b)2
Para factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c se
buscan dos números r y s cuya suma sea b y su producto sea
c de tal manera que: x2 + bx + c = (x + r) (x + s)
Trinomio ax2 + bx + c
6cos2x +7cosx + 2 = (3cosx + 2)(2cosx+ 1)
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ACTIVIDAD 6
RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES
a. 3x + 2 = - x + 5
h. 2cosx = 3
b.
i.
2senx +
j.
2x +
c.
d.
e.
f.
g.
+7=
+ 5x
2
y + 5y + 6 = 0
m2 + 6m – 7
2p2 + 9 – 1 = 0
tanx =1
=0
=0
k. 2y =
l.
m. Cos2x - 1
Hemos aprendido a volar como pájaros, a nadar
como los peces, pero no hemos aprendido el
arte de vivir junto, como hermanos
Martin Luther King
IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
¿Cómo surgió?
Desde la aparición misma de la trigonometría, surgieron formulas e identidades, que permitieron encontrar los
valores de las funciones trigonométricas para otros ángulos, a partir de las funciones de ángulos ya conocidos.
Aunque muchos teoremas fueron formulados en términos geométricos, estos tenían un equivalente en
términos de senos y coseno ó de otras funciones trigonométricas. Por ejemplo, a partir del teorema de
Ptolomeo; “En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, la suma de los productos de los lados opuestos
es igual al producto de las diagonales”
Se puede establecer la identidad para el seno de la sustracción de dos ángulos
sen(
dentro de los muchos matemáticos que fueron introduciendo relaciones útiles se encuentra el francés Francois
Viéte (1540- 1603), quien completó el sistema trigonométrico de los árabes y fue el autor de fórmulas
analíticas que se emplean en la resolución de triángulos oblicuángulos; logró establecer, por ejemplo, la
proporcionalidad del ángulo opuesto correspondiente, conocido como el teorema del seno.
¿En que se aplica?
Esta parte de la trigonometría tiene aplicación en diversas actividades de la vida diaria, tales
como los movimientos realizados por relojes de péndulo por resortes que actúan como
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amortiguadores, por los planetas dentro de sus orbitas y en cosas más cotidianas como los
trabajos de construcción de carreteras y edificios, aplicando en forma correcta las reglas
básicas de la trigonometría, es posible calcular medidas en gorma directa, predecir el
comportamiento de fenómenos relacionados con fuerzas, movimientos circulares y corrientes
eléctricas. La trigonometría permite también determinar la forma y las dimensiones de algún
componente básico dentro de los grandes y complejos mecanismos que vemos día tras día.
¡ME PREPARO¡
1. Hallo el valor de X
a. 2x(x + 3) – 5(x + 3) = 0
b.
2. Encuentro los valores de
en el intervalo [0,2 ] que satisfacen
a. cos
b. tan =
c. sen
3. Resuelvo la ecuación para X
a.
=
b.
=
En matemáticas superior, medicina e ingeniería muchas veces es necesario simplificar expresiones
trigonométricas, complicadas y expresarlas con otras equivalentes pero mas sencillas. Así, en medicina un
osciloscopio exhibe a menudo una curva representada por la expresión
y = sen 2 x +
sen4
y se puede demostrar que:
y = sen
, en ingeniería se demuestra que si la distancia R horizontal por la que viaja un objeto,
llamada alcance está dada por R =
Vo2 sen cos entonces R =
Vo2 sen
A fin de adquirir práctica en la simplificación de expresiones trigonométricas complicadas, se utilizan las
identidades y manipulaciones algebraicas fundamentales
A) 1. Dibuja un circulo de r=1 y de r=R, traza en cada uno de los ejes cartesianos, en el primer
cuadrante ubica un punto en la circunferencia, traza una perpendicular desde este punto a los ejes X y
señala el ángulo
en el origen
2.
a.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Encuentra en cada circulo las funciones trigonométricas siguientes
b.
sen =
1. sen =
cos =
2. cos =
tan =
3. tan =
cot =
4. cot =
sec =
5. sec =
csc =
6. csc
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B)
C)
2.
3.
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a partir de estas identidades podemos deducir otras relaciones.
1. Tomo como referencia el circulo de r=1 del literal A
¿qué ecuación tiene la circunferencia unitaria? Escríbela
En la tabla A del numeral 2 literal A ¿a que es igual sen
?
4. Sustituye estos valores en la ecuación de la circunferencia unitaria .¿qué identidad encontraste?
Escríbela, esta expresión se llama identidad trigonométrica pitagórica.
5. De la identidad trigonométrica pitagórica sen2x + cos2x = 1, despeja senx,cosx, sen2x y cos2x
6. Toma la identidad trigonométrica sen2x + cos2x = 1 y divide cada termino por sen2x, ¿qué identidad
encontraste?
7. Toma la identidad trigonométrica sen2x + cos2x = 1 y divide cada termino por cos2x, ¿qué identidad
encontraste?
8. De las identidades encontradas en los numerales 6 y 7, despeja sec2x. cxc2x, tan2x, cot2x,sec2x,
csc2x,tanx, cotx
Una identidad es una igualdad que se cumple para todos los
valores de las variables donde la expresión este definida. Si la
variable es la función trigonométrica de un ángulo, entonces la
identidad se denomina trigonométrica.
9. Escriba en una tabla las 8 identidades fundamentales
10. Elabora una nueva tabla donde clasifiques las identidades anteriores en Recíprocas, por cociente, y
pitagóricas.
D. ¿COMO PROBAR UNA IDENTIDAD?
1.
2.
3.
4.
5.
Realmente no existe un método especifico que permita a una persona probar si una igualdad es o no
identidad. En última instancia el éxito depende de la habilidad del interesado y del nivel de
preparación que tenga en algebra sin embargo, queremos sugerir un procedimiento que facilite el
proceso de trabajo.
Se puede transformar el primer miembro de la igualdad hasta obtener el segundo o el segundo hasta
obtener el primero o transformar ambos miembros.
Si uno de los miembros contiene sólo una función trigonométrica, conviene transformar el otro
miembro en términos de esa misma función, luego compara.
Si los dos miembros de la igualdad parecen igualmente complicados, trate de llevarlos a una sola
función y compare, si no puede llevarlos a una sola función, transfórmelos en senos y cosenos, y
compare. Es ese caso conviene recordar las identidades fundamentales
Factorice y simplifique cuando sea posible
Algunas veces, para obtener la conversión deseada es necesario multiplicar el numerador y el
denominador de un miembro por un mismo factor.
Esto es equivalente a multiplicar la fracción por la unidad
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6. Determine para que valores del ángulo no es válida la expresión. Recuerde no es posible la división
por cero, no existe las raíces pares de números negativas.
7. Finalmente, si aplicando todo lo anterior no logra probar que la igualdad es una identidad, usted tiene
derecho a pensar que tal vez no sea identidad. En este caso, proceda así, reemplace el ángulo por un
valor donde la expresión está definida y halle el resultado. Si los valores obtenidos son distintos en los
dos miembros de la igualdad, entonces la igualdad dada NO ES UNA IDENTIDAD.
E. Siguiendo las indicaciones anteriores, demostrar si las siguientes expresiones son
identidades o no.
ACTIVIDAD 7
1. Sec2 (1 – sen2 ) = 1
9. (csc + 1) (csc
2.
10. (csc - cot
-
=
3.
12.
=
5. 1 – tan4 = sec4 (cos2 - sen2
6. cos (sec - cos
7. cot (tan
8. sec
( sec
) (csc
11. Cot + tan = sec
= 2 tan
4.
- 1) = cot2
) = sen2
+ cot ) = csc2
13.
+ cot
)=1
* csc
= 1 + cos
-
= 2 cotA
14. tanB*cscB = secB
15. tan2
- sen2 =tan2 *sen2
= tan2
Copiar y aprender para evaluación el modelo pedagógico de la institución
RECORDAR QUE LO QUE EL
HOMBRE PEINSA DE SI MKISMO
DETERMINA SU DESTINO…
H.D.THOREAU
13
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RESUMEN DE IDENTIDADES
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Usted es el artífice de su propio destino
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Ningún esfuerzo quedará sin su merecida
recompensa
SIUN
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ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
ACTIVIDAD 8
a. ¿QUÉ ES UNA IDENTIDAD?
b . ¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?
c. Resuelve los siguientes ecuaciones (igualdades) e indica para que valores la
respectiva variable la igualdad es cierta.
a. 3x – 6 = 0
h. 3 2x + 5 = 3 5x -1
b.
m + 5 = 2 (m + )
c. y2+ 5y +6 =0
d. a + b = 7
e. 2y2 – 7(y+3) = (y +5)(y-2)
f.
+
=
i. 10.000= 10k
j. log2(x2 – 5x + 14 )= 3
k.
log5(x – 2)=3log5 2 - log5 (x – 2)
l. Despejar “x” en 3log5x - 2 log5 x =1
g. x4 – 10x2 + 9 =0
¡RECUERDA!
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RECUERDA QUE…
1.
2.
a.b = 0 entonces a =0 y/o
am = an entonces m =n
b=0
3.
ax2 + bx + c =0 entonces x =
Solución de una ecuación de segundo grado por formula general
Una identidad es una igualdad que se cumple para todo valor de las variables.
Ejemplo: sen2 + cos2 = 1
Una ecuación es una igualdad que se cumple para ciertos valores de la variable.
Ejemplo: 3y +1 =0
Una ecuación es trigonométrica cuando la incógnita (variable) es el ángulo de una función
trigonométrica. Ejemplo: tan2
Para resolver una ecuación trigonométrica deben tenerse en cuentan 2 aspectos.
1. RESOVER LA PARTE ALGEBRAICA: que consiste en aplicar las identidades fundamentales y
las propiedades del álgebra con el objeto de escribir la ecuación en términos de una sola función.
2. RESOLVER LA PARTE TRIGONOMETRICA: consiste en hallar los valores del ángulo que
satisfacen la ecuación.
Ejemplo; cos2x + 2 cosx – 3 = 0 para 0
 Esta ecuación de que grado es?
 Resuelve la ecuación por factorización
 Recuerda que si a.b =0 entonces a=0 y/o b=0
 Que valores puede tomar x
 Si el valor de x no lo hubiéramos restringido al intervalo [0,360], ¿Cuál sería la
solución?
3. Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 3tan2 - 2 sec2 + 1 =0; para 0°
b) 4cos2 - 2 ( 1 +
)cos + =0; para 0°
c) tanx senx senx = 0; para 0°
d) sen + cos = 1; para 0°
Cuando la solución de la ecuación se toma en el intervalo
[0°,360°], la solución se denomina básica o fundamental.
ACTIVIDAD 9. RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES.
1. csc + cot =
2.
3.
+ cot = 2
4. sen
=0
2
5. sen x + 2senx – 3 =0
6. 2 sen2 x + cos2x – 1 =0
7. Cos2x – cos x =0
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8. Sec2 = 2tan2
9.
10.
11.
14.
15.
16.
17.
18.
Senx – cosx =
Tan2 + sec - 1 =0
cscx – 3 + 2 senx =0
3tanx – 6=0
tan
2sec
Sen2
Sen . Cos2
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12. sec2x + tanx =1
13. sen2x – cosx =0
19.
20.
21.
22.
Cot2
4sen4
cos2
2
2cos x =senx + 1
Sen2x =2tan2x
RECUERDA QUE:
sen(cos(tan(cot(sec(csc(-
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sen2
cos2
Sen
1-
sen2 + cos2 =1
cos2
2
cos
cot2 = csc2
IDENTIDADES FUNDAMENTALES
ES UNA IGUALDAD QUE SE
CUMPLE PARA TODOS LOS VALORES
cot
PITAGÓRICAS
2-
1 + cot
2
=
2
= csc
DE LAS VARIABLES
csc
1 = csc2
- cot2
tan2 = sec2
tan
3- tan2
-1
+ 1 = sec 2
-1
=
sec
1 = sec2
- tan2
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sen
4-
tan
cos
cos
COCIENTES
cos = cot
5-
cot
sen
. sen
=
IDENTIDADES FUNDAMENTALES
ES UNA IGUALDAD QUE SE
CUMPLE PARA TODOS LOS VALORES
sen
DE LAS VARIABLES
6- sen
RECÍPROCAS
csc
cos
7- cos
sec
tan
8- tan
cot
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resumen de secciones cónicas
CIRCUNFERENCIA
Elementos: radio ( r ), centro( c )
2
2
2
X +Y =r
C = (0,0) radio = ( r )
X 2 + Y2 = 1
C = (0,0) radio = (1) circunferencia unitaria
Elementos; Eje focal ( eje de simetría), vértice, foco, directriz
Y2 = 4PX eje focal “X”
P> 0 derecha F = ( P,0)
V= (0,0)
P<0 izquierda
X=-P
X2 = 4PY eje focal “Y”
V= (0,0)
PARÁBOLA
P> 0 arriba F = (0,P)
P<0 abajo
Y=-P
(Y – k)2 = 4P( x – h ) eje focal
V = ( h, k) es y = k
(X –h)2 = 4P( y –k ) eje focal
V = ( h, k) es x = h
+
=1
“X”
“Y”
F = (h + P, k)
x=h–p
F = (h, k + P)
y=k–p
c = (0,0) V1 = (a1, 0)
a
b
C
vértice
eje menor
foco
ELIPSE
Elementos
Centro
Vértices
Focos
Eje mayor
Eje menor
a2 = b2 + c2
e=
+
=1
+
V2 = ( - a, 0) F1 = (c, 0) )
F2= (-c, 0)
a2 = b2 + c2
eje mayor “x”
Eje menor “y”
c=(0,0) V1=(0 , a1) V2=(0, - a) F1=(0, c) F2=(0, c)
a
vértice
b
eje menor
eje mayor “y”
Eje menor “x”
=1
(exentricidad)
c=(h,k) V1=(h +a1, k)
V2=(h - a, k)
F1 = (h+c ,k) F2 =(h-c, k)
Eje mayor “x”
Eje menor “y”
+
=1
c=(h,k) V1=(h, k+a) V2=(h, k -a)
F1 = (h, k+c) F2 =(h, k- c)
Eje mayor “y”
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Eje menor “x”
*
-
=1
c = (0,0) Eje focal “X”
Asíntotas
a
b
C
Asíntotas
c2 = a2 + b2
;
Y= -
vértice
eje conjugado
foco
V1 = (a1, 0) V2 = ( - a, 0)
F1 = (c, 0) F2 = (-c, 0)
D= x
I = Y Re
c2 = a2 + b2 abre en “x”
HIPÉRBOLA
Elementos
Centro
Eje mayor
Eje conjugado
Vértices
Focos
Y=
*
-
a
b
C
=1
c = (0,0) Eje focal “Y”
vértice
eje conjugado
foco
c2 = a2 + b2 abre en “y”
*
*
-
=1
-
Asíntotas
Y = ; Y= V1 = (0,a) V2 = ( o, - a)
F1 = (0, c) F2 = (0, -c)
D= X Re
I= Y
a = b
=1
c = (h,k) Eje focal
Asíntotas
Y -k =
“X”
;
Y -k= V1 = (h - a, k)
F1 = (h -c, k)
*
-
V2 = (h + a, k)
F2 = (h +c, k)
=1
c = (h,k) Eje focal
Asíntotas
Y -k =
“Y”
;
Y -k= V1 = (h , k - a)
F1 = (h , k -c)
V2 = (h , k + a)
F2 = (h , k +c)
SE LOGRAN MÁS
CAMBIOS CON EL AMOR
QUE CON LA CRÍTICA
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SECCIONES CÓNICAS
¿Cómo surgió?
Apolonio de Persa (262- 200 a.c ) fue un matemático y astrónomo griego de gran talento que escribió sobre
gran variedad de temas matemáticos, su fama procede esencialmente de sus secciones cónicas, en donde el
método utilizado está mucho más próximo a los métodos de geometría analítica actual que a las puramente
geométricas.
Los griegos de la época de PLATON consideraban que las secciones cónicas (ELIPSE, PARÁBOLA, E
HIPERBOLA) procedían de la intersección de un cono con un plano (de ahí el nombre de secciones cónicas),
uno de los predecesores más importantes fue Menecmo ( 375 -325 a.c) alumno de Eudoxio, a quien se le
atribuye el descubrimiento de las secciones cónicas, lo que le permitió resolver el problema de los oráculos de
Delos. Menecmo descubrió las propiedades de la parábola y de la hipérbola que corresponden en coordenadas
cartesianas a las relaciones que resultan de la proporción continua x2 = ay, y2 = ax, xy = ab.
No se sabe como partiendo del método de obtención de las seccines cónicas obtuvo Menecmo las ecuaciones
xy = ab, y2 = bx, necesarias para la resolución de la duplicación del cubo.
Finalmente vale la pena resaltar que Apolonio demostró que no es necesario tomar secciones perpendiculares a
un elemento del cono, es suficiente con variar a partir de un cono ordinario la inclinación de los planos que lo
cortan.
También se debe a Apolonio la idea de la superposición de dos conos. El vértice de uno apoyado en el del otro,
de tal manera que sus ejes coincidan.
¿en que se aplican?
Las tres secciones cónicas no degeneradas (parábola, elipse e hipérbola) tienen importantes aplicaciones
prácticas.
La parábola, por ejemplo da origen a una superficie conocida como ´paraboloide, modelo utilizado para la
transmisión y recepción de señales de comunicación, muy conocidas como antenas parabólicas.
La hipérbola, es el modelo comúnmente utilizado en navegación para localizar un sitio específico, mediante el
conocimiento de cierta información en tres putos distintos.
Un caso muy espacial de la elipse es su uso para el tratamiento de cálculos renales por resonancia, con más
exactitud, el tratamiento de cálculos renales se basa en la propiedad reflexiva de la elipse. Un electrodo se
coloca en un foco de la elipse y el paciente queda ubicado en el otro foco, de tal manera que cuando el
electrodo es descargado se producen ondas ultrasónicas que golpean la pared de la elipse y se reflejan en el
cálculo (perdiéndose poca energía en la reflexión) la energía descargada ene l cálculo renal la pulveriza en
pequeños fragmentos que serán eliminados por las vías urinarias.
DEFINICION DE CÓNICA
Las secciones cónicas son curvas que pueden obtenerse como la intersección de un cono circular con un plano
que no contenga al vértice del cono. Las distintas cónicas aparecen dependiendo de la inclinación del plano
respecto del eje del cono. Si el plano es perpendicular a dicho eje produce una circunferencia; si se lo inclina
ligeramente, se obtiene una elipse; cuando es paralelo a una generatriz del cono se tiene una parábola y si
corta a ambas ramas del cono la curva es una hipérbola.
Hagamos un esquema de lo que hemos dicho:
Cortamos una superficie cónica por un plano que no pase por su vértice y
llamamos α al ángulo que forma el eje del cono con la generatriz del mismo y,
llamamos β al ángulo que forma el plano con el eje del cono.
Según la relación entre estos ángulos, ambas superficies se cortarán en:
23
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• una circunferencia si β = 90º
• una elipse si α < β < 90º
• una parábola si α = β
• las dos ramas de una hipérbola si α > β
Las cuatro secciones cónicas básicas se ilustran en las siguientes figuras:
OBSERVA: desde la posición izquierda, en la que el plano es perpendicular al eje, este se ha ido
inclinando cada vez más, en las tres primeras posiciones el plano solamente corta una de las hojas de la
superficie cónica, pero cuando un plano llega a ser paralelo a dos generatrices ( cuarto caso) entonces
el plano corta a las dos hojas en la superficie cónica, de la cual resulta la hipérbola que es una curva
con dos ramas.
ME PREPARO
ACTIVIDAD 1
1. Resuelvo las ecuaciones por competición de cuadrado
a. X2 + 2x – 3 = 0
b. Y2 – 5y + 6 =0
c. -8 – 23m + 3m2 =0
2. Completa el cuadrado en x , en y o en xy, para transformar cada expresión en una de las formas
siguientes
A(x – h)2 + B(y – k)2 + C; A(x – h)2 + B(y – k); A(x – h) + B(y – k)2 ; en donde h, k, A, B, C
son constantes.
a. X2 + 4x – 2y + 6
b. Y2 -10y + 8x + 41
c. X2 + y2 – 4x – 6y + 12
3. Hallo la distancia entre los puntos dados.
a. (6,4) y (8,11)
b. (0,0) y (5,13)
c. ( a,b) y ( -a,-b)
d. (x, 4x) y ( -2x, 3x) si x >0
El perdón es el rostro
Más honesto del amor
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TALLER DE REFUERZO
ACTIVIDAD 2
1. Dado los puntos A y B y cuyos valores correspondientes son ( -2,6) y ( 8,24) respectivamente
encuentre la distancia entre A y B
2. Encuentre el valor de x si la distancia entre los puntos M =(3,5) y N=(x,8) es
3. ¿El triángulo de vértices A=(10,5); B=(3,2); C=(6,-5), es rectángulo?
4. Encuentre la longitud de los lados de los triángulos cuyos vértices son los puntos
a. A=(3,2); B=(7,-1); C=(-4,-5)
b. P=(0,4); Q=(0,5); R=(12,4)
5. Comprueba que el triángulo de vértices A= (2,3); B= (-1,6); C= (-4,3) es rectángulo isósceles.
6. Encuentra las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A=(2,6) y B=(8,10)
7. Encuentra las longitudes de las medianas del triangulo de vértices P=(3,1); Q =(-6.2) y R=(2,-7)
8. Halla la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos A=(-8,-2) y
B=(5,7)
9. Grafica la recta que pasa por (1,2) cuya pendiente es
10. La recta contiene los puntos A= (1,3) y B= (4,6) y la recta contiene los puntos C= (5,8) y
D= (-2,1). Determinar si
y son paralelas o perpendiculares
11. Si una recta pasa por el punto A= (2,8) y tiene pendiente , halla su ecuación
12. Halla la ecuación de la recta que pasa por (
y es paralela a la recta
x + 3y = 1
13. Halla el valor de K de tal forma que la erecta 2kx + y +K =0, pase por el punto (0,3)
14. Escribe la ecuación de la recta que satisfaga las siguientes ecuaciones:
a. Intercepto X=3; intersección Y=2
b. Intersección X=
; intersección Y= - 2
15. Calcula la pendiente y la ordenada en el origen para las rectas siguientes
a. X – 3y + 2 =0
b. 2x – 3y + 12 = 0
16. Graficar las siguientes funciones
f. f(x)= 6x2 + 8x + 2
a. f(x) = - x + 4
g. f(x) = 2 senx
b. f(x) = - x2 + x – 6
h. f(x)= senx+ cosx
c. g(x)= sen2x
i. f(x) – 4 cos2x
d. f(x)= 2senx + senx
j. f(x)= - 3 sen (3x-30)
e. f(x)= 3sen(3x +30)
LA CIRCUNFERENCIA
CIRCUNFERENCIA: es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya
distancia a un punto fijo, llamado centro es constante, la distancia fija se
llaman RADIO
ACTIVIDAD 3
1. Dibuja el punto (3,4) en el plano cartesiano
25
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2. Con la ayuda de la regla marca la distancia de 2 cm desde el punto (3,4) en todas las direcciones mayor
número de veces posibles
3. Une los puntos resultantes
4. ¿Qué figura geométrica de los vistas en años anteriores obtuviste?
5. Haz el mismo proceso en otro plano, desde el punto 1 al 4 pero con el compas en vez de regla
6. Dibuja en un plano cartesiano los puntos M= (3,4) y N = (6,6)
7. Une estos dos puntos y encuentra la distancia entre ellos
8. Haciendo centro en m hasta n dibuja una circunferencia
9. Que nombre recibe el punto M y la distancia
10. Dados los puntos de coordenadas (x,y) y (h, k) encuentra la distancia entre ellas
11. Únelas a través de un segmento
12. Que nombre recibe la distancia entre los puntos
13. Eleva ambos lados de la ecuación encontrada en el punto 10. Al cuadrado
14. Escríbela ecuación obtenida en los numerales 6,7 y 13
ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA:
a. Forma ordinaria, estándar o implícita: la circunferencia de centro c =(h, k) y radio r >0,
está dada por la ecuación
b.
(x-h)2 + (y-k)2 =r2
Forma general de la circunferencia: x2 + y2 +Bx +Ey +F =0
x2+ y2 siempre tienen el mismo coeficiente
PARA RECORDAR
1.
2. Punto medio del segmento
3.
4.
5.
=(
,
)
m1 = m2
m1 * m2 = - 1; m1 = -
ó m2 = -
Pendiante de una recta m =
6. La distancia d, de un punto p= (x0,y0) a una recta
de ecuación Ax + By + c =0 es d=
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ACTIVIDAD DE EJERCITACIÓN
ACTIVIDAD 4
A.
1.
2.
3.
4.
B.
Determina la ecuación ordinaria y grafica la circunferencia que satisfaga las condiciones dadas
Centro (0,0), radio=R
Centro (3,2), radio =5
Centro (
, radio = 6
Centro (0,0), radio = 4
Determina la ecuación ordinaria de la circunferencia y la gráfica
1. Centro (4,0) y pasa por (- 1,3)
2. Centro (0,0) para por (
)
3. El diámetro es el segmento que une los puntos (-4,2) y (6, -4)
C. Si la ecuación de una circunferencia es (x-3)2 + (y + 4)2 = 36, demuestra que el punto (-1,-3) es
interior a la circunferencia y el punto (- 4,1) es exterior
EJERCITÉMONOS
ACTIVIDAD 5
1. Halla la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las
rectas 3x – 2y – 24 =0 y 2x + 7y + 9 =0
2. Determina la ecuación general de la circunferencia cuyo diámetro tiene por extremos a los
puntos (- 3, -2) y (-1,4)
3. Grafica la circunferencia x2 + y2 – 2x + 4y – 11 =0, hallando el centro y el radio
4. Grafica la circunferencia 2x2 + 2y2 – x =0 hallamos centro y radio
5. Demuestra si el punto (2,3) pertenece o no a la circunferencia x2+y2– 4x+ 6y – 3 =0
6. Encuentra la ecuación de la circunferencia de radio 2, concéntrica con la circunferencia de
ecuación x2 + y2 – 4x + 2y – 3=0
7. Determina l ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A=( 4,-2); B=(.5,1);
C=(2,2)
8. Dibuja 2 circunferencias
a. Tangentes
b. Secantes
c. Concéntricas
9. Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los puntos A=(6,2);
B=(8,0); y cuyo centro está sobre la recta 3x + 7y + 2 =0
10. Escribe que es lo que más te gusta de tu colegio
LA PACIENCIA EN EL HOMBRE ES EL
TERTIMONIO DE SU SABIDURIA
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LA PARÁBOLA
El estudio de la parábola es de gran importancia en algunos fenómenos físicos como el tiro parabólico y los
efectos de propagación de ondas.
LA PARÁBOLA : es el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo llamado foco (F), y una recta fija, llamada
directriz. (
, ambas contenidas en el mismo plano
CONSTRUCCION DE LA PARÁBOLA
ACTIVIDAD 6.
Para construir una parábola se necesita:
 Una escuadra que llamaremos ABC, con ángulo recto en B
 Un hilo con la misma longitud del cateto AB que llamaremos L
PROCEDIMIENTO
1.
En un hoja trazamos una recta que llamamos
y
marcamos un punto externo que denotamos F
2.
En A se sujeta un extremo del hijo y el otro extremo
se fija en F
3.
El cateto
de la escuadra se coloca sobre la recta d
4.
Se templa el hilo con un lápiz, haciendo coincidir con
el cateto
en el punto P, formando así el segmento
5.
Manteniendo el hilo templado con el lápiz se desliza la
escuadra a lo largo de la recta d
ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA
En una parábola podemos reconocer los siguientes elementos:
 EJE DE SIMETRIA: recta que contiene al foco y al vértice
y además permite reflejar una rama de la parábola sobre la otra.
 VÉRTICE: punto de la curva que se intercepta con el eje
de simetría, el vértice es el punto medio entre el foco y la recta directriz.
 FOCO: punto ubicado sobre el eje de simetría, que se
encuentra en la misma distancia del vértice que la directriz
 DIRECTRIZ.: Recta perpendicular al eje de simetría que
se encuentra a la misma distancia del vértice que el foco.
 CUERDA FOCAL: segmento que une dos puntos de la
parábola pasando por el foco.
 LADO RECTO: Es la cuerda focal perpendicular al eje de
simetría, su longitud es 4 veces la distancia del vértice al foco.
28
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PROPIEDAD INTERESANTE DE LA PARABOLA
Una de las propiedades geométricas de la parábola más utilizada fue
descubierta por los griegos: un rayo, por ejemplo, de luz, que emane del
foco, se refleja en la parábola a lo largo de una trayectoria paralela al eje
de la parábola, sin importar cual sea el punto de reflexión.
Recíprocamente, un rayo paralelo al eje de la parábola y reflejado en ella
pasa por el foco. Este hecho es útil en la construcción de linternas, faros
de automóviles y faros buscadores, en los cuales el reflector tiene una
sección transversal parabólica y la fuente luminosa está en el foco.
ACTIVIDAD 6 ECUACION CANÓNICA CON VÉRTICE (0,0)
LA ECUACION CANÓNICA DE UNA PARÁBOLA CUYO EJE DE SIMETRIA COINCIDE
CON EL EJE “X” Y SU VÉRTICE ES EL ORIGEN, TIENE LA FORMA: y2 = 4Px
d
(
=d
)2 = (
)2
COMPLETAR
Y2 = 4PX
d
=d
)2 = (
(
)2
COMPLETAR
X2 = 4PY
Análogamente podemos encontrar la ecuación canónica de una parábola
según el eje de simetría y la orientación de sus ramas.
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ECUACION CANÓNICA CON VERTICE (h, k)
LA ECUACION CANÓNICA DE UNA PARÁBOLA CON EL EJE DE SIMETRIA
PARALELO AL EJE “X” Y VERTICE (h, k) ES DE LA FORMA (y-k)2 = 4p(x-h)
Consideremos una parábola con vértice (h,k) y el eje de
simetría paralelo al eje Y
Si el grafico de la parábola abre hacia abajo la ecuación es
Consideremos una parábola con vértice (h, k) y eje de
simetría paralelo al eje X
Si el grafico de la parábola abre hacia la izquierda la ecuación es
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Parábolas con vértice (h, k) y eje de simetría paralelo al eje Y
Parábolas con vértice (h, k) y eje de simetría paralelo al eje X
ECUACION GENERAL DE LA PARABOLA
La ecuación general de la parábola con eje de simetría paralelo al eje “x” es de la forma y 2 + Ay +Bx + C =0,
con A, B, C
R
Análogamente… La ecuación general de la parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje “y” es de la forma
x2 + Ax +By + C =0, con A, B, C
R
Consideremos la ecuación de la parábola con vértice en el punto (h, k) y con eje de simetría paralelo al eje “x”
desarrollamos el cuadrado, efectuamos el producto, transponemos términos y ordenamos así:
(y – k)2 = 4p(x – h)
y2 – 2yk + k2 = 4px – 4ph
y2 – 2yk + k2 - 4px + 4ph = 0
si llamamos A = -2k, B= - 4py, C= k2 + 4ph, constantes reales, obtenemos la ecuación general de la
parábola.
En el caso de las parábolas con ejes paralelos a “y”, A= - 2h, B= - 4py, C= h2 – 4pk
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De otra parte, en los estudios generales de la geometría analítica se conviene en denotar por Ax 2 + Bxy +
Cy2+ Dx + Ey + F =0, o la ecuación general de segundo grado con dos variables en la que el término Bxy se
refiere a las curvas cuyos ejes de simetría no son paralelos a los ejes coordenados.
Ejemplo 1:
Dada la ecuación
+ 6x = 0, halla la ecuación canónica de la parábola, indica el
vértice, el foco y la directriz. ¿Cuál es el eje de la parábola?
Escribimos la ecuación en la forma x =
p=
y obtenemos que 4p= – 6, de donde
< 0.
Con estos datos sabemos que el foco está en el punto (–
, 0), el vértice es el origen
de coordenadas y la directriz es la recta de ecuación X = ; El eje de la parábola es el
eje x.
Trata de pensar ahora que ocurre si el vértice no está en el origen, para orientarte damos algunos ejemplos.
Ejemplo 2:
Dada la ecuación y2 - 6y - 4x + 17 = 0, hallar la ecuación canónica de la parábola, indica el vértice, el
foco y la directriz. ¿Cuál es el eje de la parábola?. Traza la gráfica.
Completando cuadrados en la variable y tenemos
(y - 3) 2 - 9 – 4x + 17 = 0
(y – 3)2 – 4x + 8 = 0
X = (y – 3 )2 + 2
X=
Obtenida la ecuación de la parábola en forma normal leemos que el vértice es el
punto V(2, 3), que , p = 1 y por lo tanto el foco es F(3, 3) y la directriz tiene
ecuación x = 1.
El eje de la parábola es la recta que contiene al vértice y al foco, luego tiene
ecuación y = 3.
Ejemplo 3:
Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica de la parábola con vértice en
(– 2, 4) y foco en el punto (– 2, 3) Dado que el vértice y el foco tienen
igual abscisa el eje de la parábola es vertical y tiene ecuación x = – 2 ,
además abre hacia abajo ya que p = – 1 , entonces se sabe que la directriz
tiene ecuación y = 5.
La ecuación normal o canónica de la curva dada es y – 4 = –
ACTIVIDAD 7.
a.
b.
c.
d.
Encontrar la ecuación canónica de la parábola con foco es f =(3, 0) y directriz x =3
Encontrar la ecuación de la parábola con foco f = ( 4, 5) y su vertiese V = ( 4, 2)
Encontrar la ecuación canónica de la parábola con foco F= ( -2, 1) y directriz x =2
Dada la parábola con vértice en (2, 1) y directriz es Y= 2, determinar su ecuación canónica y las
coordenadas del foco.
La persona inteligente se recupera de un fracaso, la que no lo es
nunca se recupera de un éxito.
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ACTIVIDAD DE NIVELACION
GRADO DECIMO
TERCER PERIODO
1. Hallar la distancia entre cada par de puntos
a. (-6, -2) y ( -1, -5)
b. (
y (c. (-10, -3) y ( 7, -9)
2. Determinar si la ecuación corresponde a una recta vertical u horizontal
a. 3x = 4
e. Y = -1
b. Y – 3=0
f. X = y
c. 5y =0
g. Y= 2 –x
d. 4x =8
h. X= 2y
3. Encuentra el tercer miembro para que cada binomio se pueda expresar como trinomio cuadrado
perfecto
a. X2 – 30x + …
b. X2 – 3x + …
c. X2 + 8x + …
4.
5.
6.
7.
8.
d. X2 + + …
Determina el foco y la directriz de cada una de las siguientes parábolas:
a. Y = 20x2
b. 18x – y2 =0
c. X2 – 50y =0
d. 2x2 + 6y =0
Halla el vértice de cada una de las siguientes parábolas:
a. X2 + 10x = 18y
b. X2 – 18x = -14y
c. X2 + 20x = - 22y
d. X2 =- 16y
Halla la ecuación de cada una de las siguientes parábolas cuyo vértice es V y cuyo foco es F
a. V=(1,2) y F=(1,9)
b. V=(3,7) y F=(3,20)
c. V=(6,5) y F=(6,- 10)
d. V=(4,8) y F=(4,-6)
Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el punto ) =(-4,-3) y tiene un punto en el
origen
Graficar
a. y = 2x -3
g. y = senx + cosx
b. y = -2x +3
h. y = senx – cosx
c. y= x2 + 2x +2
i. y= senx * sen 2x
d. y = - x2+ 2x -2
j. y =cosx + 3cosx
k. y =tan2x
e. y = - senx
l. y= 2 secx
f. y = - sen2x
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ACTIVIDAD DE PROFUNDIZACION
GRADO DECIMO
TERCER PERIODO
1. Grafique el lugar geométrico definido por cada una de las siguientes ecuaciones:
a. x2 + y2 − 2x − 4y +1 = 0
b. 2x2 + 2y2 − 2x − 2y + 9 = 0
c. x2 + y2 − 4x + 6y +13 = 0
d. x2 + y2 − 4x − 6y +17 = 0
2. Determine la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos A= (0,6), B(1,5) y cuyo centro se encuentra
sobre la recta definida por la ecuación x + y = −1 .
3. Determine la ecuación general de una circunferencia tangente a la recta definida por la ecuación 2x − 3y + 5 = 0
, y está centrada en el punto (−1,−2)
4. La intersección de las rectas L1 : 2x − y + 3 = 0 y L2 : 4x + y − 2 = 0 es el centro de una circunferencia que es
tangente a la recta L3 : x − y +1 = 0 .
5. Determina la ecuación canónica de la parábola con vértice en (1, 3) y foco en (2, 3).
6. Determine la ecuación canónica de la parábola cuya directriz es paralela al eje y, y pasa por los puntos (0, 0),
(– 1, 2), (– 1, – 2)
7. Determine la ecuación canónica de la parábola –9y2– 8x – 3 = 0
8. Determine la ecuación canónica de la parábola que tiene eje vertical y pasa por los puntos (2, 3), (4, 3), (6, –
5).
9. A una distancia horizontal de 80 m de la base de un rascacielos, se observa en la parte superior, la base de un
adorno con un ángulo de elevación de 78,99º y el punto más alto del adorno con un ángulo de elevación de 79,24º.
¿Cuál es la altura del adorno?
10. Prueba las siguientes identidades:
a.
b.
Recuerda: el éxito que tengamos, depende del esfuerzo que hagamos para obtenerlo
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