Download rt y resol triangulos 4

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I.E.P. MARÍA DE NAZARET Piensa en grande piensa en ti.
CUARTO GRADO – GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
UTILIZAMOS LA TRIGONOMETRÍA.
RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN


Determina las demás razones trigonométricas a través de un dato.
Aplica las definiciones de razones trigonométricas en la solución de ejercicios y problemas.
COMUNICACIÓN MATEMÁTICA


Identifica las razones trigonométricas a través de un triángulo rectángulo
Reconoce los triángulos notables por simple inspección
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS


Resuelve problemas que involucran razones trigonométricas de ángulos agudos o notables.
Resuelve problemas de su entorno usando ángulos de elevación y depresión
MATERIAL TRABAJADO EL 09; 16; 23 DE AGOSTO Y O6 DE SEPTIEMBRE 2011
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Resolver un triángulo es encontrar la medida de todos sus elementos,
es decir sus tres lados y sus tres ángulos. Si el triángulo es rectángulo es
suficiente tener como datos las medidas de dos de sus elementos, de los cuales
uno debe ser necesariamente un lado.
RECORDEMOS:
Razones trigonométricas respecto a un ángulo agudo de un triángulo
Observamos la figura:


Ángulo agudo B, cateto opuesto lado b, cateto adyacente lado c, hipotenusa lado a
Ángulo agudo C, cateto opuesto lado …, cateto adyacente lado ….., hipotenusa lado …..
Si ABC es un triángulo rectángulo, recto en “A”, las razones trigonométricas del ángulo B son:
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Seno
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Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por sen B.
Coseno
Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por cos B.
Tangente
Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.
Se denota por tg B.
Cosecante
Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.
Se denota por cosec B.
Secante
Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B.
Se denota por sec B.
Cotangente
Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B.
Se denota por cotg B.
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RESUMIENDO PODEMOS DECIR (OBSERVA FIGURA 4):
AHORA TÚ:
¿Cuáles son las razones trigonométricas del otro ángulo agudo del triángulo ACB en la figura 4?

Seno

Coseno

Tangente

Cosecante

Secante

Cotangente
IMPORTANTE: No
olvides que es importante para solucionar triángulos rectángulos,
teorema de Pitágoras, según sea el caso.
también utilizas
EJEMPLO: 1. Hallar las 6 razones trigonométricas del ángulo “C” de un triángulo rectángulo ABC, recto en B.
Sabiendo que: a= 5, b=13
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2.
Hallar
3. Dada la figura; hallar 4Cos
4
1
θ
x
4. Si
Hallar M
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APLICO LO QUE APRENDÍ
1. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos en los siguientes triángulos:
a)
b)
c)
1.
Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos:
2. En la figura, calcular tgθ.
41
x
θ
40
3. Calcular x (x es agudo): Si
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(
)
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4.
En el triangulo rectángulo ABC, recto en “C”; si
Hallar el valor de “tg B”.
B
13
x
A
5
C
5. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, si
, hallar el valor de
A
X
3
C
5
B
6. En el triángulo rectángulo ABC, recto en C, se sabe,
Hallar el valor de
7. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, se sabe que,
(
Hallar el valor de :
(
)
8. En el triángulo rectángulo ACB, recto en C se sabe
(
9. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B se sabe
Hallar Sen C
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)
)
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IMPORTANTE:
ANGULOS NOTABLES
√
0
30
1
2K
√
0
45
0
60
1
5K
K
0
53
3K
37
0
4K
Valores de los ángulos de 80 y 820 (aproximadamente).
C’
√
0
82
1
0
8
A’
7
EJEMPLO:
1. Calcular “E” sabiendo que:
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B’
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2.
Calcula el área de un triángulo rectángulo, en el cuál un ángulo mide 30º y la hipotenusa mide 4.
3.
Del gráfico mostrado, calcule “Tg” si se tiene que:
B
34
A

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
42
C
Tg = 8/15
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IMPORTANTE:
ÁnGULO DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN
EJEMPLO:
1. ¿Cuán larga es la sombra que proyecta un mástil de 11m de altura cuando el sol tiene un ángulo de
elevación de 30º?
2. Calcula la altura a la que se encuentra un barrilete si el ángulo que forma el hilo, de 35 m de longitud con
la horizontal, es de 30º y la mano del niño que sostiene el hilo está a 80 cm del suelo
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3. Para medir la altura de una torre nos situamos en un punto del suelo y vemos el punto más alto de la torre
bajo un ángulo de 60º. Nos acercamos 5 metros a la torre en línea recta y el ángulo es de 80º. Halla la altura
de la torre.
4. Pablo y Luis están situados cada uno a un lado de un árbol, como indica la figura:
a Calcula la altura del árbol.
b ¿A qué distancia está Pablo del árbol?
Un poquito más:
I.
Un mástil de 5 metros se ha sujetado al suelo con un cable como muestra la figura:
Halla el valor de c y la longitud del cable.
II.
III.
Halla los valores de x, y, h en el siguiente triángulo:
Desde el suelo vemos el punto más alto de un edificio con un ángulo de 60º. Nos alejamos 6
metros en línea recta y este ángulo es de 50º. ¿Cuál es la altura del edificio?
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AHORA YA PUEDES RESOLVER TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS, ASÍ:
1) En un triángulo rectángulo se conocen la hipotenusa a= 5 m. y un cateto b=4 m. Calcula los demás
elementos
2) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22°. Resolver el triángulo.
3) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el triángulo
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APLICO LO QUE APRENDÍ
1) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m. Resolver el triángulo.
2) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el triángulo.
3) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22°. Resolver el triángulo.
4) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B = 37º. Resolver el triángulo.
5) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resolver el triángulo.
6) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54.6°. Resolver el triángulo.
7) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el triángulo.
8) De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver el triángulo.
9) Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol
en ese momento.
10) Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°.
¿A qué distancia del pueblo se halla?
11) Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente
uno de 70°.
12) Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman
entre ellos un ángulo de 70°.
13) Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo
de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.
14) La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios de la circunferencia inscrita y
circunscrita.
15) Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 49
centímetros de radio.
16) Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y la de B a C 9 km. El
ángulo que forman estas carreteras es 120°. ¿Cuánto distan A y B?
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PRACTICAMOS
01. Siendo “” un ángulo agudo, para el cual se tiene que: Cos = 3/4; calcule el valor de:
E = 7 Tg + 2Sec
A) 1
B) 2
D) 4
E) 5
C) 3
02. Los lados de un triángulo rectángulo son: x; 2x+1; 2x-1; determinar la tangente del mayor ángulo agudo.
A) 3/4
B) 15/8
C) 4/3
D) 12/5
E) 5/7
03. En un triángulo rectángulo un cateto mide 20 y los otros dos lados se diferencian en 8. Si  es el menor
ángulo agudo, calcular:
P = Sec + Tg
A) 5/3
B) 2
D) 8/3
E) 3
C) 7/3
04. Calcular “x” en:
12
53°
37°
x
A) 3
B) 4
D) 6
E) 7
C) 5
05. Si  es agudo y además:
Tg = Csc30° - Cos60°,
Calcular:
A) 2
B) 3
D) 5
E) 6
13 (Sen + Cos)
C) 4
06. De la figura mostrada, calcule “Tg”, si se tiene que Tg = 3/10
37°

A) 1
B) 1/2
D) 3/5
E) 2/5
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
C) 1/3