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UNIDAD 1: ESTUDIEMOS SUCECIONES ARITMETICAS
Y GEOMETRICAS.
Sucesiones
Una sucesión es un conjunto de números que son imagen de una función, cuyo dominio son,
(normalmente), los enteros positivos, comenzando a partir del 1.
Bueno, bueno, no nos preocupemos por las definiciones más o menos rigurosas o académicas; la
forma más fácil de "visualizar" una sucesión es pensar en varios números , por ejemplo, la población en
millones de habitantes que tienen varios países, y luego ordenar esos números: en la primera posición
(n=1), ponemos la nación con más población, y así sucesivamente en orden decreciente, hasta llegar a la
menor cantidad de población: en el caso de que tuviéramos una lista con 12 países, el menor en habitantes
estaría situado en la posición décimo segunda, n=12. En general, las sucesiones numéricas sirven para
ordenar números, en cantidades finitas como en el ejemplo anterior, o en cantidades infinitas, como por
ejemplo, sn= 1/n, la cual tiene infinitos elementos: ¿cuáles son?, bien, ya hemos dicho que, n =
(1,2,3,4,5...y así sin fin), por lo que el primer elemento será 1/1 = 1, el siguiente, (como fácilmente puede
adivinarse) es, 1/2 = 0.5, etc. Si quisiéramos saber cuál es el elemento que ocupa la posición 1320, sólo
tendremos que hallar el inverso de este número, es decir: 1 / 1320. La expresión sn= 1/n, se denomina
"término general de la sucesión", es una forma de escribir de manera compacta la sucesión; cuando
sabemos como se "comportan" los elementos de la sucesión, podemos escribir una fórmula que nos de el
valor numérico para cualquier posición, por ejemplo, si tengo la colección infinita de números: 2,4,6,8,...,
es fácil ver su comportamiento; el primero termino, (n=1), es el 2, a partir de entonces los siguientes se
obtienen sumando 2 al anterior, y en vez de escribir todos los elementos para "ver" la sucesión (ridículo e
imposible a la vez), lo que hacemos es escribir: sn = 2n.
La idea clave sobre el concepto de sucesión es la de " una colección de elementos ordenada”. Si quitamos
la palabra "ordenar", entonces ya no tenemos una sucesión; lo que tendremos es un conjunto de zapatos,
coches, estrellas, sucesiones ( ! Si ¡, sucesiones de sucesiones), números, etc.,
y no sabremos responder a preguntas como: ¿cuál es el lugar que ocupa Sirio en la lista de las estrellas
más brillantes? o ¿cuántos números primos hay hasta 1000?. Si no hacemos una lista de estrellas en
función de su brillo, o de números primos, no podremos contestar a las cuestiones anteriores.
En la gráfica de arriba puedes ver una sucesión de números reales (3, 9, 27,...) que están relacionados
entre sí, es decir, existe una característica común entre ellos y es, que todos se obtienen al tomar el
anterior y multiplicarlo por 3. Pues bien, toda sucesión que cumpla que cualquier elemento de la misma
sea igual al anterior multiplicado por un número, que llamaremos r , se denomina sucesión geométrica.
En el ejemplo anterior se puede ver que se trata de una sucesión de números reales (creciente), siendo r =
3 y S1 = 3 (el primer elemento). Desde luego, es muy fácil ver lo que sucede
cuando n toma valores muy elevados (para n = 1000, n = 1000000000000...), la sucesión 3n nos va a dar
números muy grandes. Si los elementos de la sucesión representaran distancias (por ejemplo en metros, o
lo que quieras), obtendríamos longitudes superiores al tamaño del mismo Universo, o dicho con otras
palabras, no es posible pensar en un número que sea mayor que los números que pueden conseguirse con
la sucesión 3n, lo cual implica que no esta "acotada" superiormente. Lo de acotación significa encajar o
limitar entre dos valores: ¿podemos encontrar "dos números" entre los cuales estén (3, 9, 27, 81,...)?, pues
no, sólo podemos decir están entre el 3 ( u otro más pequeño) y el infinito, pero infinito no es un número
concreto, ¿verdad?, por lo que podemos decir que no esta acotada, o que solamente tiene cota inferior ( el
3 o cualquier otro numero menor).
Hay dos fórmula muy útiles que nos permiten hallar el termino general de una sucesión geométrica y
la suma de una cantidad finita de estos:
Termino general de una sucesión geométrica:
Sn = S1.rn-1 donde r = razón, S1 = el primer elemento o término
de la sucesión, n = 1, 2, 3, 4, ...
Suma de los infinitos términos de una sucesión geométrica:
Esta ultima formula, sólo tiene sentido utilizarla si "el valor absoluto de de r es mayor que 1", es decir,
si r > 1 o r < -1. Veamos, si r es mayor que 1, resulta que los términos de la sucesión van creciendo más y
más, puesto que al multiplicar por un número mayor que 1, lo que conseguimos son números mayores que
el anterior, con lo que la suma será igual a infinito: sucede lo contrario para valores de r menores que 1 (
entre 1 y -1) , al multiplicar por "0,algo" (cero coma algo), obtenemos números cada vez más pequeños, y
entonces es posible hacer la suma. En el ejemplo anterior, r=3, con lo que la "suma vale infinito". Esto
ultimo es una forma de hablar, suma = infinito, no tiene sentido: suma = un numero concreto, si lo tiene,
entonces, este tipo de sucesiones se dice que son divergentes, y de forma equivalente, cuando su suma es
finita (un numero), se dice que son convergentes. Veamos un ejemplo:
Hay otra clase de sucesiones que se llaman aritméticas: son un conjunto de números
ordenados que tienen la propiedad de que cada término es igual
al anterior más una constante, d, o diferencia común, Los mismos números enteros, ( Z
= 1,2,3,...) son una sucesión aritmética, en donde d = 1: también lo
serían, ( -1/2, -1, -3/2, -2, ...) con d = -1/2 o (2, 6, 8, ..) con d = 2. Disponemos de dos
fórmulas para calcular la expresión del término general y el valor de
la suma. Hay que tener en cuenta que si sumamos una serie aritmética, con todos sus
términos positivos, el resultado será infinito ( o menos infinito cuando
todos sus términos son números negativos), puesto que estamos todos sus elementos
que son infinitos, en esta situación, sólo tiene sentido sumar una
cantidad finita de términos. Bien, las fórmulas son:
Término general para una sucesión aritmética:
Sn = S1 + (n - 1)d donde d = diferencia,
S1 = el primer elemento o término de la sucesión, n = 1, 2, 3, 4, ..
Suma de "n" términos (cantidad finita) para una sucesión aritmética:
Suma = (n /2) (2.S1 + (n - 1)d)
Veamos un ejemplo:
Progresión geométrica
En matemáticas, una progresión geométrica o sucesión geométrica está constituida por una
secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por
una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término
progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa
sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta separación no es estricta.
Así, 5, 15, 45, 135, 405,... es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque:
15 = 5 × 3
45 = 15 × 3
135 = 45 × 3
405 = 135 × 3
y así sucesivamente
Ejemplos de progresiones geométricas

La progresión 1, 2, 4, 8, 16, 32 es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al
igual que 5, 10, 20, 40.




La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875
es una progresión geométrica con razón 1/4.
La razón tampoco tiene porqué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24
tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante
porque los signos alternan entre positivo y negativo.
Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7
Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen
ciertas referencias que no consideran este caso como progresión y piden
explícitamente que
en la definición.
Fórmulas pertinentes a progresiones geométricas
Si
son los términos de una progresión geométrica con razón
se cumple la regla recursiva
entonces
La razón de una progresión geométrica puede entonces obtenerse dividiendo cualquier término
por su inmediato anterior:
Todos los términos de la progresión quedan determinados así por el primer término y la razón.
Efectuando la sustitución en cada paso, la progresión se convierte en
de donde se infiere la fórmula para el término n-ésimo:
Ejemplo. La secuencia 3, 6, 12, 24, 48, 96 es una progresión geométrica cuya razón es 2 ya
que
Dado que
, podemos calcular directamente cualquier entrada. Por ejemplo:
Suma de términos de una progresión geométrica
Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica
Se denomina como Sn a la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica:
Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an
Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica
ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión r.
Si se tiene en cuenta que al multiplicar un término de una progresión geométrica por la razón
se obtiene el término siguiente de esa progresión,
Sn r = a2 + a3 + ... + an + an r
Si se procede a restar de esta igualdad la primera:
Sn r = a2 + a3 + ... + an + an r
Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an
_______________________________
Sn r - Sn = - a1 + an r
o lo que es lo mismo,
Sn ( r - 1 ) = an r - a1
Si se despeja Sn,
De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuando se
conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede
expresar el término general de la progresión an como
an = a1 r
n-1
Así, al substituirlo en la fórmula1 anterior se tiene lo siguiente:
Con lo que se obtiene la siguiente igualdad:
Con esta fórmula se puede obtener la suma de n términos consecutivos de una progresión
geométrica con sólo saber el primer término a sumar y la razón de la progresión.
Suma de términos infinitos de una progresión geométrica
Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad | r | < 1, la suma de los infinitos
términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si |
r | < 1,
tiende hacia 0, de modo que:
En definitiva, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a
la unidad se obtiene utilizando la siguiente fórmula:
UNIDAD 2: UTILICEMOS EL CONTEO.
1. Principio de la multiplicación
.
Objetivos conceptuales. Conocer el principio de la multiplicación.
Objetivos procedimentales. Calcular el número de opciones en un fenómeno aplicando el principio de la multiplicación, y
construir diagramas de árbol.
Objetivos actitudinales. Reflexionar sobre lo útil que resulta la multiplicación para efectuar cálculos
Si lanzamos una moneda al aire, las opciones de caer son 2: cara o corona.
Si después de lanzada la moneda, lanzamos una esfera a una área de 2 zonas: blanco
y negro, ¿cuántas opciones en total se tienen?... Piensa... Se tienen 4 opciones.
Veámoslas:
cara
cara
corona
corona
–
–
–
–
blanco
negro
blanco
negro
Si el área es de 3 zonas: blanco, negro y puntos, ¿cuántas opciones en total se
tienen?... Piensa... Se tienen 6 opciones.
cara – blanco
cara – negro
cara – puntos
corona – blanco
corona – negro
corona – puntos
Ocurre que si el área fuera de 4 zonas (opciones), las opciones totales serían 8; y si
zonas, las opciones
serían 10.
tuviéramos
5
Veámoslas:
¿Ya te percataste que para encontrar el total de opciones basta con multiplicar las
opciones entre sí?... ¡Pues así de fácil se encuentran!
Resumiendo: para una moneda y 2 zonas: 4 opciones (4 = 2 x 2); para una moneda
y 3 zonas: 6 opciones (6 = 2 x 3); para una moneda y 4 zonas: 8 opciones (8 = 2 x 4);
para una moneda y 5 zonas: 10 opciones (10 = 2 x 5);
Del análisis anterior se desprende el principio de la multiplicación, que establece lo
siguiente:
Si una operación puede efectuarse en 2 pasos, teniendo el
primero A opciones, y si por cada opción puede realizarse otro
de B opciones; el total de opciones es A x B.
El principio de la multiplicación se amplía a más de 2 opciones. Por ejemplo, si a la
moneda y al área de 3 zonas se le agrega una ruleta con 4 animales: gato, perro, loro
y conejo; se tendrán 24 opciones (24 = 2 x 3 x 4)
 Diagrama de árbol
Todas las opciones posibles pueden detallarse en lo que se conoce como diagrama
de árbol. Para el caso de la moneda y 3 zonas, el diagrama de árbol es el siguiente:
Blanco
Negro
cara
corona
Puntos
1
Blanco
2
A
Negro
3
Puntos
1
El diagrama de árbol puede extenderse
más si agregamos más elementos. Por
ejemplo, si tenemos 2 colores: blanco y
negro; 2 letras (A y B) y 3 números: 1,
2 y 3; el diagrama de árbol es el
siguiente
B
Blanco
2
3
1
A
Negro
2
3
1

B
Actividad 1. Resuelve los casos siguientes.
2
3
1. Se lanza una moneda, se hace girar una ruleta de 4 colores y otra de 5 letras. ¿Cuántas
opciones hay? ______
2. Ana posee 3 pares de zapatos, 5 faldas y 4 blusas, ¿de cuántas formas se puede vestir?
____
3. Construye el diagrama de árbol que detalle todas las opciones al lanzar una moneda y hacer
girar una ruleta de 4 colores (blanco, negro, azul y verde)
4. Construye el diagrama de árbol que detalle todas las opciones al lanzar una moneda, hacer
girar una ruleta de 3 colores (blanco, negro y azul) y otra ruleta con 3 letras: A, B y C.
5. Construye el diagrama de árbol que detalle todas las opciones al lanzar una moneda, hacer
girar una ruleta de 3 colores (blanco, negro y azul) y otra ruleta con 4 letras: A, B, C y D.
6. Construye el diagrama de árbol que detalle todas las opciones al lanzar una moneda, hacer
girar una ruleta de 3 colores (blanco, negro y azul), otra ruleta con 3 letras: A, B y C; y un disco
con 4 animales: gato, perro, loro y tortuga.
7. Construye el diagrama de árbol que detalle todas las opciones al lanzar una moneda, hacer
girar una ruleta de 4 colores (blanco, negro, rojo y azul), otra ruleta con 3 letras: A, B y C; y un
disco con 4 animales: gato, perro, loro y tortuga.
8. Construye el diagrama de árbol que detalle todas las opciones al lanzar una moneda, hacer
girar una ruleta de 3 colores (blanco, negro y azul), otra ruleta con 4 letras: A, B, C y D; y un
disco con 4 animales: gato, perro, loro y tortuga.
2. Principio de la suma
Objetivos conceptuales. Conocer el principio de la suma.
Objetivos procedimentales. Calcular el número de opciones en un fenómeno aplicando el principio de la suma.
Objetivos actitudinales. Reflexionar sobre lo útil que resulta la suma para efectuar cálculos
Supongamos que para ir de la casa a la playa existen 3 rutas: A, B y C. Pero si se
desea antes pasar por el museo, se tienen las rutas siguientes:
De la casa al museo 2 rutas: R1 y R2.
Del museo a la playa 3 rutas: R3, R4 y R5.
Lo anterior se esquematiza a continuación:
A
B
R3
R1
Casa
R4
R5
R2
Museo
C
Puede apreciarse que si se desea pasar por el museo, podemos tomar cualquiera de
las rutas ERRES, pero NO podemos tomar las rutas A, B o C. De igual forma, si
deseamos ir directo podemos tomar cualquiera de las rutas A, B o C; pero ninguna de
las rutas ERRES. Por lo tanto, ir directamente es una operación; e ir pasando por el
museo es otra operación. Son operaciones que no pueden realizarse una después de
la otra o al mismo tiempo. Una operación excluye a la otra: son excluyentes.
La primera operación es de un paso; mientras que la segunda es de 2 pasos.
De acuerdo con el principio de la multiplicación, para ir a la playa pasando por el
museo existen 6 rutas (6 = 2 x 3): R1R3, R1R4, R1R5, R2R3, R2R4, R2R5. Por lo
tanto, el total de rutas es 6 más las rutas directas A, B y C; es decir, 9 rutas: 2 x 3 + 3
= 9.
Entendido lo anterior, entenderás el principio de la suma:
Si A y B son operaciones excluyentes, y si para realizar A se
tienen n opciones; y para B, k opciones; el total de opciones
es n + k.
Ejemplo. Se tienen 2 formas excluyentes de llegar a la playa: una pasando por el
museo, y la otra pasando por el aeropuerto. Se tienen 2 opciones para llegar al museo
y 4 para llegar del museo a la playa. Se tienen 3 opciones para llegar al aeropuerto y 5
para llegar del aeropuerto a la playa. ¿Cuántas opciones en total existen?
Solución.
Pasando por el museo. Se tienen 2 opciones para llegar al museo y 4 para llegar
del museo a la playa. El total son: 2 x 4 = 8
Pasando por el aeropuerto. Se tienen 3 opciones para llegar al aeropuerto y 5
para llegar del aeropuerto a la playa. El total son: 3 x 5 = 15
Playa
El total de opciones para llegar a la playa son 8 + 15 = 23.
Museo
Playa
Casa
Aeropuerto
 Actividad 2. Resuelve los casos siguientes.
1. Sandrita, para ir a la escuela, puede hacerlo directamente por las calles A, B, C o D.
Pero si desea pasar por el parque, tiene las opciones siguientes: de su casa al parque tiene los
caminos C1, C2 y C3; del parque a la escuela tiene los caminos C4, C5, C6, C7 y C8.
¿Cuántas opciones tiene? _____
2. Si en el caso anterior Sandrita sólo puede ir a la escuela pasando por la iglesia o
pasando por el parque, cuántas opciones tiene si para llegar a la iglesia tiene los
caminos C9 y C10; y de la iglesia a la escuela tiene los caminos C11, C12 y C13.
_____
3. Cuántas opciones tiene Sandrita para llegar a la escuela si puede hacerlo
directamente, pasando por la iglesia o pasando por el parque. _____
4. Karen, para ir a la escuela, puede hacerlo directamente por las calles A, B, C o D.
Pero si desea pasar por la tienda, tiene las opciones siguientes: de su casa a la tienda tiene los
caminos C1, C2 y C3; del de la tienda a la escuela tiene los caminos C4, C5, C6, C7 y
C8. ¿Cuántas opciones tiene? _____
3. Factorial de un número
Objetivos conceptuales. Conceptualizar lo que es la factorial de un número.
Objetivos procedimentales. Calcular la factorial de un número y operar con factoriales.
Objetivos actitudinales. Tomar conciencia de lo grande que es la factorial de número mayores que 10.
La factorial de un número natural n,
producto de n por todos sus anteriores.
Es decir que:
denotada
n!,
es
el
n! = n(n-1)(n-2)... x 3 x 2 x 1
El cero no está considerado como natural; pero su factorial se considera UNO. Es
decir que 0!= 1
Para el caso de los primeros 7 naturales, se tiene que:
1! = 1
2! = 2
3! =3 x 2 = 6
4! = 4 x 3 x 2 = 24
5! = 5 x 4 x 3 x 2 = 120
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 = 720
7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 = 5040
Nótese que no es necesario
multiplicar por UNO.
Tomemos la factorial de 7. Se tiene que:
7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2! = 5040
7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3! = 5040
De aquí resulta que: 10! = 10 x 9 x 8 x 7!
7!
7!
7! = 7 x 6 x 5 x 4! = 5040
= 10 x 9 x 8 = 720
7! = 7 x 6 x 5! = 5040
7! = 7 x 6! = 5040
La factorial tiene sus aplicaciones. Por ejemplo, si se tienen 3 figuras y se necesita
ordenarlas tomando en cuenta la posición de cada una, ¿cuántos ordenamientos son
posibles? Tomemos las figuras siguientes: un trébol, un corazón y una estrella (
)
Se tienen los ordenamientos siguientes:
Puede verse que el número de
ordenamientos obtenidos es 6. Pero 6 es la
factorial de 3, que es el número total de
figuras. ¿Podríamos decir que el número
máximo
de
ordenamientos
que
obtendremos con 4 figuras será 24, pues 24
= 4!?
Consideremos las figuras siguientes:
ordenamientos posibles.
Construyamos todos los




Puede apreciarse que se obtuvieron 24 ordenamientos con las 4 figuras. 24 = 4!
Podemos concluir que para 5 figuras, obtendremos 120 ordenamientos.
Actividad 3. Efectúa los cálculos siguientes: 1. 10! / 7! =
_____________________
_____________________
_________________________
2. 12! / 10! =
3.612!
= ! ____________________
4. 20!
______________________ 5. 25! / 21! =
. 27/!7!
/ 22
= ____________________
7./ 16!
28!=/ 23
! = ______________________ 8. 29! / 24! =
____________________
_________________________
9. 30! / 25! =
_____________________
____________________
10. 30! / 26! = ______________________ 11. 30! / 27! =
_________________________
_____________________
12. 320! / 28! =
____________________
13. 32! / 29! = ______________________ 14. 32! / 30!
= _______________________
 Actividad
con 5? ______________
4.
¿Cuántos arreglos más se pueden hacer con 7 elementos que
 Actividad 4b. ¿Cuántos arreglos más se pueden hacer con 8 elementos que
con 6? ___________
discusión 1. Intenta graficar las factoriales desde el 1 hasta el 10. Utiliza
el eje X para los números, y el eje Y para las factoriales. Medita sobre los grandes
valores que se obtienen
4. Permutaciones
Objetivos conceptuales. Conceptualizar lo que es una permutación.
Objetivos procedimentales. Calcular el número de permutaciones posibles con determinado número de elementos
Objetivos actitudinales. Tomar conciencia de lo útil de la factorial.
Una permutación es cualquier arreglo tomando todos o parte de
los elementos considerando el orden de aparición.
Es decir que en las permutaciones el orden de los factores sí altera el resultado.
Ya vimos que, tomando todos los elementos, el número de arreglos es la factorial del
número de elementos. También se debe tener presente que el orden de aparición
determina los arreglos. Para el caso, con dos figuras se obtiene un máximo de 2
arreglos:
y
Cuando se toman r elementos del total n, el número de arreglos se expresa así: nPr.
Dichos arreglos se calculan así: nPr = n! /(n – r)! Significa que: 10P7 = 10! / (10
– 7)!
Debe quedar muy claro lo siguiente: se toma parte de los elementos para cada
arreglo, pero en el total de arreglos aparecen todos los elementos.
Ejemplo. Encontremos y expresemos el número de arreglos posibles tomando 2
figuras de un total de 5. Las figuras son las siguientes
Solución.
Tomaremos 2 figuras de un total de 5: n = 5 y r = 2.
5! / 3!
nPr = n! / (n – r)! = 5! / (5 – 2)! =
= 120/6 = 20.
Por lo tanto se pueden formar 20 arreglos. Estos arreglos se muestran a continuación:
Puede apreciarse que aparecen todas las figuras, pero
en cada arreglo sólo aparecen 2 de las 5. También se
aprecia que cada figura aparece 8 veces.
Actividad 5.
6P3 = __________
Efectúa los cálculos siguientes: 1. 4P3 =
__________
2. 5P3 =
__________
3.
4. 7P3 = __________ 5. 8P3 =
8P7 = __________
__________
10. 9P3 = __________ 11. 9P4 =
15. 9P8 = __________
6. 8P4 =
__________
__________
12. 9P5 =
7. 8P5 =
__________
__________
13. 9P6 =
8. 8P6 =
__________
__________
14. 9P7 =
9.
_________
Actividad 6. Resuelve los casos siguientes:
1. ¿Cuántos números pueden formarse tomando los impares de entre los números
siguientes: 2, 3, 4, 5, 7, 8 y 9?
____________
1b. ¿Cuántos números pueden formarse tomando los pares de entre los números
siguientes: 2, 3, 4, 5, 7, 8 y 9? ___________
_
1c. ¿Cuántos números pueden formarse tomando los impares de entre los números
siguientes: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 y 9? ____________
1d. ¿Cuántos números pueden formarse tomando los pares de entre los números
siguientes: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9? ____________
2. ¿Por qué no es posible calcular la expresión nPr
si r > n?
___-
________________________________________________________________
3. ¿Es cierto que nPn = nP(n – 1)?
________
4. Ana mueve 3 figuras de un total de 10; y Sonia mueve 5 de un total de 6. ¿Quién
puede hacer mayor número de arreglos y cuántos más que la otra? _______________________
4b. Karen mueve 4 figuras de un total de 10; y Sandra mueve 5 de un total de 6.
¿Quién puede hacer mayor número de arreglos y cuántos más que la otra?
_________________
______
4c. Karen mueve 5 figuras de un total de 10; y Sandra mueve 5 de un total de 6.
¿Quién puede hacer mayor número de arreglos y cuántos más que la otra?
_______________________
4d. Karen mueve 6 figuras de un total de 10; y Sandra mueve 5 de un total de 6.
¿Quién puede hacer mayor número de arreglos y cuántos más que la otra?
_______________________
5. Escribir todos los números que pueden
formarse tomando 2 de los siguientes: 1, 2, 3, 4 y
5.
5. Combinaciones l
Objetivos conceptuales. Comprender lo que es una combinación y su diferencia con la permutación.
Objetivos procedimentales. Calcular el número de combinaciones posibles con determinado número de elementos
Objetivos actitudinales. Tomar conciencia de lo útil de las combinaciones en estadística.
Las combinaciones son diferentes a las permutaciones. En las permutaciones, el
orden de los elementos se toma en cuenta; pero en las combinaciones NO se toma en
cuenta.
Lo anterior se ejemplifica así:
≠
Para una permutación:
=
Para una combinación:
Concepto: Una
combinación es cualquier arreglo tomando parte de
los elementos sin considerar el orden de aparición.
El número de combinaciones tomando r elementos de un total de n, se representa así:
ncr. Se calcula así:
ncr =
n!
r!(n – r)!
Para el caso de las figuras   , si tomamos 2 de ellas, sólo obtenemos 3 arreglos.
Esto lo podemos comprobar aplicando la ecuación.
ncr =
n!
r!(n – r)!
=
3!
2! (3 – 2) !
= 6 / 2 = 3.
 Actividad 7. Resuelve los casos siguientes:
1. Efectúa los cálculos siguientes: a. 6C4 =
__________
b. 6C3 =
__________
c. 6C2 =__________ d.
7C 4 = __________
e. 8C4 = __________ f. 9C4 = __________ g. 10C4 = __________ h. 10 C 5 = __________ i. 10 C 6 = __________
j. 10 C 7 = __________ k. 10 C 8 = __________ l. 11C 6 = __________ m. 11C 6 = __________
2. ¿Será cierto que nC0 = nCn?
1)?
_________
3. ¿Será cierto que nC(n/2 + 1) = nC(n/2 -
_________
5. Cuál número es mayor nCr ó (n + 1)Cr
_________
4. ¿Será cierto que nC(n-1) = n?
__________________
6. Cuál número es mayor nCr ó nC(r+1) _________________
discusión 1. Resuelve los casos siguientes:
1.
Un empresario necesita contratar 3 empleados. Los aspirantes son 4: Juan,
Virginia, Pedro y Belinda. Escribe todas las combinaciones posibles.
2.
Un empresario necesita contratar 4 empleados. Los aspirantes son 5: Juan,
Virginia, Pedro, Belinda y Amanda. Escribe todas las combinaciones posibles.
3.
Un empresario necesita contratar 3 empleados. Los aspirantes son 5: Juan,
Virginia, Pedro, Belinda y Amanda. Escribe todas las combinaciones posibles.
4.
Un empresario necesita contratar 4 empleados. Los aspirantes son 6: Juan,
Virginia, Pedro, Belinda, Amanda y Sandra. Escribe todas las combinaciones posibles.
UNIDAD 3: ANALICEMOS LA FUNCION EXPONENCIAL
Y LOGARITMICA.
Históricamente, los exponentes fueron introducidos en matemáticas para dar un método
corto que indicara el producto de varios factores semejantes, y, con este propósito, solo se
consideraron inicialmente exponentes naturales. El estudio de las potencias de base real
será dividido en varios casos, de acuerdo con la clase de exponente: un número entero,
racional o, en general, un número real .
2.1 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Definición.
Sea
un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder
la potencia
Como
se llama función exponencial de base a y exponente x.
para todo
,la función exponencial es una función de
en
.
En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función
exponencial.
2.1.1 Teorema (Leyes de los Exponentes)
Sean a y b reales positivos y
x,y ,entonces:
1.
2.
3.
4.
5.
.
6.
Cuando a > 1 ,si x < y, entonces,
.Es decir, cuando la base a es mayor que 1,la
función exponencial
de base a es estrictamente creciente en su dominio.
Cuando 0 < a < 1, si x < y, entonces,
.
Esto significa que la función exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en
su dominio.
.
10.Si 0< a < b ,se tiene:
.
Esta propiedad permite comparar funciones exponenciales de diferentes bases.
11. Cualquiera que sea el número real positivo
que
,existe un único número real
tal
. Esta propiedad indica que la función exponencial es sobreyectiva.
Cuando x e y son enteros, los propiedades enunciadas anteriormente pueden demostrarse
usando las definiciones y el teorema 1. Para el caso en el cual x e y son racionales, la
demostración utiliza la definición y el teorema 2. Para el caso general, es decir, cuando x e
y son reales, la demostración utiliza elementos del análisis real.
2.1.2 Gráfica de la Función Exponencial
En relación con las propiedades 7 y 8, enunciadas en el teorema, es conveniente hacer
algunos comentarios adicionales.
En primer lugar, en las figuras 1 y 2, aparecen las gráficas de algunas funciones
exponenciales de base a > 1 (fig. 1) y de base a < 1 (fig. 2).
Note que cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial
acotada superiormente. Es decir ,
(fig.1) no está
crece sin límite al aumentar la variable x. Además,
ésta función tiene al cero como extremo inferior. Esto es ,
tiende a cero(0), cuando x
toma valores grandes pero negativos.
Igualmente, cuando la base a < 1, la función exponencial
(fig.2) no está acotada
superiormente, pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es
diferente. Así,
crece sin límite, al tomar x valores grandes, pero negativos y
a cero, cuando la variable x toma valores grandes positivos.
tiende
El hecho de ser la función exponencial
con a > 1, estrictamente creciente (estrictamente
decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función exponencial es invectiva en su
dominio. Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para
garantizar la existencia de la función inversa (función logarítmica), que se presentan en la
próxima sección.
En relación con la propiedad 9, en un sentido, se deduce fácilmente de la definición de
función; y, en otro, del hecho de ser la función exponencial invectiva.
Observación.
Cuando a = e ,donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus
primeras cifras decimales, es e = 2.7182818284?.,la función exponencial
,se llama:
función exponencial de base e y, frecuentemente, se denota por Exp ( x ) =
.
2.1.3 Las Funciones Hiperbólicas
En algunos problemas de Física e Ingeniería, se presentan ciertas combinaciones de las
funciones
y
que por su interés y características especiales merecen ser
consideradas con algún tratamiento. Tales combinaciones reciben el nombre de funciones
hiperbólicas.
Aquí solamente, se definirán y presentarán algunas identidades básicas que las relacionan.
La función COSENO HIPERBÓLICO, denotada por coshx, se define:
,
La función SENO HIPERBÓLICO, denotada por senhx , se define:
,
A partir de éstas, se definen las funciones: TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y
COSECANTE HIPERBÓLICA, de la siguiente manera:
A partir de la definición de las funciones hiperbólicas, es fácil demostrar, y se deja como
ejercicio para el lector, las siguientes identidades con funciones hiperbólicas:
1.
2.
3.
4.
5.
6. senh2x =2senhx coshx
8.
9.
10.
11.
12.
2.2. LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Con el uso de los logaritmos, los procesos de multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces
entre números reales pueden simplificarse notoriamente.
El proceso de multiplicación es reemplazado por una suma; la división, por una sustracción; la elevación a
potencias, por una simple multiplicación, y la extracción de raíces, por una división.
Muchos cálculos algebraicos, que son difíciles o imposibles por otros métodos, son fáciles de desarrollar por medio
de los logaritmos.
La igualdad N
fundamentales:
,donde N es un número real y
, es una expresión potencial; da lugar a dos problemas
Dada la base a y el exponente x ,encontrar N.
Dados N y a, encontrar x.
El primero de ellos puede solucionarse, en algunos casos ,aplicando las leyes de los exponentes. Para el segundo,
la propiedad 11 del teorema 2.1.1 garantiza que siempre existe un número real x tal que N
reales positivos y
, cuando N y a son
.
Lo anterior da lugar a la siguiente definición:
Definición.
Sea a un real positivo fijo,
y sea x cualquier real positivo, entonces:
La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base
denotada por
de x en la base a.
,se llama: función logarítmica de base a, y, el número
,
se llama logaritmo
La definición anterior, muchas veces, se expresa diciendo que :el logaritmo de un número, en una base dada ,es el
exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.
En el teorema siguiente, se presentan las propiedades más importantes de los logaritmos.
2.2.1 Teorema ( Propiedades de los logarítmos )
Si a > 0, y b es cualquier real positivo, x e y reales positivos, entonces :
.
.
Cuando a > 1 , si 0 < x < y , entonces,
estrictamente creciente en su dominio.
.Es decir ,la función logarítmica de base a > 1 es
Cuando 0 < a < 1, si 0 < x < y ,entonces,
estrictamente decreciente en su dominio.
.Esto es la función logarítmica de base entre 0 y 1; es
Para todo número real
, existe un único número real
función logarítmica es sobreyectiva .
tal que
. Esta propiedad indica que la
.
Si
, y, a != 0 , entonces,
. (Invarianza)
Demostración.
Para demostrar las propiedades de los logaritmos, se hace uso de la definición y de las propiedades de la función
exponencial, presentadas en la sección anterior.
A manera de ilustración , se demuestran las propiedades 1,4 y 7. Se dejan las restantes como ejercicio para el
lector.
Sea
.De acuerdo a la definición de logaritmo y de la propiedad 9 del teorema 3 ,se tiene :
.
Esto es ,
(1)
En segundo lugar , nuevamente por la definición ,
. 0
Es decir ,
( 2 ).
De ( 1 ) y ( 2 ), se concluye que
Sea
y
.
, entonces :
( 1 ).
( 2 ).
De ( 1 ) y ( 2 ), se sigue que :
.
Es decir ,
.
7.Se supone que a > 1 y 0< x < y. Sean :
y
.Se prueba que
.
En efecto ,si
,y como a > 1 ,se tendría por la propiedad 7 del teorema 3 que
en contradicción con la hipótesis.
, es decir ,
Análogamente, se razona para el caso 0 < a < 1.
Observaciones.
i ) La igualdad
, dada en la propiedad 1, es también válida para b < 0 .
ii) Las propiedades 7 y 8 de los logaritmos, conjuntamente con las propiedades 7 y 8 de los exponentes, ponen
de manifiesto el comportamiento similar que presentan las funciones exponenciales y logarítmicas en una misma
base .Es decir, si una de ellas es continua y creciente ( continua y decreciente ) , la otra también lo es.
iii) La base más frecuentemente utilizada para las funciones exponenciales y logarítmicas es el llamado número
e (número de EULER ).Los logaritmos de base e son llamados logaritmos Naturales o Neperianos y se
denotan por Ln .Sin embargo ,los que más a menudo se encuentran tabulados y que se utilizan en la practica son
los correspondientes a la base 10 ,los cuales son llamados logaritmos decimales o vulgares y se denotan
por
o, simplemente, Log x.
2.2.2. Gráfica de La Función Logarítmica
En las figuras 3 y 4 , aparecen las gráficas de las funciones
las propiedades establecidas en el teorema inmediatamente anterior.
e
, en concordancia con
En la figura 5, se han trazado conjuntamente las curvas
e
.Allí pueden visualizarse los
comentarios hechos en la observación ii). Puede notarse, además, que las curvas son simétricas con respecto a la
recta y = x.
fig 3
fig 4
2.3.1 Ejercicios Resueltos Sobre la Función Exponencial
1. Simplifique totalmente la siguiente expresión:
..
SOLUCIÓN
=
=
=
=
=
= 2025 .
2. Pruebe que
..
SOLUCIÓN
Simplifique inicialmente el numerador y el denominador de la fracción
.Así:
También ,
En consecuencia ,
.
2.3.2 Ejercicios Resueltos Sobre La Función Logarítmica
1. Pruebe que si a > 0 , a
..
SOLUCIÓN
Suponga que
(2).
y x > 0 ,entonces,
.
(1). Esto significa, de acuerdo a la definición, que
De (2), se deduce que
. Pero ,
(3).
De (1) y (3), se concluye que :
2. Sea a > 0 , x > 0 y, además ,
..
SOLUCIÓN
.Determine el valor de x.
Si
, entonces,
miembros de la última igualdad ,se obtiene :
. Tomando logaritmo en base a ,en ambos
. O Equivalentemente ,
Despejando
y simplificando , se obtiene :
En
consecuencia ,
.
3. Determine los valores de x e y que satisfacen simultáneamente las ecuaciones :
(1)
(2)
..
SOLUCIÓN
De la ecuación ( 2 ) ,se sigue que x e y son reales positivos. Además,se puede deducir
que :
( 3 ). De donde ,
Como x,y son reales positivos ,se sigue de ( 1 ) que
De ( 4 ) y ( 5 ), se deduce que :
( 4 ).
( 5 ).
.
De donde ,
.
Sustituyendo el valor de y en la ecuación ( 1 ) ,se obtiene
4. En la escala de Richter, la intensidad M de un terremoto, se relaciona con su energía E (en Ergios ) por medio de
la fórmula:
Si un terremoto tiene 1000 veces más energía que otro, ¿cuántas veces mayor es su índice de Richter M ?
¿Cuál es la razón de la energía del terremoto de San Francisco, ocurrido en 1906 (M=8.3), con la del Eureka de
1980 (M=7) ?
..
SOLUCIÓN
Sean
, las energías de los dos terremotos y tales que
(1).
Entonces,
Pero,
(3) y ,también ,
(4)
Sustituyendo (3) y (4) en (2), se obtiene:
Simplificando la última igualdad, se deduce que :
. Este último resultado indica que la intensidad
del terremoto de mayor energía tenía dos unidades mas que la intensidad del primero.
Si
denota la energía del terremoto de San Francisco
y
la energía del Eureka
, entonces :
(5).
(6).
Dividiendo miembro a miembro las igualdades (5) y (6), se
obtiene:
¿Cómo interpreta usted este resultado?
UNIDAD 4: ESTUDIEMOS LA PROBABILIDAD.
7. Probabilidad 1
Objetivos conceptuales. Comprender lo que es probabilidad.
Objetivos procedimentales. Efectuar cálculos de probabilidad.
Objetivos actitudinales. Reflexionar sobre la probabilidad de un suceso en la vida cotidiana: la lluvia, un temblor…
En términos sencillos, la probabilidad es la parte de la matemática que intenta
expresar con números la posibilidad de que ocurra o no un seceso.
7.1 Enfoques probabilísticas
Se conocen 3 enfoques sobre la definición de probabilidad: la subjetiva, la
frecuencial o empírica y la clásica.
El enfoque clásico se basa en la confianza derivada del conocimiento que se tiene
sobre el desarrollo de un fenómeno.
Por ejemplo, un tirador con arco con muy buena puntería, arriesgará una buena
cantidad apostando a que dará en el blanco. Su probabilidad es subjetiva, y se deriva
del conocimiento que tiene del fenómeno. Sin embargo, una persona que no lo
conozca no estará dispuesta a arriesgar mucho a su favor (apostando por él).
El enfoque frecuencial o empírico resulta de la experiencia. Esta se calcula dividiendo
la frecuencia absoluta entre el número de veces que se realizó el experimento.
Por ejemplo, si un dado se lanza 50 veces, obteniéndose en 10 ocasiones el 4,
entonces la probabilidad para el 4, P (4), es: P (4) = 10 / 50 = 1 / 5 = 0.2
El enfoque clásico se produjo como resultado de efectuar un experimento un gran
número de veces. Por ejemplo, si lanzamos una moneda sólo una vez, obtendremos
cara o corona. Pero si la lanzamos 2 veces, es más probable que caigan los 2 lados:
cara y corona. Si lanzamos la moneda 5 veces, es difícil que siempre caiga un lado. Y
si lanzamos la moneda 100 veces es casi imposible que siempre caiga un lado. Con
seguridad, al final de las 100 veces, observaremos que las caras y las coronas andan
alrededor de las 50 veces cada una. Esto conduce a pensar que tanto la cara como la
corona tienen iguales posibilidades de aparecer.
El enfoque clásico establece lo siguiente: Si se tienen n resultados y cada
resultado es igualmente probable, entonces la probabilidad de
cada uno es 1/n.
¿Qué significa que cada resultado sea igualmente probable?... Aquí entran en juego
varios factores. Por ejemplo, si se trata de un dado, para que los 6 resultados sean
igualmente probables, se necesita que los 6 lados tengan igual superficie. Si se tiene
una urna con canicas negras, blancas y rojas, para que los colores tengan igual
probabilidad se requiere que en la urna haya igual número de canicas de cada una.
Por ejemplo 10 de cada una.
En el diagrama siguiente, el número 2 no tiene las mismas probabilidades que el 1 y el
3.
2
1
3

Los números que se obtengan en esta ruleta no tienen la
misma posibilidad. Se observa que el 2 está en
desventaja, pues tiene menor área. Por su parte, el 3
tiene mayores ventajas, pues su área es mayor.
Si designamos con P(E) la probabilidad de un evento, se tiene que:
Casos favorables
P(E) =
Casos posibles
Conforme a la ecuación anterior, respondamos:
¿Cuál es la probabilidad de que una moneda caiga cara?... Tenemos un caso (cara), y
los casos posibles son 2. Por lo tanto:
P(E) = ½ = 0.5
50%
¿Cuál es la probabilidad de que una moneda caiga cara o corona?... Tenemos dos
casos (cara o corona) y los casos posibles son 2. Por lo tanto:
P(E) = 2/2 = 1
100%
¿Cuál es la probabilidad de que un dado caiga en 5?... Tenemos un caso; y los casos
posibles son 6. Por lo tanto:
P(E) = 1/6 = 0.167
16.7%
¿Cuál es la probabilidad de que un dado caiga en 3 ó 5?... Tenemos 2 casos; y los
casos posibles son 6. Por lo tanto:
P(E) = 2/6 = 0.333
33.3%
7.2 Axiomas sobre probabilidad
Axioma 1. Si se tiene la certeza de que un evento ocurrirá, su probabilidad es UNO.
Axioma 2. Si se tiene la certeza de que un evento no ocurrirá, su probabilidad es
CERO.
Axioma 3. Las probabilidades son números reales entre 0 y 1.
Por ejemplo, la probabilidad de sacar una canica verde de una urna que sólo tiene
canicas verdes es UNO. Por el contrario, la probabilidad de sacar una canica blanca
de dicha urna es CERO.
7.3 Teoremas básicos sobre probabilidad
Teorema 1. La probabilidad de que ocurra un evento es 1 menos la probabilidad de
que no ocurra.
Supongamos que en una urna hay 4 canicas: verde, azul, blanca y roja. La
probabilidad de sacar la verde es 1/4, entonces la probabilidad de no sacarla o sacar
cualquier otra es 1 – 1/4 = 3/4.
Teorema 2. Si A y B son eventos excluyentes, la probabilidad de que ocurra A o B es
igual a la suma de sus probabilidades separadas.
Es oportuno aclarar que 2 eventos son excluyentes si no tienen puntos muestrales en
común.
Para el caso de la misma urna, la probabilidad de sacar una canica es 1/4. ¿Cuál será
la probabilidad de sacar una verde o una azul?... Se suman las probabilidades: 1/4
+1/4 = 2/4 = 1/2.
Desde luego que para la resolución basta con conocer el número de casos (2) y el
total de casos (4): P (E) = 2/4 = 1/2.
Teorema 3. Si A y B son 2 eventos, la probabilidad de que ocurra al menos uno de
los dos, es igual a la probabilidad de A más la de B menos la probabilidad de su
intersección.
Supongamos que tenemos 10 canicas enumeradas del 1 al 10. Si el evento A es sacar
un número par; y el evento B es sacar un número mayor que 7, se tienen los
siguientes espacios muestrales:
Evento A: {2, 4, 6, 8, 10} La probabilidad de A es 5/10
Evento B: {8, 9, 10}
La probabilidad de B es 3/10
La intersección de A y B es: A ∩ B = { 8, 10 } La probabilidad de A ∩ B es 2/10
La probabilidad de que ocurra A o B, de acuerdo al teorema 3 es:
5/10 + 3/10 – 2/10
= (5 + 3 – 2)/10
= 6/10 = 0.6
De nuevo aquí basta con observar los puntos muestrales. Estos son: 2, 4, 6, 8, 9, 10.
Seis en total. La probabilidad es 6/10 = 0.6.
Observemos que A y B NO son eventos excluyentes, ya que tienen en común 2
números: 8 y 10. Si la intersección es vacía, estamos en el teorema 2.
Actividad 9. Calcula la probabilidad en cada caso.
1. Sacar una canica verde de una bolsa que tiene sólo canicas blancas
2. Sacar una canica verde de una bolsa que tiene sólo canicas verdes
3. Que una moneda caiga cara o corona
___________
___________
___________
4. Sacar una canica que no sea verde. La probabilidad de sacar una canica verde es
0.12. ___________
5. Que el dado caiga en 5
___________
6. Que el dado caiga en 5 ó en 4
7. Que el dado caiga en 2, 3 ó 4
___________
___________
8. Sacar una canica verde de una bolsa que tiene 5 verdes y 5 blancas ___________
9. Sacar una canica verde de una bolsa que tiene 5 verdes y 15 blancas ___________
10. Sacar una canica verde de una bolsa que tiene 5 verdes, 5 negras y 10 blancas
___________
11. Sacar una canica verde de una bolsa que tiene 10 verdes, 5 negras y 10 blancas
__________
12. Sacar una canica verde o una negra de una bolsa que tiene 10 verdes, 5 negras y
10 blancas __________
13. Sacar una canica blanca o una negra de una bolsa que tiene 5 verdes, 5 negras,
10 blancas y 5 azules.
___________
14. Sacar una canica blanca o una negra de una bolsa que tiene 10 verdes, 5 negras,
15 blancas y 10 azules.
___________
15. Sacar una canica blanca, una negra o una azul de una bolsa que tiene 10 verdes,
5 negras, 15 blancas y 10 azules.
___________
 Actividad 10. Resuelve cada caso.
1. Se lanza un dado. El evento A es que caiga en número par. El evento B es que
caiga en número múltiplo de 3. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B? ___________
2. Se lanza un dado. El evento A es que caiga en número impar. El evento B es que
caiga en número múltiplo de 3. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B? ___________
3. Se lanza un dado. El evento A es que caiga en número impar. El evento B es que
caiga en número múltiplo de 4. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B? ___________
4. Se lanza un dado. El evento A es que caiga en número impar. El evento B es que
caiga en número múltiplo de 2. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B? ___________
5. En una urna se tienen 12 canicas enumeradas del 1 al 12. El evento A es sacar un
número par. El evento B es sacar un número mayor que 6. ¿Cuál es la probabilidad de
que ocurra A o B? ___________
6. En una urna se tienen 12 canicas enumeradas del 1 al 12. El evento A es sacar un
número par. El evento B es sacar un número múltiplo de 3. ¿Cuál es la probabilidad de
que ocurra A o B? __________
discusión 2. Resolver cada caso.
1. En una urna se tienen 3 canicas enumeradas del 1 al 3. En otra se tienen dos
canicas de colores: una negra y una blanca. ¿Cuál es la probabilidad de obtener la
combinación 2 – negra? ___________
2. En una urna se tienen 3 canicas enumeradas del 1 al 3. En otra se tienen 3 canicas
de colores: negra, blanca y roja. ¿Cuál es la probabilidad de obtener la combinación 2
– roja? ___________
3. Para el caso anterior, ¿cuál es la probabilidad de obtener la combinación 2 – roja o
la combinación
3 – blanca?
___________
4. En una urna sólo hay canicas blancas y negras. Blancas son 10. Se sabe que la
probabilidad de sacar una canica blanca es de 0.25. ¿Cuántas canicas hay en la
bolsa? ___________
5. En una urna sólo hay canicas blancas, rojas y negras. Blancas son 10. Se sabe que
la probabilidad de sacar una canica blanca es de 0.2 y la de sacar una negra es 0.3.
¿Cuántas canicas negras y rojas hay? _________________
___________________
UNIDAD 5: UTILICEMOS PROBABILIDADES.
Distribuciones de probabilidad
Introducción
Estudiaremos aquí en qué consiste una distribución de probabilidades y los distintos tipos de variables
que aparecen en el trabajo con probabilidad. Además, se conocerán con cierto detalle dos tipos de
distribución de probabilidad: la binomial, como distribución especial de variable discreta, y la normal,
como principal de las distribuciones probabilísticas para variable continua.
El tema de las distribuciones implica no sólo conocer sus peculiaridades, sino también calcular
probabilidades. El caso de la distribución normal supone obtener probabilidades con ayuda de la tabla, la
cual tendrá que ser manejada con soltura.
La distribución normal es la más importante por su gran utilidad en la inferencia estadística y porque son
muchas las variables que siguen o se aproximan a su patrón entre otros aspectos.
Objetivos:
Que el alumno o la alumna pueda:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Definir una distribución de probabilidades
Distinguir entre variable discreta y variable continua.
Obtener probabilidades para valores específicos de la variable
Enlistar características de una distribución normal
Definir y calcular valores de z
Determinar la probabilidad de que una observación esté entre dos puntos, utilizando la distribución
normal estándar
7. Determinar la probabilidad de que una observación esté por arriba o por abajo de un valor, utilizando
la
. . distribución normal estándar.
Lo que se debe tener presente es que en una variable continua no hay saltos: no
pasamos de 2 a 3, sino que podemos tomar cualquier valor entre 2 y 3; por ejemplo
2.25
Una forma fácil para determinar si una variable es discreta o continua es la
siguiente: si es el resultado de contar es discreta; y si es el resultado de medir es
continua.
2. Distribución de probabilidades
.
Se tiene una distribución de probabilidades cuando se conocen todos los valores posibles que
una variable aleatoria puede tomar y la probabilidad de cada uno de esos valores.
Gildaberto Bonilla nos presenta el ejemplo del lanzamiento de 4 monedas, o lo que es lo mismo,
lanzar 4 veces una moneda. El diagrama de árbol nos da todos los posibles resultados:








Si la variable aleatoria es el aparecimiento de cara en los 4 lanzamientos, dicha
variable toma los siguientes valores: 0, 1, 2, 3 ó 4. Es decir, puede NO aparecer una
cara o pueden aparecer 1, 2, 3 ó 4. Al observar los 16 casos, vemos que sólo en un
caso no aparece la cara, y sólo en un
caso aparecen las 4. También
observamos que 2 caras aparecen en 6
casos. En la tabla siguiente se resume
el resultado.
No de caras
0
1
2
3
Casos
1
4
6
4
Probabilidad
1 / 16
4 / 16
6 / 16
4 / 16
4
1
1 / 16
Los datos de la tabla aparecen en un
diagrama de barras, que se utiliza para
variables discretas.
Es importante hacer notar que la suma de
las probabilidades es la unidad:
1/16 + 4/16 + 6/16 + 4/16 + 1/16 =
(1 + 4 + 6 + 4 + 1)/16 = 16/16 = 1
Es importante recalcar que la variable aparecimiento de cara es una variable
discreta, pues toma valores enteros. La cara puede aparecer CERO veces, o también
1, 2, 3 ó 4 veces. Pero nunca aparecerá una vez y media (1.5)
3. Distribución binomial
.
Objetivos conceptuales.
En el ejemplo del lanzamiento de la moneda, existen sólo 2 posibilidades: cara o
corona. Además, la probabilidad para cada evento es la misma: 1/16. Esto se debe a
que son eventos independientes. Cuando se dan estas 2 condiciones se dice que se
trata de un experimento binomial, o de una distribución binomial.
Otra distribución binomial es la de hacer una extracción de una canica blanca, con
reemplazo, de una urna con 5 canicas: 2 blancas y 3 negras. En este caso sólo hay 2
posibilidades: blanca o negra. Además, la probabilidad de que sea blanca es
SIEMPRE 2/5, pues son eventos independientes (la canica se remplaza: vuelve a la
urna)
Si P es la probabilidad de éxito y Q la probabilidad de fracaso, entonces Q = 1 – P.
Para nuestro caso Q = 1 – 2/5 = 3/5.
Volvamos a la urna y hagamos 10 extracciones (con reemplazo), ¿cuál será la probabilidad de
tener éxito en 3 ocasiones?... Se calcula de la siguiente manera:
3 10 – 3
10
Recordemos que: 10 C 3 =
C3P Q
10!
3! (10 – 3)!
Para este caso específico, se tiene que:
10
3
C 3 P 3 Q10= –120
(2/5)3 (3/5)7 = 0.215
En general, la probabilidad de tener éxito x veces en n experimentos es:
P(x) = n C x P
En la tabla siguiente se muestran las probabilidades para diversos números de éxitos.
Exitos
0
1
2
Probabilidad
0.006
0.04
0.121
x
Qn – x
3
4
5
6
7
8
9
10
0.215
0.251
0.2
0.111
0.042
0.01
0.001
0.0001
Ejemplo. Resolver cada caso.
1
Esta curva se obtiene para variables continuas. Se conoce como distribución normal o curva
normal. El estudio de esta curva se centra en el área que encierra.
Ocurre que muchas distribuciones de variables continuas tienen el mismo comportamiento
general. Variables que tienen un comportamiento normal son pesos, estaturas, velocidades,
tiempos, volúmenes...
La curva normal se extiende indefinidamente hacia los lados, pero nunca toca al eje X, es decir
que dicho eje es una asíntota. Esto no es de mucha importancia, pues el área en los extremos es
de poco valor para el análisis.
Como se observa, la curva tiene la forma de una campana. Además, es siempre simétrica. Esto
significa que una mitad es el reflejo en un espejo de la otra mitad. ¿Qué implica esta simetría?
Observa la normal siguiente:
Podemos observar que el 50% de los corredores se tardaron entre 35 y 55 minutos.
Evidentemente allí se agrupa la mayoría. Es probable que ese grupo esté formado por personas
sanas, que practican algún deporte, pero que lo hacen por salud física.
El 80% se tardó entre 25 y 65 minutos. Aquí están incluidas personas más ágiles y también
personas bastante lentas.
El 80% se calcula sumando todos los porcentajes: 15% + 25% + 25% + 15% = 80%.
El 96% se tardó entre 18 y 72 minutos. Aquí están incluidas personas muy ágiles, pues algunas
de ellas se tardaron 18 minutos en el recorrido. Seguramente son atletas profesionales:
futbolistas, basquetbolistas, nadadores... Pero también están incluidas personas muy lentas, pues
algunas de ellas se tardaron 72 minutos en el recorrido. Quizá se trate de personas
extremadamente obesas o con algún problema respiratorio.
El 100% se tardó entre menos de 18 minutos o más de 72. Se incluyen en el total de personas
algunas que se tardaron menos de 18 minutos. Son, con seguridad, corredores profesionales,
talvez medallistas de juegos olímpicos. Pero también están incluidas, en el total, personas que se
tardaron más de 72 minutos. Quizás se trata de personas extremadamente gordas y que,
seguramente, se tomaron un descanso en el trayecto.
También se observa que 200 personas llegaron a la meta en 45 minutos. Es decir que la mayoría
se agrupa en torno de la media aritmética (45). Además, sólo 5 llegaron en 18 minutos y sólo 5
llegaron en 72 minutos. Es decir que son pocas las personas muy veloces y también son muy
pocas las personas muy lentas.
 Cálculo de probabilidades en distribuciones normales
Ya se dijo que el área encerrada por la campana representa la probabilidad total (=1).
Un segmento de área representa una probabilidad determinada.
Las curvas que se muestran están dadas para una misma media aritmética y una misma
desviación típica. Puede observarse, a simple vista, que el área de la derecha representa una
probabilidad mayor.
Las curvas anteriores corresponden a una misma media aritmética y a una misma desviación
típica. Estas variables son las que generan la curva normal. Esto significa que la normal para
una media () y una desviación típica (σ) determinadas es única: sólo existe una distribución
normal para una desviación típica y una media determinadas. La desviación típica define la
altura: a mayor desviación típica, menor altura. La media desplaza la curva hacia la derecha o
hacia la izquierda. Esto se muestra en los gráficos siguientes.
= 6
σ =4
= 6
σ =8

1
2

3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7
= 6
σ =4
= 10
σ =4

1
2

3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
= 9
σ =8
= 5
σ =4


1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
= 5
σ =8
2
3
4
5
6
7
7
= 9
σ =8

1
7

8
9
10
11
12
7
Cuando se conocen la desviación típica y la media, es posible determinar el área bajo la curva
normal.
Existen tablas con valores distintos de desviación típica y media aritmética. Aquí presentamos
una para = 0 y σ = 1.
La tabla representa el área de la mitad de la curva. Es decir, una probabilidad de 0.5 En efecto,
la tabla se inicia con cero y finaliza con 0.5
La tabla nos da la mitad del área buscada. Para
encontrar el área total simplemente
multiplicamos por 2. También se hacen restas
cuando se busca la no probabilidad.
……………………………………………………………………………………………………
………..
Z
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0
Areas bajo la curva normal típica de 0 a z
1
0.0000 0.0040
0.0398
0.0438
0.0793
0.0832
0.1179
0.1217
0.1554
0.1591
2
3
4
5
6
7
8
9
0.0080
0.0478
0.0871
0.1255
0.1628
0.0120
0.0517
0.0910
0.1293
0.1664
0.0160
0.0557
0.0948
0.1331
0.1700
0.0199
0.0598
0.0987
0.1368
0.1736
0.0239
0.0638
0.1026
0.1406
0.1772
0.0279
0.0675
0.1064
0.1443
0.1808
0.0319
0.0714
0.1103
0.1480
0.1844
0.0359
0.0359
0.1141
0.1517
0.1879
0.5 0.1915
0.1950
0.1985
0.2019
0.2054
0.2088
0.2123
0.2157
0.2190
0.2224
0.6
0.7
0.8
0.9
0.2258
0.2580
0.2881
0.3159
0.2291
0.2612
0.2910
0.3166
0.2324
0.2642
0.2939
0.3212
0.2357
0.2673
0.2967
0.3238
0.2389
0.2704
0.2996
0.3264
0.2422
0.2734
0.3023
0.3289
0.2454
0.2764
0.3051
0.3315
0.2486
0.2794
0.23078
0.3340
0.2518
0.2823
0.3106
0.3365
0.2549
0.2852
0.3133
0.3389
1.0 0.3413
0.3438
0.3461
0.3485
0.3508
0.3531
0.3554
0.3577
0.3599
0.3621
1.1
1.2
1.3
1.4
0.3643
0.3849
0.4032
0.4192
0.3665
0.3869
0.4049
0.4207
0.3686
0.3888
0.4068
0.4222
0.3708
0.3907
0.4082
0.4236
0.3729
0.3925
0.4099
0.4251
0.3749
0.3944
0.4115
0.4265
0.3770
0.3962
0.4131
0.4279
0.3790
0.3980
0.4147
0.4292
0.3810
0.3997
0.4162
0.4306
0.3830
0.4015
0.4177
0.4319
1.5 0.4332
0.4345
0.4357
0.4370
0.4382
0.4394
0.4406
0.4418
0.4429
0.4441
1.6
1.7
1.8
1.9
0.4452
0.4554
0.4641
0.4713
0.4463
0.4564
0.4649
0.4719
0.447
0.4573
0.4658
0.4726
0.4484
0.4582
0.4664
0.4732
0.4495
0.4591
0.4671
0.4738
0.4505
0.4599
0.4678
0.4744
0.4515
0.4608
0.4686
0.4750
0.4525
0.4616
0.4693
0.4756
0.4535
0.4625
0.4699
0.4761
0.4545
0.4633
0.4706
0.4767
2.0 0.4772
0.4778
0.4783
0.4788
0.4793
0.4798
0.4803
0.4808
0.4812
0.4817
2.1
2.2
2.3
2.4
0.4821
0.4861
0.4893
0.4918
0.4826
0.4864
0.4896
0.4920
0.4930
0.4868
0.4898
0.4922
0.4834
0.4871
0.4901
0.4925
0.4838
0.4875
0.4904
0.4927
0.4842
0.4878
0.4906
0.4929
0.4846
0.4881
0.4909
0.4931
0.4850
0.4884
0.4911
0.4932
0.4854
0.4887
0.4913
0.4934
0.4857
0.4890
0.4916
0.4936
2.5 0.4938
0.4940
0.4941
0.4943
0.4945
0.4946
0.4948
0.4949
0.4951
0.4952
2.6
2.7
2.8
2.9
0.4953
0.4965
0.4974
0.4981
0.4955
0.4966
0.4975
0.4982
0.4956
0.4967
0.4976
0.4982
0.4957
0.4968
0.4977
0.4983
0.4959
0.4969
0.4977
0.4984
0.4960
0.4970
0.4978
0.4984
0.4961
0.4971
0.4979
0.4985
0.4962
0.4972
0.4979
0.4985
0.4963
0.4973
0.4980
0.4986
0.4964
0.4974
0.4981
0.4986
3.0 0.4987
0.4987
0.4987
0.4988
0.4988
0.4989
0.4989
0.4989
0.4990
0.4990
3.1
3.2
3.3
3.4
0.4990
0.4993
0.4995
0.4997
0.4991
0.4993
0.4995
0.4997
0.4991
0.4994
0.4995
0.4997
0.4991
0.4994
0.4996
0.4997
0.4992
0.4994
0.4996
0.4997
0.4992
0.4994
0.4996
0.4997
0.4992
0.4994
0.4996
0.4997
0.4992
0.4995
0.4996
0.4997
0.4993
0.4995
0.4996
0.4997
0.4993
0.4995
0.4997
0.4998
3.5 0.4998
0.4998
0.4998
0.4998
0.4998
0.4998
0.4998
0.4998
0.4998
0.4998
3.6
3.7
3.8
3.9
0.4998
0.4999
0.4999
0.5000
0.4999
0.4999
0.4999
0.5000
0.4999
0.4999
0.4999
0.5000
0.4999
0.4999
0.4999
0.5000
0.4999
0.4999
0.4999
0.5000
0.4999
0.4999
0.4999
0.5000
0.4999
0.4999
0.4999
0.5000
0.4999
0.4999
0.4999
0.5000
0.4999
0.4999
0.4999
0.5000
0.4998
0.4999
0.4999
0.5000
En la tabla anterior, en el margen izquierdo está el dígito unitario y una décima (2.8, 3.4), y en
el margen superior están las centésimas. Para el caso, el área para z = 2.75 (= 2.7 + 0.05),
buscamos 2.7 en la vertical (margen izquierdo) y 5 en la horizontal (margen superior). Se
obtiene: probabilidad es igual a 0.4970
¿Recuerdas que dijimos que la curva normal se extiende indefinidamente hacia los
lados y que el área en los extremos es de poco valor para el análisis?... Ocurre que
esa área es muy pequeña, insignificante. Esto puede apreciarse en la tabla. El área
comienza a medirse a partir de la media: a partir del centro. Se continúa hacia la
derecha (valores positivos) Observemos los datos de la primera fila:
0.0000 0.0040
0.0080
0.0120
0.0160
0.0199
0.0239
0.0279
0.0319
0.0359
El crecimiento es acelerado. Dividamos uno entre el anterior: 0.120/0.008 = 15. Al final
de la tabla, el crecimiento es muy lento. Incluso en la última fila el crecimiento es nulo:
se repite 0.5
También se mencionó como característica que aproximadamente el 68% de la población se
encuentra en el entorno de la media, a una desviación típica de distancia. Comprobaremos esto
con un ejemplo, el cual nos mostrará el uso de la tabla.
Ejemplo. Comprobemos que aproximadamente el 68% de la población se encuentra en el
entorno de la media, a una desviación típica de distancia.
Solución.
La tabla está dada para una media de cero. Le sumaremos y restaremos una desviación típica:
0 ± 1. Es decir que la probabilidad será el área comprendida entre menos una desviación típica y
más una desviación típica. Buscamos en la columna de z el valor de 1.0; luego nos ubicamos en
la columna cero. Ese es el punto buscado.
z
0
0.0
0.1
0.2
0.0000
0.0398
0.0793
0.9
Hacia una desviación típica a la derecha, el área es de 0.3413. Esto
implica que el total del área es de 2(0.3413) = 0.6826 En
porcentaje, 0.6826 equivale al 68.26%
0.3159
1.0
0.3413
0.3413
0.3413
0.3413 es el área bajo la normal entre z = 0
(que es la ubicación de la media de la
variable continua) y z = 1; que es una
desviación típica mayor que la media
-σ
0
+σ
Ejemplo. Resolvamos cada caso.
1. Calcular el área entre z = -1.8 y z = 2.46
2. Calcular el área entre z = 0.45 y z = 1.62
3. Calcular el área debajo de z = 1.23
4. Calcular el área a la izquierda de z = -0.67 y a la derecha de z = 1.79
Solución.
 -1.8 está a la izquierda de la media (por el signo menos)
1.8 = 1.8 + 0.0: buscamos en 1.8 y
cero. Se tiene que para 1.8 el área es 0.4641
2.46 está a la derecha: 2.46 = 2.4 + 0.06 Para 2.4 y 6 el área es 0.4931
El área entre esos valores es la suma de ambas: 0.4641 + 0.4931 = 0.9572
Puede apreciarse que el área es cercano a
uno.
0.9572
 Para z = 0.45, el área es 0.1736
Para z = 1.62, el área es 0.447
Lo que se busca es
0.45
1.62
Este es el área buscada
Al área que le corresponde a 1.62 le restamos la de 0.45: el área es 0.4474 – 0.1736 = 0.2738
Si nos hubiesen pedido el área entre –0.45 y –1.62, hubiésemos obtenido el mismo valor, pues
se procede de igual forma. Claro que al graficar, la zona queda a la izquierda de la media.
 Para z = 1.23, el área es 0.3907. El área debajo de 1.23 es la que está a la izquierda. Por lo
tanto, el área buscada es 0.3907 + 0.5 = 0.8907
Esta es el área buscada
1.23
Si nos hubiesen pedido el área a la derecha de z = 1.23, la respuesta sería: 0.5 – 0.3907 = 0.1093
Que es el área sin sombrear (la blanca)

Para z = -0.67, el área es 0.2486 Y para z = 1.79 es 0.4633. A la izquierda de –0.67 el área
es
0.5 – 0.2486 = 0.2514. A la derecha de 1.79, el área es 0.5 – 0.4633 = 0.0367
ambas es: 0.2514 + 0.0367 = 0.2881
La suma de
Aquí se muestran las 2 áreas.
-0.67
1.79
Llegamos a la misma respuesta si de 1 restamos la suma 0.2486 + 0.4633 = 0.7119:
1 – 0.7119 = 0.2881.
 Actividad 2.
Resuelve cada caso.
1. Para cada z, encontrar el área. z = 0.23
1.28 _______________ z = 1.5 _______________ z = -1.71
z = 0.64 _______________ z = -1.25 _______________ z = z = 1.93 _______________ z = 2.94 _______________ z = 3.35
_______________
_______________
_______________
2. Para cada área dada, encontrar el valor de z. 0.0910
0.3997
0.4996 _______________
_______________
_______________
0.4332
_______________
0.4564
_______________
_______________
0.4732
0.2389
_______________
_______________
0.4984
0.3944
_______________
3. Encontrar las siguientes áreas: a. entre –1.6 y 2.45 _______________ b. entre –1.67 y 1.17
_______________
c. entre -1.17 y 1.67 _______________ d. entre 0.54 y 2.45 _______________ e. entre –0.54 y -2.45
_______________
4. Encontrar el área a la derecha de z = 1.14
_______________
5. Encontrar el área a la izquierda de z = 1.14 _______________
6. Encontrar el área a la derecha de z = -1.14 _______________
7. Encontrar el área a la izquierda de z = -1.14 _______________
8. Encontrar las áreas que se señalan en los gráficos.
a.
b.
a. a
-0.48
1.09
c.
-1.53
1.05
d.
-0.53
0.53
-0.94
2.54
SOLUCIONES.
Actividad 1. 1. 0.236 2. 0.133 3. 0.05 4. 0.015 5. 0.24 6. 0.142 7. 0.054 8.
0.012
9. 0.206 0.118 0.024 10. 0.046 11. 0.029 Como falla 3, significa que acierta 7: P =
7/10 = 0.7
12. 0.204 Aquí P = 5/18. Aunque son 3 los colores, las posibilidades se reducen a 2: cae en
negro o no cae. 13. 0.343 Aunque son 4 objetos, las posibilidades se reducen a 2: es
ventilador o no es ventilador. Para un ventilador P = 12/32 = 0.375. Además: n = 5 y x = 2. 14.
0.089 Aquí P = 1/5. 15. 0.146 Aquí P = 1/4.
discusión 1. 2 veces
____________
Aquí se procede así: hay igual número de canicas: P = Q =
Qn – x = P n = P 5 = (0.5)5 = 0.03125 Y tenemos 5 C x (0.03125) = 0.3125
De donde resulta que: 5 C x = 0.3125/0.03125 = 10 Pero 5 C x = 5!/(x!(5-x)!) Finalmente se
0.5 Por lo tanto P
x
llega a que: x!(5 - x)! = 12 Probando números desde el UNO, aparece que x = 2.
Actividad 2. 1. 0.0910 0.2389 0.3944 0.3997 0.4332 0.4564 0.4732 0.4984 0.4996
2. 0.23 0.64 1.25 1.28 1.5 1.71 1.93 2.94 y 2.95 desde 3.33 hasta 3.38 3. a.
0.9381 b. 0.8242 c. 0.8315 d. 0.2875 4. 0.1271 5. 0.8729 6. 0.8729 7. 0.1271 8. a.
0.5465 b. 0.7901 c. 0.5962 d. 0.1791
UNIDAD 6: SOLUCIONEMOS TRIANGULOS
OBLICUANGULOS.
triángulos oblicuángulos
Introducción
En esta unidad complementaremos el estudio iniciado en el área anterior en lo que se refiere a la solución
de triángulos. La mayoría de conceptos y teoremas que se manejarán son nuevos, por lo que demanda
un poco más de atención. Trataremos de cubrir estos temas minuciosamente, dada su importancia
No se debe perder de vista que la solución de triángulos es el aspecto medular de la trigonometría, por lo
que su comprensión adecuada es fundamental.
Objetivos:
Que el alumno o la alumna pueda:
1. Definir un triángulo oblicuángulo.
2. Enunciar y demostrar los teoremas del seno y del coseno.
3. Escribir la fórmula de proyección.
4. Determinar los casos en que se puede resolver un triángulo oblicuángulo.
5. Señalar un procedimiento a seguir para resolver un triángulo oblicuángulo, a partir de los datos
presentados.
6. Resolver un triángulo oblicuángulo, utilizando los teoremas estudiados.
7. Comprobar si un triángulo oblicuángulo está bien resuelto.
8. Aplicar los triángulos oblicuángulos en la solución de situaciones prácticas.
.
1. Triángulos oblicuángulos
.
Objetivos conceptuales. Definir qué es un triángulo oblicuángulo.
Objetivos procedimentales. Identificar, entre un grupo de triángulos, aquellos que son oblicuángulos.
Al observar los triángulos anteriores, podemos notar que el primero es un triángulo
rectángulo, pues posee un ángulo recto. En cambio los otros NO poseen un ángulo
recto. Estos triángulos son oblicuángulos.
Un triángulo que No posee un ángulo recto es oblicuángulo.
En otras palabras: si un triángulo no es rectángulo, entonces es oblicuángulo
Actividad 1.
Utiliza un transportador para identificar qué triángulos son
oblicuángulos.
c
b
a
g
d
e
e
j
h
i
Cuando estudiamos los triángulos rectángulos vimos que resolverlos era encontrar
sus lados o ángulos desconocidos. Lo mismo es resolver un triángulo oblicuángulo.
Como ya vimos, es posible resolver un triángulo oblicuángulo dividiéndolo en
triángulos rectángulos. En la sección siguiente resolveremos un triángulo oblicuángulo
directamente (sin separarlo en rectángulos)
2. Teorema del seno. Demostración y
formulación
.
Objetivos conceptuales. Expresar el teorema del seno para un triángulo oblicuángulo.
Objetivos procedimentales. Demostrar el teorema del seno.
Observa los lados y los ángulos del triángulo oblicuángulo siguiente (memorízalos):
¡Fácil de recordar! El lado A es el
opuesto del ángulo a; El lado B es el
opuesto del ángulo b; El lado C es el
opuesto del ángulo c.
b
A
C
c
a
B
Para un triángulo cualquiera como el anterior, el teorema del seno establece lo
siguiente:
Es decir que los lados son proporcionales a los
senos de los ángulos opuestos.
A
B
C
=
=
Sen a
Sen b Sen c
Sen a
La anterior fórmula equivale a:
A
=
Sen b
=
B
Sen c
C
En la resolución de triángulos oblicuángulos, se tomará una sola igualdad.
A
B
=
Sen a Sen b
o
Primera igualdad
A
=
Sen a
C
Sen c
Segunda igualdad
o
B
=
Sen b
C
Sen c
Tercera igualdad
O también:
Sen a = Sen b
A
B
o
Sen a=
Sen c
A
C
o
Sen
= b
B
Sen c
C
 Demostración
Para demostrar el teorema del seno, recordemos lo que es la altura de un triángulo. La
altura es aquella línea que parte de un vértice y cae perpendicularmente en una base
del triángulo. Es decir que toda altura formará, de alguna manera, un triángulo
rectángulo. En el triángulo siguiente aparecen 2 alturas: H y h.
b
h
C
A
H
c
a
B
Cada altura divide el triángulo en 2 rectángulos. De acuerdo con lo estudiado en la
unidad anterior, para los rectángulos en los que H es el lado opuesto, se tiene que:
Sen c = H/A
y
H = A Sen c
equivale a:
A
Sen a = H/C
y
C
=
Sen a
H = C Sen a
ó
De estas 2 igualdades se tiene que:
Es decir que: A Sen c = C Sen a
Que
= anteriores.
Esta es la=segunda igualdad de las
Sen c
O también:
Sen a = Sen c
A
C
ó
=
=
Ahora tomemos la altura h, que también divide al oblicuángulo en 2 triángulos
rectángulos. Para dichos triángulos se tiene que:
Sen b = h/A
y
h = A Sen b
equivale a:
y
A
B
=
Sen a
Sen b
O también:
Sen a
A
=
Sen b
B
Sen a = h/B
De estas 2 igualdades se tiene que:
h = B Sen a Es decir que: A Sen b = B Sen a
ó Esta es la= primera igualdad de las
= anteriores.

Que
3. Teorema del coseno. Demostración y
formulación s
.
Objetivos conceptuales. Expresar el teorema del coseno para un triángulo oblicuángulo.
Objetivos procedimentales. Demostrar el teorema del coseno.
¡Fácil de recordar! Los lados A y B
forman el ángulo c; los lados A y C
forman el ángulo b; los lados B y C
forman el ángulo a.
b
A
C
c
a
B
Para un triángulo cualquiera como el anterior, el teorema del coseno establece lo
siguiente:
2
2
¡Fácil de recordar! A 2 va con Cos a; B 2 va con - Cos b; C 2 va
con - Cos c.
2
A = B + C –2BC Cos a
B 2 = A 2 + C 2 –2 AC Cos b
C 2 = A2 + B 2 –2AB Cos c
 Demostración
A este triángulo la altura (h) lo divide en 2
triángulos rectángulos.
b
A
C
Conforme con Pitágoras, se tiene que:
h
h 2 = C 2 – x 2 y también h 2 = A 2 – (B – x) 2
.
c
a
x
B-x
B
2
2
2
2
Al igualar, obtenemos: C – x = A – (B – x)
= A2 – (B2 – 2Bx + x2)
C2 – x2 = A2 – B2 + 2Bx - x2
C2 = A2 – B2 + 2Bx
Observemos que: Cos c = (B – x)/ A
Sustituyamos x.
Al despeja x, obtenemos: x = B – A Cos c
C2 = A2 – B2 + 2B (B – A Cos c)
C2 = A2 – B2 + 2B (B – A Cos c) = A2 – B2 + 2B2 – 2BA Cos c
c
C
a
c
B
a
c
B
a
C2 = A2 + B2 – 2AB Cos c
Actividad 2. Demostrar que: 1. A2 = B 2 + C 2 –2BC Cos a
y 2. B 2 = A 2 + C 2 –2
AC Cos b
(tracen las alturas correspondientes)
UNIDAD 6: SOLUCIONEMOS TRIANGULOS
OBLICUANGULOS.
triángulos oblicuángulos
Introducción
En esta unidad complementaremos el estudio iniciado en el área anterior en lo que se refiere a la solución
de triángulos. La mayoría de conceptos y teoremas que se manejarán son nuevos, por lo que demanda
un poco más de atención. Trataremos de cubrir estos temas minuciosamente, dada su importancia
No se debe perder de vista que la solución de triángulos es el aspecto medular de la trigonometría, por lo
que su comprensión adecuada es fundamental.
Objetivos:
Que el alumno o la alumna pueda:
1. Definir un triángulo oblicuángulo.
2. Enunciar y demostrar los teoremas del seno y del coseno.
3. Escribir la fórmula de proyección.
4. Determinar los casos en que se puede resolver un triángulo oblicuángulo.
5. Señalar un procedimiento a seguir para resolver un triángulo oblicuángulo, a partir de los datos
presentados.
6. Resolver un triángulo oblicuángulo, utilizando los teoremas estudiados.
7. Comprobar si un triángulo oblicuángulo está bien resuelto.
8. Aplicar los triángulos oblicuángulos en la solución de situaciones prácticas.
C
1. Triángulos oblicuángulos
.
Objetivos conceptuales. Definir qué es un triángulo oblicuángulo.
B
Objetivos procedimentales. Identificar,
entre un grupo de triángulos, aquellos que son oblicuángulos.
.
Al observar los triángulos anteriores, podemos notar que el primero es un triángulo
rectángulo, pues posee un ángulo recto. En cambio los otros NO poseen un ángulo
recto. Estos triángulos son oblicuángulos.
Un triángulo que No posee un ángulo recto es oblicuángulo.
En otras palabras: si un triángulo no es rectángulo, entonces es oblicuángulo
Actividad 1.
Utiliza un transportador para identificar qué triángulos son
oblicuángulos.
c
b
a
g
d
e
e
j
h
i
Cuando estudiamos los triángulos rectángulos vimos que resolverlos era encontrar
sus lados o ángulos desconocidos. Lo mismo es resolver un triángulo oblicuángulo.
Como ya vimos, es posible resolver un triángulo oblicuángulo dividiéndolo en
triángulos rectángulos. En la sección siguiente resolveremos un triángulo oblicuángulo
directamente (sin separarlo en rectángulos)
2. Teorema del seno. Demostración y
formulación
.
Objetivos conceptuales. Expresar el teorema del seno para un triángulo oblicuángulo.
Objetivos procedimentales. Demostrar el teorema del seno.
Observa los lados y los ángulos del triángulo oblicuángulo siguiente (memorízalos):
¡Fácil de recordar! El lado A es el
opuesto del ángulo a; El lado B es el
opuesto del ángulo b; El lado C es el
opuesto del ángulo c.
b
A
C
c
a
B
Para un triángulo cualquiera como el anterior, el teorema del seno establece lo
siguiente:
Es decir que los lados son proporcionales a los
senos de los ángulos opuestos.
A
B
C
=
=
Sen a
Sen b Sen c
Sen a
La anterior fórmula equivale a:
A
=
Sen b
=
B
Sen c
C
En la resolución de triángulos oblicuángulos, se tomará una sola igualdad.
A
B
=
Sen a Sen b
A
=
Sen a
o
Primera igualdad
C
Sen c
Segunda igualdad
B
=
Sen b
o
C
Sen c
Tercera igualdad
O también:
Sen a = Sen b
A
B
o
Sen a=
Sen c
A
C
Sen
= b
B
o
Sen c
C
 Demostración
Para demostrar el teorema del seno, recordemos lo que es la altura de un triángulo. La
altura es aquella línea que parte de un vértice y cae perpendicularmente en una base
del triángulo. Es decir que toda altura formará, de alguna manera, un triángulo
rectángulo. En el triángulo siguiente aparecen 2 alturas: H y h.
b
h
C
A
H
c
a
B
Cada altura divide el triángulo en 2 rectángulos. De acuerdo con lo estudiado en la
unidad anterior, para los rectángulos en los que H es el lado opuesto, se tiene que:
Sen c = H/A
y
H = A Sen c
equivale a:
A
Sen a = H/C
y
C
=
Sen a
De estas 2 igualdades se tiene que:
H = C Sen a
ó
Es decir que: A Sen c = C Sen a
Que
= anteriores.
Esta es la=segunda igualdad de las
Sen c
O también:
Sen a = Sen c
A
C
=
ó
=
Ahora tomemos la altura h, que también divide al oblicuángulo en 2 triángulos
rectángulos. Para dichos triángulos se tiene que:
Sen b = h/A
y
h = A Sen b
equivale a:
y
A
B
=
Sen a
Sen a = h/B
De estas 2 igualdades se tiene que:
h = B Sen a Es decir que: A Sen b = B Sen a
Que
ó Esta es la= primera igualdad de las
= anteriores.

Sen b
O también:
Sen a
=
Sen b
A
B
3. Teorema del coseno. Demostración y
formulación s
.
Objetivos conceptuales. Expresar el teorema del coseno para un triángulo oblicuángulo.
Objetivos procedimentales. Demostrar el teorema del coseno.
¡Fácil de recordar! Los lados A y B
forman el ángulo c; los lados A y C
forman el ángulo b; los lados B y C
forman el ángulo a.
b
A
C
c
a
B
Para un triángulo cualquiera como el anterior, el teorema del coseno establece lo
siguiente:
2
2
2
A = B + C –2BC Cos a
¡Fácil de recordar! A 2 va con Cos a; B 2 va con - Cos b; C 2 va
con - Cos c.
B 2 = A 2 + C 2 –2 AC Cos b
C 2 = A2 + B 2 –2AB Cos c
 Demostración
A este triángulo la altura (h) lo divide en 2
triángulos rectángulos.
b
A
C
Conforme con Pitágoras, se tiene que:
h
h 2 = C 2 – x 2 y también h 2 = A 2 – (B – x) 2
.
c
a
x
B-x
B
2
2
2
2
Al igualar, obtenemos: C – x = A – (B – x)
= A2 – (B2 – 2Bx + x2)
C2 – x2 = A2 – B2 + 2Bx - x2
C2 = A2 – B2 + 2Bx
Observemos que: Cos c = (B – x)/ A
Sustituyamos x.
Al despeja x, obtenemos: x = B – A Cos c
C2 = A2 – B2 + 2B (B – A Cos c)
C2 = A2 – B2 + 2B (B – A Cos c) = A2 – B2 + 2B2 – 2BA Cos c
C2 = A2 + B2 – 2AB Cos c
C
Actividad 2. Demostrar que: 1. A = B 2 + C 2 –2BC Cos a y 2. B 2 = A 2 + C 2 –2
c
a
AC Cos b
c
a
B
2
(tracen las alturas correspondientes)
B
UNIDAD 6: SOLUCIONEMOS TRIANGULOS
OBLICUANGULOS.
triángulos oblicuángulos
Introducción
En esta unidad complementaremos el estudio iniciado en el área anterior en lo que se refiere a la solución
de triángulos. La mayoría de conceptos y teoremas que se manejarán son nuevos, por lo que demanda
un poco más de atención. Trataremos de cubrir estos temas minuciosamente, dada su importancia
No se debe perder de vista que la solución de triángulos es el aspecto medular de la trigonometría, por lo
que su comprensión adecuada es fundamental.
Objetivos:
Que el alumno o la alumna pueda:
1. Definir un triángulo oblicuángulo.
2. Enunciar y demostrar los teoremas del seno y del coseno.
3. Escribir la fórmula de proyección.
4. Determinar los casos en que se puede resolver un triángulo oblicuángulo.
5. Señalar un procedimiento a seguir para resolver un triángulo oblicuángulo, a partir de los datos
.
presentados.
6. Resolver un triángulo oblicuángulo, utilizando los teoremas estudiados.
7. Comprobar si un triángulo oblicuángulo está bien resuelto.
8. Aplicar los triángulos oblicuángulos en la solución de situaciones prácticas.
1. Triángulos oblicuángulos
.
Objetivos conceptuales. Definir qué es un triángulo oblicuángulo.
Objetivos procedimentales. Identificar, entre un grupo de triángulos, aquellos que son oblicuángulos.
Al observar los triángulos anteriores, podemos notar que el primero es un triángulo
rectángulo, pues posee un ángulo recto. En cambio los otros NO poseen un ángulo
recto. Estos triángulos son oblicuángulos.
Un triángulo que No posee un ángulo recto es oblicuángulo.
En otras palabras: si un triángulo no es rectángulo, entonces es oblicuángulo
Actividad 1.
Utiliza un transportador para identificar qué triángulos son
oblicuángulos.
b
c
a
g
d
e
h
e
j
i
Cuando estudiamos los triángulos rectángulos vimos que resolverlos era encontrar
sus lados o ángulos desconocidos. Lo mismo es resolver un triángulo oblicuángulo.
Como ya vimos, es posible resolver un triángulo oblicuángulo dividiéndolo en
triángulos rectángulos. En la sección siguiente resolveremos un triángulo oblicuángulo
directamente (sin separarlo en rectángulos)
2. Teorema del seno. Demostración y
formulación
.
Objetivos conceptuales. Expresar el teorema del seno para un triángulo oblicuángulo.
Objetivos procedimentales. Demostrar el teorema del seno.
Observa los lados y los ángulos del triángulo oblicuángulo siguiente (memorízalos):
¡Fácil de recordar! El lado A es el
opuesto del ángulo a; El lado B es el
opuesto del ángulo b; El lado C es el
opuesto del ángulo c.
b
A
C
c
a
B
Para un triángulo cualquiera como el anterior, el teorema del seno establece lo
siguiente:
Es decir que los lados son proporcionales a los
senos de los ángulos opuestos.
A
B
C
=
=
Sen a
Sen b Sen c
La anterior fórmula equivale a:
Sen a
A
=
Sen b
=
B
Sen c
C
En la resolución de triángulos oblicuángulos, se tomará una sola igualdad.
A
B
=
Sen a Sen b
o
Primera igualdad
A
=
Sen a
C
Sen c
Segunda igualdad
o
B
=
Sen b
C
Sen c
Tercera igualdad
O también:
Sen a = Sen b
o
Sen a=
Sen c
o
Sen
= b
Sen c
A
B
A
C
B
C
 Demostración
Para demostrar el teorema del seno, recordemos lo que es la altura de un triángulo. La
altura es aquella línea que parte de un vértice y cae perpendicularmente en una base
del triángulo. Es decir que toda altura formará, de alguna manera, un triángulo
rectángulo. En el triángulo siguiente aparecen 2 alturas: H y h.
b
h
C
A
H
c
a
B
Cada altura divide el triángulo en 2 rectángulos. De acuerdo con lo estudiado en la
unidad anterior, para los rectángulos en los que H es el lado opuesto, se tiene que:
Sen c = H/A
y
H = A Sen c
equivale a:
A
=
Sen a
Sen a = H/C
y
C
H = C Sen a
ó
De estas 2 igualdades se tiene que:
Es decir que: A Sen c = C Sen a
Que
= anteriores.
Esta es la=segunda igualdad de las
Sen c
O también:
Sen a = Sen c
A
C
ó
=
=
Ahora tomemos la altura h, que también divide al oblicuángulo en 2 triángulos
rectángulos. Para dichos triángulos se tiene que:
Sen b = h/A
y
h = A Sen b
equivale a:
y
Sen a = h/B
De estas 2 igualdades se tiene que:
h = B Sen a Es decir que: A Sen b = B Sen a
Que
A
B
=
Sen a
ó Esta es la= primera igualdad de las
= anteriores.

Sen b
O también:
Sen a
=
Sen b
A
B
3. Teorema del coseno. Demostración y
formulación s
.
Objetivos conceptuales. Expresar el teorema del coseno para un triángulo oblicuángulo.
Objetivos procedimentales. Demostrar el teorema del coseno.
¡Fácil de recordar! Los lados A y B
forman el ángulo c; los lados A y C
forman el ángulo b; los lados B y C
forman el ángulo a.
b
A
C
c
a
B
Para un triángulo cualquiera como el anterior, el teorema del coseno establece lo
siguiente:
2
2
¡Fácil de recordar! A 2 va con Cos a; B 2 va con - Cos b; C 2 va
con - Cos c.
2
A = B + C –2BC Cos a
B 2 = A 2 + C 2 –2 AC Cos b
C 2 = A2 + B 2 –2AB Cos c
 Demostración
b
A
C
h
A este triángulo la altura (h) lo divide en 2
triángulos rectángulos.
Conforme con Pitágoras, se tiene que:
h 2 = C 2 – x 2 y también h 2 = A 2 – (B – x) 2
.
c
a
x
B-x
B
Al igualar, obtenemos: C2 – x2 = A2 – (B – x)2
= A2 – (B2 – 2Bx + x2)
C2 – x2 = A2 – B2 + 2Bx - x2
C2 = A2 – B2 + 2Bx
Observemos que: Cos c = (B – x)/ A
Sustituyamos x.
Al despeja x, obtenemos: x = B – A Cos c
C2 = A2 – B2 + 2B (B – A Cos c)
C2 = A2 – B2 + 2B (B – A Cos c) = A2 – B2 + 2B2 – 2BA Cos c
C2 = A2 + B2 – 2AB Cos c
Actividad 2. Demostrar que: 1. A2 = B 2 + C 2 –2BC Cos a
y 2. B 2 = A 2 + C 2 –2
AC Cos b
(tracen las alturas correspondientes)
UNIDAD 8: RESOLVAMOS CON GEOMETRÍA
ANALITICA.
3. La circunferencia
.
Objetivos conceptuales. Definir el concepto de circunferencia.
Objetivos procedimentales. Calular el radio, el centro, algunos puntos o la ecuación de una circunferencia.
Definición. La circunferencia es el conjunto infinito de puntos que están a
igual distancia de otro llamado CENTRO.
Radio
Esta es una circunferencia centrada en el
origen del plano cartesiano.
a
b
C
Diámetro
La distancia de un punto de
B la circunferencia al centro se conoce como RADIO (r).
Lo anterior significa que si a y b son 2 puntos de la circunferencia, y la distancia de a a
b es el diámetro, entonces el centro está en el punto medio de a y b. El diámetro es la
mayor distancia entre 2 puntos de la circunferencia. Además, el radio es la mitad del
diámetro.
Actividad 8.Los puntos que se dan en cada caso pertenecen a una circunferencia
y están a un diámetro de separación. Tú deberás encontrar las coordenadas del centro
y la magnitud del radio.
1. (2,4) y (8,6)
r _____
Centro: _______ r _____ 2. (2,6) y (8,10) Centro: _______
3. (4,2) y (12,10) Centro: _______ r _____ 4. (-4,8) y (8,8) Centro: _______ r
_____
5. (-5,8) y (9,8)
r _____
Centro: _______ r _____ 6. (2,8) y (10,2)
Centro: _______
7. (-4,10) y (10,2) Centro: _______ r _____ 8. (-4,10) y (12,2) Centro:
_______ r _____
(X,y)
Ecuación de la circunferencia
La circunferencia mostrada tiene centro (h,k) y el
punto (X,y) pertenece a la circunferencia. Al
aplicar la fórmula de la distancia, se tiene que la
distancia del punto al centro es r. Es decir que:
r
k
(X – h)2 + (y – k)2 = r
Al elevar al cuadrado ambos miembros,
obtenemos:
 Esta es la ecuación canónica
h
(X – h)2 + (y – k)2 =
2
de
la
circunferencia
2
2
2
2
2
r
Desarrollando
los cuadrados, obtenemos: X + y – 2Xh – 2yk + h + k = r
Ejemplo.
Una circunferencia de radio 2 está centrada en el origen del plano
cartesiano. Calculemos su ecuación.
Solución.
.
Como el centro es el origen, entonces h = k = 0, y la ecuación es:
2
2
2
2
2
2
2
2
(X – h) + (y – k) = r  (X – 0) + (y – 0) = 2  X + y = 4
Ejemplo. Una circunferencia de radio 2 está centrada en el punto (2,-4).
Calculemos su Ecuación.
Solución.
Como el centro es el punto (2,-4), entonces h = 2 y k = -4 La ecuación es:
2
2
(X – h)2 + (y – k)2 = r2  (X – 2)2 + (y – (-4))2 = 22  (X – 2) + (y + 4) = 4
Ejemplo. Determinemos el centro y el radio de la circunferencia X2 + 4y + y2 - 6X
– 12 = 0
Solución.
En este caso, debemos completar los trinomios cuadrados perfectos.
X2 - 6X ___ + y2 + 4y ___ = 12
En los espacios en blanco colocaremos el número que hace falta para que el trinomio
sea un trinomio cuadrado perfecto. ¿Cómo? El coeficiente del factor lineal lo dividimos
entre 2 y lo elevamos al cuadrado: (6/2)2 = 9 y (4/2)2 = 4 Para no alterar la igualdad,
estos valores los sumamos en el otro miembro. La ecuación queda así:
X2 - 6X + 9 + y2 + 4y + 4 = 12 + 9 + 4
(X2 - 6X + 9) + (y2 + 4y + 4) = 25
(X - 3)2 + (y + 2)2 = 25
(X - 3)2 + (y – (-2))2 = 25
Por lo tanto, el centro es (3,-2) y el radio es 5.
Actividad 9.En cada caso se te da el radio y un punto; determina la ecuación de la
circunferencia. 1. 4 y (2,5) __________________ 2. 5 y (3,-2)
__________________
3. 6 y (-2,5) __________________
4. 7 y (-3,-2) __________________
5. 6 y (2,5) __________________
6. 5 y (-3,-2) __________________
7. 4 y (2,7) __________________
8. 5 y (-3,-5) __________________
9. 4 y (2,-5) __________________
10. 5 y (-3,-7) __________________
Actividad 10. En cada caso, calcula el centro y el radio de la circunferencia.
1. X2 - 2X + y2 + 6y = 15 _______ ___
___
2. X2 + 6X + y2 + 10y = -33 _______
3. X2 + y2 - 10X + 6y + 30 = 0 _______ ___
_______ ___
4. X2 + y2 - 10X - 4y + 28 = 0
5. X2 + y2 + 12X - 12y + 63 = 0 _______ ___ 6. X2 + y2 + 2X + 6y = 54 _______
___
7. X2 + y2 - 4X - 4y + 4 = 0 _______ ___
___
8. y2 + X2 - 14X + 6y = -49 _______
9. y2 + X2 + 6X - 18y = -86 _______ ___
___
10. y2 + X2 - 10X + 2y = -1 _______
discusión 10.
tangentes.
. Para cada par de circunferencias, comprobar que son
1. y + X2 - X - 4y = 8
y y2 + X2 - 24X - 4y = -112
2
2. y2 + X2 + 8X - 16y = 0 y y2 + X2 - 16X - 6y = -24
3. y2 + X2 - 4X - 16y = -59 y y2 + X2 - 20X - 16y = -139
4. y2 + X2 - 4X - 16y = -52 y y2 + X2 - 24X - 16y = -172
5. y2 + X2 + 10X - 10y = -1 y y2 + X2 - 22X - 10y = -65
6. y2 + X2 + 10X - 4y = 20 y y2 + X2 - 22X - 4y = -44
7. y2 + X2 + 8X + 12y = -48 y y2 + X2 - 16X + 12y = 0
8. y2 + X2 + 8X + 12y = -51 y y2 + X2 - 16X + 12y = 21
9. y2 + X2 + 8X + 12y = -43 y y2 + X2 - 16X + 12y = -19
10. y2 + X2 + 10X - 4y = -13 y y2 + X2 - 10X - 4y = 7
discusión 10b
. Encontrar la ecuación de la circunferencia que es
tangente a los lados del cuadrado formado por las rectas dadas: 1. y = 5, y = -5; X =
-4, X = 6 2. y = 6, y = -6; X = -5, X = 7 3. y = 7, y = -7; X = -6, X = 8 4. y = 8, y =
-8; X = -7, X = 9 5. y = 9, y = -9; X = -8, X = 10 6. y = 8, y = 0; X = -2, X = 6 7.
y = 9, y = -1; X = -3, X = 7 8. y = 10, y = -2; X = -4, X = 8
discusión 10 c.
La circunferencia tiene
radio de 3 cm y centro en
(4, 3) La recta tiene un
ángulo de 45° y pasa por
4. La parábola
el origen.
Calcular conceptuales
los puntos en
los el concepto de parábola.
Objetivos
. Definir
que
la
recta
corta
a
la
Objetivos procedimentales. Dada la ecuación de una parábola, calcular el vértice, el foco, la directriz y trazar la gráfica.
Calcular
la ecuación de una parábola si se conocen algunos de sus elementos.
circunferencia.
El gráfico está a escala.
.
Definición. La parábola es el conjunto infinito de los puntos del plano que se
encuentran a igual distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta fija
llamada directriz.
Foco (hk+p)
(X,y)
P
Vértice (h,k)
k
P
Eje de la parábola
(X,k-P)
Directriz y = k - p
h
La gráfica muestra una parábola con todos sus componentes. Hagamos algunos
análisis.
1. Cualquier punto (X, y) de la parábola, está a igual distancia del foco que de la
directriz. Esto de acuerdo a la definición.
2. P es el parámetro. La distancia del vértice al foco es igual que la distancia del
vértice a la directriz. Esa distancia es P.
3. La parábola dibujada está abierta hacia arriba. El vértice es el punto más bajo si la
parábola se abre hacia arriba; y será el punto más alto, si se abre hacia abajo. De
igual forma, será el punto más a la izquierda, si la parábola se abre hacia la derecha; y
será el punto más a la derecha, si se abre hacia la izquierda.
4. La directriz es una recta horizontal. Estará abajo, si la parábola se abre hacia
arriba; y estará arriba, si se abre hacia abajo. También estará a la derecha, si se abre
hacia la izquierda, y viceversa. En estos 2 casos, la directriz será una vertical
Ecuación de la parábola
La distancia de un punto (X,y) al foco de la parábola = la distancia de (X,y) a (X, k-P)
(X - h)2 + (y – k – p)2 = (X – X)2 + (y – k + P)2  Elevemos al cuadrado
2
2
(X - h) + (y – k – p) = (y – k + P)
Obtenemos.
2
2
2
2
2
 Desarrollemos los cuadrados que tienen P.
2
2
2
(X - h) y + k + P + 2kP – 2yk – 2yp = y + k + P - 2kP – 2yk + 2yp 
Suprimamos términos
(X - h)2 + 2kP – 2yp = 2yp - 2kP
2
(X - h) = 2yp - 2kP - 2kP + 2yp
2
(X - h) = 2yp + 2yp - 2kP - 2kP
(X - h)2 = 4yp - 4kP
(X - h)2 = 4P (y - k)
La ecuación anterior es para la parábola abierta hacia arriba. Si la parábola se abre
hacia abajo, tendremos -4P. Si la parábola se abre hacia la derecha, tendremos 4P,
pero (X - h) cambia por (y - k) y (y - k) cambia por (x - h) Todo esto se resume en la
tabla siguiente.
(X - h)2 = 4P (y - k)
(X - h)2 = -4P (y k)
(y - k)2 = -4P (X h)
(y - k)2 = 4P (X - h)
Ejemplo. Calcular el vértice, el foco, la directriz y la gráfica de (y - 3)2
= 16 (X - 6).
Solución.
Observamos que en (y - 3)2 = 16 (X - 6), y – k está al cuadrado. Esto nos indica que
la parábola se abre hacia la derecha o hacia la izquierda. Pero también se observa
que 4P tiene signo POSITIVO: +16. Por lo tanto la parábola se abre hacia la derecha.
Además su vértice es (6,3)
Calculemos P: 4P = 16  P = 16/4 = 4
La directriz es la recta vertical que está a 4 unidades a la izquierda del vértice.
Significa que 4 unidades a la derecha, está el foco. Como el vértice es (6,3), la directriz
es X = 6 – 4 = 2 Y el foco es (6 + 4,3) = (10,3)
La gráfica es la siguiente:
X=2
Foco (10,3)
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ejemplo. Calcular el vértice, el foco, la directriz y la gráfica de (X + 3)2
= 8 (y - 5)
Solución.
.
La parábola se abre hacia arriba. El vértice es (-3,5) La distancia del foco al vértice, P,
es:
4P = 8  P = 2
La directriz es y = 5 – 2 = 3  y = 3
El foco está en (-3,5+2) = (-3,7)
La gráfica es la siguiente:
(-3,7)
7
(-3,5)
5
y=3
-3
Ejemplo. Una parábola tiene su vértice en (8,-2)
y su foco en (8,-3) Determinar
su ecuación.
Solución.
El foco, que es (8,-3) está una unidad abajo del vértice, que es (8,-2). Esto nos indica
que la parábola se abre hacia abajo. Además, P = 1. Por lo tanto, la directriz, que está
una unidad abajo del vértice, es y = -1.
La parábola es:
(X - h)2 = -4P (y - k)
(X - 8)2 = -4(1) (y – (-2))
(X - 8)2 = -4 (y + 2)
Ejemplo. Calcular el vértice, el foco, la directriz y la gráfica de la parábola
y2 – 6y + 12X - 15 = 0
Solución.
Debemos completar el cuadrado.
y2 – 6y + 12X - 15 = 0
2
2
y – 6y + (3) + 12X - 15 = 0 + 9
(y - 3)2 = - 12X + 9 + 15 = - 12X + 24
(y - 3)2 = - 12(X – 2)
La parábola se abre hacia la izquierda.
El vértice es (2,3) 4P = 12  P = 12/4 = 3 La directriz está 3 unidades a la derecha
del vértice. La directriz es X = 2 + 3 = 5
El foco está 3 unidades a la izquierda del vértice: (2-3,3) = (-1,3)
La gráfica es
la siguiente:
(-1,3)
(2,3)
X=5
Ejemplo.
Calculemos la ecuación de la parábola cuyo vértice es (7,4) y cuya
directriz es X = 9.
Solución.
X=9
4
7
9
Se aprecia que la directriz está a la derecha del vértice. Esto significa que la parábola
se abre hacia la izquierda. Además, la distancia del vértice a la directriz es 2 unidades:
9 – 7 = 2. Es decir que
P = 2. La ecuación de la parábola es:
(y - k)2 = -4P (X - h)  (y - 4)2 = -8 (X - 7)
Actividad 11. En cada caso, determina el vértice, la directriz, el foco y la gráfica.
1. (X - 5)2 = 8 (y - 3)
______
_______
_______
2. (X - 5)2 = -8 (y - 3)
______
_______
_______
3. (X - 8)2 = 8 (y - 5)
______
_______
_______
4. (X - 8)2 = -8 (y - 5)
______
_______
_______
5. (X + 3)2 = 4 (y - 5)
______
_______
_______
6. (X + 3)2 = -4 (y - 5)
______
_______
_______
7. (X + 5)2 = -8 (y + 3) ______
_______
_______
8. (y - 5)2 = 12 (X - 2)
_______
_______
9. (y - 5)2 = -12 (X - 2)
______
______
_______
_______
10. (y + 6)2 = 12 (X + 4) ______
_______
_______
11. (y + 6)2 = -12 (X + 4) ______
_______
_______
12. X2 – 10X – 8y + 49 = 0
______
_______
_______
13. X – 16X – 8y + 104 = 0 ______
_______
_______
14. y2 + 12y – 12X = 12
_______
_______
2
Actividad 12.
______
En cada caso, encuentra la ecuación de la parábola.
1. El vértice es (8,5) y el foco es (8,7)
_________________
2. El vértice es (-4,-6) y el foco es (-1,-6) _________________
3. El vértice es (-3,5) y el foco es (-3,4)
_________________
4. El vértice es (-3,-4) y el foco es (0,-4) _________________
Actividad 13.
En cada caso, encuentra a ecuación de la parábola.
1. El vértice es (5,3) y la directriz es y = 1
_________________
2. El vértice es (8,5) y la directriz es y = 3
_________________
3. El vértice es (-3,5) y la directriz es y = 4
_________________
4. El vértice es (-5,-3) y la directriz es y = -1 _________________
5. El vértice es (2,5) y la directriz es X = 5
_________________
6. El vértice es (5,3) y la directriz es y = 1
_________________
Actividad 14.
En cada caso, encuentra a ecuación de la parábola.
1. El vértice es el origen, y la directriz es y = 2
2. El vértice es (0,3), y la directriz es y = 6
3. El vértice es (3,0), y la directriz es X = -2
discusión 6.
Encuentren 10 puntos que pertenezcan a la parábola
cuyo vértice es (-3,0) y cuya directriz es X = -1.
UNIDAD 9: UTILICEMOS LA TRIGONOMETRIA.
Introducción a la trigonometría
Introducción
La trigonometría es el método analítico para estudiar los triángulos y otras figuras. El estudio de
la trigonometría demanda memorizar muchas fórmulas, lo cual trataremos de reducir. Nuestro
objetivo principal será la resolución de actividades y discusiones. La aplicación de la
trigonometría es amplia, por lo que su estudio se hace indispensable en bachillerato.
Objetivos:
Que el alumno o la alumna pueda:
1. Explicar cuál es el objeto de estudio de la trigonometría.
2. Definir las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
3. Calcular el valor de las funciones trigonométricas para ángulos de 30º, 45º y 60º, sin utilizar
calculadora.
4. Escribir el valor de una función en términos de otra función de su ángulo complementario.
5. Definir qué es un ángulo en posición normal, y determinar el signo algebraico de las funciones
trigonométricas para cualquier ángulo en posición normal.
6. Definir las funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera. Calcular su valor utilizando
calculadora.
7. Determinar, sin usar calculadora, el valor de las funciones trigonométricas para ángulos
cuadrantales (0º, 90º, 180º y 270º)
8. Escribir una función trigonométrica de argumento negativo en términos de una función de
argumento positivo, así como una función trigonométrica de cualquier ángulo en términos de
una función de un ángulo agudo.
1. Introducción
.
La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados
y los ángulos de los triángulos. Etimológicamente significa medida de triángulos.
Analicemos el siguiente triángulo rectángulo:
β
3 cm
En este triángulo, θ = 36.9º y β = 53.1º. Por Pitágoras, se tiene que
la hipotenusa vale 5 cm. Si alteramos la longitud de un cateto,
definitivamente variarán la hipotenusa y los ángulos. Por ejemplo, si
cambiamos la base de 4 cm por 5 cm, tenemos lo siguiente:
hipotenusa = 5.83, θ = 30.9º, β = 59.1º El triángulo es el siguiente:
90º
θ
β
4 cm
3 cm
θ
5 cm
Seguramente te estás preguntando cómo encontrar los ángulos en un triángulo rectángulo
(TR) Si se conocen 2 lados de un TR (o los 3), los ángulos se calculan mediante las funciones
trigonométricas estudiadas el año pasado. Estas funciones trigonométricas son relaciones
entre los lados de dicho triángulo.
Para la aplicación de las funciones trigonométricas a un TR, se debe tener claro lo que es la
hipotenusa y los catetos: cateto adyacente y cateto opuesto. En un TR, la hipotenusa será
siempre la hipotenusa y el lado mayor de los tres; pero el cateto opuesto puede convertirse en
adyacente y viceversa, todo depende del ángulo a considerar. Tengamos presente que
adyacente significa cercano; por lo tanto, para un ángulo, su lado adyacente es el que está
cerca de él, y el otro será el opuesto. Veamos un caso.
En este TR, para θ el lado adyacente es a y el opuesto es b.
β
Pero para el ángulo β, el lado adyacente es b y el opuesto es a.
b
θ
a
2. Funciones trigonométricas de ángulos agudos
Objetivos conceptuales. Definir las funciones trigonométricas a partir de un triángulo rectángulo.
Objetivos procedimentales. Dado un triángulo, calcular las funciones trigonométricas. Comprobar que entre triángulos
semejantes, no varían las funcionmes trigonométricas.
Al considerar un TR, resulta que los ángulos θ y β se restringen al
intervalo [0º, 90º] Es decir que tanto θ como β sólo pueden tomar
valores entre 0º y 90º (se incluyen estos límites)
Para estos ángulos, las funciones trigonométricas ya fueron estudiadas
el año pasado. Estas funciones trigonométricas son razones
trigonométricas como a / b o b / c. Recordémoslas.
c
b
θ
a
Las razones trigonométricas son 6: seno (Sen), coseno (Cos), tangente (Tan),
cotangente (Cot), secante (Sec) y cosecante (Csc). Cada razón trigonométrica es la
división de un lado entre otro.
Para el ángulo θ se tiene que:
Sen θ = opuesto / hipotenusa = b / c
Cot = 1 / Tan
Cos θ = adyacente / hipotenusa = a / c
Sec = 1 / Cos
Tan θ = opuesto / adyacente = b / a
Csc = 1/Sen
Cot θ = adyacente / opuesto = a / b
Sec θ = hipotenusa / adyacente = c / a
Csc θ = hipotenusa / opuesto = c / b
Si tomamos el ángulo β, obtenemos:
Sen β = opuesto / hipotenusa = a / c
β
Cot β = adyacente / opuesto = b / a
Cos β = adyacente / hipotenusa = b / c
Sec β = hipotenusa / adyacente = c / b
Tan β = opuesto / adyacente = a / b
Csc β = hipotenusa / opuesto = c / a
¿Variarán las funciones trigonométricas entre 2 triángulos semejantes?... Evidentemente que
NO variarán porque permanece igual el cociente. Por ejemplo, para el TR cuyos lados son 4, 3 y
5, siendo a = 4, b = 3 y c = 5 (hipotenusa), se tiene que:
Sen θ = b / c = 3 / 5
Cos θ = a / c = 4 / 5
Tan θ = b / a = 3 / 4
Cot θ = a / b = 4 / 3
Sec θ = c / a = 5 / 4
Csc θ = c / b = 5 / 3
Un TR semejante al anterior se obtiene multiplicando por una constante los 3 lados.
Multipliquemos por 3, obtenemos: a = 12, b = 9 y c = 15. Recuerda que en los
triángulos semejantes, los ángulos no varían.
Para el TR semejante, tenemos:
Sen θ = b / c = 9 / 15 = 3/5
Cos θ = a / c = 12 / 15 = 4/5
Tan θ = b / a = 9 / 12 = 3/4
Cot θ = a / b = 12 / 9 = 4/3
Sec θ = c / a = 15 / 12 = 5/4
Csc θ = c / b = 15 / 9 = 5/3
Las funciones trigonométricas NO varían
entre TR semejantes. Esto es válido para
cualquier triángulo.
Actividad 1. Para el TR dado (A), calcula las 6 funciones trigonométricas (para β y θ).
Sen θ =
Cos θ = ________________ Tan θ = ________________ Cot θ = ________________ Sec θ =
Csc θ = ________________
Sen β = ________________ Cos β = ________________ Tan β =
Cot β = ________________ Sec β = ________________
Csc β = ________________
________________
________________
________________
Actividad 1b. Para el TR B
θ
20 .81
calcula las 6 funciones
trigonométricas para los ángulos β y
θ.
cm
A
4.5 cm
Ver respuestas en CD
B
β
17 cm
5 cm
Actividad 2. Se sabe que Cot β = 2/5. Calcula las razones trigonométricas para β y el otro
ángulo. Sen β = _______ Cos β = _______ Tan β = _______ Cot β = 0.4 Sec β = _______ Csc β
= _______
Cos θ = _______ Sen θ = _______ Cot θ = _______ Tan θ = _______ Csc θ = _______
Sec θ = _______
discusión 1.
1. Se sabe que Sen θ = 0.24. Calculen las otras razones
trigonométricas para θ.
Cos θ = _________ Tan θ = _________ Cot θ = __________ Sec θ
= _________ Csc θ = _________
1b. Se sabe que Cos θ = 0.5. Calculen las otras razones trigonométricas para θ.
.
Sen θ = _________ Tan θ = _________ Cot θ = __________ Sec θ = _________ Csc θ = _________ (ver CD)
1c. Se sabe que Sec θ = 1.2. Calculen las otras razones trigonométricas para θ.
.
Sen θ = _________ Tan θ = _________ Cot θ = __________ Sec θ = _________ Csc θ = _________ (ver CD)
2. ¿Por qué la expresión Sen θ = 20/15 no tiene lógica matemática?
2b. ¿Por qué la expresión Sec θ = 15/20 no tiene lógica matemática?
(ver
respuesta en CD)
3. Se sabe que en un triángulo rectángulo el opuesto de θ es el doble del adyacente.
Calculen las razones trigonométricas.
Sen θ = _________ Cos θ = _________ Tan θ = _________ Cot θ = __________ Sec θ = _________Csc θ =_____
3b. Se sabe que en un triángulo rectángulo el opuesto de θ es el triple del adyacente.
Calculen las razones trigonométricas.
(ver respuesta en CD)
Sen θ = _________ Cos θ = _________ Tan θ = _________ Cot θ = __________ Sec θ = _________Csc θ =_____
4. Se sabe que en un triángulo rectángulo el opuesto de β es de 3 cm. Además, Sen β
= 0.75. Calculen los otros lados del triángulo. Adyacente = _________ Hipotenusa =
__________
5.
Se sabe que Sen θ = 0.554. Calculen el valor del
lado X y el valor de la hipotenusa.
52
X
θ
X
= ________ Hipotenusa = ________
––– 3cm–––
discusión 2. Respondan con falso (f) o verdadero (v) en cada afirmación.
1. Para un TR, Sen θ = Cos β ........................................................................... ___
2. Para un TR, Tan θ = Cot β ........................................................................... ___
3. Para un TR, Sec θ = Csc β ........................................................................... ___
4. Para un TR, la tangente puede ser cero ........................................................ ___
5. Para un TR, la tangente puede ser mayor que 1 ............................................ ___
6. Para un TR, el seno puede ser mayor que 1 .................................................. ___
7. Para un TR, el coseno puede ser mayor que 1 ............................................... ___
8. Para un TR, si los catetos son iguales, entonces la tangente de θ vale 1...... ___
9. Para un TR, si los catetos son iguales, entonces Sen θ = Cos θ ................... ___
3. Funciones trigonométricas de ángulos peculiares
Objetivos procedimentales. Calcular las funciones trigonométricas para 30°, 45° y 60°.
Ocurre que las funciones trigonométricas de los ángulos 30º, 45º y 60º son característicos. En
primer año se vio que:
θ
Sen
Cos
Tan
Cot
Sec
Csc
30º
½
3/2
1/ 3
3
2/ 3
2
60º
3/2
½
3
1/ 3
2
2 3 /3
45º
2/2
2/2
1
1
2
2
Para llegar a las anteriores respuestas, se partió de un triángulo equilátero de lado l. Ocurre que
un triángulo equilátero equivale a 2 rectangulares de ángulos 30º y 60º. Se toma en cuenta aquí
que la razón trigonométrica sólo depende de la abertura. Es decir, sólo depende del ángulo.
Altura
A un triángulo equilátero, la altura lo divide en 2 triángulos
rectángulos iguales, como puede verse. Al aplicar Pitágoras,
resulta que la altura es l 3 / 2. Tengamos presente que la altura
30º
l
l
60º
60
l/2
es un cateto del triángulo rectángulo; así como lo es l /2. La
altura también resulta ser la mediana y la bisectriz.
60º
l/2
Sen 30º = opuesto / hipotenusa = (l / 2) / l = 1/2 = 0.5
Cos 30º = adyacente / hipotenusa =
l
3 =l 3= 3
2
.
2
l
2
l
Tan 30º = opuesto / adyacente = (l / 2) / (l
Cot 30º = adyacente / opuesto = (l
3 / 2)
Sec 30º = hipotenusa / adyacente =
Sec = 1 / Cos
Csc 30º = hipotenusa / opuesto = (l )
3 /2)
/ (l / 2) =
(l ) / (l
/ (l / 2) = 2
Por un proceso semejante llegamos a que:
Sen 60º = opuesto / hipotenusa = 3
2
Cos 60º = adyacente / hipotenusa = 1 / 2.
= 1/
3 / 2)
3
3
=
Cot = 1 / Tan
2/
3. Equivale a 2
Csc = 1 / Sen
3 /3
Tan 60º = opuesto / adyacente = 3
Cot 60º = adyacente / opuesto = 3 /3
Sec 60º = hipotenusa / adyacente = 2.
Csc 60º = hipotenusa / opuesto = 2 / 3. Equivale a 2 3 / 3.
Es importante hacer notar que
l
no aparece en ninguna de las respuestas. Esto se debe a que,
para cualquier valor de l, las funciones trigonométricas son las mismas. Es decir que las
funciones trigonométricas sólo dependen del ángulo (abertura) y no de la longitud de los lados.
Para 45º construyamos un triángulo rectángulo con 45º.
45º
l
l
Puede observarse que si un ángulo es de 45º, el otro obligadamente es
de 45º. Además, por Pitágoras se calcula que la hipotenusa es l .
2
2
45º
90º
Sen 45º = opuesto / hipotenusa = l / l 2 = 1 /
2. Equivale a 2 / 2
Cos 45º = adyacente / hipotenusa = l / l 2 = 1 / 2. Equivale a 2 / 2
Tan 45º = opuesto / adyacente = l /
l=1
Cot 45º = adyacente / opuesto = l /
l=1
Sec 45º = hipotenusa / adyacente = l 2 / l = 2.
Csc 45º = hipotenusa / opuesto = l 2 / l = 2.
discusión 3. Demuestren que si en un TR los catetos miden l, entonces la
hipotenusa
l 2mide
discusión 3b. Demuestren que si en un TR los catetos miden 2k, entonces la hipotenusa mide
2k 2
discusión 3c. Demuestren que si en un TR los catetos miden 3m, entonces la hipotenusa
mide
3m
discusión 3d.
2
Demuestren que si en un TR los catetos miden 4b, entonces la hipotenusa
4b 2
mide
discusión 4. Demuestren con los datos del TR siguiente (a la derecha) que
Sen θ / Cos θ = Tan θ.
h
k
discusión 5. Demuestren con los datos del TR anterior (a la derecha) que
(Sen θ) 2 + (Cos θ) 2 = 1.
discusión 5b. Si los catetos de un TR valen 2k, demuestren que
+ (Cos θ) 2 = 1.
θ
m
(Sen θ) 2
(ver R en CD)
4. 4
Funciones
trigonométricas
de
ángulos
Objetivos procedimentales. Calcular las funciones trigonométricas de ángulos complementarios
complementarios
5.
β
θ
Este es un TR. Por lo tanto, si θ = 10º, β = 80º; si θ = 25º, β = 65º; si θ = 30º,
β = 60º... Esto es así porque θ + β = 90º. Por lo tanto se dice que θ y β son
ángulos complementarios. En general se tiene que si θ es uno de los 2
ángulos agudos, el valor del otro ángulo es 90º - θ ¿Qué ocurre con las
funciones trigonométricas de ángulos complementarios? Para averiguarlo,
realicen la actividad siguiente. Pueden realizarla en grupo.
Actividad 3. Utilizando la calculadora, llena la tabla siguiente. Para calcular la cotangente,
la secante y la cosecante, apliquen las ecuaciones: Cot θ = 1 / Tan θ, Sec θ = 1 / Cos θ, Csc θ = 1 /
Sen θ. Utilicen 2 dígitos después del punto decimal. Por ejemplo, seno de 15 es 0.25881, coloca
nada más 0.26. Una vez llena la tabla, compara los valores del seno y coseno, tangente y
cotangente, secante y cosecante. ¿Qué observas?
Grados
0º
15º
30º
45º
60º
75º
90º
Sen θ
Tan θ
Sec θ
Infinito
Infinito
Grados
90º
75º
60º
45º
30º
15º
0º
Cos θ
Cot θ
Csc θ
Infinito
Infinito
.........................................................................................................................
.....
Si trabajaste con esmero, y observaste cuidadosamente, te habrás dado cuenta que, por ejemplo,
Sen 15 = Cos 75; Tan 60 = Cot 30; Sec 30 = Csc 60... En general se tiene que: el seno de un
ángulo es igual al coseno de su ángulo complementario; la tangente de un ángulo es igual a la
cotangente de su ángulo complementario; la secante de un ángulo es igual a la cosecante de su
ángulo complementario.
Sen θ = Cos (90º - θ)
Tan θ = Cot (90º - θ)
Sec θ = Csc (90º - θ)
Por lo tanto, se tiene que:
Por lo anterior se afirma que el seno y el coseno son cofunciones; También son cofunciones la
tangente y la cotangente; la secante y la cosecante.
5. Funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera
.
Objetivos procedimentales. Calcular las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera.
5.1 Angulo en posición normal.
Se dice que un ángulo está en posición normal cuando el vértice coincide con el origen del
plano cartesiano y un lado coincide con el eje X. ¿Cuál de los 2 lados? El lado a partir del
cual se mide el ángulo. Aquí recordemos que un ángulo es positivo si se mide en el sentido
contrario a las agujas del reloj:
X
X
Los ángulos anteriores están en posición normal. Observemos que el eje X coincide con el lado
desde donde se mide el ángulo.
Consideremos el ángulo β siguiente:
Vértice
β
El ángulo β anterior está en posición normal con respecto al plano cartesiano en el gráfico
siguiente:
P(x, y)
r
θ
β
El ángulo β está en posición normal, pues
el vértice coincide con el origen del plano
cartesiano y el lado inicial coincide con el
eje X.
X
Observemos que el ángulo β es mayor que 90º. El punto P es el final del segundo lado, cuya
longitud es r (se obtiene por Pitágoras)
5.2 Definición de las funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera
Se tiene que para el ángulo β anterior, las funciones trigonométricas vienen definidas así:
Sen β = y / r
Cos β = x / r
Tan β = y / x
Cot β = x / y
Sec β = r / x
Csc β = r / y
Observemos que las funciones se han calculado como considerando el ángulo θ.
Ejemplo. Calcular las funciones trigonométricas para β en el diagrama siguiente.
3
r
β
X
-4
Solución.
Por Pitágoras se obtiene que r = 16 + 9 = 25 = 5
Sen β = y / r = 3 / 5 = 0.6
0.75
r siempre será positivo.
Cos β = x / r = - 4 / 5 = -0.8
Cot β = x / y = - 4 / 3 = -1.333
Sec β = r / x = 5 / - 4 = -1.25
Tan β = y / x = 3 / - 4 = Csc β = r / y = 5 / 3 = 1.666
Observemos que x es negativo.
Actividad 4. Calcula las funciones trigonométricas para β en los diagramas siguientes.
1
4
-4
X
β
2
β
X
-3
-3
Actividad 4b. Calcula las funciones trigonométricas para θ en los diagramas siguientes.
5
1
5
θ
θ
-7
θ
-6
5
θ
-7
-8
6
θ
10
θ
6
-5
6
4
θ
-6
-5
6
3
2
θ
7
-5
-4
8
-5
Ver re sp . e n C D
5.3 Signos de las funciones en los distintos cuadrantes
El signo de una función trigonométrica depende del cuadrante en que se encuentre. Recordemos
que cada cuadrante posee 90º.
I
I
Ir
P(x, y)
r
X
r
r
III
IV
El cuadrante I comprende ángulos desde 0º a
90º, el II desde 90º a 180º, el III desde 180º a
270º y el IV desde 270º a 0º.
El signo de cada función dependerá del signo de x o y; pues r siempre será positivo.
Recordemos que:
Sen β = y / r Cos β = x / r Tan β = y / x
Cot β = x / y Sec β = r / x
Csc β = r / y
Como Cot β = 1 / Tan β, Sec β = 1 / Cos β y Csc β = 1 / Sen β; estas funciones tendrán
el signo de tangente, coseno y seno respectivamente.
Observando el gráfico anterior, se tiene que:
Cuadrante I: x es positiva y y es positiva, por lo tanto las 6 funciones trigonométricas son
positivas.
Cuadrante II: x es negativa y y es positiva, por lo tanto las funciones que involucran a x son
negativas: coseno y tangente; en consecuencia también la secante y la cotangente.
Cuadrante III: x y y son negativas. Por lo tanto son negativas las funciones seno y coseno; en
consecuencia también la cosecante y la secante.
Cuadrante IV: x es positiva y y es negativa. Por lo tanto son negativas las funciones seno y
tangente; en consecuencia también la cosecante y la cotangente.
Utilizando la calculadora es fácil determinar el signo de cada función en un cuadrante
determinado. Tomemos un ángulo en cada cuadrante y saquémosle el seno, coseno y
tangente. Estos ángulos pueden ser: 30º, 100º, 200º y 300º.
Signo de cada función en los cuadrantes.
I: 30º
II: 100º
III: 200º
IV: 300º
Sen
Cos
Tan
Cot
Sec
Csc
+
+
–
–
+
–
–
+
+
–
+
–
+
–
+
–
+
–
–
+
+
+
–
–
En los límites de los cuadrantes, las funciones tienen valores típicos. Recordemos que
los límites son: 0º ó 360º, 90º, 180º y 270º. Estos son los ángulos cuadrantales.
Para 0º el lado inicial coincide con el lado inicial. Por lo tanto el punto P del lado
terminal tiene como coordenadas (x, 0) Lo que se tiene es una línea horizontal en X
positivo.
Esta línea horizontal es el lado adyacente (x) Pero el lado opuesto (y) vale cero. Y la
hipotenusa es igual al lado adyacente (x).
Para 90º el punto P del lado terminal tiene como coordenadas (0, y) Es decir que el
lado adyacente vale cero. Lo que se tiene es una línea vertical en y positivo que es a
la vez la hipotenusa.
Para 180º se tiene una línea horizontal en el eje X negativo. El punto P del lado
terminal tiene como coordenadas (-x, 0) La hipotenusa es x, pues siempre es positiva.
Para 270º el punto P del lado terminal tiene como coordenadas (0, -y) Lo que se tiene
es una línea vertical en el eje y negativo, que es a la vez la hipotenusa (su valor es
positivo).
P(0, y)
P(-x, 0)
P(x, 0)
P(0, -y)
Por lo tanto se tiene:
Para 0º
Para 90º
Sen 0º = 0 / x = 0
Cos 0º= x / x = 1
Tan 0º = 0 / x = 0
Csc 0º = x / 0 = ∞
Sec 0º = x / x = 1
Cot 0º = x / 0 = ∞
Sen 90º = y / y = 1
Cos 90º= 0 / y = 0
Tan 90º = y / 0 = ∞
Csc 90º = y / y = 1
Sec 90º = y / 0 = ∞
Cot 90º = 0 / y = 0
Cos 180º= -x / x = -1
Tan 180º = 0 / -x = 0
Sec 180º = x / -x = -1
Cot 180º = -x / 0 = -∞ o
Para 180º Sen 180º = 0 / x = 0
Csc 180º = x / 0 = ∞
Para 270º Sen 270º = -y / y = -1
Csc 270º = y / -y = -1
Cos 270º= 0 / y = 0
Sec 270º = y / 0 = ∞
Tan 270º = -y / 0 = -∞ o
∞
∞
Cot 270º = 0 / -y = 0
0º
90º
180º
270º
360º
Sen
Cos
Tan
Cot
Sec
Csc
0
1
0
-1
0
1
0
-1
0
1
0
∞
1
∞
∞
0
∞
1
0
-∞
-1
∞
-∞
0
∞
-1
0
∞
1
∞
Utiliza la calculadora para corroborar los datos. Para
90º y 270º, la tangente te marcará ERROR. Esto se
debe a que se está dividiendo entre cero. La división
entre cero es indeterminada o infinita. Para 360º, los
resultados son los de 0º
5. 4 Funciones trigonométricas de ángulos negativosñu
Un ángulo es negativo cuando se mide en sentido contrario a las agujas del reloj.
Aquí β se ha medido en sentido contrario a las agujas del reloj, por lo
tanto es negativo. Su valor puede ser –35º o –40º, aproximadamente.
β
¿Recuerdas cuántos grados tiene el círculo?... Tiene 360º. Esto significa que si un
ángulo vale 60º, el ángulo negativo es de -300º. ¿Porqué? Porque 300º es lo que le
falta a 60º para valer 360º:
60º + 300º = 360º.
Supongamos algunos valores de β y calculemos los de θ:
Si β = 10 θ = -350
Si β = 30 θ = -330
β
Si β = 100 θ = -260
θ
Si β = 200 θ = -160
 Actividad 5. Utilizando la calculadora, calcula el seno, el coseno y la tangente, y llena
la tabla siguiente:
β
0º
30º
60º
90º
150º
180º
200º
270º
300º
360º
Sen β
Cos β
Tan β
θ
-360º
-330º
-300º
-270º
-210º
-180º
-160º
-90º
-60º
0º
Sen θ
Cos θ
Tan θ
¿Qué observas?
Consideremos ahora las funciones trigonométricas para un ángulo y su negativo. Por
ejemplo 25º y –25º. ¿Será el seno de 25º igual al seno de –25º? Consideremos un
ángulo β y un –β.
(x, y)
Aquí se tiene que:
Sen -β = -y / r = -Sen β
r
β
Cos -β = x/ r = Cos β
Tan -β = -y / x = -Tan β
-β
Cot -β = x / -y = -x / y = -Cot β
r
Sec -β = r / x = Sec β
(x, -y)
Csc -β = r / -y = -r / y = -Csc β
Vemos que para β, positivo o negativo, el coseno y la secante NO cambian (Cos-β = Cosβ) Las
otras funciones sí cambian.
 Cálculo del ángulo a partir de la función trigonométrica.
Para este triángulo se tiene que:
Sen β = 3 / 5.8 = 0.517
Cos β = 5 / 5.8 = 0.862
5.8 cm
β
3 cm
Tan β = 3 / 5 = 0.6
Pero... ¿Cuál es el valor del ángulo β?
5 cm
Utilizando la calculadora, el ángulo β se calcula con las teclas:
Sen -1
Cos -1
Para el caso anterior, como Sen β = 0.517, entonces β = Sen -1 0.517 = 31º
-1
Puede utilizarse cualquier función: Tan β = 0.6, entonces: β = Tan 0.6 = 31º
discusión 6.
Para el gráfico mostrado, calculen el menor ángulo que forman: 1.
A y B ___________ 2. A y C ___________ 3. A y D ___________ 4. B y C ___________ 5. B y D ___________ 6. C y
D ___________
3
2
B
A
-5
6
-4
4
D
Tan -1
C
-2
-3
discusión 7. Calculen los lados faltantes en los triángulos siguientes:
1
3
2
4
8.06 cm
6
cm
21.8º
29.71º
18.4º
5 cm
36.87º
6 cm
5.5 Reducción de funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas de un ángulo mayor de 90º se pueden expresar en términos de un
ángulo agudo que el lado terminal forme con el eje X positivo o negativo. Y es que ocurre que
la función trigonométrica de un ángulo mayor de 90º es numéricamente igual al ángulo que el
lado terminal forma con el eje X positivo o negativo (esto se vio en la página 62)
(x, y)
R
Aquí ocurre que son numéricamente iguales: el seno de β y
el seno de R; el coseno de β y el coseno de R, la tangente
de β y la tangente de R...
β
R
En este caso, el ángulo R se conoce como ángulo de
referencia. El ángulo de referencia es el ángulo positivo
formado por el lado terminal con el eje X (positivo o
negativo) Observemos que el ángulo está en posición
normal.
R
Aquí R es el ángulo de referencia en ambos casos
Si β es el ángulo en estudio, y R es el de referencia, se tiene lo siguiente:
Para el segundo cuadrante: Sen β = Sen R, Cos β = – Cos R, Tan β = – Tan R, Cot β = – Cot R,
Sec β = – Sec R, Csc β = Csc R.
Para el tercer cuadrante: Sen β = – Sen R, Cos β = – Cos R, Tan β = Tan R, Cot β = Cot R,
Sec β = – Sec R, Csc β = – Csc R.
Para el cuarto cuadrante: Sen β = – Sen R, Cos β = Cos R, Tan β = – Tan R, Cot β = – Cot R,
Sec β = Sec R, Csc β = – Csc R.
SOLUCIONES.
Actividad 1.
Sen θ = 0.817 Cos θ = 0.577 Tan θ = 1.416 Cot θ = 0.706 Sec θ = 1.733 Csc θ =
1.22
Sen β = 0.577
Cos β = 0.817
Tan β =0.706
Cot β = 1.416
Sec
β = 1.22
Csc β = 1.733
Actividad 2. Sen β = 0.93 Cos β = 0.37 Tan β = 2.5
Cot β = 0.4
Sec β = 2.7
Csc β =
1.08
Cos θ = 0.93
Sen θ = 0.37 Cot θ = 2.5
Tan θ = 0.4
Csc θ = 2.7
Sec θ
= 1.08
discusión 1. 1.
Cos θ = 0.97 Tan θ = 0.278
Cot θ = 3.597 Sec θ = 1.03 Csc θ =
4.17 Como Sen θ = 0.24, entonces opuesto es 0.24 y la hipotenusa es 1; o también
se puede multiplicar por 100, y tenemos: opuesto = 24, hipotenusa es 100. Por
Pitágoras, se tiene que: adyacente = 97.
2. Porque aparece que el opuesto es mayor que la hipotenusa, lo cual es imposible.
3. Sen θ = 0.894
Cos θ = 0.45
Tan θ = 2
Cot θ = 0.5
Sec θ = 2.22
Csc θ =
1.118 Se le puede dar el valor de 2 al opuesto de θ, entonces el adyacente es 1.
4. Adyacente = √ 7 cm Hipotenusa = 4 cm. La hipotenusa se despeja de 0.75 = 3 /
hipotenusa.
5. X = 6 Hipotenusa = 5 El opuesto se calcula despejando de 0.554 = opuesto / √ 52, y es 4.
Con este dato y 3, aplicamos Pitágoras para calcular la hipotenusa y X.
discusión 2. 1.
v 2. v 3. v Estas 3 respuestas se confirman en la actividad 2 4. v Esto
ocurre cuando el opuesto es cero 5. v Siempre que el opuesto sea mayor que el adyacente
6. f La hipotenusa es siempre mayor que cualquier cateto 7. f Sería necesario, como en el
caso anterior, que el cateto respectivo fuera mayor que la hipotenusa. Esto es imposible 8. v
9. v
discusión 4. La hipotenusa es
k2 + m2
Este factor se anula al hacer Senθ/Cosθ, y nos
queda k/m, que es la tangente.
Actividad 3.
Grados
0º
15º
30º
45º
60º
75º
90º
Sen θ
0
0.26
0.5
0.71
0.87
0.97
1
Tan θ
Sec θ Grados
0
1
90º
0.27
1.03
75º
0.58
1.15
60º
1
1.41
45º
1.73
2
30º
3.73
3.86
15º
Infinito Infinito
0º
Cos θ
0
0.26
0.5
0.71
0.87
0.97
1
Cot θ
Csc θ
0
1
0.27
1.03
0.58
1.15
1
1.41
1.73
2
3.73
3.86
Infinito Infinito
Actividad 4.
1. Sen β = -0.6
-1.666
Cos β = 0.8
Tan β = -0.75
2. Sen β = -0.6 Cos β = -0.8 Tan β = 0.75
-1.666
Cot β = -1.333 Sec β = 1.25
Csc β =
Cot β = 1.333
Csc β =
Sec β = -1.25
Actividad 5.
Β
0º
30º
60º
90º
150º
180º
200º
270º
300º
360º
Senβ
0
0.5
0.86
1
0.5
0
-0.34
-1
-0.86
0
Cosβ
1
0.86
0.5
0
-0.86
-1
-0.94
0
0.5
1
Tanβ
0
0.58
1.73
+∞
-0.58
0
0.36
+∞
-1.73
0
θ
-360º
-330º
-300º
-270º
-210º
-180º
-160º
-90º
-60º
0º
Senθ
0
0.5
0.86
1
0.5
0
-0.34
-1
-0.86
0
Cosθ
1
0.86
0.5
0
-0.86
-1
-0.94
0
0.5
1
Tanθ
0
0.58
1.73
+∞
-0.58
0
0.36
+∞
-1.73
0
L@s alumn@s deben observar que el valor de la función es igual para el ángulo positivo que
para el complemento negativo.
discusión 6.
1. A y B 116.57º 2. A y C 174.1º 3. A y D 55.3º 4. B y C 57.5º 5. B y
D 171.8º 6. C y D 130.6º Aquí se calcula el ángulo de cada lado con el eje X positivo o el
ángulo con el eje más cercano. Luego se hacen las sumas y restas necesarias. Por ejemplo, con
Tan-1, encontramos que A forma 36.87 con X; y B forma 26.56º con –X. Por lo tanto entre A y
B hay 180º - (36.87 + 26.56)º = 116.57º
discusión 7. 1.
cm
2 cm y 5.38 cm
2. c cm y 6.32 cm
3. 4 cm y 7 cm
4. 8 cm y 10