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Por
Mª Ángeles Pajuelo González
I.E.S. Joaquín Turina
MªÁngeles Pajuelo González
Funciones
ÍNDICE
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES DERIVABLES......................................................73
DOMINIO DE DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN.........................................................................................74
PUNTOS DE CORTE DE UNA FUNCIÓN CON LOS EJES COORDENADOS.........................................76
SIMETRÍA Y PERIODICIDAD........................................................................................................................78
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN.......................................................................81
MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN........................................................................85
CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD DE UNA FUNCIÓN................................................................................93
PUNTOS DE INFLEXIÓN.................................................................................................................................95
ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN....................................................................................................................97
REGIONES DE EXISTENCIA PARA UNA FUNCIÓN...............................................................................102
GRÁFICA..........................................................................................................................................................104
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MªÁngeles Pajuelo González
Funciones
FUNCIONES
FUNCIÓN: CONCEPTO Y DEFINICIÓN.Cuando una magnitud depende de otra se suele decir que está en función de ella. De manera intuitiva
podemos decir que una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la
primera le corresponde un único valor de la segunda
El concepto matemático de función exige que esta dependencia sea elemento a elemento, es decir, a un
elemento le corresponde solo un elemento.
Una función f es una correspondencia entre dos conjuntos A (conjunto inicial) y B (conjunto final) que
asocia a cada elemento x de A un único elemento f(x) de B. Si y es el valor correspondiente a x, decimos
que y es la imagen de x, y que x es la antiimagen de y por la función f, y escribimos:
y=f(x) ; x = f -1(y)
DOMINIO E IMAGEN DE UNA FUNCIÓN.• Llamamos dominio, campo de definición o campo de existencia de la función f al conjunto de
todos los valores de x para los que la función tiene imagen (o lo que es lo mismo, conjunto de
valores que puede tomar la variable independiente x para que la función tenga sentido). Vamos a
representarlo como Dom(f).
• Llamamos Imagen o Recorrido de la función, al conjunto de todas las imágenes (es decir, al
conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente y). Vamos a representarlo como
Img(f).
Una función real es aquella cuyo recorrido son valores del conjunto de los números reales. Si los valores
del dominio también son reales, se llama función real de variable real.
A partir de ahora trabajaremos con funciones reales de variable real.
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Funciones
DOMINIOS DE ALGUNAS FUNCIONES:
I) El dominio de una función polinómica es R
II) El dominio de un cociente de polinomios es R-{puntos en que se anula el denominador}
Dom= 0, 2
III) El dominio de una raíz de índice par={puntos en que el radicando es mayor o igual que cero}
3x − 5 ≥ 0 ⇒ 3x ≥ 5 ⇒ x ≥
5
5

Dom =  , ∞ 
3
3

IV) El dominio de una función exponencial es R
V) El dominio de una función logarítmica "y=log(A)" es {puntos en los que A es mayor que cero}
Ejemplo de función
La ley que relaciona el valor del área de un cuadrado con la longitud de su lado es una función. Sabemos
que la expresión que nos relacionas ambas variables es
.
Observa que dependiendo del valor del lado del cuadrado vamos a obtener distintos valores en el área del
mismo. Así, aparece una variable que no depende de nada (variable independiente: la l) y otra que si
depende de los valores elegidos en la l (variable independiente: la A). Puedes pues construir una tabla con
algunos valores:
l
A
1
1
2
4
10
100
1/2
1/4
0,5
0,25
En esta función, el dominio será el conjunto de todos los números reales positivos pues el lado de un
cuadrado nunca puede tener una medida negativa.
Su recorrido es también el conjunto de todos los números positivos pues un área no puede ser negativa.
Además siempre existe un cuadrado que tenga por área cualquier número positivo (bastará construir un
cuadrado cuyo lado sea la raíz cuadrada del área elegida).
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Funciones
Ejemplos de dominios
Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones:
1.- f(x)=1/2x2
En este caso, al no aparecer cocientes ni raíces ni logaritmos en los que intervenga la variable x, podemos
calcular la imagen a cualquier número real. Por tanto D(f)=R
2.Como el radicando de una raíz de índice par debe ser positivo, debemos exigir:
3.Ahora tendremos que los puntos que no pertenecen al dominio son los que anulan al denominador.
Veamos cuales son:
x-1=0 luego x=1 Por tanto el dominio de f serán todos los números reales menos el 1: D(f)=R\{1}
4.Tengo que exigir de nuevo:
Ejercicios para que lo hagan los alumnos
Hallar el dominio de las siguientes funciones:
a) a)
f(x)=x3-4x+2
b)
2x + 1
x2 − 1
f ( x) =
d)
g)
f ( x) =
e)
x 3 − x 2 + 3x − 3
x2 + 1
2x − 5
f ( x) =
f ( x) =
x 2 − 4x + 3
f ( x) =
2x + 6
x2 − x − 6
h)
j)
f ( x) =
x+3
k)
c)
f)
f ( x) =
8 − 2x
f ( x) =
f ( x) =
x+ 2
x2 − x − 6
f ( x) =
x2 − 1
x2 + 3
i)
7 x − 5x + 2
2
f(x)=
l)
x+ 3
f ( x) =
x − 4
m)
p)
s)
f ( x) =
f(x)=
3
v)
n)
x +1
x − x4 + x3 − x2
2
5
q)
f(x)=
2x
x + x+ 1
x+ 1
f ( x) =
x2 + 1
x2 + 3
f ( x) =
2
t)
3x + 7
x 4 − 10 x 2 + 9
f(x)=
f ( x) =
w)
2
x+ 1
x+ 3
o)
r)
u)
x
x+ 1
5
f ( x) =
f(x)=
f ( x) =
f ( x) =
x)
x 3 − 2x 2 + x
x5 − x4 + x3 − x2
x2 − 1
1
2 x 2 − 5x + 2
x2 − 1
x+ 2
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Funciones
FORMAS DE DEFINIR UNA FUNCIÓN
• Verbalmente, es decir, enunciando la regla que define la función, como por ej. :”a cada nº le
asignamos su valor absoluto”.
• Mediante una tabla de valores
• Mediante su expresión analítica (utilizando el lenguaje algebraico).
• Mediante una gráfica.
Según la expresión analítica clasificamos las funciones de la siguiente forma:
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
Dada una función f, llamamos grafo de f y lo representamos por Graf(f) al conjunto siguiente:
Graf(f) = {(x,f(x)) | x ∈ Dom(f) }
Al representar todos los puntos del grafo de f sobre un S. de R., obtenemos la gráfica de la función f.
Para representar gráficamente una función es de mucha ayuda estudiar si posee algún tipo de simetría y la
periodicidad:
 Función par: y = f(x) es par ⇔ f(x) = f(-x); toda función par es simétrica respecto al eje OY
 Función impar: f es impar ⇔ f(x) = -f(-x); toda función par es simétrica respecto del origen (0,0)
 Función periódica: f es periódica de periodo T ⇔ f(x) = f(x + T) ,, para todo T real y distinto de
cero. La gráfica de una función periódica se repite en cada periodo.
EJEMPLO:
f(x)=x3
f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x), luego la función dada es impar
EJERCICIO
Estudiar la paridad de las siguientes funciones.
a) f(x)=1/x
b) f(x)=x+1
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Funciones
FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS
A veces, una función no está definida por una única expresión analítica, sino que ésta varía según el tramo
del dominio que consideremos. Decimos que se trata de una función definida a trozos.
Por ejemplo:
 2 x + 4 si 0 ≤ x ≤ 4
f(x)=  2
Dom(f) = [0, 8]
 x − 4 si 4 < x ≤ 8
RELACIONES NO FUNCIONALES
No siempre una expresión analítica que relaciona las variables x e y determina una función de x. Por ej., la
expresión y = ± x (multifunción) asigna a cada valor de x dos números reales, y por tanto no es una
función. Si no escribimos el signo delante de la raíz, se entiende que es el +, y en este caso ya si es una
función.
OPERACIONES CON FUNCIONES
• Suma de funciones: Dadas dos funciones f y g, la función suma f+g es:
(f+g)(x)=f(x)+g(x),, ,,x ∈ Dom(f) ∩ Dom(g)
•
Resta de funciones: Dadas dos funciones f y g, la función resta f-g es:
(f-g)(x)=f(x)-g(x),, ,,x ∈ Dom(f) ∩ Dom(g)
•
Producto de funciones: Dadas dos funciones f y g, se define la función producto f.g como:
(f.g)(x) = f(x) . g(x),, x ∈ Dom(f) ∩ Dom(g)
•
Producto de un número real por una función: El producto de un número real "k" por una función
"f" es una función "k.f" tal que a cada valor "x" le asocia k veces el valor que le corresponde
mediante f; es decir:
(k.f)(x) = k.f(x),, x ∈ Dom(f)
•
Cociente de funciones: Dadas dos funciones f y g, se define la función cociente f/g como:
f
f (x)
  ( x ) =
,, siendo g(x) ≠ 0 y x ∈ Dom(f) ∩ Dom(g)
g(x )
 g
•
Composición de funciones:
Dadas dos funciones y=f(x), z=g(y), se llama función compuesta (gof) a la función (gof)
(x)=g(f(x))
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•
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Funciones
Observando este esquema observamos que para que exista la función compuesta es necesario que
el recorrido de la función f quede totalmente incluido en el dominio de la función g.
Función inversa respecto de la composición:
Definición
Se llama función identidad a la función que le hace corresponder a cada número real el propio
número. Se representa por I(x).
Definición
Una función f se dice inyectiva o función uno a uno si verifica que dos puntos distintos no pueden
tener la misma imagen. De otra forma:
Ejercicios
1.-Comprobar analíticamente si las siguientes funciones son inyectivas o no:
Definición
Sea y=f(x) una función. Llamamos función inversa (en caso de que exista) a una función notada f-1(x)
que verifica que (f-1of)(x)= (f  f − 1 )( x ) = f[f-1(x)] =I(x) con I(x) la función identidad.
Para que exista la función inversa de f es necesario que la función f sea inyectiva.
Si dos funciones son inversas, sus gráficas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.
Método para hallar analíticamente la función inversa de otra
Tenemos la función y = f(x), y queremos hallar su inversa.
1) Se intercambian la x y la y en la expresión inicial: y = f(x)
x = f(y)
-1
2) Se despeja la y en la nueva expresión: x = f(y)
y = f (x)
x− 2
1.- Calcular si es posible la función inversa de f(x) =
x+ 1
En primer lugar debemos estudiar si la función en cuestión es inyectiva o no:
x − 2 x2 − 2
f (x 1 ) = f (x 2 ) ⇒ 1
=
⇒ ( x 1 − 2)( x 2 + 1) = ( x 2 − 2)( x 1 + 1) ⇒
x1 + 1 x 2 + 1
x 1 x 2 + x 1 − 2x 2 − 2 = x 1 x 2 + x 2 − 2x 1 − 2 ⇒ 3x 1 = 3x 2 ⇒ x 1 = x 2
Con esto queda probado que la función f es inyectiva y por tanto existe f -1. Calculémosla:
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Funciones
2.- Calcula la función suma de las siguientes funciones con sus dominios respectivos:
f1(x)=x2+1
f2(x)=-2x2+4
ys=y1+y2=x2+1-2x2+4=-x2+5.
3.-
4.- Estudiar la existencia de la función compuesta de las siguientes funciones y en caso afirmativo
calcularla: f(x)=x+1 g(x)=x2+1
En este caso el dominio de la función g es todo R. Cuando esto ocurra, la función compuesta existe y el
dominio de la misma coincidirá con el dominio de f.
Por tanto, en este caso la función compuesta existe y Dom(gof)=Dom(f) = R
Además gof(x)=g(f(x))=(f(x))2+1=(x+1)2+1=x2+2x+1+1=x2+2x+2
x+ 1
,, g(x) = x2
x− 1
En este caso, Dom(g)=R luego el la función gof existe siendo además
5.- Estudiar la existencia de gof en el caso: f(x) =
Dom(gof)=Dom(f)=
6.-Dadas las funciones f(x) =
x− 1
x+ 2
y g(x) =
1
+ 3 , estudiar la existencia de gof y de fog
x
a)gof
Dom(g)=R\{0}. Por tanto, si existe algún punto del dominio de f tal que f(x)=0 entonces no existirá gof.
Veámoslo:
.
Por tanto, como existe un punto verificando eso, la función gof no existe en este caso. No obstante
construyamos una restricción. Para ello bastará con quitar al dominio de f los puntos que verifican que
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f(x)=0.
Dom(f)=R\{-2} Y Dom(gof)=R\{-2,1}
b)fog
Dom(f)=R\{-2}.
Por tanto habrá que comprobar si existe algún punto tal que g(x)=-2:
.
Como existe un punto en esas condiciones, no existe fog. No obstante construyamos una restricción. Para
ello bastará con quitar al dominio de g los puntos que verifican que g(x)=-2.
Dom(g)=R\{0} Y Dom(gof)=R\{-1/5,0}
7.- Dadas las funciones y1=x+1 y y2=x+2 calcula yp así como yc con sus dominios respectivos.
puesto que el -2 anulará el denominador de la función cociente.
8- Idem con las siguientes funciones:
Observa que en la función cociente también hemos quitado del dominio el punto 1 puesto que la función
y2 se anula para dicho punto.
9.- Dada f(x) = 2x + 5, calcula (si existe) f—1
Solución:
a) Veamos primeramente que es inyectiva:
f(x1)=f(x2) ⇒ 2x1 + 5=2x2 + 5 ⇒ x1 = x2 ⇒ f es inyectiva
b) Calculemos la inversa:
y− 5
x− 5
⇒ f − 1 (x) =
y = 2x + 5 ⇒ x =
2
2
10.- Comprueba que las funciones f(x) = ex y g(x) = ln x son funcione recíprocas (es decir, que su
composición da i(x)).
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FUNCIONES MONOTONAS
Diremos que una función f es creciente:∀ x1,x2 ∈Dom(f) con x1<x2 entonces f(x1)<f(x2
Diremos que una función f es decreciente:∀ x1,x2 ∈Dom(f) con x1<x2 entonces f(x1)>f(x2
FUNCIONES ACOTADAS
o Diremos que f está acotada superiormente si existe k∈R tal que f(x)≤ k ∀ x∈Dom(f).
o Diremos que f está acotada inferiormente si existe k∈R tal que f(x) ≥ k ∀ x∈Dom(f).
EJEMPLO: f(x)=x2 está acotada inferiormente por "0"
o Diremos que f está acotada si lo está superior e inferiormente.
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Funciones
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Funciones
MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS
•
•
Decimos que la función f(x) posee un máximo en x0, si f(x0) ≥ f ( x ), ∀ x ∈ Dom(f)
Decimos que la función f(x) posee un mínimo en x0, si f(x0) ≤ f ( x ), ∀ x ∈ Dom(f)
EJERCICIO1
1.
Para la gráfica siguiente, encuentra la posición del máximo absoluto y del mínimo absoluto de la
función en el intervalo dado:
a) [ − 5, − 3]
b) [ − 3, 0]
c) [ − 4, − 2]
d) [ − 5.5, 2]
Respuestas: a) P máx (- 4, - 6), P mín (-5, - 8),
b) P máx (-1, -6), P mín (0, -12),
c) P máx (- 4, - 6), P mín (-2, - 8),
d) P máx (2, 12), P mín (0, -12).
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Funciones
LIMITES DE FUNCIONES.
LÍMTE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO:
Sea f una función real de variable real . Diremos que el límite de f(x) cuando x tiende a x0 es L y
escribiremos
lím f ( x ) = L
x→ x0
si a medida que x se aproxima a x0 (por valores menores y mayores que x0) las imágenes de x , las f(x), se
aproximan a L.
Esto nos llevaría a definir los límites laterales:
•
f (x) = L
Límite por la derecha cuando x se aproxima a x0 por valores mayores: xlím
→ x 0+
•
f (x) = L
Y límite por la izquierda cuando x se aproxima a x0 por valores menores: xlím
→ x 0−
EJEMPLO I
Consideremos la función
 2x − 3 si x < 2
f(x) = 
 - x + 2 si x > 2
Esta función no está definida en el punto 2. Cuando nos aproximamos a este punto por la
izquierda, la función se aproxima a 1. Decimos por tanto que el límite de f(x) cuando x tiende a 2
por la izquierda es 1, y lo expresamos:
lim− f ( x) = 1
x→ 2
Del mismo modo al aproximarnos a 2 por la derecha (tomando valores mayores que 2) la función
se aproxima a 0. Por tanto "el límite de f(x) cuando x tiende a 2 por la derecha es 0", lo
expresamos:
lim f ( x ) = 0
x→ 2+
EJEMPLO II
 2x − 3 si x < 2

f(x) =  - 4 si x = 2
 - x + 2 si x > 2

En este caso:
f(2)=-4
lim f ( x) = − 1
x→ 2−
lim f ( x) = 0
x→ 2+
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Funciones
EJEMPLO III
 2 x − 3 si x < 2
f ( x) = 
 - x + 2 xi x ≥ 2
lim f ( x) = 0
x→ 2+
f(2)=0
lim f ( x) = − 1
x→ 2−
Observemos que en los tres casos el límite por la izquierda coincide con el límite por la derecha,
sin embargo el valor de la función en el punto 2 es distinto en cada caso; o incluso puede no estar
definida en ese punto (Ejemplo I). Es decir, a la hora de calcular el límite de una función en un
punto no nos interesa el valor de la función en ese punto sino en sus cercanías.
EJEMPLO IV
 x − 1 si x < 3
f ( x) = 
 5 − x si x ≥ 3
lim f ( x) = 2
x → 3−
lim f ( x) = 2
x → 3+
cuando el límite por la izquierda y por la derecha coincide se dice que existe el límite de f(x) cuando x
tiende a 2 y es igual a ese número. Escribiremos:
lim f ( x) = 2
x→ 3
La condición necesaria y suficiente para que exista el límite de f(x) cuando x tiende a x 0 y éste valga L, es
que existan los límites laterales y que coincidan con L.
lím f ( x ) = L ⇔
x→ x0
lím f ( x ) = lím − f ( x ) = L
x→ x 0+
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x→ x
0
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Funciones
LIMITES INFINITOS.
De la misma forma que en el apartado anterior se puede decir que:
lim f (x) = ∞
x→ a
si a medida que x se aproxima hacia a, f(x) crece indefinidamente, es decir, tiende a infinito.
Ejemplo
f(x)=1/x
Esta función tiene como gráfica la de la figura, se puede
observar que a medida que nos acercamos al punto cero por
la derecha la función se dispara a infinito, mientras que si nos
acercamos por la izquierda la función se dispara a menos
infinito.
Analíticamente:
lím+ f ( x ) =
1
= +∞
0+
lím− f ( x ) =
1
= −∞
0−
x→ 0
x→ 0
Ejemplo2:
f(x)=
1
( x − 1) 2
f (x) = + ∞
En este caso se puede comprobar sin más que hallar los límites laterales que lím
x→ 1
Cuando decimos que una función tiene límite infinito estamos expresando una tendencia, pues infinito no
es un número.
LIMITES EN EL INFINITO
lim f ( x ) ⇔ valor al que se acerca f(x) cuando x crece indefinidamente en sentido positivo
x→ + ∞
lim f ( x ) ⇔ valor al que se acerca f(x) cuando x crece indefinidamente en sentido negativo
x→ − ∞
Ejemplo:
lím
x→ ∞
x+ 1
= 1 . Como vemos en la gráfica, la función tiende a 1 cuando x tiende a +∞ y a -∞
x+ 3
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Funciones
Los casos que se pueden dar al estudiar el comportamiento en el infinito de una función son:
o La función tienda a un cierto valor l (como en el ejemplo anterior)
o La función tienda a +∞ o a -∞, como por ejemplo:
lím (− x 3 − 3x 2 + x + 3) = − ∞
x→ + ∞
y
lím (− x 3 − 3x 2 + x + 3) = + ∞
x→ − ∞
o La función no tenga límite cuando x tienda a +∞ y a -∞, como por ejemplo, cuando f(x)=senx
o La función no está definida para valores muy grandes de x con lo que no tendrá sentido estudiar el
comportamiento de f cuando x tiende a +∞, o la función no está definida para valores muy
pequeños de x con lo que no tendrá sentido estudiar el comportamiento de f cuando x tiende a -∞.
Por ejemplo, la función f(x) =
x + 5 − 3 no está definida para valores de x inferiores a -5, por lo
que no tiene sentido estudiar su límite cuando x tiende a -∞
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.
A)
LIMITE DE UNA SUMA:
lim ( f ± g )( x) = lim f ( x) ± lim g ( x)
x → x0
x → x0
CASOS:
x → x0
∞±k=∞
∞+∞=∞
∞ - ∞ INDETERMINADA
B) LIMITE DE UN PRODUCTO:
lim ( f .g )( x ) = lim f ( x ). lim g ( x )
x → x0
x → x0
x → x0
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CASOS:
Funciones
∞. k = ∞
∞. ∞ = ∞
∞ . 0 INDETERMINADA
C) LÍMITE DE UN COCIENTE:
lim f ( x)
 f
x → x0
lim   ( x ) =
x → x0 g
lim g ( x)
 
x→ x
0
CASOS:
∞
=∞
k
0
=0
k
∞
=∞
0
0
ada
0 indeterminada
k
=0
∞
k
=∞
0
0
=0
∞
∞
ada
∞ indeterminada
0 ∞
Luego otros dos casos de indeterminación son: y
0 ∞
D) LIMITE DE UNA POTENCIA:
lim ( f ( x ) g ( x ) ) = lim ( f ( x ) ) x → x0
lim g ( x )
x → x0
CASOS
0k=0
∞k = ∞
0∞=0
∞∞ = ∞
x → x0
0− ∞ =
∞
−∞
1 1
= = ∞
0∞ 0
1
1
= ∞ =
= 0
∞
∞
Surgen 3 nuevas indeterminaciones: 00, ∞
0
y 1∞
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00 indeterminada 1∞ indeterminada
∞0 indeterminada k∞=0 si 0<k<1
k∞=∞ si k>1
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Funciones
Proponer que los alumnos realicen los siguientes cuadros:
( f (x ) + g(x ))
CUADRO CORRESPONDIENTE AL LÍMITE DE LA SUMA DE FUNCIONES: xlím
→ x0
f(x)
g(x)
L
+∞
-∞
L’
L+L’
+∞
-∞
+∞
+∞
+∞
∞-∞
-∞
-∞
∞-∞
-∞
CUADRO CORRESPONDIENTE AL LÍMITE DEL PRODUCTO DE FUNCIONES
f(x)
L≠ 0
0
+∞
-∞
+∞ si
+∞ si
L’>0
L’<0
-∞ si
-∞ si
L’<0
L’>0
0
0. ∞
0. ∞
0. ∞
+∞
-∞
0. ∞
-∞
+∞
g(x)
L’ ≠ 0
0
L . L’
0
0
+∞ si
L>0
+∞
-∞ si L<0
+∞ si
L<0
-∞
-∞ si L>0
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Funciones
CUADRO CORRESPONDIENTE AL LÍMITE DEL COCIENTE DE FUNCIONES
f(x)
L≠ 0
0
+∞
-∞
+∞ si
+∞ si
L’>0
L’<0
-∞ si
-∞ si
L’<0
L’>0
∞
∞
g(x)
L’ ≠ 0
L / L’
0
0
± ∞
0
0
+∞
0
0
∞
∞
∞
∞
-∞
0
0
∞
∞
∞
∞
CUADRO CORRESPONDIENTE AL LÍMITE DE UNA POTENCIA DE FUNCIONES
Como la base f(x) es definida positiva, su límite nunca podrá ser -∞
f(x)
L>0
L≠ 1
0
1
+∞
g(x)
0 si L’>0
L’ ≠ 0
LL’
∞ si
L’<0
0 si L’<0
1
∞ si
L’>0
1
∞0
1∞
∞
1∞
0
00
0
1
0 si
0<L<1
+∞
∞ si L>1
∞ si
0<L<1
-∞
0
∞
0si L>1
19
I.E.S. Joaquín Turina
MªÁngeles Pajuelo González
Funciones
CÁLCULO DE LÍMITES. RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES
Cálculo del límite de una función en un punto.
En la práctica, para calcular el límite de una función cuando x tiende a x0, basta con sustituir, en la
expresión analítica de la función, la variable por x0. Pero al efectuar la sustitución no siempre obtenemos
un nº real; puede suceder que la función tienda a ∞. Es lo que ocurre cuando tenemos k/0 (k distinto de 0).
El resultado es ∞, pero lo que no sabemos es su signo. Para ello hay que estudiar los límites laterales.
Ejemplo1:
lím
x→ 0
1
= + ∞
x2
Ejemplo2:
x+ 1

= +∞
+
x + 1  xlím
lím
=  → 3 x− 3
x+ 1
x→ 3 x − 3
 lím−
= −∞
 x→ 3 x − 3
Cálculo del límite de una función definida a trozos
Para obtener el límite en el punto en el que cambia la expresión de la función, calcularemos los límites
laterales y analizaremos el resultado. En el resto de los puntos, procederemos de la forma habitual.
Cálculo del límite de una función en el infinito
Para calcular el límite de una función en el infinito no podremos aplicar la técnica anterior de sustituir en
la variable de la función por el infinito, puesto que no se trata de un nº. Procederemos de manera diferente
según el tipo de función:
Límite de una función polinómica
El comportamiento en los extremos de una función polinómica coincide con el comportamiento del
término de mayor grado, es decir:
lím (a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ........... + a n x n ) = lím (a n x n )
x→ ∞
x→ ∞
Límite de una función racional
lím
x→ ∞
a 0 + a 1 x + ..... + a n x
n
b 0 + b 1 x + ..... + b m x
m
= lím
x→ ∞
anx
n
bm x m

 0 si n < m

=  ± ∞ si n > m
 a n si n = m
 b
 n
Límite de una función exponencial
Al calcular el límite en el infinito de la función f(x)=ax hemos de tener en cuenta el valor de a (que
siempre ha de ser positivo) y la tendencia del exponente. Los casos posibles son:
 lím a x = 0

- Si 0<a<1 ⇒  x → + ∞ x
a = +∞
 xlím
→ −∞
 lím a x = + ∞

- Si a > 1 ⇒  x → + ∞ x
a = 0
 xlím
→ −∞
f ( x ) = lím f (− x )
Nota: En la práctica, para calcular xlím
→ −∞
x→ ∞
20
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Funciones
Resolución de indeterminaciones
•
INDETERMINACIÓN
En la mayoría de los casos basta con dividir el numerador y denominador por la mayor potencia de
x del denominador.
Ejemplos.-
•
INDETERMINACIÓN
En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.
Ejemplo.-
En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen radicales, basta con multiplicar y dividir por la
expresión radical conjugada.
Ejemplo.-
•
INDETERMINACIÓN
En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.
Ejemplo.-
•
INDETERMINACIÓN
Cuando solo aparecen funciones racionales, basta con descomponer factorialmente el numerador y
el denominador y simplificar.
Ejemplo.-
21
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MªÁngeles Pajuelo González
Funciones
En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta con multiplicar y dividir por la
expresión radical conjugada.
Ejemplo.-
•
INDETERMINACIONES
-
-
-En 1º bachillerato, solo nos dedicaremos a la indeterminación de la forma
teniendo en cuenta que:
1

lím  1 + 
x→ ∞ 
x
, y la resolveremos
x
= e
siendo e el número irracional 2,7…………….., base de los logaritmos neperianos.
Las técnicas utilizadas para transformar la expresión dada en la que nos interesa, las veremos en
ejercicios posteriores.
-En 2º de bachillerato, para determinar estos límites tendremos en cuenta que:
de donde resulta que:
pudiendo aparecer otras indeterminaciones, que resolveremos por los métodos anteriores o por métodos
que aprenderemos en temas posteriores.
En el caso de la indeterminación
podemos aplicar con mayor facilidad la siguiente igualdad:
Aplicar la igualdad anterior a la resolución del siguiente límite:
•
LIMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
En algunos casos podemos utilizar un límite muy conocido, que es:
22
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En los casos anteriores puede ocurrir que aplicando lo dicho anteriormente no podamos resolver la
indeterminación. Estos casos, al igual que en el apartado E), se resolverán en los temas siguientes
aplicando la Regla de L'Hôpital que estudiaremos en 2º de bachillerato.
EJEMPLOS
1)
2)
23
Funciones
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3)
4)
24
Funciones
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EJERCICIOS SOBRE CÁLCULO DE LÍMITES
1.-
25
Funciones
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2.-
3.-
26
Funciones
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27
Funciones
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4.-
28
Funciones
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5.-
6.-
29
Funciones
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Solución
30
Funciones
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7.-
8.-
9.-
31
Funciones
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10.-
11.-
32
Funciones
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12.-
33
Funciones
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Funciones
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
FUNCIÓN CONTÍNUA EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO
•
Diremos que la función y = f(x) es continua en x = a si:
a. Existe f(a), es decir, f(x) está definida en x=a.
b. Existe el
.
c. Ambos valores coinciden, es decir
•
.
Diremos que y = f(x) es continua en el (a,b) si es continua en cada uno de los puntos del intervalo
abierto (a,b).
Diremos que y = f(x) es continua por la derecha en x=a si
Diremos que y = f(x) es continua por la izquierda en x=a si
.
.
Diremos que y = f(x) es continua en el [a,b] si:
- y = f(x) es continua en el intervalo abierto (a,b).
- y = f(x) es continua por la derecha en x=a.
- y = f(x) es continua por la izquierda en x=b.
OPERACIONES CON FUNCIONES CONTÍNUAS
Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en x=a, se tiene entonces que:
•
f ( x ) ± g( x ) es continua en x=a.
•
f(x).g(x) es continua en x=a.
•
f (x)
es continua en x=a si g(a) ≠ 0.
g(x )
•
es continua en x=a suponiendo que f(a)>0 (para que tenga sentido la potencia).
34
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Funciones
DISCONTINUIDADES
Se dice que una función y = f(x) es discontinua en x = a si no es continua en dicho valor de x, es decir, no
cumple alguna de las tres condiciones de continuidad.
TIPOS DE DISCONTINUIDADES
A) Evitable: Cuando existe el
pero no coincide con el valor de f(a) por una de estas dos razones,
son distintos los valores o no existe f(a).
B) De salto: Cuando existe el límite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos finitos) pero no
coinciden.
C) Asintótica: Cuando alguno de los límites laterales (o ambos) no es finito. Puede ser asintótica por la
derecha, por la izquierda o por ambos lados.
D) Esencial: Cuando no existe alguno de los límites laterales (o ambos). Puede serlo por la derecha, por la
izquierda o por ambos lados.
Si y = f(x) tiene una discontinuidad evitable en x = a, llamaremos verdadero valor de la función en x=a al
. Dicho valor es el que convierte a la función en continua.
Si y = f(x) tiene una discontinuidad de salto en x=a, llamaremos salto de la función en x=a al valor
.,
pudiendo ser este salto finito o infinito.
35
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EJEMPLOS.
1)
2)
36
Funciones
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3)
4)
5)
37
Funciones
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6)
7)
38
Funciones
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39
Funciones
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8)
40
Funciones
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Funciones
DERIVADAS
DERIVADA DE UNA FUNCION.Introducción.Se abre aquí el estudio de uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial: la derivada de una
función.
En este tema, además de definir tal concepto, se mostrará su significado y se hallarán las derivadas de las
funciones más usuales. Es de capital importancia dominar la derivación para después poder abordar el
trazado de curvas, así como para comprender la utilidad del cálculo integral, que se estudiarán a
continuación.
La noción de derivada es históricamente anterior al concepto de límite aunque actualmente se estudie
aquélla inmediatamente después de éste, por razones que serán fácilmente comprensibles.
La derivada de una función en un punto x0 surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la
función en el punto de abscisa x0, y fue Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar
los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de
abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados. En estas condiciones, Fermat
buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Sea una función y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 + h muy próximo a x0 (h es un
número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a cero, la recta secante (en rojo de la
figura) que une los puntos
( x0, f(x0 ) ) y ( x0 + h, f(x0 + h) ), tiende a confundirse con la tangente (en azul de la figura) a la
curva en el punto (x0,f(x0 )).
que determina la tangente con ese mismo eje, ( α h sería la inclinación de la secante y α la inclinación de
la tangente) en el triángulo rectángulo de vértices
(x0,f(x0 )), (x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0 )), se verifica:
41
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Funciones
Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento
de la tangente, es decir, si miras la figura, al hacer que h tienda a cero la línea roja se acerca a la línea
azul por lo que:
tg ah tiende a tg a, es decir, la pendiente de la secante tiende a la pendiente de la tangente a la curva en el
punto (x0,f(x0 )).
Esto se expresa matemáticamente así:
NOTA: Es importante que entiendas
esto, pues es el núcleo por
el que después entenderás otros
conceptos,
si no es así, dímelo
A esta expresión es a lo que se llama pendiente de la curva
en el punto x0 o bien pendiente de la tangente a la curva en
el punto x0.
Definimos recta tangente a una curva en el punto x0, como la recta que pasa por x0 y cuya pendiente es:
f (x 0 + h) − f (x 0 )
m= lím
h→ 0
h
Por tanto, la ecuación de cualquier recta tangente a una curva en el punto (x0, f(x0) es:
y – f(x0) = m .(x – x0)
siendo m la pendiente de la curva en el punto x0
Derivada de una función en un punto
Dada una función y = f(x), se llama derivada de la función f en un punto x0 al
f '(x0 ) (efe prima de equis sub-cero) o por D(f(x0 )):
42
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Funciones
Cuando este límite existe (y es finito) se dice que la función f(x) es derivable en el punto x0.
Significado de la derivada
Puesto que
la derivada de la función en un punto x0 no es otra cosa que la pendiente de la tangente a la curva (gráfica
de la función) en (x0, f(x0 )).
Por tanto, el que una función posea derivada en el punto x0 quiere decir que su gráfica admite tangente en
ese punto.
Calcular la derivada de la función f(x) = 3x + 5 en el punto de abscisa x = 1.
Resolución:
Se pide el valor de f '(1) (en este caso, x0 = 1).
Por tanto, f '(1) = 3.
Calcular la derivada de la función
f(x) =
en el punto 2.
Resolución:
(conjugado del numerador)
Recordando que suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados:
Ejercicio: cálculo de la ecuación de la tangente a una función en un punto
Calcular la ecuación de la tangente a la curva f(x) = x2 en el punto de abscisa 2.
Resolución:
La tangente pasa por el punto (2, f(2)) = (2,4).
La pendiente (m) de la tangente a la curva en el punto de abscisa 2 es, por definición, f '(2), luego la
ecuación de la recta es de la forma
y - y0 = m (x - x0)
y - 4 = f '(2) (x - 2).
43
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Funciones
La ecuación de la tangente es entonces
y - 4 = 4(x - 2)
y - 4 = 4x - 8
4x - y - 4 = 0.
Ejercicio: estudio de la derivabilidad de una función en un punto
Estudiar la derivabilidad de la función f(x) definida por
Resolución:
a) Derivabilidad en x1 = 1.
Se han de considerar dos casos:
1º Lo que pasa a la derecha de este punto, para ello consideraremos h>0
Si h > 0, lógicamente (x1 + h) = 1 + h > 1 y en este caso estamos muy cerca del punto azul del figura pero
a la derecha, por lo que la función es la línea recta roja f(x) = x. Por tanto:
f (1) = 1 y f (1+h) = 1 + h
Este límite es el «límite por la derecha» e indica que la tangente a la derecha de 1 tiene por pendiente 1.
2º Lo que pasa a la izquierda de este punto, para ello consideraremos h<0
Si h < 0, lógicamente (x1 + h) =
< 1 y en este caso estamos muy cerca del punto azul del figura
pero a la izquierda, (por lo que la función es la línea azul f(x) = x2. Por tanto:
f (1) = 1 y
f (1+h) = (1 + h)2 = 1 + 2h + h2
Este límite es el «límite por la izquierda» e indica que la tangente a la izquierda de 1 tiene por pendiente 2.
Al no coincidir los límites a derecha e izquierda de 1, no existe tal límite y, por tanto, la función f(x)
no es derivable en x = 1.
44
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Funciones
b) Derivabilidad en x = 0.
En este caso no es necesario considerar h > 0 y h < 0 ya que en las proximidades de cero
(h es muy pequeño) la función es f(x) = x2.
El límite existe y es cero, luego f(x) es derivable en x0 = 0 y la pendiente de la tangente es cero (paralela
al eje de abcisas).
Estudiar la derivabilidad de la función
f (x) = |x| (valor absoluto de x) definida por
Resolución:
Al no coincidir los límites a derecha e izquierda de 0, la función f (x) = |x| no es derivable en dicho
punto.
¿Cuándo hay que considerar límites a derecha e izquierda al calcular la derivada de una función en un
punto?
Si al dibujar la curva se observa que en el punto considerado ésta cambia bruscamente de dirección, es
necesario considerar límites a derecha e izquierda, puesto que, en este caso, la tangente no se comporta de
igual modo y se «quiebra».
Consecuencias de la definición de derivada en un punto
1. Si existe la derivada de una función f(x) en un punto (x0, f(x0)), existen las derivadas a derecha e
izquierda de x0 y tienen que ser iguales; de lo contrario no existiría f'(x0 ).
Puede ocurrir, no obstante, que existiendo las derivadas a derecha e izquierda éstas sean distintas. En este
caso no existe la tangente en (x0, f(x0 )), sino dos semirrectas, cada una tangente a uno de los arcos en que
45
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Funciones
el citado punto divide a la curva. Los puntos en que esto ocurre se llaman puntos angulosos.
Los puntos x1 de la primera figura y x0 de la segunda que hemos estudiado son puntos angulosos: la curva
cambia bruscamente de dirección en ellos. La función correspondiente no es derivable en las abscisas de
dichos puntos.
No es difícil, consecuentemente, imaginar la gráfica de una función que no sea derivable en muchos e,
incluso, infinitos puntos.
Tangente a una curva en un punto
El concepto de derivada facilita la definición de tangente a una curva en un punto como el límite de una
secante que pasa por él y por otro punto cualquiera de la curva cuando éste último, recorriendo la curva,
tiende a coincidir con el primero.
Propiedad
Si una función es derivable en un punto, necesariamente es continua en él.
Demostración:
Sea una función y = f(x) derivable en un punto x0. Para probar que la función es continua en él, es preciso
demostrar que
o lo que es equivalente, que
Veamos, si la expresión f(x0 + h) - f(x0) la multiplicamos y dividimos por h
aqui vemos que el primer término del producto anterior es precisamente la derivada de f(x) en el punto x0,
( recordar que partímos de la tesis que f(x) es derivable) es decir vale f ' (x0) y el segundo término vale 0
pues es el límite de h cuando h tiende a cero.Así pues tenemos que:
Esta propiedad evita el trabajo de estudiar la derivabilidad de una función en un punto donde ésta no sea
continua.
Por el contrario, puede darse el caso de una función continua en todos los puntos y no ser derivable en
alguno, e incluso infinitos puntos. Valga como ejemplo la función |x|, que siendo continua en todos los
puntos de la recta real, no es derivable, como ya se ha comprobado, en el origen.
46
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Funciones
CÁLCULO DE DERIVADAS (I)
Derivada de una función constante
Sea una función constante f(x) = C.
Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su
ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),
f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que
Luego la derivada de una constante es siempre cero.
Derivada de la función lineal mx + b
Sea una función lineal cualquiera f(x) = mx + b. Para un punto cualquiera x,
lo cual significa que la derivada de una recta coincide
con la pendiente de ella misma y, en consecuencia, la tangente en un punto a una recta es la propia recta.
Derivada de una constante por una función, k · f(x)
Si k es una constante y f(x) una función, la derivada de la nueva función k · f(x) será:
Se ha demostrado que (k · f(x))' = k · f'(x) Así, para derivar una expresión de la forma
k · f(x), basta derivar la función f(x) y multiplicar después por la constante k.
Derivada de la función potencia xm (m un número natural)
Aunque la demostración está hecha un poco más adelante, nosotros vamos a demostrar la fórmula por recurrencia:
-Si y = x2…………………y’ = 2.x
-Si y = x3…………………y’ = 3x2
-Si y = x4…………………y’ = 4x3
………………………………………….
-Si y=xm………………….y’ = mxm-1
Para calcular la derivada de la función f(x) = xm, m > 0, hay que evaluar el cociente
47
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Funciones
Tomando límites cuando h --> 0,
sumandos tiende a cero (su límite es cero).
Se concluye que
Ejercicio: cálculo de derivadas
Calcular la derivada de f(x) = x2 en el punto de abscisa - 1.
Resolución:
f '(x) = 2 · x2 - 1 = 2 x
f '(- 1) = 2 · (- 1) = - 2
Entonces, la pendiente de la tangente a la parábola y = x2 en x = - 1 es - 2.
Derivadas de las funciones trigonométricas sen x y cos x
La derivada de la función f(x) = sen x es f '(x) = cos x
Demostración:
f’(x)=
h
h

sen 
sen

sen ( x + h ) − senx
1
x+ h+ x
x+ h− x
h
2 = lím cos( x + h ). lím
2 =
lím
= lím (2 cos(
)sen (
)) = lím  cos( x + ).

h  h→ 0
h→ 0
h→ 0 h
h→ 0
h
2
2
2
2 h→ 0 h



2 
2
= cos x . 1 = cos x
48
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senx
= 1
x→ 0 x
Veamos geométricamente que lím
Construyamos una circunferencia goniométrica (R=1)
Área del triángulo OAC < Área del sector circula OAC < Área del triángulo OBC
OC.AD /2 < Z(radianes)/2 < OC.BC/2
sen Z < Z < tg Z
Dividiendo todo por senZ
1 < Z/senZ <1/cosZ
Tomando límite cuando Z tiende a 0:
La derivada de la función g(x) = cos x es g '(x) = - sen x
Demostración:
g’(x)=(cos x)’ = (sen(π-x))’= -1.cos(π-x)= -senx
Si necesitas las demostraciones dímelo.
Derivada de la función f(x) = logax
49
Funciones
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log a ( x + h ) − log a x
x + h
h
1

= lím  ⋅ log a
= lím log a  1 + 

h→ 0
h→ 0 h
h
x  h→ 0
x

f’(x) = lím
Funciones
1
h
x 

h


1  
= log a lím   1 +
x  
h→ 0

h  

1
x
=
=logae1/x=1/x. logae
Derivada de la función logaritmo neperiano ln |x|
Puesto que el logaritmo está definido sólo para valores positivos y distintos de cero, es necesario considerar el
logaritmo del valor absoluto de x.
Para calcular la derivada de esta función se han de considerar dos casos, x > 0 y x < 0:
a) Si x es positivo, aun tomando h negativo, x + h es positivo si se toman valores de h suficientemente pequeños, lo
cual es posible pues se va a calcular el límite cuando h tiende a cero. En estas condiciones
Por tanto, si x > 0
b) Si x es negativo, aun tomando h positivo y suficientemente pequeño, x + h sigue siendo negativo y |x + h| = - (x +
h) y |x| = - x.
Como se aprecia, se llega a la misma expresión que en el caso anterior y la demostración se continuaría de forma
idéntica.
Derivadas de las funciónes exponenciales ax y ex
50
I.E.S. Joaquín Turina
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Funciones
(Nosotros haremos estas derivadas por derivación logarítmica).
Sea la función y = ax, siendo a una constante positiva distinta de 1. La derivada de esta función en un punto x es:
y se toman logaritmos neperianos:
Luego:
En particular, cuando la constante a es el número e, la derivada de la función ex es
(ex )' = ex · ln e = ex · 1 = ex
Hasta el momento se saben derivar algunas funciones elementales pero no hay nada que permita encontrar las
derivadas de una suma, un producto o un cociente de estas derivadas; se requiere, por consiguiente, seguir avanzando
en la obtención de propiedades encaminadas a este fin.
Operaciones con funciones
Hay que recordar cómo se definen la suma, el producto y el cociente de funciones. Si f y g son dos funciones definidas
en un mismo intervalo (en caso contrario, alguna de estas operaciones podría no estar definida),
Función suma de f y g como la nueva función f + g: [a,b] ---> R,
(f + g) (x) = f(x) + g(x)
Función producto de f y g como la función f ·g: [a,b] ---> R,
(f · g) (x) = f(x) · g(x)
51
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Funciones
siempre que g(x) distinto de 0 para todo x del intervalo.
Derivada de una suma de funciones
Si f y g son dos funciones derivables en un mismo punto x de un intervalo, la derivada de la función suma en dicho
punto se obtiene calculando
La derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas.
[f(x) + g(x)] ' = f '(x) + g '(x)
Derivada de una diferencia de funciones
f - g = f + (- g), por lo que [f(x) + (- g(x))]' = f'(x) + (- g(x))'
Pero - g(x) = (- 1) · g(x) y la derivada de una constante por una función es igual al producto de la constante por la
derivada de la función:
[- g(x)]' = [(- 1) · g(x)]' = (- 1) · g'(x) = - g'(x)
En consecuencia,
[f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)
Ejercicio: cálculo de derivadas
Calcular la derivada de la función f(x) = x - cos x
Resolución:
Calcular la derivada de f(x) = x3 - sen x + ln|x| en el punto x = -p/3.
Resolución:
52
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Funciones
Derivada de un producto de funciones
Sean f y g dos funciones definidas y derivables en un mismo punto x.
Si se suma y se resta en el numerador f(x) · g(x + h), la fracción anterior no varía,
Sacando g(x + h) factor común en los dos primeros
sumandos, y f(x) en los otros dos,
Si ahora se toman límites cuando h tiende a cero,
Ejercicio: cálculo de derivadas
Hallar la derivada de h(x) = x · ln x para cualquier x positivo.
Resolución:
53
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Resolución:
54
Funciones
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Funciones
CÁLCULO DE DERIVADAS (II)
Derivada de un cociente de funciones
Considérense, como en los casos precedentes, dos funciones f y g definidas y derivables en un punto x.
Además, en este caso, se tiene que imponer la condición de que la función g no se anule en x.
Si en la segunda fracción se suma y se resta al numerador f(x) · g(x), se obtiene:
Sacando factor común g(x) en los dos primeros sumandos de la segunda fracción, y f(x) en los dos últimos,
Por último, se toman límites cuando h tiende a cero notando que:
En definitiva,
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Ejercicio: cálculo de derivadas
Resolución:
Derivada de la función tg x
si f(x) = sen x, f ' (x) = cos x
si g(x) = cos x, g ' (x) = - sen x
Aplicando la fórmula de la derivada de un cociente,
Por tanto,
Derivada de la función sec x
Si f(x) = 1,
f ' (x) = 0
Si g(x) = cos x, g ' (x) = - sen x
Por la fórmula de la derivada de un cociente,
(sec x)' = sec x · tg x
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Funciones
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Derivada de la función cosec x
Si f(x) = 1,
f ' (x) = 0
Si g(x) = sen x, g ' (x) = cos x
Por la derivada de un cociente,
(cosec x)' = - cosec x · cotg x
Derivada de la función cotg x
Si f(x) = cos x, f ' (x) = - sen x
Si g(x) = sen x, g ' (x) = cos x
Por tanto,
Ejercicio: cálculo de derivadas
Resolución:
Llamando f(x) = x cos x - 2,
f ' (x) = 1 · cos x + x · (- sen x) = cos x - x sen x
(la derivada de 2 es cero por ser una constante)
Si g(x) = x2, g ' (x) = 2 x
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Funciones
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Funciones
Resolución:
Si f(x) = x tg x - cos x,
f ' (x) = 1 · tg x + x (1 + tg2x) - (- sen x) = = tg x + x (1 + tg2x) + sen x
A pesar de contar ya con un número estimable de propiedades para el cálculo de derivadas, hay funciones
elementales, como
, para las que no se conoce ningún procedimiento para la obtención de su derivada.
Para seguir avanzando por este camino se hace imprescindible conocer una de las propiedades más
fundamentales y útiles de la derivación, aunque no se hará su demostración. Se la conoce como derivada de
una función compuesta o regla de la cadena.
REGLA DE LA CADENA
Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,
y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes)
de la función f,
entonces la función compuesta
definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene
Ejemplo: cálculo de derivadas
Calcular la derivada de la función h(x) = sen x2.
Resolución:
La función sen x2 es una función compuesta de otras dos f(x) = x2 y g(x) = sen x.
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Al ser g(x) = sen x, g ' (x) = cos x,
por tanto g ' [ f(x) ] = cos f(x) = cos x2
Por la regla de la cadena,
h ' (x) = g ' [ f(x) ] · f ' (x) = 2x cos x2
Resolución:
De g(x) = x3, se deduce
g ' (x) = 3x2. En consecuencia,
Por la regla de la cadena,
Regla de la cadena para la función potencial
Se sabe que la derivada de una función f(x) = xm es f'(x) = m · xm - 1.
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Funciones
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Funciones
Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x)m
aplicando la regla de la cadena, será: [u(x)m] ' = m · u(x)m - 1 · u'(x)
Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u en lugar de u(x).
Así,
Ejercicio: cálculo de derivadas
Calcular la derivada de f(x) = (x2 + 1)3.
Resolución:
Si u = x2 + 1, u' = 2x
En este caso m = 3
f '(x) = 3 (x2 + 1)2 · 2x = 6x (x2 + 1)2
Regla de la cadena para la función logaritmo neperiano
Si en la derivada de logaritmo neperiano se sustituye x por una función de x, u(x), en virtud de la regla de
la cadena se tiene que
Ejercicio: cálculo de derivadas
Resolución:
Se calcula u' aplicando la derivada de un cociente:
Se aplica la regla de la cadena:
2.- Hallar la derivada de f(x) = ln |sen x |
Resolución:
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u = sen x; u' = cos x
Regla de la cadena para las funciones exponenciales
Si en lugar de x se tuviese una función u(x), por la regla de la cadena se tiene que para una
función f(x) = au y para otra g(x) = eu,
f'(x) = (au ) ' = u' · au · ln a
g'(x) = (eu ) ' = u' · eu
Ejercicio: cálculo de derivadas
1 Calcular la derivada de f(x) = 4x sen x
Resolución:
Llamando u = x · sen x,
u' = 1 · sen x + x cos x
f '(x) = (4x sen x ) ' = (sen x + x cos x) · 4x sen x · ln 4
Resolución:
Regla de la cadena para las funciones trigonométricas
Ejercicio: cálcular la derivada
Calcular la derivada de f(x) = sen(sen x)
Resolución:
61
Funciones
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Funciones
Si u = sen x, u' = cos x
f '(x) = (sen(sen x))' = u' · cos u =
cos x · cos(sen x)
Hallar la derivada de g(x) = sec (x2 - 1)
Resolución:
u = x2 - 1; u' = 2x
g '(x) = (sec(x2 - 1))' = u' · sec u · tg u =
2x · sec(x2 - 1) · tg(x2 - 1)
Calcular la derivada de h(x) = sen3x2
Resolución:
Llamando u = sen x2, hay que derivar
sen3x2 = u3.
Por la regla de la cadena, la derivada de u3 es (u3 )' = 3 · u2 · u'
Llamando v = x2; u = sen v.
u' = v' · cos v = 2x · cos x2
Finalmente, h'(x) = (sen3x2)' = 3u2 · u' =
3 · sen2x2 · 2x · cos x2 =
= 6x · sen2x2 · cos x2
Para calcular la derivada de una función que es inversa de otra, es necesario conocer un importante
resultado, aunque se evita hacer su demostración.
Derivada de la función inversa
Si una función y = f(x) admite una función
inversa ƒ- 1 y la función f(x) es derivable
en un punto x0, entonces la función ƒ- 1 es derivable en el punto f(x0).
En virtud de este teorema, la función x1/n es derivable por ser la función inversa de xn:
Como consecuencia, al ser la función xm derivable para cualquier número entero m, como ya se ha visto, la
función xm/n es derivable por ser composición de dos funciones derivables:
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Funciones
Derivada de la función x1/n
Sea u = x1/n; elevando a n, un = x.
Derivando ambos miembros se observa que
Despejando u',
Derivada de la función xm/n
Sea f(x) = xm/n
Se eleva a n, f(x)n = xm
Se deriva:
Pero f(x)n - 1 = (xm/n )n - 1
Regla de la cadena para las funciones u1/n y um/n
Si en las dos funciones anteriores se tiene una función dependiente de la variable x, u(x), en lugar de la
función x, se obtienen las siguientes derivadas:
63
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Para obtener estas igualdades, basta aplicar la regla de la cadena.
Ejercicio: cálculo de derivadas
Resolución:
Se trata de calcular una derivada de la forma u1/2.
Si u = x2 + sen x, u' = 2x + cos x
Obsérvese que en este caso n = 2
Resolución:
64
Funciones
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Funciones
FUNCIONES TRIGONOM. INVERSAS
distintos en [- 1, 1].
la función seno. En estas condiciones se puede definir la aplicación inversa de f(x) = sen x, llamada «arcoseno» y que se simboliza por arc sen x.
x ---> f (x) = sen x ---> f-1
[f (x)] = f-1 (sen x) = arc sen (sen x) = x
Derivada de la función arc sen x
Si y = arc sen x = f - 1(x), aplicando f,
f(y) = f ( f - 1(x)) = x, es decir, sen y = x.
De la conocida fórmula sen2 y + cos2 y = 1, cos2 y = 1 - sen2 y --->
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Funciones
Derivada de la función arc cos x
Análogamente, la función cos x tiene una función inversa llamada «arco-coseno» y se simboliza por arc
cos x.
De y = arc cos x se deduce x = cos y. Derivando por la regla de la cadena,
Derivada de la función arc tg x
La inversa de la función tg x se llama «arco-tangente» y se simboliza por arc tg x.
y = arc tg x, x = tg y. Derivando por la regla de la cadena,
Derivada de la función arc cotg x
La inversa de la función cotg x se llama «arco-cotangente» y se simboliza por arc cotg x.
Si y = arc cotg x, x = cotg y. Derivando esta igualdad por la regla de la cadena,
Derivada de la función arc sec x
Análogamente a los casos anteriores, sec x tiene una función inversa llamada «arco secante» y simbolizada
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Funciones
por arc sec x.
y = arc sec x, x = sec y. Derivando por la regla de la cadena,
1 = y' · sec y · tg y = y' · x · tg y (1)
Derivada de la función arc cosec x
Siguiendo los mismos pasos que en el caso anterior,
y = arc cosec x, x = cosec y
Derivando: 1 = - y' · cosec y · cotg y = - y' · x · cotg y (1)
REGL. CADENA TRIG. INVERSAS
Si en cada una de las funciones anteriores se tuviese una función de x, u(x), en lugar de la función x, las
derivadas de las nuevas funciones compuestas se convierten, por la regla de la cadena en:
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Ejercicio: cálculo de derivadas
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
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Funciones
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TABLA DE DERIVADAS
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Funciones
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Funciones
DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
Sea una función y = f(x). Dado un punto de abscisa x, se le dota de un pequeñísimo incremento (aumento)
h y se encuentra un punto x + h.
Se traza la tangente a la curva en el punto de abscisa x, y desde x + h se levanta una paralela al eje de
ordenadas hasta cortar a la curva y a la tangente.
Diferencial de una función en un punto
Se define diferencial de una función y = f(x) en un punto x, y se simboliza por dy ó df(x), al producto f'(x) ·
h. Por tanto,
dy = df(x) = f'(x) · h
Propiedades de la diferencial
Primera propiedad:
La diferencial de una función en un punto depende de dos variables: el punto x elegido y el incremento h
que se ha tomado.
Segunda propiedad:
Al ser dy = f ' (x)·h = , la diferencia de una función en un punto es el incremento (aumento) de la ordenada
de la tangente al aumentar en h un punto de abscisa x.
Tercera propiedad:
Si se considera la función y = f(x) = x, df(x) = dx = f'(x) · h = 1 · h = h. Así, dx = h y
Cuarta propiedad:
cuando h es infinitamente pequeño, el cociente dy es prácticamente igual a
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Funciones
cuando h es muy pequeño, con la seguridad de que el error cometido será mínimo.
Ejercicio: cálculos aproximados utilizando la diferencial
Un móvil se mueve según la relación s = 5t2 + t, donde s representa el espacio recorrido medido en metros
y t el tiempo medido en segundos.
Se quiere saber los metros que recorre el móvil en el tiempo comprendido entre
Resolución:
Diferenciando la expresión s = 5t2 + t,
ds = (10t + 1) · dt
Sustituyendo en la expresión de ds,
En la figura se observa que en realidad recorre algo más de 23,66 metros:
Se ha cometido un error de
24,18 m - 23,66 m = 52 cm
Calcular 3,052.
Resolución:
Para encontrar un resultado aproximado de 3,052 se considera la función y = x2.
Diferenciando esta función, dy = 2x dx.
Por la proximidad de 3,05 a 3 (5 centésimas) se calculará la diferencial en
el punto de abscisa x = 3 y se llevará a la expresión de dy.
En este caso dx = 3,05 - 3 = 0,05
71
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Funciones
dyx = 3 = 2 · 3 · 0,05 = 0,30
Por tanto, aproximadamente,
3,052 = 9 + 0,30 = 9,30.
Si se calcula con exactitud el valor de 3,052 se obtiene 9,3025. Se observa que se ha cometido un error de
9,3025 - 9,30 = 0,0025, ¡ 25 diezmilésimas !
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REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
DERIVABLES
1. Dominio.
2. Cortes con los ejes.
3. Simetría Periodicidad.
4. Crecimiento Decrecimiento.
5. Máximos Mínimos.
6. Concavidad Convexidad.
7. Puntos de inflexión.
8. Asíntotas.
9. Regiones de existencia.
10. Gráfica.
73
Funciones
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Funciones
DOMINIO DE DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN
El dominio de una función está formado por aquellos valores de x (números reales) para los
que se puede calcular la imagen f(x).
Ejemplos:
•
•
74
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•
75
Funciones
I.E.S. Joaquín Turina
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Funciones
PUNTOS DE CORTE DE UNA FUNCIÓN CON LOS EJES COORDENADOS
Los primeros puntos de la gráfica que se pueden hallar, son los puntos de la función que
pertenecen a los ejes coordenados.
Para hallar el punto donde la función corta al eje de ordenadas (eje Y) se resuelve el sistema:
Para hallar los puntos donde la función corta al eje de abscisas (eje X) se resuelve el sistema:
Ejemplo:
Punto de corte con el eje OY :
Puntos de corte con el eje OX :
Por tanto los puntos de corte con los ejes de coordenadas son:
TABLA DE VALORES
X
0
1
2
Y
2
0
0
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-1/2
0
77
Funciones
I.E.S. Joaquín Turina
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SIMETRÍA Y PERIODICIDAD
FUNCIÓN PAR
Una función f es PAR cuando:
Las funciones pares son simétricas respecto del eje de ordenadas (eje OY).
Ejemplo:
FUNCIÓN IMPAR
Una función f es IMPAR cuando:
Las funciones impares son simétricas respecto del origen de coordenadas.
Ejemplo:
78
Funciones
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Funciones
FUNCIÓN PERIÓDICA
Una función f es PERIÓDICA cuando existe un número
(los valores de la función se repiten de p en p).
El número p se llama periodo.
Ejemplo:
79
tal que:
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80
Funciones
I.E.S. Joaquín Turina
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Funciones
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN
TEOREMA
Sea f(x) una función derivable en el punto xo
I.
Demostración
Demostración - 1
(1)
derecha del punto xo.
f es estrictamente creciente a la
(2)
izquierda del punto xo.
f es estrictamente creciente a la
II.
Demostración
Demostración -2
81
I.E.S. Joaquín Turina
MªÁngeles Pajuelo González
f es estric. creciente en xo.
en ambos casos
III.
IV.
Demostración
Demostraciones análogas.
Ejemplos:
1.
a.
es estrictamente creciente en xo.
En
b.
la función es estrictamente creciente.
es estrictamente decreciente en xo.
En
la función es estrictamente decreciente.
82
Funciones
I.E.S. Joaquín Turina
MªÁngeles Pajuelo González
Funciones
2.
La función es estrictamente creciente cuando x sea negativa, pero puesto que f(x) no
está definida en x=-1, el intervalo donde la función es estrictamente creciente será
.
Análogamente la función es estrictamente decreciente en
83
.
I.E.S. Joaquín Turina
MªÁngeles Pajuelo González
84
Funciones
I.E.S. Joaquín Turina
MªÁngeles Pajuelo González
Funciones
MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN
Sea f(x) una función y xo un punto del dominio.
DEFINICIÓN
La función f(x) presenta un máximo relativo en xo , cuando existe un entorno E(xo) tal que:
La función f(x) presenta un mínimo relativo en xo , cuando existe un entorno E(xo) tal que:
Son puntos que se distinguen por ser aquellos cuya imagen es la mayor o la menor (máximo mínimo) de todas las imágenes “de los alrededores”. No se excluye que haya otros puntos
"alejados" de xo cuya imagen sea mayor o menor que f(xo).
A los máximos y mínimos relativos se los llama extremos relativos o simplemente extremos.
TEOREMA (CONDICIÓN NECESARIA PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS)
Sea
una función cuyo dominio es D=Dom(f) y xo un punto del dominio.
Demostración
Demostración
Este teorema se demuestra utilizando el recíproco.
Nota
85
I.E.S. Joaquín Turina
MªÁngeles Pajuelo González
Funciones
La recta tangente en un extremo es paralela al eje OX, luego la derivada (la pendiente de la
recta tangente) es cero.
Ejemplo:
Los puntos que anulan la derivada son los candidatos a ser extremos, pero no puede asegurarse
que lo sean. A estos puntos se les llama puntos críticos.
TABLA DE VALORES
X
1/2
Y
-1/4
P. Crítico
RESUMEN
Vamos a ver unos criterios para demostrar si un punto crítico, es o no un extremo.
CRITERIO - 1:VARIACIÓN DE LA FUNCIÓN
CRITERIO-1: VARIACIÓN DE LA FUNCIÓN
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I.E.S. Joaquín Turina
MªÁngeles Pajuelo González
Funciones
Sea la función f y un punto xo
Tomamos dos puntos
Los casos posibles que se pueden presentar son:
A.
En el punto de abscisas xo hay un máximo relativo.
B.
En el punto de abscisas xo hay un mínimo relativo.
C. Ni A. ni B.
No hay extremo.
Ejemplo:
Sea
Calculamos los puntos críticos:
, es un punto crítico.



Siendo h un número positivo y muy pequeño es evidente que el mayor de los tres es f(0)=1,
(caso A) luego xo es un máximo relativo.
TABLA DE VALORES
X
0
Y
1
MÁXIMO
87
I.E.S. Joaquín Turina
MªÁngeles Pajuelo González
Funciones
CRITERIO - 2:VARIACIÓN DE LA DERIVADA
CRITERIO-2: VARIACIÓN DE LA DERIVADA
Sea la función f derivable en el intervalo (a ,b)
Vamos a estudiar la función derivada en ese intervalo.
Los casos posibles que se pueden presentar son:
A.
I.
II.
y
Si la derivada es positiva, la función es creciente.
Si la derivada es negativa, la función es decreciente.
Estamos en el caso de una función que es creciente antes del punto xo y es decreciente
después del punto xo, luego en el punto xo hay un máximo relativo.
B.
I.
y
Si la derivada es negativa, la función es decreciente.
88
I.E.S. Joaquín Turina
II.
MªÁngeles Pajuelo González
Funciones
Si la derivada es positiva, la función es creciente.
Estamos en el caso de una función que es decreciente antes del punto xo y es creciente
después del punto xo, luego en el punto xo hay un mínimo relativo.
C. Ni A. ni B.
No hay extremo.
Ejemplo:
.
Los puntos críticos son:
Tenemos tres intervalos:
•
.
En el primero:
Luego
•
En el segundo:
Luego
En el punto xo=0 no hay extremo, porque empieza siendo decreciente y sigue siendo
decreciente.
•
En el tercero:
Ahora
En el punto x1=3/2 existe un mínimo relativo, porque empieza siendo decreciente y
después pasa a ser creciente.
89
I.E.S. Joaquín Turina
MªÁngeles Pajuelo González
TABLA DE VALORES
X
0
3/2
Y
3
21/16
90
NADA
MÍNIMO
Funciones
I.E.S. Joaquín Turina
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Funciones
CRITERIO - 3:VARIACIÓN DE LA 2ª
DERIVADA
CRITERIO-3: VARIACIÓN DE LA SEGUNDA DERIVADA
Sea
una función derivable más de una vez.
TEOREMA (CONDICIÓN SUFICIENTE PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS)
Pueden ocurrir los siguientes casos:
a.
La función f tiene en el punto xo un mínimo relativo.
b.
La función f tiene en el punto xo un máximo relativo.
c.
No se puede afirmar nada.
Demostración
a. Si
es creciente en
La derivada es negativa a la izquierda de xo y es positiva a la derecha de xo, luego la
función f es decreciente a la izquierda de xo y es creciente a la derecha de xo. Se puede
afirmar que en xo hay un mínimo relativo.
b. Si
es decreciente en
La derivada es positiva a la izquierda de xo y es negativa a la derecha de xo, luego la
función f es creciente a la izquierda de xo y es decreciente a la derecha de xo. Se puede
afirmar que en xo hay un máximo relativo.
Ejemplo:
91
I.E.S. Joaquín Turina
MªÁngeles Pajuelo González
Los puntos críticos son:
En el punto xo=0, no se puede afirmar NADA.
En el punto x1=3/2 hay un MÍNIMO RELATIVO.
TABLA DE VALORES
X
0
3/2
Y
3
21/16
92
NADA
MÍNIMO
Funciones
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Funciones
CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD DE UNA FUNCIÓN
DEFINICIÓN
Una función es cóncava si fijado un vector unitario en el semieje positivo OY, dicho vector
está en el mismo semiplano (determinado por las rectas tangentes a la función) que la función.
En caso contrario (distintos semiplanos) se dice convexa.
Condiciones analíticas de concavidad y convexidad
Si
en un intervalo (a, b), entonces la función f(x) es cóncava en el intervalo (a, b).
Si
en un intervalo (a, b), entonces la función f(x) es convexa en el intervalo (a, b).
Ejemplo:
93
I.E.S. Joaquín Turina
MªÁngeles Pajuelo González
94
Funciones
I.E.S. Joaquín Turina
MªÁngeles Pajuelo González
Funciones
PUNTOS DE INFLEXIÓN
DEFINICIÓN
El punto que, en una función continua, separa la parte convexa de la cóncava, se llama punto
de inflexión de la función. En ellos la función no es cóncava ni convexa sino que hay cambio
de concavidad a convexidad o al revés.
Los puntos de inflexión están caracterizados por:
TEOREMA
Sea
la ecuación de una función.
Si
no existe, y la derivada
cambia de signo al pasar por el valor de
x=a, entonces, el punto de la función de abscisa x=a es un punto de inflexión.
Clasificación de los puntos de inflexión
Nota
Los puntos de inflexión donde la función es derivable, tienen la característica de tener una
recta tangente que cruza la gráfica de f.
Ejemplo:
El punto x=1 es un punto de inflexión, puesto que antes de x=1 la derivada segunda es
negativa (convexa) y después de x=1 es positiva (cóncava).
TABLA DE VALORES
95
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X
1
Y
-2
P. INFLEXIÓN
96
Funciones
I.E.S. Joaquín Turina
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Funciones
ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN
Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos
una de las variables (x o y) tienden al infinito.
Una definición más formal es:
DEFINICIÓN
Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de
sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende
a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.
Las asíntotas se clasifican en:
a. Asíntotas verticales (paralelas al eje OY)
Si existe un número “a” tal, que :
La recta “x = a” es la asíntota vertical.
Ejemplo:
es la asíntota vertical.
97
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Funciones
b. Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)
Si existe el límite: :
La recta “y = b” es la asíntota horizontal.
Ejemplo:
es la asíntota horizontal.
98
I.E.S. Joaquín Turina
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Funciones
c. Asíntotas oblicuas (inclinadas)
Si existen los límites: :
La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.
Ejemplo:
es la asíntota oblicua.
99
I.E.S. Joaquín Turina
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Funciones
Nota-1
Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas, implica la no
existencia de las otras.
Nota-2
En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites laterales (derecho, izquierdo),
pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas por la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las
dos.
Posición relativa de la función con respecto a la asíntota
Para estudiar la posición relativa de la función con respecto a la asíntota, primero calcularemos los puntos
de corte de ambas resolviendo el sistema:
Estos puntos determinan los cambios de posición de la función respecto de la asíntota. Estos cambios
quedarán perfectamente establecidos estudiando el SIGNO[f(x)-Asíntota].
Ejemplo:
100
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La función
Funciones
tiene por asíntota oblicua la recta
Calculamos los puntos de intersección de ambas:
El punto de corte de las dos funciones es P(2/3, 8/3).
Ahora estudiamos el signo de FUNCIÓN-ASÍNTOTA.
Esto nos indica que en el intervalo
la función está por encima de la asíntota y en el intervalo
la función está por debajo de la asíntota.
101
I.E.S. Joaquín Turina
MªÁngeles Pajuelo González
Funciones
REGIONES DE EXISTENCIA PARA UNA FUNCIÓN
Las regiones donde existe la función son las parcelas del plano por donde tenemos la seguridad de su
existencia. Estas regiones se determinan, para funciones polinómicas y racionales, trazando rectas
verticales sobre el eje OX, en los puntos donde se anula el numerador y el denominador de la función
(considerando su orden de multiplicidad).
Una región sería la porción del plano considerada entre dos líneas verticales y el eje OX. Una vez
asegurada la existencia de la función en una de ellas (mediante un valor de la x), alternaremos en una “SI”
y en otra “NO” por orden la existencia, hasta completar todo el plano.
Ejemplo:
102
I.E.S. Joaquín Turina
MªÁngeles Pajuelo González
103
Funciones
I.E.S. Joaquín Turina
MªÁngeles Pajuelo González
Funciones
GRÁFICA
Una vez obtenidos todos los cálculos de los puntos del 1 al 9, se realizará un dibujo de la gráfica de dicha
función sobre unos ejes coordenados, indicando sobre éste las características más importantes de dicha
gráfica.
1.-Dominio de la función
HOJA DE SOLUCIONES
D=
X
.
.
.
2.-Puntos de corte con los ejes:
Y
.
.
.
3.-Simetría y periodicidad
Si es simétrica la función, indica el tipo
Si es periódica la función, indica el periodo
TIPO =
PERIODO =
4.-Intervalos de crecimiento y decrecimiento
CRECIENTE
=
DECRECIENTE =
X
.
.
.
5.- Máximos y mínimos:
Y
.
.
.
Mom
.
.
.
6.-Intervalos de concavidad y convexidad
CÓNCAVA =
CONVEXA =
X
.
.
.
7.-Puntos de inflexión:
104
Y
.
.
.
TIPO
.
.
.
I.E.S. Joaquín Turina
MªÁngeles Pajuelo González
8.-Asíntotas
A. VERTICALES
A. HORIZONTALES
.
.
Puntos de corte de la función con la asíntota:
X Y
.
.
.
.
105
Funciones
A. OBLICUAS
.