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Código/Título de la Unidad Didáctica: CALCULOS
TRIGONOMETRICOS
Actividad nº/Título: A1. TRIGONOMETRÍA FORMULAS
GENERALES
Introducción a la actividad Material Didáctico: Tiempo (1hr.45min)
1. OBJETIVO
El objetivo de esta actividad es identificar los diferentes términos relacionados con la
trigonometría que se aplican en la resolución de problemas básicos en el área de
fabricación mecánica.
2. CONCEPTOS BÁSICOS. DEFINICIONES
Con el teorema de Pitágoras (teorema_Pitágoras.swf) se obtenía la relación que hay entre
los diferentes lados de un triángulo rectángulo.
Con la trigonometría, tenemos la relación que existe entre los lados y los ángulos de
un triángulo rectángulo.
Hay una serie de términos que se deben recordar para trabajar con la trigonometría estos
términos son: seno de un ángulo, coseno de un ángulo , tangente de un ángulo.
En el siguiente ejemplo vemos cual es la fórmula del seno de un ángulo y como se puede
emplear para obtener un valor desconocido.
tri_angulo_mesa.swf
FORMULAS TRIGONOMETRICAS de UN ANGULO AGUDO de un TRIANGULO
RECTANGULO
A continuación, se a tomar contacto con las fórmulas trigonométricas, en los siguientes
apartados de esta actividad, se verá la aplicación práctica de las fórmulas.
Angulo agudo: es un ángulo cuyo valor es inferior a 90º
En la imagen anterior tenemos un triángulo rectángulo ( caso1_triangulo.swf), se
sabe que:
- en un triángulo rectángulo uno de sus tres ángulos mide 90º
- que la suma de los tres ángulos de cualquier triángulo, mide 180º
- luego en un triángulo rectángulo tendremos, un ángulo de 90º y dos ángulos
menores que 90º, es decir dos ángulos agudos.
En la imagen, vemos que α y β son
ángulos menores de 90º luego son
ángulos agudos.
caso1_triangulo.swf
En la siguiente animación, se
puede apreciar los ángulos que
forman una circunferencia. Esta
información es útil para operar
con ángulos.
Se debe tener en cuenta que:
el ángulo total de la
circunferencia es de 360º
en una circunferencia hay 4
ángulos de 90º
ang_circ.swf
Seno:
En un triángulo rectángulo, el seno de un
cateto opuesto
a
senoα =
=
ángulo agudo, es el cociente entre el cateto
hipotenusa
b
opuesto al ángulo y la hipotenusa del
triángulo
Cateto opuesto al ángulo: es el lado que está en frente del ángulo. En la imagen se
observa que el lado “a” es el que está en frente del ángulo “α”, es decir es el cateto
opueso.
Coseno:
En un triángulo rectángulo, el coseno de un
ángulo agudo, es el cociente entre el cateto
contiguo al ángulo y la hipotenusa del
cos α =
cateto contiguo
hipotenusa
=
c
b
triángulo
Cateto contiguo al ángulo: es un lado que forma el ángulo. En la imagen se observa
que el lado “c” es el que forma el ángulo “α” junto con la hipotenusa.
coseno.swf
Tangente:
En un triángulo rectángulo, tangente de un
ángulo agudo es el cociente entre el cateto
opuesto y el cateto contiguo.
tangente.swf
tgα =
cateto opuesto
a
=
cateto contiguo c
3. EJERCICIO
ENUNCIADO DEL EJERCICIO (CONSIDERACIONES)
Se ha visto las relaciones trigonométricas de un ángulo agudo y se ha visto como en un triángulo
rectángulo hay un ángulo de 90º y dos ángulos agudos.
Escribe las relaciones trigonométricas para el ángulo β de la imagen.
Pregunta1
PREGUNTAS
Posibles respuestas
Doc. De ayuda (link)
Seno de β?
Sen β
= -----------
Sen β
c
= -----------
b
ejercicio.swf
JUSTIFICACIÓN
En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo, es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la
hipotenusa del triángulo.
En la imagen, se observa que el cateto opuesto a β
es “c” y la hipotenusa es “b” luego:
Sen β
c
= -----------
b
ejercicio.swf
Pregunta2
Posibles respuestas
Doc. De ayuda (link)
Coseno de β?
cos β
= -----------
Cos β
a
= -----------
b
ejercicio.swf
JUSTIFICACIÓN
En un triángulo rectángulo, el coseno de un ángulo agudo, es el cociente entre el cateto contiguo al ángulo y
la hipotenusa del triángulo
En la imagen, se observa que el cateto contiguo a β
es “a” y la hipotenusa es “b” luego:
cos β
a
= -----------
b
ejercicio.swf
Pregunta3
Posibles respuestas
Tangente de β?
Tg β
= -----------
tg β
c
= -----------
a
ejercicio.swf
JUSTIFICACIÓN
Doc. De ayuda (link)
En un triángulo rectángulo, tangente de un ángulo agudo es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto
contiguo.
En la imagen, se observa que el cateto opuesto a
β es “c” y el cateto contiguo
tg β
c
= -----------
a
ejercicio.swf
es
“a” luego:
4. EJEMPLO DE APLICACIÓN I
EJEMPLO DE APLICACIÓN DE LA FORMULA DEL SENO
Con la fórmula del seno de un ángulo podemos resolver el siguiente problema planteado,
que consiste en calcular la altura del bloque patrón que se debe poner en la mesa de senos
de la animación.
caso1_datos.swf
Pasos para obtener el valor:
Datos que disponemos
En la animación nos dice que el
Otro dato que se da es la longitud de los ejes de
la mesa que es de 250 mm
es de 30º. Este ángulo
ángulo
coincide con el ángulo de
inclinación de la mesa.
α
i1.gif
i2.gif
Aplicar fórmula
Como se ha visto la fórmula del
seno es la siguiente:
senα =
cateto opuesto
hipotenusa
Sustituyendo los valores
conocidos, tenemos que:
i3.gif
sen 30 =
a
de donde
250
a = sen 30 x 250
Obtener los valores con la calculadora
a = sen 30 x 250
para obtener el seno de
un ángulo, basta con
escribir el ángulo en la
calculadora, en este caso
30 y pulsar la tecla (sin).
De esta forma se observa
que el seno de un ángulo
de 30º es 0.5.
Sustituyendo los valores,
tenemos que:
a = 0.5 x 250 =125 mm
Por lo que a = 125, es
decir el bloque patrón o
cala debe tener una altura
de 125 mm
calculadora.jpg
Se observa como con la fórmula del seno, hemos obtenido un valor desconocido a partir de
unos datos conocidos.
5. EJERCICIO
ENUNCIADO DEL EJERCICIO (CONSIDERACIONES)
Para realizar este ejercicio es importante tener en cuenta:
La suma de los tres ángulos de un triángulo es de 180º
Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo de 90º también llamado ángulo recto
(concepto_perpendicular.swf)
Una circunferencia tiene 360 º (ang_circ.swf)
Es importante practicar con este ejercicio, debido a que facilitará el identificar valores de ángulos a partir de un
ángulo conocido. Este tipo de problemática es muy frecuente en los talleres en la acotación de planos.
Pregunta1
Para los siguientes triángulos, indica
el valor de los ángulos a partir del
ángulo conocido:
Valor de α =___º
Valor de β =___º
PREGUNTAS
Posibles respuestas
Valor de α = 90 º
Valor de β = 60 º
Doc. De ayuda (link)
ejer_1.swf
JUSTIFICACIÓN
Se sabe que en un triángulo rectángulo uno de sus ángulos es del 90º ( está formado por dos rectas
perpendiculares) concepto_perpendicular.swf, además se sabe que la suma de los tres ángulos de un triángulo
es de 180º por lo que tenemos que:
Sabemos que el triángulo tiene un ángulo de 90º
α = 90º
Nos dan el valor de otro ángulo de este triángulo 30º
Y 180 = 90º + 30º+ β
luego β = 180 – 90 - 30 = 60º
SOLUCION:
Valor de α = 90 º
Valor de β = 60 º
Pregunta2
Posibles respuestas
Doc. De ayuda (link)
Indica el valor del ángulo:
Valor de δ =___º
Valor de δ = 150 º
ejer_2.swf
JUSTIFICACIÓN
Observando los diferentes ángulos que se
establecen en una circunferencia, vemos que δ y
el ángulo de 30º que nos dan como dato suman
180º. Observa el ángulo de 180º en la siguiente
animación.
Se tiene entonces que: 30º + δ = 180º
Luego:
δ = 180º - 30º = 150º
Pregunta3
Indica el valor del ángulo:
Valor de δ =___º
ang_circ.swf
Posibles respuestas
Valor de δ = 60 º
ejer_3.swf
JUSTIFICACIÓN
Doc. De ayuda (link)
Observando los diferentes ángulos que se
establecen en una circunferencia, vemos que δ y
el ángulo de 30º forman un ángulo recto o de
90º.
Observa el ángulo de 90º en la siguiente
animación
Se tiene entonces que: 30º + δ = 90º
Luego:
δ = 90º - 30º = 60º
ang_circ.swf
6. EJERCICIO DE EUCLIDES
ENUNCIADO DEL EJERCICIO (CONSIDERACIONES)
El objetivo de este ejercicio, es practicar con ángulos para identificar valores de ángulos desconocidos, a partir
de un ángulo conocido, teniendo en cuenta que :
Se deben identificar los triángulos rectángulos y el ángulo de 90º
La suma de los tres ángulos de un triángulo es de 180º
Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo de 90º también llamado ángulo recto
(concepto_perpendicular.swf)
Una circunferencia tiene 360 º (ang_circ.swf)
Dispones de una circunferencia que puedes arrastrar sobre los vértices de los triángulos para ver la relación de
los diferentes ángulos respecto a una circunferncia.
euclides.swf
PREGUNTAS
Justifcación
Angulo 1 : 60 º a partir de que la suma de tres ángulos de un triángulo es de 180 º se obtiene que:
30º + 90º + Angulo 1 = 180 º
Angulo 1 = 180º -30º - 90º = 60º
Angulo 2 : 30 º en la imagen se observa que el ángulo 1 y 2 forman un ángulo recto (90º). Como el ángulo 1 se
ha calculado y es de 60º se tiene que:
Angulo1 + Angulo 2 = 90º
Angulo 2= 90º - Angulo1
Angulo 2 = 90º -60º = 30º
A partir de estos datos se obtienen el resto de ángulos de la imagen.
Para el ángulo 5 y 6, se observa que están construidos por las mismas rectas y no son consecutivos uno del
otro, es decir uno está en frente del otro por lo que son iguales.
angulos_rectas.swf
A MEMORIZAR
Fórmula del seno
Fórmula del coseno
Fórmula de la tangente
Cateto Opuesto
Cateto Contiguo
INFORMACIÓN EN:
Memorizar.swf