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• Cuando k = 1, el ángulo
varía a lo largo de un ciclo completo
de 0 a 2π conforme el índice del tiempo va de t = 0 a t = n.
• Para el segundo armónico, cuando k = 2, el ángulo completa un ciclo
conforme t se incrementa de 0 a n/2, y ejecuta un segundo ciclo entre t =
n/2 y t = n.
• Para el tercer armónico, el ángulo varía a lo largo de tres ciclos conforme
t se incrementa de 0 a n.
• De manera similar al caso de un armónico, los coeficientes A k y Bk pueden
obtenerse usando (transformada discreta de Fourier):
• Cualquier conjunto de datos, sin importar qué tan complicado parezca,
puede representarse exactamente usando la ec. 8.62.
• Si n es impar, sólo se requerirán (n-1)/2 armónicos para representar
completamente a la función. Si n es par, habrá n/2 términos en la
sumatoria, pero el ángulo fase para el armónico más alto,
, será cero.
• Se pueden o no usar todos los armónicos en la ecuación dependiendo del
contexto. Si queremos definir, por ejemplo, un ciclo anual de una cantidad
climatológica, los primeros armónicos pueden proporcionar una
representación bastante adecuada. Si el objeto es encontrar una función que
pase exactamente por todos y cada uno de los puntos, entonces se deben
usar todos los armónicos.
Análisis espectral
• En las ecuaciones usadas para determinar los valores de los coeficientes A k
y Bk, se observa que éstas dependen solamente del armónico cuyos
coeficientes se están calculando (k). Esto implica que A k y Bk para
cualquier armónico particular, pueden calcularse independientemente de
los de cualquier otro armónico (a diferencia de los parámetros del modelo
de regresión que tienen que ser recalculados cada vez que se agrega un
predictor al modelo).
• Las funciones armónicas no están correlacionadas (para datos igualmente
espaciados y completos) y las amplitudes y fases para los distintos
armónicos no cambian, independientemente del número de armónicos que
se utilicen.
• Esta característica se conoce como propiedad de ortogonalidad de las
funciones seno y coseno.
• La proporción de la varianza de yt representada por cada armónico también
es fija y se puede estimar mediante:
• Cada armónico representa una escala de variación temporal diferente.
• Podemos entonces ver a una serie de tiempo como una colección de
coeficientes de Fourier que son función de las frecuencias
, lo cual tiene
la ventaja de que nos permite estimar en forma separada las contribuciones
hechas a la serie de tiempo por procesos que varían en distintas frecuencias
(espectro).
• Periodograma o espectro de Fourier o espectro de potencias: consiste de las
amplitudes al cuadrado Ck2 como función de las frecuencias. Un espectro no
proporciona un panorama completo del comportamiento de la serie de
tiempo a partir de la cual se calculó y no es suficiente para reconstruirla.
• Comúnmente el eje vertical en un espectro se convierte a escala
logarítmica.
• El eje horizontal consiste de n/2 frecuencias angulares
par, y (n-1)/2 si n es impar.
si n es
• La frecuencia más pequeña es la frecuencia fundamental
que corresponde a la función coseno que ejecuta un solo ciclo sobre
los n puntos temporales.
• La frecuencia más alta,
es llamada la frecuencia de Nyquist,
la cual corresponde a la onda que ejecuta un ciclo completo en solo
dos intervalos de tiempo y n/2 ciclos sobre el registro completo de
datos.
• La frecuencia de Nyquist depende de la resolución temporal de la
serie original de datos yt, e impone una limitación importante sobre
la información que se puede obtener de un análisis espectral.
• En el eje horizontal también se pueden usar las frecuencias
que tienen dimensiones de tiempo-1. Bajo esta convención, las
frecuencias admisibles van de f1 = 1/n para la fundamental a fn/2 = 1/2
para la de Nyquist.
• El eje horizontal también puede ser escalado de acuerdo con el
recíproco de la frecuencia, es decir, el período del k-ésimo
armónico:
• El período especifica la longitud de tiempo requerida para que un
ciclo de frecuencia
sea completado.
Series de Fourier
Sea f(x) una función definida en un intervalo de la forma
tal que
existe.
Queremos saber si es posible representar a f(x) como una serie de
senos y cosenos:
Las constantes a0, ai y bi, i = 1,…,n, son conocidas como los
coeficientes de Fourier.
Usando las siguientes
trigonométricas:
igualdades
para
las
Se pueden probar los siguientes incisos:
i) Si n y m son enteros no negativos y n ≠ m, entonces:
funciones
ii) Para cualquier m y n enteros:
iii) Para cualquier entero positivo n:
• Usando lo anterior, podemos integrar la expresión para f(x) miembro a
miembro y se obtiene:
ya que todas las integrales dentro de la serie son 0.
• De aquí se puede despejar a0:
• Para encontrar los demás coeficientes se elige un entero
positivo k y se multiplica la expresión para f(x) por el
término
para obtener:
Y se integra como antes:
Todas las integrales del lado derecho son 0, excepto aquellas cuando
el integrando es de la forma
y con n = k.
De aquí se obtiene que:
de donde se despeja ak:
igualdad que es válida para todo entero positivo k
• El procedimiento para obtener los coeficientes bi es similar pero
ahora se multiplica la expresión por
sen
Ejemplo
• Encontrar la serie de Fourier de la función f(x) = x , -π ≤ x ≤ π
an = 0 para n ≥ 0