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Campo Gravitatorio I
01. Sabiendo que la aceleración de la gravedad en un movimiento de caída libre en la superficie de la
Luna es un sexto de la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra y que el radio de la Luna es
0,27 RT, calcular:
a) La relación entre las densidades medias
b) La relación entre las velocidades de escape de un objeto desde sus respectivas superficies
G MT 

R 2T 
gT
M R 2 M 0,27 2 R 2T
M T ·0,27 2
La gravedad es
 6  T 2L  T

M

 0,012 M T
 
L
G ML 
gL
6
M LR T
MLR 2T
gL  2
RL 
gT 
4
3
T M T VL M T 3 (0,27R T )
0,27 3



 1,64  T  1,64 L
4
L ML VT
0,012
0,012 M T  R 3T
La relación de densidades
3
2G ML

RL
La velocidad de escape es v L 
2G0,012 M T

0,27R T
0,012 G M T
 0,21v T
0,27
RT
02. Sabiendo que el diámetro de la tierra es cuatro veces el de la Luna y que la aceleración de la gravedad
en la superficie terrestre es seis veces la de la superficie lunar, ¿cuántas veces es mayor la masa de la
Tierra que la de la Luna?
MT
g
R 2T
M R2 M 1
M
 T 2L  T
 T  96
Relacionando los valores de la gravedad, T  6 
ML
gL
ML
MLR T ML 16
G 2
RL
G
03. ¿Hasta qué altura sobre a superficie terrestre hay que subir para que la intensidad del campo
gravitatorio se reduzca en un 25%?. ¿Hasta qué profundidad hay que descender para que ocurra lo mismo?
A esa altura g  0,75g T  7,35  G
MT
(R T  h)2
6,67·10 11·5,98·10 24
 7,37·106 m  h  106 m
7,35
 RT  h 
Dentro de la esfera terrestre la gravedad varía linealmente con la altura, luego habrá que descender hasta
que el radio de la esfera sea 0,75R T es decir 1592,5 km
04. Júpiter tiene un diámetro 12 veces mayor que el terrestre y su masa es 320 veces mayor. Calcular:
a) La relación entre las densidades
3
J M JR 3T  M J   R T 
320


    3  0,185
T M TR 3J  M T  R J 
12
b) La relación entre las velocidades de escape
vJ 
2GM J

RJ
v
2G·320 M T
 5,16 v T  J  5,16
12R T
vT
05. Consideremos los puntos extremos de una órbita elíptica alrededor del Sol. Una de las distancias es el
doble de la otra. Calcular la excentricidad de la elipse y la relación entre sus velocidades.
3
2
1
2
a  d; c  d La excentricidad de la elipse es e 
PERIHELIO
vA
s
vP
d
c 1
  0,33
a 3
el momento angular se mantiene constante
AFELIO
2d
1
1
L A rA  mv A 2 v A
v
1


 A 
LP rP  mv P
vP
vP 2
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Campo Gravitatorio I
06. Si la densidad de la Tierra es de 5500 kg/m3, calcular el valor de su radio sabiendo que la gravedad
media al nivel del mar vale 9,8 m/s 2. Calcular el valor de la gravedad a una altura sobre la Tierra
equivalente a la longitud del radio encontrado.
gT  G
MT
R
2
T
4
  R 3T
4
G 3 2
 G  R T
3
RT

RT 
3g T
 6377,5km
4 G 
4
la masa es M T    R 3T  5,976·1024 kg
3
a esa altura la gravedad vale g  G
MT
R T  h 
2
G
MT
4R 2T
 2,45ms2
07. Desde el suelo se dispara verticalmente un proyectil de 20 kg de masa con una velocidad de 5,0 km s-1.
a) Representa gráficamente en función de la distancia r al centro de la Tierra las energías cinética
y potencial gravitatoria del proyectil si no hay perdidas de energía por rozamiento, para r mayor
que el radio terrestre. Escalar el eje de energías en MJ y el eje de distancias en km.
b) Si el rozamiento del aire consume el 22% de la energía cinética inicial del proyectil, ¿qué altura
máxima alcanzará?
Datos: G = 6,67 10-11 N m2 kg-2
Masa de la Tierra = 5,98·1024 kg radio Tierra = 6371 km.
El trabajo necesario para subirlo hasta el punto más alto es la diferencia de energía potencial, que es
igual a la energía cinética inicial
W  EPFIN  EPINI  G
 1
M Tm
M m
1  1
2
 G T  G M Tm 

  mv
RT  h
RT
 RT RT  h  2
 1
1  1 v2

 3,13·108


R
R

h
2
G
M
 T
T

T
 h  1,58·106 m
Si pierde un 22% en rozamiento, solo se utiliza el 78% para hacer subir el cuerpo por lo que subirá hasta
0,78 veces la altura anterior, hROZ  0,78h  1,24·106 m
08. La masa de la Luna es de 6.5.1022 kg, y su radio 16.105 m. ¿Qué distancia recorrerá un cuerpo en un
segundo en caída libre hacia la Luna, si se le abandona en un punto próximo a su superficie?
La gravedad lunar es gL  G
ML
RL2
 1,69ms2 y el espacio recorrido es e 
1 2
g t  0,85m
2 L
09. Consideramos la Tierra como una esfera homogénea (densidad constante) en cuya superficie g 0=9,8
m/s2. Debido a una explosión nuclear, desaparece un tercio de la masa del planeta situada en la parte
más externa, manteniendo la homogeneidad. Calcular el valor de g en la nueva superficie.
La masa del nuevo planeta es MN 
2
2 4
4
M T    R 3T    RN3 de donde 0,87R T  RN
3
3 3
3
y la gravedad en la nueva superficie es gN  G
MN
R
2
N
G
0,67 M T
2
0,87 R
2
T

0,67
g  8,67 ms2
2 T
0,87
10. Determina la variación de la energía potencial de la Luna, correspondiente a su interacción
gravitatoria con el Sol y la Tierra, entre las posiciones del eclipse de Sol y eclipse de Luna. Suponer
circulares tanto la órbita de la Tierra alrededor del Sol como la de la Luna alrededor de la Tierra.
Datos: T-S=1,5·1011 m ; L–T = 3,8·108 m ; ML= 7,35·1022 kg ; MS=1,99·1030 kg; G=6,67·10-11 N m2 kg-2.
2
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Eclipse de Luna T
EPECLUNA  EPS  EPT  G
L
SOL
EPECSOL  EPS  EPT  G
L
SOL
T
M S ML
M M
G T L
R TS  RLT
R LT
M S ML
M M
G T L
R TS  RLT
RLT
y sustituyendo, tenemos los valores
EPECLUNA  6,495·1031 J
Eclipse de Sol
EPECSOL  6,527·1031 J
11. Un astronauta de 100 kg de masa está en la superficie de un asteroide de forma esférica, de 2,4 km de
diámetro y de densidad media 2,2 g cm-3. Determinar con qué velocidad debe impulsarse el astronauta
para abandonar el asteroide. El astronauta carga ahora con una mochila de 40 kg ¿le será más fácil salir
ahora del asteroide? ¿Por qué?
Se trata de la velocidad de escape
GM

R
v
4
3
G  R 3
R

4
G   R 2  0,94 ms1 y no depende de la masa del individuo
3
12. Dos masas puntuales de 5 kg y 10 kg, se encuentran en los puntos de coordenadas (0, 1) y (0, 7).
Calcular:
a) la intensidad del campo gravitatorio en el punto (4, 4)
b) el trabajo necesario para trasladar una masa de 1 kg desde el punto (0, 4) hasta el punto (4, 4),
indicando la interpretación física que tiene el signo del trabajo calculado.
g5  G
m5
g10  G
g10
 6,67·10 11
2
5
r
m10
r102
5
 1,33·10 11Nkg 1
3  42
 6,67·10 11
2
10
 2,66·10 11Nkg 1
32  4 2
Las dos forman un ángulo de 36,87º, luego
g5
g x  g10 cos36,87º g5 cos36,87º  3,19·10 11 Nkg 1
g y  g10 sen36,87º g5 sen36,87º  7,98·10 12 Nkg 1
g  3,19·1011 i  7,98·1012 j
El trabajo es la diferencia de energía potencial entre los dos puntos
5·1   10·1
5·1 
 10·1
11
W  E(4,4)  E(0,4)   G
G
G
   G
  3G  5G  2G  1,33·10 J
5
5
3
3

 

13. Dos planetas esféricos tienen la misma masa, M1 = M2, pero la aceleración de la gravedad en la
superficie del primero es cuatro veces mayor que en la del segundo. Calcula la relación entre los radios de
los dos planetas, R1/R2, y entre sus densidades medias.
M1 
2

R12  g1
M1 R 22  R 2 
Relacionamos los valores de g

4


  

M 2  g2
M 2 R12  R1 
g2  G 2
R 2 
g1  G
R1 1

R2 2
4 3
3
1 M1V2 M1 3  R 2
M R 


 1  2   1·23  8
La relación entre las densidades será:
4
2 M 2 V1
M 2  R1 
M 2  R13
3
3
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14. Rhea y Titán son dos satélites de Saturno que tardan, respectivamente, 4,52 y 15,9 días terrestres en
recorrer sus órbitas en torno a dicho planeta. Sabiendo que el radio medio de la órbita de Rhea es 5,27·10 8
m, calcula el radio medio de la órbita de Titán y la masa de Saturno.
Aplicando la tercera ley de Kepler:
TR2
FA

RR3
FCF
TT2
R 3T
;
4,522
15,92

 R T  1,22·109 m
(5,27·108 )3
R 3T
Las dos fuerzas son iguales: FA  FCF
G
MS m
R
2
R
 m 2 RR  m
4 2
RR ;
TR2
MS 
4 2 RR3
2
R
GT
 5,674·10 26 kg
15. Dos satélites idénticos están en órbita alrededor de la Tierra, siendo sus órbitas de distinto radio.
¿Cuál de los dos se moverá con mayor velocidad? ¿Por qué?
La velocidad con la que se mueve un satélite en su órbita es:
FA  FCF  G
Mm
v2

m
 v
R
R2
v1
R2
si R 2  R1 , entonces v1  v 2

v2
R1
GM
R
lo que quiere decir que el de órbita de más radio se mueve más despacio.
16. La Tierra describe una órbita elíptica alrededor del Sol. En el afelio su distancia al Sol es de 1,52·10 11
m y su velocidad orbital es 2,92·104 m/s. Calcular:
a) El momento angular de la Tierra respecto al Sol.
b) La velocidad orbital en el perihelio. (distancia al Sol 1,47·1011m).
El momento angular es L  r  mv  1,52·1011·5,98·1024 ·2,92·104  2,65·1040 kgm2 s1
El momento angular es constante en todos los puntos. En el perihelio:
L  r  mv  1,47·1011·5,98·1024 ·v  2,65·10 40 kgm2 s1
v  3,02·10 4 ms1
17. Un satélite de comunicaciones está situado en órbita geoestacionaria circular en torno al ecuador
terrestre. Calcular:
a) Radio de la trayectoria, aceleración tangencial del satélite y trabajo realizado por la fuerza
gravitatoria durante un semiperiodo.
b) Campo gravitatorio y aceleración de la gravedad en cualquier punto de la órbita.
a) La fuerza de atracción es la fuerza centrípeta:
FA  FC  G
RO
FA
2 2
Mm
v2
M 4  RO

m

G

 RO 
RO
R O2
RO
T2
3
G M T2
 42265km
4 2
La velocidad del satélite es constante, luego a T=0 m·s-2
El trabajo es cero porque los dos puntos están en la misma superficie
equipotencial.
b) la gravedad en la órbita es: g  G
4
5,98·1024
M
11

6,67·10
 0,22m·s2
R O2
(42,265·106 )2
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18. La nave espacial Discovery describía en torno a la Tierra una órbita con una velocidad de 7,62 km s-1
a) ¿A qué altitud se encontraba?
b) ¿Cuál era su período? ¿Cuántos amaneceres contemplaban cada 24 horas los astronautas que
viajaban en el interior de la nave?
La velocidad de un satélite en su órbita es v 
GM
G M 6,67·10 11 ·5,98·1024
 R 2 
 6,87·106 m
R
v
(7,62·103 )2
y la altura es h  6,87·106  6,7·106  1,7·105 m
2  R 2 ·6,87·106

 5661,9s , como el día tiene 86400 s verían 15,2 amaneceres (unos
v
7,62·103
el periodo es T 
días 15 y otros 16)
19. Dos satélites, A y B, giran alrededor de un planeta siguiendo órbitas circulares de radios 2·108 m y
8·108 m respectivamente. Calcula la relación entre sus velocidades (tangenciales) respectivas.
La velocidad de cada satélite en su órbita es
v
v
RB
GM
1
 A 

R
vB
RA
2
20. Fobos (1,1·1016 kg) es un satélite de Marte que gira en una órbita circular de 9380 km de radio,
respecto al centro del planeta, con un periodo de revolución de 7,65 horas. El otro satélite de Marte,
Deimos (2,4·1015 kg), gira en una órbita de 23460 km de radio. Calcular:
a) La masa de Marte.
b) El período de revolución de Deimos.
c) El módulo del momento angular de Fobos respecto al centro de Marte.
Masa Fobos = 1,1·1016 kg; Masa Deimos = 2,4·1015 kg
a) FA  FC  G
b)
RF3
TF2

RD3
2 2
4 2 R 3
Mm
v2
M 4 R

m

G


M

 6,43·10 23 kg
R
R2
R
T2
G T2
 TD 
TD2
RD3
T 
3 F
RF
234603
7,65  30,26h
93803
c) el momento angular es LF  RF ·MF ·v F 
2  MF ·RF2
 2,21·1026 kg·m2 ·s2
TF
21. Representa gráficamente en función de la distancia r al centro de la Tierra las energías cinética y
potencial gravitatoria de un proyectil si no hay pérdidas de energía por rozamiento, para r mayor que el
radio terrestre.
EC
ET
RT
La energía potencial es EP  G
la energía cinética EC 
EP
1
1 G MT m
mv 2 
2
2 r
y la total ET  EC  EP  
5
MT m
r
1 G MT m
2 r
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22. La masa de un planeta se puede calcular si, mediante observaciones astronómicas, se conoce el radio
de la órbita y período de rotación de alguno de sus satélites. Razonar físicamente por qué (suponer órbitas
circulares y utilizar las leyes de la mecánica).
G
MPLANETA m
R
2
 m 2 R  m
4 2
R;
T2
MPLANETA 
4 2 R 3
G T2
23. Una de las lunas de Júpiter describe una órbita prácticamente circular con un radio de 4,22·10 8 m y
un período de 1,53·105 s. Deducir los valores de:
a) el radio de la órbita de otra de la lunas de Júpiter cuyo período es de 1,44·10 6 s.
b) la masa de Júpiter.
a) Aplicamos Kepler3,
T12
R13

T22
R 32
 R2 
b) Ver problema anterior, M JUPITER 
3
2
 1,44·106 
R

·4,22·108  1,881·109 m

1
5 
T12
1
,53·10


T22
3
4 2 (4,22·108 )3
 1,898·1027 kg
11
5 2
6,67·10 (1,53·10 )
24. En una galaxia lejana, se detecta un planeta que recorre una órbita de radio semejante al de Plutón
en un tiempo equivalente a un año terrestre, por lo que los astrónomos deducen que gira alrededor de una
estrella más masiva que el Sol. ¿Es correcta esta deducción? Razona por qué.
Para cualquier planeta, G
Para Plutón, M SOL 
Dividiendo:
4 2 RP3
G Tp2
Mm
4 2
4 2 R 3
v2

m

m
R

M

R
R2
T2
G T2
y para el planeta X, MESTRELLA 
4 2 RP3
G TT2
MESTRELLA TP2
 2 y como TP  TT  MESTRELLA  MSOL
M SOL
TT
25. Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor. El 1 describe
una órbita circular de radio 1·1011 m con un período de 2 años, mientras que el 2 describe una órbita
elíptica cuya distancia más próxima es 1·1011 m y la más alejada es 1,8·108 Km.
a) Obtener el período de rotación del planeta 2 y la masa de la estrella
b) Calcular el cociente entre la velocidad lineal del planeta 2 en los puntos Afelio y Perihelio.
Para el paneta 2 utilizamos la media de las distancias y aplicamos Kepler 3
T12
R13
Para el planeta 1

T22
R 32
 T2 
G ME m1
R12
 m1
T12 R 32
R13

22 ·(1,4·108 )3
 3,31años
(1·108 )3
v 2 R1 2 R13 4 2 R13
v2
 ME 

 2
 5,50·1019 kg
R1
G
G
T1 G
En los dos puntos el momento angular es el mismo
L AF
mv AF rAF
v
r
 1
 PE  AF  1,8
LPE
mv PE rPE
v AF rPE
6
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26. Un sistema estelar binario está constituido por dos estrellas de igual masa que se mueven describiendo
una órbita circular alrededor de un punto que se encuentra a medio camino entre ellas ( se mueven con la
misma velocidad y en todo instante se encuentran en posiciones diametralmente opuestas). Si la distancia
entre las estrellas es de 360 millones de kilómetros y tardan el equivalente a 5 años terrestres en describir
una órbita completa, calcular la masa de las estrellas.
Las estrellas dan vueltas alrededor de su centro de masas con un radio de 180·109 m
G MCDM m
R
2
m
v 2 R 2 R13 4 2 R 3
4 2 (180·109 )3
v2
 MCDM 

 2

 1,40·1029 kg
2
R
G
G
T G
(5·365·86400) G
Luego la masa de cada estrella es la mitad, MESTRELLA  7,0·1028 kg
27. Plutón describe una órbita elíptica alrededor del Sol. Indique para cada una de las siguientes
magnitudes si su valor es mayor, menor o igual en el afelio (punto más alejado del Sol) comparado con el
perihelio (punto más próximo al Sol):
a) momento angular respecto a la posición del Sol
b) momento lineal
c) energía potencial
d) energía mecánica.
El momento angular es constante, no hay fuerzas exteriores.
L A  LP  mv A rA  mvP rP luego
rP
rA
E
La energía potencial PP 
EPA
mv A rP
  1  pP  pA
mv P rA
Mm
rP
r
 A  1  EPP  EPA
M m rP
G
rA
G
La energía mecánica es la misma en todos los puntos de la trayectoria, se trata de un campo conservativo.
28. La Tierra tarda 365 días en dar una vuelta completa alrededor del Sol. La masa del Sol es 1,986·10 30 kg
y su radio es 108 veces el terrestre. Calcular:
a) La distancia entre la Tierra y el Sol suponiendo la órbita circular.
FA  FCF
G
MS M T
R2
 MT
4 2
R
T2
R
3
GMS T 2
4 2
 1,49·1011m
b) La velocidad con la que llegaría al Sol un objeto que cayese desde la Tierra.
29. Un satélite artificial de 100 kg de masa se encuentra girando alrededor de la Tierra en una órbita
circular de 7100 km de radio. Calcular:
a) El periodo de revolución del satélite.
Velocidad del satélite en su órbita: v 
GM

R
el tiempo que tarda en dar una vuelta es T 
6,67·10 11·5,98·1024
 7495,2m·s1
7,1·106
2R 2·7,1·106

 5948,87 s
v
7495,2
b) El momento lineal y el momento angular respecto al centro de la Tierra.
el momento lineal es p  mv  100·7495,2  749520kg·m·s1
y el angular L  r  mv  5,32·1012 kg·m2 ·s1
c) La variación de energía potencial para subirlo a esa altura desde la superficie terrestre.
7
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la energía en la superficie es EP 0  G
y en la órbita EPF  G
5,98·1024 ·100
Mm
 6,67·10 11
 5,93·109 J
R
6,73·106
5,98·1024 ·100
Mm
 6,67·10 11
 5,62·109 J
R
7,1·106
luego la variación de energía es EP  EPF  EP0  2,69·109 J
d) Las energías cinética y total del satélite.
La energía cinética es EC 
1
1
mv 2  100·7495,22  2,81·109 J
2
2
y la total ET  EC  EP  2,81·109  5,62·109  2,81·109 J
30. Calcular el trabajo necesario para trasladar un satélite de 500 kg desde una órbita de radio 2R T hasta
otra de radio 3RT.
Si lo que queremos es pasarlo desde la órbita inferior a la superior y que el satélite describa la órbita
superior, el trabajo es la diferencia entre las energías totales:
W  ET  ETF  ET 0  
G M Tm G M Tm G M Tm 6,67·10 11 5,98·10 24 ·500



 2,61·109 J
2 3R T 2 2R T
2 6R T
2
6·6,37·106
31. Una masa de 1000 kg se desplaza desde un punto en el que el potencial es -5 J/kg a otro en el que es 7 J/kg. Calcular el trabajo de las fuerzas gravitatorias e indicar si se trata de una transformación
espontánea. Repetir los cálculos si el cuerpo se aleja desde el punto en que el potencial vale -5 J/kg hasta
otro en el que el potencial es nulo.
La masa se desplaza desde un punto en el que EP  5000 J hasta otro en el que EP  7000 J .
Supongamos que se trata de la Tierra. Nos movemos acercándonos hacia la Tierra. El trabajo es
realizado por las fuerzas del campo gravitatorio, luego es espontáneo (es una atracción).
En el otro caso hay que desplazarse en contra del campo gravitatorio (hay que vencer una fuerza)
y la transformación no es espontánea.
32. Dos satélites artificiales de masa m y 2m describen órbitas circulares del mismo radio r=2R T, siendo RT
el radio de la Tierra. Calcular la diferencia y el cociente entre las energías mecánicas de ambos satélites.
La energía mecánica de un satélite es ETOT  
1 GMm
2 r
1 G M1m 

1 GMm

2 r
  ETOT 2  ETOT1  
2 r
1 G M 2m 

2
r 

ETOT1  
ETOT 2
ETOT 2

ETOT1
2
33. ¿Cuánto tendría que durar un día terrestre para que los objetos situados en el Ecuador de la Tierra
pesasen aparentemente la mitad? ¿Y para que no pesasen nada aparentemente?
Si no hay peso
FA  FCF
Mm
4 2
G 2 m 2 R
R
T
T

4 2 6,37·106
4 2R 3

GM

3
6,67·10 11·5,98·10 24
Si el peso se reduce a la mitad FA  2FCF
8
T
 5055s  1h24m15s
2·4 2R 3
 1h59m8s
GM
Fco Javier Corral 2012-2013
Campo Gravitatorio I
34. Dos masas puntuales de 106 kg se encuentran en los puntos de coordenadas (0,0) (4,0). En el punto
(2,2) abandonamos una masa puntual de 10 kg. Calcular la velocidad de esa masa cuando pasa por el
punto (2,0). Calcular la aceleración media del recorrido.
La energía total es la misma en los dos puntos:
G
 m m
m m  1
G  1  2  1  2   v2
 d10 d20 d1F d2F  2
 106
106 10 6 10 6  1 2
6,67·10 11  



 v
2
2  2
 2 2 2 2
0
1
F
m1 m
m m
mm
m m 1
 G 2  0  G 1  G 2  mv 2
d10
d20
d1F
d2F
2
2
v  6,25·10 3 ms1
Si la aceleración fuera constante, vF2  v 02  2a e  a 
(6,25·103 )2
 9,76·10 6 m·s2
2·2
35. El cometa Halley se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol con un periodo de 76 años. En el
perihelio el cometa está a 8,75·10 7 km del Sol y en el afelio está a 5,2·10 9 km del Sol. ¿En cuál de los dos
puntos tiene el cometa mayor velocidad?. ¿Y mayor aceleración?. ¿En qué punto tiene mayor energía
potencial? ¿Y mayor energía mecánica?.
L AF
r mv AF
5,2·109 v AF
 1  AF

LPER
rPER mv PER 8,75·107 vPER

v AF
 0,0168
v PER
La relación entre aceleraciones centrípetas es
a AF

aPER
m
v 2AF
rAF
m
2
v PER
rPER
2
v  r
8,75·107
  AF  PER  0,01682
 4,75·10 4
9
v
r
5,2·10
 PER  AF
La energía potencial es EP  G
EP AF
r
8,75·107
Mm
es mayor en el perihelio
 PER 
 0,0168
r
EPPER
rAF
5,2·10 9
La energía mecánica es la misma en todos los puntos.
36. La órbita de Plutón en torno al Sol es notablemente excéntrica. La relación de distancias máxima y
mínima entre su centro y el del Sol es 5/3. Razonando tus respuestas, calcula la relación entre los valores
en el afelio y en el perihelio de las siguientes magnitudes de Plutón: momento angular respecto al Sol,
energía cinética y energía potencial gravitatoria.
El momento angular vale lo mismo en todos los puntos de la trayectoria
La relación entre las velocidades es
Las energías cinéticas serán
EC AF
EC PER

L AF
r mv AF
5 v AF
 1  AF

LPER
rPER mvPER 3 vPER
1
mv 2AF
2
1
2
mv PER
2
EP AF
EPPER
9


L AF
1
LPER
v AF
3

v PER 5
2
v 
9
  AF  
25
 v PER 
G M mrPER rPER 3


G M mrAF
rAF
5
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Campo Gravitatorio I
37. Un planeta esférico sin atmósfera tiene masa 1,2·1023 kg y radio 1,3·106 m. Desde su superficie se
lanza verticalmente un proyectil que llega a alcanzar una altura máxima igual a la mitad de su radio antes
de volver a caer hacia la superficie. ¿Con qué velocidad inicial se ha lanzado el proyectil? ¿A qué altura
está cuando la velocidad se reduce a la mitad?
La energía en la superficie del planeta y en el punto más alto es la misma:
EA  EB
G
Mm 1
Mm
 mv 2  G
0
R
2
R

R


2 

1 2 1 M
v  G
2
3 R

v

G
M 1 2
2M
 v  G
R 2
3R
2 M
G  2025ms1
3 R
Cuando la velocidad se reduce a la mitad, también lo hacemos por energías:
Mm 1
Mm 1
 mv 02  G
 mv F2
R
2
R h 2
8,0·1012
6,16·106  2,05·106  
 5,13·105
1,3·10 6  h
v F  1013ms1
EA  ED

G
4,62·106 
8,0·1012
1,3·10 6  h
h  4,32·105 m
38. El Imperio del Mal pretende utilizar como almacén de munición un objeto estelar esférico de 10 km de
radio y una masa de 2·1031kg. Calcular:
a) el valor de g en su superficie.
b) la velocidad de escape en dicho objeto estelar. Se puede utilizar el valor de g=9,8 ms -2.
c) Interpretar los resultados anteriores, en relación con los objetivos del Imperio del Mal.
a) g X 
b) v ESC 
G MX
R 2X

6,67·10 11 2·1031
 1,334·1013 m·s2
(10 4 )2
2G M X

RX
2·6,67·10 11 2·1031
 5,17·108 m·s1
1·10 4
c) Los del Imperio del Mal tendrían “problemas” a la hora de sacar la munición puesto que la velocidad de
escape es superior a la velocidad de la luz.
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Fco Javier Corral 2012-2013