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SÍNTESIS
ELECTROMAGNÉTICA
  q
1. E  ds 
0
Flujo
 
2. B  ds  0

 
dE
3. B  dl   0  I   0 
dt
Circulación
“Jugando” con ellas,
Maxwell obtuvo una
ecuación de onda. Esto
implicaba que los
campos E y B podían
propagarse a través de
un medio. Obtuvo de
manera teórica la
velocidad a la que debía
propagarse por el aire.
 
 
d
4. E  dl     B  ds
dt
v
1
0   0
k
4  10 7
1
4   0
0 
 0   0  4  10 7 
1
3
1
4  9  10 9
1
1
  10 16
9
9
4  9  10
 0   0   10 8 
1
0   0
 3  10 8 (m / s )
El estudio del electromagnetismo que realizó Maxwell produjo unos resultados que
dieron lugar a una nueva teoría: la síntesis electromagnética.
Primera ecuación de Maxwell

Es la expresión que corresponde al teorema de Gauss para E .
  q
E
  ds 
0
Si tenemos en cuenta que todas las propiedades que vimos al estudiar electroestática
derivan de la ley de Coulomb y ésta es consecuencia del teorema de Gauss, debemos
admitir que dicho teorema es una ecuación fundamental. A dicha ecuación se la
denomina primera ecuación de Maxwell.
Segunda ecuación de Maxwell
 
B
  ds  0
De acuerdo con esta expresión, el flujo magnético a través de cualquier superficie
cerrada es nulo, ya que al ser cerradas, las líneas de fuerza que entran en dicha
superficie deben salir de ella. Esta expresión es la segunda ecuación de Maxwell.
Tercera ecuación de Maxwell

 
dE
 B  dl  0  I   0  dt
Maxwell generalizó la ley de Ampère y demostró que es posible obtener un campo
magnético de dos formas: a partir de una corriente eléctrica o por medio de un campo
eléctrico variable con el tiempo. Ese resultado junto con su expresión analítica se
denomina tercera ecuación de Maxwell.
Cuarta ecuación de Maxwell
Las experiencias de Faraday y de Henry demuestran que las variaciones de flujo
magnético que se producen a través de una superficie conductora generan una corriente
eléctrica inducida, ya que sobre la superficie se induce cierta fuerza electromotriz.
 
 
W
F  dl
  
  E  dl
q
q
 
d
d
 
    B  ds
dt
dt
Al igualar estas dos expresiones obtenemos la cuarta ecuación de Maxwell:
 
 
d
E

d
l



B
 ds

dt 
“Un campo magnético variable puede generar un campo eléctrico”
Historia de la ciencia
El estudio de la luz
Desde los tiempos más remotos, el ser humano se ha interrogado acerca de la naturaleza
de la luz.
Los griegos fueron unos de los primeros en formular hipótesis sobre la luz. La
comunidad pitagórica formuló que la luz surgía del ojo humano. Salía despedida de
ellos de forma rectilínea, chocaban contra el objeto a observar y retornaba al ojo así
viéndolo.
En Alejandría estudiaron los efectos de la reflexión y de la refracción.
En la Edad Media, destacan los estudios de Al-Hazen, que postula que es el objeto y no
el ojo humano el que emite los rayos luminosos, y anticipó que la velocidad de la luz
era finita.
Ya en el siglo XVI, Galileo, realizó experimentos para medir la velocidad de la luz, pero
al no tener las herramientas lo suficientemente sofisticadas, no obtuvo éxito. Röhemer
en 1675, intentó medir la velocidad de la luz con un brillante experimento, y se
aproximó bastante. Sin embargo, años más tarde en 1849, Fizeau, aproximó todavía más
la velocidad de la luz perfeccionando el método de Galileo. Finalmente es hallada en
1935 por Michelson.
Kepler estableció la ley fundamental de la fotometría y evidenció experimentalmente la
reflexión total de la luz.
Otros autores estudiaron la refracción, la difracción y postularon teorías sobre la
naturaleza corpúscula de la luz, como defendió Isaac Newton.
En el siglo XVII, Huygens, promulgó que la naturaleza original de la luz era ondulatoria
y que en el medio que se propagaba era en el “éter”. Aún así Huygens, no consigue
explicar la polarización de la luz y su propagación. Huygens además, supone que las
ondas luminosas son longitudinales, como las sonoras, cuando se demostrará mas
adelante que son trasversales.
Por su parte, Newton, elaboró una teoría sobre la naturaleza corpuscular de la luz.
Estudió la luz con prismas de cristal y consiguió descomponer la luz en sus frecuencias
monocromáticas, explicando así la luz blanca.
Newton concibe la luz como un flujo de partículas capaces de realizar choques elásticos.
La autoridad de Newton en la época, hizo considerar finalmente a la comunidad
científica de que su teoría era la correcta, hasta que llegan los estudios de Thomas
Young y Fresnel en el siglo XIX.
Young, estudiando la luz halló experimentalmente que los rayos luminosos presentaban
interferencias entre sí. Sin embargo, los resultados de éste eran empíricos y además no
se explicaba el fenómeno de la polarización. Entonces es cuando aparece Fresnel y
consigue explicar los fenómenos de la reflexión, refracción, difracción e interferencias
de la luz. En cuanto a la polarización es el primero en establecer que las ondas de la luz
son trasversales.
Las teorías de la luz como onda, fue reforzada matemáticamente con los logros de
James Clark Maxwell, que descubrió la luz como onda electromagnética. Sus enormes
conocimientos matemáticos, le llevaron a sintetizar toda la enorme cantidad de
ecuaciones asociadas al electromagnetismo en 4 espectaculares ecuaciones. Este hecho
es uno de los logros más importantes de la física contemporánea y se reconoce como la
síntesis de Maxwell.
La interacción electromagnética
Los resultados obtenidos por Maxwell son de gran importancia, ya que integran los
fenómenos eléctricos y magnéticos como dos aspectos distintos de un mismo fenómeno,
la interacción electromagnética, asociada a una misma propiedad de la materia: la carga
eléctrica.
Estas ecuaciones son uno de los mayores logros de la física y colocan la interacción
electromagnética en situación de privilegio, al ser una de las cuatro interacciones
fundamentales, la más conocida y la única que puede expresarse por completo de forma
matemática.
Además, es compatible con la teoría de la relatividad, que introdujo modificaciones en
la mecánica newtoniana.
Naturaleza de las ondas electromagnéticas
Origen
Las ondas electromagnéticas son ondas transversales en las que el campo eléctrico y el
campo magnético son perpendiculares entre sí y a su vez, perpendiculares a la dirección
de propagación. No necesitan soporte material para propagarse, haciéndolo incluso en el
vacío.
Estos dos campos no son independientes, ya que sus valores instantáneos están
relacionados entre si:
E  cB
-
Una carga eléctrica en movimiento creará un campo electromagnético en el que
las componentes eléctrica y magnética serán perpendiculares entre sí.
-
Si el movimiento de la carga es uniforme, no irradiará energía y no generará
ondas electromagnéticas (la carga transporta el campo).
-
Si el movimiento de la carga es acelerado, irradiará constantemente energía a su
alrededor en forma de ondas electromagnéticas.
Propagación
Si en un punto del espacio existe un campo eléctrico variable que oscila periódicamente
con cierta frecuencia, de acuerdo con la tercera ecuación de Maxwell, en un punto
situado en sus proximidades se inducirá un campo magnético variable con el tiempo, de
la misma frecuencia que el anterior.
De acuerdo con la cuarta ecuación de Maxwell, el campo magnético variable inducido
creará a su alrededor un campo eléctrico variable que a su vez creará un campo
magnético variable y así sucesivamente.
 El campo eléctrico creado inicialmente en un punto se transmite por el espacio
gracias al campo magnético inducido y viceversa.
Propiedades
Las ondas electromagnéticas transportan energía y pueden transferirla a los objetos que
encuentran al propagarse por el espacio.
La intensidad en el vacío de una onda electromagnética la podemos calcular a partir de:
I
1
0
 
 E  B (W/m2)
Las ondas también transportan cantidad de movimiento, así que ejercen una presión
sobre la superficie.
Cuando una onda de intensidad “I” es absorbida completamente por una superficie
sobre la que incide perpendicularmente, su cantidad de movimiento es transmitida a la
superficie y ejerce una presión:
I
P
c
Esta es la presión de radiación.
* La intensidad de una onda electromagnética representa la cantidad de energía que
atraviesa cada segundo la unidad de superficie colocada perpendicularmente a su
dirección de propagación.
La teoría electromagnética tuvo importantes consecuencias para la óptica, ya que, al ser
la luz una onda electromagnética, la óptica dejó de ser una rama independiente de la
física y pasó a convertirse en un capítulo más de la teoría electromagnética.
El espectro electromagnético
Es el conjunto formado por todos los tipos de ondas electromagnéticas que existen.
Las ondas electromagnéticas se propagan a la velocidad de 3 108 m/s en el vacío y no
depende de la frecuencia.
La relación c  f   permite calcular la frecuencia o longitud de onda asociada a la
radiación conocida una de las dos.
Las aplicaciones y efectos que producen en los cuerpos dependen de su frecuencia:
- Ondas de radio: Se generan acelerando cargas en circuitos oscilantes. Pueden
atravesar la atmósfera y las paredes. Su rango de frecuencias va desde algunos Hertzios
hasta 109 Hz.
- Microondas: Ondas de radio de muy corta longitud de onda, con frecuencia
comprendidas entre 109 y 1011 Hz. Se utilizan en comunicaciones (televisión, móviles,
radar, etc.). Los hornos microondas basan su funcionamiento en la capacidad que tienen
las ondas de estas frecuencias para excitar moléculas de agua.
- Rayos infrarrojos: Están comprendidos entre 1011 y 4  1014 Hz. Son absorbidos con
facilidad por la materia y proporcionan sensación de calor en los seres vivos. Tienen
múltiples aplicaciones.
- Luz visible: La percibe el ojo humano. Cada frecuencia produce una sensación de
color que va desde el rojo, 4  1014 Hz, hasta el violeta, 8  1014 Hz.
- Rayos ultravioletas: Están comprendidos entre 8  1014 y 1017 Hz. Esta radiación la
producen los electrones de átomos y moléculas al excitarse. Penetran ligeramente en la
piel humana y son responsables de nuestro bronceado.
- Rayos X: Se producen al frenar un haz de electrones, previamente acelerados, sobre un
metal. Pueden atravesar la materia orgánica. Se utilizan en medicina, ya que pueden
formar una imagen nítida de nuestra estructura. Su frecuencia es muy elevada (1017 –
1019 Hz) y poseen mucha energía. Ello explica que puedan dañar y destruir organismos
y tejidos vivos.
- Rayos Gamma: Son emitidos por núcleos radiactivos. Sus frecuencias oscilan entre
1019 y 1022 Hz. Es una radiación muy energética y penetrante y por tanto es muy
peligrosa para los seres vivos.
* La exposición prolongada a la radiación ultravioleta produce efectos nocivos. La
mayor parte de esta radiación es retenida por el ozono en las capas superiores de
la atmósfera
Espectroscopía
Es la parte de la física que se encarga de estudiar los espectros de las radiaciones
electromagnéticas. Hace uso de los espectroscopios, que son dispositivos que, como el
prisma óptico, son capaces de separar la frecuencia de la radiación electromagnética, en
el caso del visible, las frecuencias de la luz.
Por tanto, la espectroscopia es un método de análisis físico-químico que examina e
interpreta los espectros de las radiaciones obtenidas en un espectroscopio.
La espectroscopia tiene su interés en que cada elemento químico posee un espectro
propio característico. Dichos espectros son útiles a la hora de determinar los niveles
energéticos dentro del átomo y las distintas transiciones que dentro del átomo tienen
lugar, además nos permite identificar la presencia de elementos químicos dentro de un
compuesto.
Espectro electromagnético
La Luz y sus propiedades
Naturaleza de la luz
Dos teorías han recibido el apoyo de los científicos, la teoría corpuscular y la teoría
ondulatoria. Newton, con su teoría corpuscular era capaz de explicar algunos fenómenos
experimentales relacionados con la luz, como las leyes de reflexión y refracción. La
reflexión fue explicada suponiendo que la luz estaba formada por partículas que
realizaban choques perfectamente elásticos. La refracción fue explicada suponiendo que
las partículas luminosas que llegaban al vidrio eran atraídas por él al acercarse a su
superficie, produciendo un cambio de dirección.
La mayoría de los científicos aceptaron la teoría corpuscular por se Newton quién la
formulaba, no obstante, Cristian Huygens manifestó que las leyes de reflexión y
refracción podían demostrarse con una teoría ondulatoria de la luz.
No fue aceptada porque en aquella época sólo se conocían ondas materiales que
necesitaban de un medio para propagarse, lo que no ocurre con las ondas luminosas.
Por otra parte, si la luz fuese un movimiento ondulatorio, las ondas luminosas deberían
desviarse al aproximarse a un obstáculo, lo que haría que fuese imposible ver cerca de
un vértice.
Fue Young el que demostró la naturaleza ondulatoria de la luz, al conseguir, que dos
rayos de luz creasen figuras de interferencia. Más tarde, Fresnel realizó experimentos
relacionados con las interferencias y la difracción. Foucault demostró que la teoría de
Newton no podía explicar la diferencia de velocidad entre líquidos y aire. Esta
avalancha de datos a favor de una teoría ondulatoria de la luz provocó la aceptación de
la misma en detrimento de la corpuscular.
Relacionado con la naturaleza de la luz, el suceso más importante es la síntesis
electromagnética de Maxwell. Maxwell propuso que la luz consistía en ondas
electromagnéticas de alta frecuencia que se propagaban a 3  108 m / s . Esto se demostró
al medir experimentalmente la velocidad de la luz, que coincidía con la propuesta por
Maxwell.
El que confirmó experimentalmente la teoría de Maxwell fue Hertz. Demostró que estas
ondas se podían reflejar, refractar o polarizar, lo que demostraba que la luz era una onda
electromagnética y que no necesitaba medio material para propagarse. Fue el
espaldarazo final para la teoría ondulatoria. Sin embargo, a pesar de las abrumadoras
pruebas en su contra, quizás Newton tuviera algo de razón.
Propagación rectilínea de la luz
En un medio homogéneo e isótropo, los rayos de luz se propagan en línea recta. La
velocidad de la luz es la misma para todos los puntos del medio y en todas las
direcciones.
Uno de los primeros fenómenos ópticos en observarse fue, la sombra que proyecta un
objeto al ser iluminado. Si el foco que lo ilumina es pequeño, la sombra tiene la misma
forma que el objeto y los límites de la sombra son nítidos.
SI el foco es extenso, la sombra está formada por dos partes. La región que está detrás
del obstáculo se llama sombra y rodeándola está la penumbra, desde la que se ve parte
del foco pero no su totalidad.
- Se denomina sombra geométrica de un objeto a la porción de pantalla que limitan
rayos que, partiendo del foco, son tangentes al contorno del objeto.
Velocidad de la luz en el vacío y en el aire
Galileo intentó medir la velocidad de la luz colocando dos observadores provistos de
focos luminosos en dos torres separadas cierta distancia pero no obtuvo ningún
resultado.
Roemer medió la diferencia de tiempo que tenía lugar en el eclipse de “Io” cuando la
posición de la Tierra variaba seis meses.
La primera medida directa fue realizada por Fizeau. Midió el tiempo que tardaba un
rayo de luz en recorrer la distancia de ida y vuelta que había entre su laboratorio y un
espejo reflecto a 8673 metros de distancia. Lo consiguió haciendo pasar la luz emitida
por una potente lámpara entre los dientes de una rueda dentada que giraba con velocidad
constante.
Ajustando la velocidad angular, conseguía que el rayo luminoso pasase entre dos
dientes consecutivos de la rueda. Para ello obtuvo un valor de 3,15  108 m / s . En 1935,
Michelson obtuvo un valor de 2,99774  108 m / s .
Propagación rectilínea de la luz
Sombra
Penumbra
Sombra
Penumbra
Eclipses
Propiedades de la luz
Como onda electromagnética que es, la luz presenta propiedades de las ondas y se rige
por sus leyes:
1. Reflexión
Si inciden varios rayos de luz paralelos sobre una superficie lisa, los rayos reflejados
son también paralelos. Esto se llama reflexión especular. Si la superficie reflectora es
rugosa, reflejará los rayos en diferentes direcciones. Se le denomina reflexión difusa.
2. Refracción
De acuerdo con las leyes de la refracción, al pasar de uno a otro medio, el rayo se
desvía:
n1  seni  n2  senrf
seni 
n2
 senrf
n1
Ángulo límite
Existe un ángulo de incidencia, “ l ” al que denominamos ángulo límite, para el cual
senrf  90 . Tras la reflexión, un rayo de luz emitido con ese ángulo sería tangente a la
superficie que separa los dos medios.
Si el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo límite, el seno del ángulo de
refracción (de acuerdo con Snell) es mayor que la unidad, lo que es imposible.
En ese caso, un rayo que incide con un ángulo superior al ángulo límite no se refracta,
se refleja y sigue desplazándose por el interior del primer medio. Esto es la reflexión
total.
3. Interferencias (Experimento de la doble rendija de Young)
Las interferencias son un fenómeno típicamente ondulatorio, que no puede ser explicado
desde el punto de vista corpuscular. Para que los fenómenos de interferencia de ondas
luminosas sean apreciables se requiere que los focos sean coherentes, es decir, que
tengan la misma longitud de onda y que la diferencia de fase sea constante.
Supongamos que dos focos emiten ondas luminosas coherentes. En los puntos del
espacio donde se encuentran, se producen interferencias, que pueden ser constructivas
(intensificación de las ondas) o destructiva (debilitación o atenuación de las ondas)
llegando incluso a su anulación. El primero que observó estos fenómenos y que validó
la teoría ondulatoria de la luz de Huygens fue Thomas Young.
Su experimento consistía en disponer de una fuente de luz monocromática que
iluminaba a una pantalla que contenía dos rendijas, dichas rendijas actuaban como focos
emisores de ondas coherentes.
Las ondas interfieren en la pantalla b produciendo lo que se conoce como patrón de
interferencia, apreciándose franjas brillantes y oscuras alternas.
Se aprecia en la pantalla una franja brillante y una franja oscura paralelas. En la brillante
se produce una interferencia constructiva, mientras que en las oscuras se produce una
destructiva. Esto es debido a la diferencia de caminos ópticos.
- Si r  n  Constructiva
- Si r 
(2n  1)
   Destructiva
2
Como  es un ángulo muy pequeño:
sen  tg  
tg  
r y

a
d
ay
r 
d
r
a
a  d
y
d
Constructiva
n 
ay
d
Destructiva
2n  1
ay
 
2
d
4. Dispersión
Este fenómeno ocurre cuando un rayo policromático (luz blanca) alcanza un prisma o
algún medio de índice de refracción diferente al primero. Al dispersarse, el haz de luz
solar (luz blanca) se dispersa formando un espectro de colores, el arcoiris.
El índice de refracción va a depender de la longitud de onda de la radiación incidente, es
decir, cada frecuencia del rayo policromático se desviará de forma diferente, haciendo
que el rayo se separe en sus frecuencias fundamentales.
Los que más se desvían son los que tienen mayor frecuencia, esto es debido a que la
velocidad de la luz es la misma en el vacío o en el aire para todas las longitudes de
onda, pero no ocurre así cuando la luz llega a un material donde la velocidad dependerá
de cada longitud de onda.
El prisma óptico

Es un dispositivo formado por dos superficies planas que forman entre sí un ángulo A y
que separan dos medios con distinto índice de refracción.
5. Difracción
La difracción de la luz se produce cuando son interceptadas por un obstáculo de tamaño
igual o menor a la longitud de onda o por una superficie que tenga un orificio de similar
tamaño a la longitud de onda o cuando inciden sobre el borde de un objeto. En estos
casos, cuando se observa con detalle la sombra, se aprecia que su contorno no es
perfectamente nítido ya que se distinguen franjas claras y oscuras que contradicen el
principio de propagación rectilínea de la luz. Se trata del fenómeno de difracción ya que
las ondas luminosas, como todas las ondas, rodean los obstáculos y llegan a puntos
situados detrás de ellos y alejados u ocultos del foco.
Si hacemos pasar una luz monocromática a través de una línea estrecha se produce “d”,
un patrón de difracción análogo al de interferencias de la doble rendija de Young.
n
sen 
d
ÓPTICA GEOMÉTRICA
Formación de imágenes en un espejo plano
Cuando tras sucesivas reflexiones y refracciones, los rayos de luz que parten de un
punto concurren en otro punto, decimos que dicho punto es imagen del primero.
El espejo plano
Es una superficie plana en la que se reflejan los rayos de luz. Los espejos se construyen
con vidrio plano, una de cuyas superficies ha sido cubierta con un baño de plata y forma
por tanto una superficie reflectora. La formación de imágenes a través de un espejo
plano se apoya en las leyes de la reflexión.
Si colocamos un objeto frente a un espejo plano, es fácil comprobar, construyendo la
marcha de los rayos que parten de sus extremos, que la imagen de dichos puntos es
simétrica de ellos respecto al espejo. Mediante las leyes de Snell para la reflexión
podemos deducir que la distancia que existe entre el espejo y el objeto que se refleja en
él es igual a la distancia que separa dicho espejo de la imagen que se forma.
Imagen virtual e imagen real
La imagen que se forma en el espejo es virtual, si dicha imagen se forma al concurrir en
un punto rayos que son prolongación de los rayos reflejados en el espejo. Si por el
contrario, la imagen se forma al cortarse rayos que convergen tras haber sido reflejados
por el espejo, la imagen es real.
Sistemas ópticos estigmáticos y astigmáticos
Es estigmático cuando los rayos emitidos por un punto objeto cualquiera tienen como
imagen, tras atravesar el sistema o ser reflejados, otro punto, de lo contrario, el sistema
óptico es astigmático.
Convenio de signos
Se utiliza el criterio de signos que proponen las normas DIN.
1. Los símbolos que hacen referencia a la imagen y a las magnitudes relacionadas con
ella coinciden con los que se refieren al objeto, aunque se les ha añadido el signo
“prima”. Si el tamaño del objeto es y, el tamaño de la imagen será y’.
2. La luz incide siempre por la izquierda y se propaga hacia la derecha.
3. Sobre el eje de abscisas, las distancias será negativas si para medirlas nos
desplazamos hacia la izquierda a partir del vértice del sistema óptico, S. En caso
contrario, dichas magnitudes serán positivas.
4. Sobre el eje de ordenadas, las magnitudes lineales se consideran negativas si para
medirlas nos desplazamos por debajo del eje óptico. En caso contrario, dichas
magnitudes serán positivas.
5. Los ángulos de incidencia y de refracción de un rayo se consideran positivos si, para
llevar el rayo a coincidir con la normal por el camino más corto hay que girarlo en
sentido horario. En caso contrario los ángulos serán negativos.
6. El ángulo formado por una recta y el eje se considera positivo si, al girar la recta
hasta hacerla coincidir con el eje por el camino más corto, se va en sentido antihorario.
En caso contrario, el ángulo será negativo.
El dioptrio plano
Es una superficie transparente y plana que separa dos medios cuyo índice de refracción
es distinto.
Sólo para ángulos de incidencia pequeños, a cada punto objeto le corresponde otro
punto imagen. En consecuencia, el dioptrio plano sólo es estigmático para rayos que
inciden con poca inclinación (rayos paraxiales) respecto de la normal.
* Los rayos paraxiales son aquellos cuyo ángulo de incidencia cumple esta relación:
tg  sen  
El dioptrio plano produce una aproximación aparente del objeto que, para un observador
que permanezca en un mismo medio, aumenta al aumentar el índice de refracción del
medio en el que está situado el objeto.
El dioptrio esférico
Se denomina así a cualquier superficie esférica que separe dos medios transparentes
cuyo índice de refracción sea distinto. La forma en que se propaga un rayo de luz al
atravesar una superficie tiene gran importancia, ya que muchos instrumentos ópticos
están formados por una sucesión de dioptrios planos y esféricos dispuestos de forma que
el instrumento resulte útil para el propósito que se le asigna.
Aplicando Snell:
n1  seni  n2  senrf
Si el rayo es paraxial:
n  i  n'rf
n
h
h
h
 n'  n  n' 
s
s'
R
n' n n'n
 
s' s
s
Siendo s la distancia objeto y s’ la distancia imagen.
* La demostración matemática que permite obtener las expresiones que se indican
conlleva un cálculo muy laborioso.
Óptica geométrica
Es la parte de la óptica que trata, a partir de representaciones geométricas, de los
cambios de dirección que experimentan los rayos luminosos en los distintos fenómenos
de reflexión y refracción. Se basa en tres principios:
1. Los rayos se propagan rectilíneamente en los medos homogéneos e isótropos.
2. Los rayos luminosos son reversibles, es decir, si un rayo parte de A y después de
atravesar un sistema óptico llega a B, si partiera de B en sentido contrario, llegaría a A
después de pasar por el sistema óptico.
3. Se cumplen las leyes de la reflexión y de la refracción.
Con estos tres principios se puede determinar el paso de la luz a través de distintos
instrumentos ópticos, como son: Lentes, espejos, lupas, microscopios, telescopios, etc.
Y podremos evaluar la forma, el tamaño y la posición de las imágenes obtenidas.
La óptica geométrica define unos conceptos básicos y establece un convenio de signos,
que se encuentran recogidos dentro de las normas DIN.
Como conceptos básicos podemos definir:
- Sistema óptico: Es un conjunto de superficies que separa medios transparentes,
homogéneos e isótropos de distinto índice de refracción.
- Dioptrio: Es un sistema óptico formado por una sola superficie que separa dos medios
de distinto índice de refracción. Puede ser plano o esférico, según lo sea dicha
superficie.
- Imagen real: Es la imagen formada por la intersección de los rayos convergentes
procedentes de un objeto puntual después de atravesar el sistema óptico. Esta imagen no
se ve pero se puede recoger sobre placa fotográfica o cualquier dispositivo sensible a la
energía de los rayos.
- Imagen virtual: Es la imagen formada por la intersección en un punto de las
prolongaciones de los rayos después de atravesar el sistema óptico.
- Sistema óptico estigmático: Es al que cada punto objeto le corresponde un punto
imagen. A partir de las normas DIN el eje óptico y el propio dioptrio definen un espacio
con los signos de la misma manera que un sistema de referencia.
Distancia focal-imagen
Todo sistema óptico tiene asociados un punto llamado foco-imagen (f’). Este punto es el
punto del eje por el que pasan los rayos o sus prolongaciones después de atravesar el
sistema óptico si después de atravesar el sistema óptico se dichos rayos provienen del
infinito o, es decir, rayos paralelos al eje óptico.
Distancia focal-objeto
Se llama foco-objeto al punto del eje óptico que tiene la propiedad de que cualquier
rayo que pase por él, después de atravesar el sistema óptico, sale paralelo al eje.
- Las ecuaciones asociadas a la óptica geométrica se basan en:
1. La trigonometría
2. Las leyes de Snell de reflexión y refracción
3. La aproximación paraxial, que nos dice que los ángulos que forman los rayos con
el eje del dioptrio son muy pequeños
Sistemas ópticos simples
Entendemos como aquel sistema que está formado por un solo dioptrio (una superficie).
Dentro de este grupo tenemos: el dioptrio plano, el dioptrio esférico, el espejo plano y el
espejo esférico.
Espejo Plano
Espejos esféricos
Un espejo esférico es convexo si la reflexión ocurre en la superficie exterior del
casquete y es cóncavo si la reflexión tiene lugar en la superficie interior de dicho
casquete.
En general y a diferencia de lo que ocurre con un espejo plano, los rayos reflejados no
concurren en un solo punto; ello explica que un espejo esférico no forme una imagen
nítida. Este inconveniente puede obviarse suponiendo que el tamaño de la superficie
esférica es mucho menor que su radio de curvatura.
f ' 
f 
R
2
f  f '
R
2
R
2
El resultado que obtenemos muestra que en un espejo tan sólo existe una distancia focal,
cuyo valor es la mitad del radio de curvatura.
Formación de imágenes en espejos esféricos
- Si el espejo es cóncavo, un rayo que incide paralelo al eje óptico pasa, tras reflejarse,
por el foco. Si el espejo es convexo, el rayo reflejado es tal que su prolongación pasa
por el foco.
- Un rayo incidente que pasa por el foco de un espejo cóncavo o se dirige al foco de un
espejo convexo, emerge, tras reflejarse, paralelo al eje óptico.
- Un rayo incidente que pasa por el centro de curvatura del espejo no modifica la
dirección con que se propaga.
Espejos esféricos
r0
f 
r
2
r0
f 
r
2
Posición
1 1 1
 
s' s f
Para la imagen
Aumento lateral
Al 
y'
s'

y
s
Si Al > 0  Imagen derecha
Si Al < 0  Imagen invertida
Si Al  1  Imagen menor
Si Al  1  Imagen mayor
Lentes esféricas delgadas
Es un sistema óptico centrado, formado por un medio transparente que se encuentra
limitado por dos dioptrios, uno de los cuales, al menos, es esférico pudiendo ser el otro
plano o esférico.
Convergentes
Divergentes
En las lentes convergentes, los rayos paralelos al eje después de atravesar la lente
convergen en un punto del eje. Se representan:
En las lentes divergentes los rayos paralelos al eje después de atravesar la lente se
separan del eje en una dirección tal que sus prolongaciones convergen en un punto.
Las lentes convergentes y las divergentes se caracterizan por tener dos distancias
focales llamadas focal-objetos f y focal–imagen f’
La distancia focal f de una lente dependerá de sus radios, r1 y r2 y del material en que
esté hecha.
Utilizando las leyes de la reflexión y la refracción, la aproximación paraxial y la
trigonometría se obtiene la ecuación que nos da la f’ de una lente. A esta ecuación se le
llama “la ecuación del constructor de lentes”
1 1
1
 n  1    
f'
 r1 r2 
Distancias focales
Si el objeto está suficientemente alejado de la lente, la distancia objeto es infinito y la
distancia imagen es la distancia focal-imagen. La distancia focal-imagen de la lente la
obtenemos:
1 1
1
 n  1    
f'
 r1 r2 
Teniendo en cuenta el resultado, la distancia focal- imagen de una lente convergente es
positiva, siendo negativa la de una lente divergente.
De acuerdo con estos resultados la ecuación fundamental de las lentes delgadas,
situadas en el aire:
1
1
1


s'
s
f
Potencia de una lente
Es la inversa de la distancia focal, expresada en metros:
P
1
f'
La unidad de potencia es m-1
* En lugar de usar la distancia focal, los oftalmólogos y ópticos utilizan la potencia
para caracterizar una lente
Resumen de óptica
1 1
1
 n  1    
f'
 r1 r2 
1
1
1


s'
s
f
Al 
P
1
f'
y' s'

y s
Si f está en m  P estará en dioptrías
Si la potencia es positiva, la lente será convergente
Si la potencia es negativa, la lente será divergente
Ptotal   Pi
Instrumentos ópticos
El ojo humano
La finalidad de los ojos es proporcionar imágenes estigmáticas y sin defectos de los
objetos. Su forma es aproximadamente esférica, proporcionan un amplio campo de
visión, unos 180°, pueden cambiar rápidamente el enfoque acomodándose a la visión
tanto de objetos próximos como objetos lejanos. La córnea es la parte transparente, a
través de la cual incide la luz, de la membrana resistente que rodea al ojo y que se llama
esclerótica. El cristalino es un cuerpo blando con forma de lente convergente. La retina
es una membrana que tapiza la
parte interna del ojo. Sobre ella
se proyecta la imagen de los
objetos. Consta de varias capas
de células sensibles a la luz El
tamaño del que vemos los
objetos queda determinado por
el tamaño de la imagen, que es
real e invertida, formada en la
retina: dicha imagen es mayor
cuando el objeto está más
próximo y es menor cuando
está más alejado.
Nuestro ojo puede considerarse como un sistema óptico formado por un dioptrio
esférico, la córnea, y una lente, el cristalino. Normalmente, está enfocado al infinito, por
eso decimos que el infinito es el punto remoto. Esta capacidad de enfoque es llamada
acomodación.
Acomodación del ojo
La visión a distintas distancias es posible gracias al cristalino, que es una lente
deformable
Cuando el objeto que se pretende ver se encuentra en el infinito, el cristalino se
encuentra en reposo. Al ir acercándose el objeto, los músculos filiares comprimen el
cristalino aumentando su radio de curvatura y reduciendo su distancia focal, lo que
permite que se formen siempre las imágenes a la misma distancia, en la retina. Este
proceso, completamente involuntario, se denomina acomodación y está limitado por la
elasticidad del cristalino:
El punto próximo es el punto más cercano al ojo en el que puede colocarse un objeto y
ser visto con nitidez. La distancia de este punto al ojo es de unos 25 cm y se denomina
distancia mínima de visión distinta.
El punto remoto es el punto más alejado donde puede observarse con nitidez un objeto.
Su distancia al ojo es la distancia máxima de visión distinta. Un ojo sano lo tiene
aproximadamente en el ∞.
Gracias a esta capacidad, el ojo humano puede adaptarse hasta ver con nitidez objetos
situados a unos 25 cm de distancia
Defectos de la visión.
Para una visión correcta, es preciso que la imagen se forme siempre en la retina; cuando
no sucede esto, se produce un fallo en la acomodación que puede deberse a diversas
causas.
Presbicia, o vista cansada: Es un defecto que aparece con la edad. Una persona con
vista cansada sufre una reducción en su proceso de acomodación porque sus músculos
ciliares se fatigan o porque su cristalino pierde elasticidad. Estos síntomas no afectan a
la visión lejana, pues en ella el cristalino no está comprimido debido a que los músculos
ciliares estén en reposo, sino al punto próximo, que puede alejarse hasta el doble de su
distancia normal. El indicador de la presbicia es el gesto de algunas personas cuando,
para leer un texto o mirar con precisión un objeto que se encuentra en su mano, alargan
el brazo, hasta estirarlo totalmente en algunos casos, e inclinan la cabeza hacia atrás.
Para corregirla se usan unas lentes convergentes.
Miopía: El ojo miope pierde acomodación porque su cristalino tiene un exceso de
convergencia. Esto hace que los rayos que proceden del punto remoto formen su imagen
entre el cristalino y la retina; como resultado, la imagen nítida se forma ahí y no en la
propia retina, adonde ya llega borrosa transmitiéndose así al cerebro (Se dice que el
punto lejano del miope se acerca). Los miopes son personas que, debido al exceso de
convergencia de su cristalino, tienen el punto próximo más cercano que el resto de la
gente; por eso ven bien de cerca y mal de lejos. Para su corrección se utilizan lentes
divergentes que logran alejar el foco del cristalino.
Hipermetropía: La pérdida de acomodación de los ojos hipermétropes es debida al
efecto contrario que en el caso de los miopes: a un defecto de convergencia. Por ello, los
rayos que proceden del punto remoto formen su imagen detrás de la retina, formándose
también en ella la imagen sin nitidez. El cristalino de una persona hipermétrope tiene
menos curvatura que uno normal, lo que le permite ver con mayor precisión a grandes
distancias: su punto lejano se aleja. Para su corrección se emplean lentes convergentes
que consiguen acercar el foco al cristalino.
Astigmatismo: Aunque este no se debe a un defecto de acomodación sino a una
irregularidad en la curvatura de la córnea. El síntoma del astigmatismo es la incapacidad
de ver claramente dos rectas perpendiculares que se encuentran en un mismo plano,
debido a que la córnea recibe imágenes parciales a diferente distancia. El efecto es el
mismo que si se proyecta a la vez una diapositiva sobre dos planos que están a distinta
distancia: cuando se enfoca en uno, se desenfoca en el otro, no pudiendo ver en los dos
a la vez nítidamente. El astigmatismo se corrige con lentes cilíndricas que consiguen
situar el foco en el mismo punto para distintos planos objeto.
La cámara oscura
Este instrumento, que fue la base de la cámara fotográfica, se conoce desde el siglo
XVI. Consiste en una caja hueca de paredes opacas, ennegrecidas en su interior, y con
un orificio en el centro de una de sus caras. Los rayos de luz, reflejados en los objetos
del exterior situados ante la caja, atraviesan el
orificio y forman una imagen invertida en la pared
opuesta. Si se sustituye esta pared por un vidrio
deslustrado, puede verse la imagen desde el
exterior. Conforme el orificio se hace más pequeño,
el cono de rayos incidentes es más estrecho y la
imagen está mejor definida. Con una cámara oscura,
utilizando una placa sensible a la luz, es posible
obtener una fotografía sin necesidad de usar lente
objetivo, aunque el tiempo de exposición debe ser
bastante prolongado, ya que la cantidad de luz que llega a la abertura es poca.
La lupa o microscopio simple
La lupa, microscopio simple o lente de
aumento consiste en una lente
convergente que permite ver los objetos
de mayor tamaño que al natural. Si
queremos observar con detalle un objeto
de pequeño tamaño, solemos acercarlo
al ojo para que sea mayor la imagen
sobre la retina. Sin embargo, la
existencia del punto próximo limita nuestras posibilidades de ver el objeto con nitidez.
Por eso acudimos a la ayuda de la lupa: ésta nos permite colocar el objeto a menor
distancia que el punto próximo. Si el objeto A1B1, se coloca entre el foco F, y la lente,
se obtiene una imagen A2B2, virtual, derecha y de
mayor tamaño que el objeto; éste se observa colocando
el ojo cerca de la cara posterior de la lente.
El aumento angular o poder amplificador de la lupa es
la relación entre e1 ángulo visual φ cuando se observa
un objeto con lupa y el ángulo visual φo cuando se
observa sin lupa colocando el objeto en el punto
próximo. Si se coloca el objeto en el foco F, la imagen
se forma en el infinito y el ojo está relajado, es decir,
sin acomodación. Así obtenemos que el aumento
lateral de la lupa es:
0, 25
M
f
Anteojo y telescopio
Los telescopios se utilizan para observar objetos que están muy lejos. Es habitual
utilizar la denominación de anteojo cuando el sistema óptico está formado sólo por
lentes. La finalidad es conseguir que la imagen esté más próxima que el propio objeto,
es decir, que sea mayor el ángulo
sustendido por la imagen, de modo que el objeto aparente ser mayor. El anteojo
astronómico se compone de dos lentes convergentes, el objetivo y el ocular, colocados
habitualmente de forma que el foco del objetivo coincida con el del ocular. Entonces, el
ojo va a percibir una
imagen
virtual,
invertida y situada en
el infinito (ver figura).
El
aumento
visual comercial es el
cociente entre el
ángulo w' subtendido
por la imagen final,
según se ve a través
del ocular, y el ángulo w subtendido por el objeto cuando se observa directamente sin la
f
M  ob
f oc
ayuda de ningún instrumento óptico. El aumento será:
Como se ve, podemos conseguir un gran aumento angular con un objetivo de gran
distancia focal y un ocular de pequeña distancia focal. También se aprecia que la
imagen sale invertida, lo que carece de importancia al observar cuerpos celestes, no así
para la observación de objetos terrestres. Entonces se recurre al anteojo terrestre, que
consigue una imagen directa por medio de dos lentes que se intercalan entre el ocular y
el objetivo (este instrumento se llama catalejo), con el inconveniente de precisar un tubo
muy largo. Otras alternativas para obtener imágenes directas son el prismático y el
anteojo de Galileo. El primero emplea unos prismas de reflexión total que consiguen
una imagen directa con una distancia objetivo-ocular más corta, y el segundo lo logra
con una lente divergente usada como ocular.
Telescopios
Los telescopios son sistemas, en general, catadióptricos (formados por lentes y espejos).
Un espejo cóncavo, esférico o parabólico sustituye al sistema de lentes como objetivos
la ventaja de usar espejos reside en que es más fácil construir un espejo de gran
diámetro que una lente del mismo tamaño libre de aberraciones; y el tamaño es esencial
cuando se quiere colectar la mayor cantidad de luz posible de fuentes tan poco
luminosas como algunas estrellas u otros objetos celestes. Así por ejemplo, el mayor
anteojo astronómico (también conocido como telescopio refractor) tiene un diámetro
que no llega a 1,5 m, mientras que el mayor telescopio reflector, en la antigua Unión
Soviética, posee un espejo de casi 6 m de diámetro, que proporciona un aumento del
orden de 3.500, actualmente en Canarias y por medio del instituto de Astrofísica se está
construyendo uno de espejos segmentados que será el mayor telescopio del hemisferio
norte (Grantecan). El tamaño del diámetro está relacionado con la nitidez de la imagen.
Como en otros sistemas ópticos, el aumento útil está limitado por el poder de resolución
del ojo del observador. Podrían conseguirse grandes aumentos pero a costa de una
imagen borrosa, lo cual no tiene sentido. Conforme se aumenta el diámetro del objetivo
del telescopio puede lograrse un mayor número de aumentos sin pérdida de nitidez.
El anteojo de larga vista o
catalejo lleva incorporado entre
el objetivo y el ocular un par
inversor consistente en un
conjunto
de
dos
lentes
convergentes de igual distancia
focal, tales que cada una de ellas
está colocada en el foco de la
otra; este par modifica la
orientación de la imagen sin
modificar
su
tamaño,
consiguiéndose así la visión
derecha del objeto observado.
Este proceso de inversión se traduce en un aumento de longitud del tubo del catalejo,
problema éste que se puede solucionar diseñando el dispositivo de manera que conste de
varios tubos que pueden penetrar uno en otro, formando un conjunto plegable.
El anteojo de Galileo utiliza como ocular una lente divergente, que produce una imagen
virtual derecha de la imagen real A'B' dada por el objetivo; aunque esta última no llega
a formarse, pues los rayos correspondientes son desviados por el ocular antes de que
converjan. Como el objeto está siempre muy alejado y los rayos que salen del ocular lo
hacen prácticamente paralelos, el aumento angular del anteojo de Galileo viene dado
por el cociente f/f´ entre las distancias focales del objetivo y del ocular. Además, por
coincidir los focos imagen de las dos lentes, la longitud de este anteojo será: L=f1-f2 lo
que representa, evidentemente, una ventaja. Sin embargo, su aumento es muy pequeño y
sus aberraciones difíciles de corregir. Por este motivo, su uso se encuentra limitado en
la actualidad a los llamados gemelos de teatro, que son dos anteojos de Galileo iguales y
paralelos, con los que se consigue la visión binocular; la corta longitud del tubo (unos
10 cm) hace que el aumento sea pequeño, compensándose este defecto por su gran
claridad.