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Distribuciones de probabilidad
Discretas
Distribución Uniforme Discreta
Definición
Una variable aleatoria X, tiene una distribución uniforme
discreta, si cada uno de los valores x1, x2, ….. xn, tiene igual
probabilidad de ocurrencia
Probabilidad y Estadística
2
Distribución Uniforme Discreta
Figura: Función de distribución de probabilidades para una
variable aleatoria discreta uniforme
Probabilidad y Estadística
3
Distribución Uniforme Discreta
Media y Varianza
Probabilidad y Estadística
4
Distribución Binomial
Supongase un experimento aleatorio que consiste en n
ensayos ( ensayos de Bernoulli):
•Los ensayos son independientes
•Cada ensayo tiene sólo dos resultados posibles: éxito
o fracaso
•La probabilidad de éxito p permanece constante de
ensayo a ensayo
Probabilidad y Estadística
5
Distribución Binomial
Definición
La variable aleatoria X que cuenta el número de éxitos en
n ensayos tiene la siguiente función de distribución de
probabilidades:
Probabilidad y Estadística
6
Distribución Binomial
La distribución binomial es utilizada frecuentemente en control de calidad. Es un
modelo probabilístico adecuado cuando se muestrea sobre una población que puede
considerarse infinitamente grande, p representa la fracción de items defectuosos en
dicha población. En estas aplicaciones X representa el número de artículos
defectuosos encontrados cuando se toma una muestra al azar de tamaño n .
Si por ejemplo p=0.10 y n= 15; la probabilidad de hallar x artículos defectuosos es:
Probabilidad y Estadística
7
Distribución Binomial
Probabilidad y Estadística
8
Distribución Binomial
Ejemplo:Cada muestra de agua tiene una probabilidad de
10% de contener un contaminante orgánico particular. Se
supone que las muestras son independientes en el sentido
de presentar o no el contaminante.Encontrar la
probabilidad de que en la próximas 18 muestras
examinadas, exactamente 2 presenten contaminación.
X: número de muestras que presentan el contaminante en
las 18 analizadas
X tiene una distribución binomial con parámetros
n=18
p=0.10
Probabilidad y Estadística
9
Distribución Binomial
Ejemplo
La probabilidad pedida es entonces:
Probabilidad y Estadística
10
Distribución Binomial
Ejemplo
•Determinar la probabilidad de que por lo menos 4 muestras
presenten contaminación
•Puede ser más sencillo calcular la probabilidad del evento
complementario
Probabilidad y Estadística
11
Distribución Binomial
Ejemplo
•Determinar la probabilidad de que 3≤X<7
Probabilidad y Estadística
12
Distribución Binomial
Media y Varianza de una distribución binomial
Probabilidad y Estadística
13
Distribución Binomial
Ejemplo
Para el ejemplo anterior:
E(X)=np=0.1.18=1.8
Var(X)=np(1-p)=0.1.0.9.18=1.62
Probabilidad y Estadística
14
Distribución Geométrica
Supongase un experimento aleatorio que consiste en n
ensayos ( ensayos de Bernoulli):
•Los ensayos son independientes
•Cada ensayo tiene sólo dos resultados posibles: éxito
o fracaso
•La probabilidad de éxito p permanece constante de
ensayo a ensayo
Probabilidad y Estadística
15
Distribución Geométrica
Definición
Sea X la variable aleatoria que cuenta el número de
ensayos hasta la ocurrencia del primer éxito. X es una
variable aleatoria geométrica con parámetro p y tiene la
siguiente función de distribuciónen de probabilidades:
Probabilidad y Estadística
16
Distribución Geométrica
Figura: Distribuciones geométricas para distintos valores del
parámetro p
Probabilidad y Estadística
17
Media y Varianza de una Distribución
Geométrica
Definición
Probabilidad y Estadística
18
Distribuciones Binomial Negativa
(Pascal)
Distribución Binomial Negativa
Es una generalización de la distribución geométrica. La
variable aleatoria X cuenta el número de ensayos hasta la
ocurrencia de r éxitos. Los parámetros de la distribución
son r y p
Probabilidad y Estadística
19
Distribuciones Binomial Negativa
(Pascal)
Figura. Distribuciones
de Pascal para
diferentes valores de
los parámetros r y p.
Probabilidad y Estadística
20
Distribuciones Binomial Negativa
(Pascal)
ensayos
Indica un ensayo que resultó en “éxito”
Figura. Variable aleatoria de Pascal representada
como la suma de variables geométricas
Probabilidad y Estadística
21
Distribuciones Binomial Negativa
(Pascal)
Distribución Binomial Negativa. Media y Varianza
Probabilidad y Estadística
22
Distribution Hipergeométrica
Definición
Sea N un conjunto de objetos tal que:
•K objetos son clasificados como “éxitos”
•N-K objetos son clasificados como “fracasos”
Se extrae sin reposición una muestra de tamaño n del
conjunto de N objetos, con K≤N y n≤N
Probabilidad y Estadística
23
Distribution Hipergeométrica
Definición
La variable aleatoria X, que cuenta el número de éxitos en un
experimento aleatorio con las características anteriores, se
denomina variable aleatoria hipergeométrica:
Probabilidad y Estadística
24
Distribución Hipergeométrica
Figura. Distribuciones
hipergeométricas para
diferentes valores de los
parámetros N, K, y n.
Probabilidad y Estadística
25
Distribución Hipergeométrica
Ejemplo:Un lote de tuberías está compuesto por 100
partes provenientes de un proveedor local y 200 partes de
un proveedor extranjero. Si se seleccionan al azar 4 partes
sin reemplazo, cual es la probabilidad de que todas sean
nacionales?
X: número de partes del proveedor local
Probabilidad y Estadística
26
Distribución Hipergeométrica
Ejemplo
Probabilidad y Estadística
27
Distribución Hipergeométrica
Definición
p es interpretado como la proporción de éxitos en el conjunto de N
objetos
Probabilidad y Estadística
28
Distribución Hipergeométrica
Factor de corrección por población finita
El término en la varianza de una variable aleatoria hipergeométrica
Se denomina factor de corrección por población finita.
Si el tamaño de la muestra n es pequeño comparado con el tamaño
del lote N, la distribución hipergeométrica puede ser aproximada por
una distribución binomial con probabilidad de éxito p=K/N .
En la práctica:
n/N ≤0.05
Probabilidad y Estadística
29
Distribución Hipergeométrica
Figura. Compación de distribuciones hipergeométricas y binomiales.
Probabilidad y Estadística
30
Distribución de Poisson
Sea un experimento aleatorio caracterizado por:
•El número de éxitos que ocurren en un intervalo de tiempo o en una
región especificada, son independientes de los que ocurren en otro
intervalo de tiempo o región del espacio disjunto
•La probabilidad de que ocurra un sólo éxito durante un intervalo de
tiempo muy corto o una pequeña región es proporcional a la
duración del intervalo de tiempo o al tamaño de la región
•La probabilidad de que ocurra más de un éxito en dicho intervalo de
tiempo o región es despreciable
Probabilidad y Estadística
31
Distribución de Poisson
Definición
La variable aleatoria X, que cuenta el número de éxitos en un
experimento aleatorio con las características anteriores, se
denomina variable aleatoria de Poisson, con parámetro λ>0:
Probabilidad y Estadística
32
Distribución de Poisson
Probabilidad y Estadística
33
Distribución de Poisson
Media y varianza
Probabilidad y Estadística
34
Distribución de Poisson
Unidades consistentes
Es importante utilizar unidades consistentes en el cálculo de
probabilidades, medias y varianzas que involucran variables de
Poisson.
Si por ejemplo:
•El número promedio de llamadas por seg es 9, entonces
•El número promedio de llamadas en 1 min es 540
Probabilidad y Estadística
35
Distribución de Poisson
Ejemplo: En la fabricación discos ópticos la contaminación
constituye un problema. El número de particulas de
contaminación que están presentes en un disco tiene una
distribución de Poisson, y el número promedio de
partículas por cm2 de superficie es de 0.1. El area de un
disco bajo estudio es de 100 cm2. Encontrar la probabilidad
de que en el area bajo estudio se presenten 12 partículas de
contaminantes
Probabilidad y Estadística
36
Distribución de Poisson
Ejemplo
X: número de partículas en el área de un disco bajo estudio
Probabilidad y Estadística
37
Distribución de Poisson
Ejemplo
•Determinar la probabilidad de no encontrar ninguna partícula de contaminante
•Determinar la probabilidad de encontrar 12 o menos partículas de contaminante
en el disco bajo estudio
Probabilidad y Estadística
38
Distribuciones Continuas
Distribución Uniforme
Definición
Una variable aleatoria continua X, con función de
densidad
1
se denomina variable aleatoria continua uniforme
Probabilidad y Estadística
2
Distribución Uniforme
Figura 1: Función de densidad de probabilidades para una
variable continua uniforme
Probabilidad y Estadística
3
Distribución Uniforme
Media y Varianza
Si X es una variable aleatoria uniformemente distribuida
en el intervalo (a,b):
2
Probabilidad y Estadística
4
Distribución Uniforme
Ejemplo 1:La corriente medida en miliamperes, en un
delgado alambre de cobre puede ser representada por una
variable aleatoria X uniformememte distribuida en el
intervalo [0,20mA]. Calcular la probabilidad de que la
medición de corriente esté entre 5 y 10 mA.
Probabilidad y Estadística
5
Distribución Uniforme
Ejemplo1:
La media y la varianza de X, con a=0 y b=20:
Por lo tanto el desvío estándar asociado a la medición es 5.77 mA.
Probabilidad y Estadística
6
Distribución Uniforme
Figura 2 :Probabilidad para el ejemplo 1
Probabilidad y Estadística
7
Distribución Uniforme
La función de distribución acumulada para una variable
uniformemente distribuida se calcula como:
Por lo tanto, la descripción completa de la función de distribución
acumulada es:
3
Probabilidad y Estadística
8
Distribución Normal
Definición: Una variable aleatoria X tiene una distribución
normal ( o Gaussiana) si su función de densidad de
probabilidades es:
4
Donde µ y σ son parámetros tales que σ>0 y -∞<µ<∞
Probabilidad y Estadística
9
Distribución Normal
Media y Varianza:
Puede demostrarse que el valor esperado y la varianza de
X están dadas por :
5
Para simbolizar que X tiene una distribución normal con
parámetros µ y σ2 es común utilizar la notación:
X~N(µ, σ2)
Probabilidad y Estadística
10
Distribución Normal
Figura 3: Funciones de densidad de probabilidad
normales para diferentes valores de μ y σ2.
Probabilidad y Estadística
11
Distribución Normal
Distribución normal
Areas bajo la distribución normal
Figura 4
Probabilidad y Estadística
12
Distribución Normal Estándar
Definición: Una variable aleatoria normal con
Se denomina variable aleatoria normal estándar y se
simboliza con Z.
Su función de distribución acumulada es denotada como:
Probabilidad y Estadística
13
Distribución Normal Estándar
Probabilidad y Estadística
14
Distribución Normal Acumulada
Probabilidad y Estadística
15
Distribución Normal
Sea X una variable aleatoria normal con E(X)=µ y
V (X)=σ2, entonces la variable Z:
6
Tiene una distribución normal con media E(Z)=0 y
V(Z)=1. Esto es, Z es normal estándar
Probabilidad y Estadística
16
Distribución Normal
Sea X una variable aleatoria normal con E(X)=µ y
V (X)=σ2, entonces:
7
Donde Z es normal estándar y
es el valor que se obtiene al estandarizar X. Los valores de
la distribución normal estándar acumulada se encuentran
tabulados
Probabilidad y Estadística
17
Distribución Normal
Figura 5 Valores de distribución normal estándar acumulada.
Probabilidad y Estadística
18
Distribución Normal
Ejemplo 2:Las mediciones de corriente en un alambre
pueden representarse como una variable aleatoria X
normalmente distribuida con media 10 mA y varianza 4
(mA)2. Determinar la probabilidad de que una medición
exceda los 13 mA.
Probabilidad y Estadística
19
Distribución Normal
Figura 6 Estandarización de una variable aleatoria normal.
Probabilidad y Estadística
20
Distribución Normal
Ejemplo 2 continuación
Cual es la probabilidad de que la medición de corriente
esté entre 9 y 11 mA?
Probabilidad y Estadística
21
Distribución Normal
Ejemplo 2 continuación:
Determinar el valor de x para el cual la probabilidad de
una medición esté por debajo de dicho valor sea de 0.98.
El valor de x a determinar se muestra graficamente en la
figura 7 y verifica: P(X<x)=0.98. Si se estandariza la
variable X esto resulta en:
Probabilidad y Estadística
22
Distribución Normal
Ejemplo 2 continuación:
La tabla de distribución normal acumulada se utiliza para
encontrar el valor de z tal que P(Z<z)=0.98. El valor más
cercano es
Por lo tanto el correspondiente valor de x:
Probabilidad y Estadística
23
Distribución Normal
Ejemplo 2(continuación)
Figura 7 Determinación del valor de x que verifica una
probabilidad específica.
Probabilidad y Estadística
24
Aproximación de la Distribución
Normal a las Distribuciones Binomial y
de Poisson
• Bajo
ciertas condiciones , la distribución
normal puede utilizarse para aproximar la
distribución binomial y la distribución de
Poisson
Probabilidad y Estadística
25
Aproximación de la Distribución Normal
a la Distribución Binomial
Figura 8 Aproximación
Normal a la binomial.
Probabilidad y Estadística
26
Aproximación de la Distribución
Normal a la Distribución Binomial
Ejemplo 3: El número de bits con error recibidos en un
canal de comunicación digital, puede ser modelado como
una variable aleatoria binomial con parámetro p= 1x10-5.
Si se reciben 16 millones de bits, cual es la probabilidad
de que ocurran más de 150 errores?
Probabilidad y Estadística
27
Aproximación de la Distribución
Normal a la Distribución Binomial
Ejemplo 3 continuación
Imposible de
computar
•La distribución normal puede utilizarse en este ejemplo
para dar una excelente aproximación de la probabilidad
pedida
Probabilidad y Estadística
28
Aproximación de la Distribución Normal
a la Distribución Binomial
Si X es una variable aleatoria binomial, entonces la variable:
8
Se distribuye aproximadamente como una variable aleatoria
normal estándar. Dicha aproximación es buena si:
Probabilidad y Estadística
29
Aproximación de la Distribución Normal
a la Distribución Binomial
Ejemplo 3 continuación
El problema de comunicación digital puede ser resuelto
como:
Probabilidad y Estadística
30
Aproximación de las Distribuciones
Figura 9 Condiciones para aproximar una distribución
hipergeométrica por una distribución binomial
Probabilidad y Estadística
31
Aproximación de la Distribución Normal
a la Distribución de Poisson
Si X es una variable aleatoria de Poisson, con E(X)=λ y
V(X)=λ entonces la variable:
9
Se distribuye aproximadamente como una variable aleatoria
normal estándar. Dicha aproximación es buena si λ>5.
Probabilidad y Estadística
32
Aproximación de la Distribución Normal
a la Distribución de Poisson
Ejemplo 4 El número de partículas de asbesto por m2 de
polvo en una superficie sigue una distribución de Poisson
con media igual a 1000. Determinar la probabilidad de que
en una muestra de un m2 de polvo analizada, se encuentren
a lo sumo 950 partículas de asbesto.
Esta probabilidad puede ser expresada exactamente como:
Probabilidad y Estadística
33
Aproximación de la Distribución Normal
a la Distribución de Poisson
Ejemplo 4
La dificultad computacional para calcular esta probabilidad es
clara. Por lo tanto puede ser aproximada como:
Probabilidad y Estadística
34
Algunas Aproximaciones Útiles
Mejor cuanto más
chica es p y más
grande es n
Si p’=1-p. Cuanto
más chica es p’ y
mayor es n
Mejor cuanto
mayor es λ
Figura 10: Aproximaciones de distribuciones de
probabilidad
Probabilidad y Estadística
35
Propiedades de la Distribución Normal
Sean X1, X2, …..Xn variables aleatorias independientes,
normalmente distribuidas con medias µ1, µ2,….., µn y
varianzas σ12, σ22,………,σn2 respectivamente. Entonces la
variable aleatoria Y ( combinación lineal de dichas variables
Y=a1 X1 +a2 X2+……………+an Xn
Tiene una distribución normal con media:
µY =a1 µ1+a2 µ2 +.…..+an µn
y varianza :
σY2 =a12σ12+ a22σ22+………+ an2 σn2
Donde a1,a2,…,an son constantes
Probabilidad y Estadística
36
Propiedades de la Distribución Normal
Sean X1, X2, …..Xn variables aleatorias con medias µ1, µ2,…..,
µn y varianzas σ12, σ22,………,σn2 respectivamente.
Sea Y= X1 + X2+……………+ Xn
n
Entonces: a medida que n →∞
,
Y − ∑ μi
i =1
n
≈ N (0,1)
2
σ
∑ i
i =1
Interpretación práctica: La suma de variables aleatorias se
distribuye aproximadamente normal independientemente de
la distribución de cada variable individual en la suma .
•
Probabilidad y Estadística
37
Distribución Gamma
Función Gamma
La función Gamma se define como:
10
Probabilidad y Estadística
38
Distribución Gamma
Función Gamma
Integrando por partes se obtiene:
Además si r es un entero positivo
Probabilidad y Estadística
39
Distribución Gamma
Definición: Una variable aleatoria X tiene una distribución
Gamma, con parámetros λ>0 y r>0 si su función de
densidad de probabilidades es:
11
Probabilidad y Estadística
40
Distribución Gamma
Figura 11 Distribuciones
Gamma para diferentes
valores de r y λ.
r =1:Distribución exponencial
Probabilidad y Estadística
41
Distribución Gamma
Media y Varianza de la Distribución Gamma
12
Probabilidad y Estadística
42
Distribución Exponencial
Definición: Una variable aleatoria X tiene una distribución
Exponencial , con parámetros λ>0 si su función de
densidad de probabilidades es:
13
Probabilidad y Estadística
43
Distribución Exponencial
Media y Varianza de la Distribución Exponencial
14
Probabilidad y Estadística
44
Distribución Chi-cuadrado
•Otra distribución de la familia de la distribución Gamma
•Si los parámetros son : r=k/2
densidad de probabilidades:
λ=1/2 la función de
Se transforma en:
15
Probabilidad y Estadística
45
Distribución Chi-cuadrado
• El único parámetro de la distribución es k: número de
grados de libertad
•A medida que k crece la distribución se vuelve más
simétrica
•La forma límite de la distribución cuando k→∞ es la
distribución normal.
•Media y Varianza de la Distribución Chi-cuadrado
E(X)= k V(X)=2k
Probabilidad y Estadística
46
Distribución chi-cuadrado
Figura 12 Distribuciones
χ2 para diferentes grados
de libertad.
Probabilidad y Estadística
47
Distribución de Weibull
Definición: Una variable aleatoria X tiene una distribución
de Weibull , con parámetros δ>0 y β>0 si su función de
densidad de probabilidades es:
16
Probabilidad y Estadística
48
Figura 13
Distribuciones de
Weibull para diferentes
valores de los
parámetros.
Probabilidad y Estadística
49
Distribución de Weibull
Media y Varianza de la Distribución de Weibull
17
Probabilidad y Estadística
50