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La Volatilidad.
En el día a día estamos inmersos en la toma de decisiones bajo situaciones de incertidumbre, en las que por
definición no conocemos con un 100% de seguridad cuál será el resultado final. En este contexto de manera
intuitiva tendemos a pensar en términos de posibilidades de ocurrencia.
Así pues, en el lanzamiento de una moneda podrá producirse como resultado cara o cruz, mientras que al
lanzar un dado tendremos seis posibles resultados. La probabilidad de salir cada cara es de 1/6.
Gráficamente la distribución de resultados será;
Observemos qué ocurre cuando lanzamos dos dados al mismo tiempo;
La probabilidad de que salga un 2 es la probabilidad
combinada de que salga un 1 en el dado A, y otro 1
en el B. Es decir,1/6x1/6=1/36.
Sin embargo,la probabilidad de que salga un 3 es el
doble, 2/36, porque puede producirse saliendo un 2(A)
y un 1(B), o un 1(A) y un 2(B). Es decir, (1/6
x1/6)+(1/6 x1/6)= 2/36. Gráficamente.
Evidentemente, al igual que estos ejemplos, los resultados de las inversiones financieras también presentan un
componente de incertidumbre. Desconocemos los resultados, pero asignamos probabilidades a cada resultado y
tratamos de obtener una distribución de probabilidad.
Dado que nadie puede tener la certeza del movimiento del mercado, los modelos de valoración asumen una
evolución aleatoria de la variable a observar.
Para entender lo que implica una evolución
aleatoria imaginemos una bola que cae por un
tablero con clavos. Cada vez que la bola
choca con un clavo puede dirigirse a
cualquiera de las dos direcciones, derecha o
izquierda. Cada camino tiene una misma
probabilidad de un 50%. Cuando la bola
alcanza el fondo cae en uno de los agujeros.
Además de la gran información que proporciona esta forma de distribución de resultados, lo todavía más
interesante, es que es muy fácil de construir.
Es decir, que si los resultados en una variable siguen una distribución normal, tan sólo conociendo dos
datos de esa variable se puede construir la distribución de probabilidad y hacer predicciones del
comportamiento de la variable.
Esos dos datos son los conceptos muy simples y conocidos:
1) El “valor esperado” o media de la variable,
2) Una medida de cómo se dispersan o distribuyen los resultados de la
variable por encima o por debajo del valor esperado o media de los
resultados. La medida de este tipo más usada es la “desviación típica”.
Dada su importancia examinaremos con más detenimiento estos conceptos.
El Valor Esperado.
Imaginemos que el precio de un activo es de 100€ y que hemos observado su evolución durante 1.000
días, de los cuales sólo ha tomado dos valores 110€ ó 90€ (sube o baja un 10%). Del total de las
observaciones 620 días ha cotizado a 110€ y 380 días a 90€, es decir un 62% de las veces subió un 10% y
un 38% de las veces bajó un 10%.
¿Cuál será el valor que como media se puede esperar que cotice al siguiente días?
E(x) ' 110*62% ( 90 *
38%
' 102,40
<<En una situación más realista donde el activo toma más de dos valores, el valor esperado es
la suma de todos los posibles resultados multiplicado por la probabilidad de cada resultado>>.
Desviación Típica.
Supongamos dos acciones A y B con las siguientes características:
Como vemos, ambas acciones tienen un rendimiento
esperado del 8%. Sin embargo, la acción B presenta una
desviación respecto del rendimiento esperado mucho más
alta que la acción A.
La acción B puede llegar a caer un 20% y a subir un 35%.
Sin embargo, la acción A cuando desciende sólo lo hace en
un12% y cuando sube sólo sube un 20%.
En definitiva, a pesar de que ambas acciones tienen el
mismo rendimiento esperado, la acción B fluctuaría mucho
más que la A.
Puestos a elegir no hay duda, ¿o sí?.
Desviación Típica.
Veamos por qué no hay duda:
Alguien podría argumentar que dado que el rendimiento esperado es el mismo, daría igual elegir la acción A o la
acción B. La cuestión es que aunque el rendimiento esperado es el mismo, la acción B
tiene mucha más fluctuación, varía mucho más, tiene una mayor variabilidad. Esto las hace menos atractiva porque
como veremos a continuación tiene una mayor volatilidad.
¿Qué es la volatilidad y por qué es tan importante en las opciones?
La volatilidad es la palabra más usada y quizá menos entendida en el mundo de las opciones. Volatilidad
simplemente significa movimiento, pero éste concepto no es asimilado bien por los operadores de contado, los
cuales están acostumbrados a pensar en términos de dirección y no de movimiento. Un 10% arriba y un 10% abajo
son iguales en términos de volatilidad, pero no para aquél poseedor de un activo para el que un 10% para arriba es
“bueno” y un 10% para abajo es “malo”.
Al operar con opciones estamos interesados en la dirección del mercado. Pero a diferencia con el operador de
contado, el operador de opciones está también muy interesado en la velocidad del mercado.
Si el mercado de contado no se mueve con la suficiente velocidad, las opciones disminuirán de valor debido a que se
reduce la probabilidad de que el mercado se desplace hacia un determinado precio de ejercicio.
En resumen, la volatilidad es la medida de la velocidad del mercado. Se puede intuir que algunos mercados son más
volátiles que otros. Si podemos cuantificar la volatilidad futura del mercado y la podemos introducir en un modelo
teórico de valoración, cualquier valor obtenido será tanto más fiable que si simplemente hubiésemos ignorado la
volatilidad.
Como los modelos sobre opciones están basados en fórmulas matemáticas, necesitamos algún método para
cuantificar el componente de volatilidad y así poder introducirlo en el modelo de forma numérica.
La volatilidad nos estaría midiendo el grado de dispersión que puede alcanzar una bola en su
recorrido, es decir la velocidad con la que puede expandirse. En este tipo de representaciones el nivel
actual del spot se toma como la referencia central.
Imaginemos que ahora la
bola tuviese que bajar
dos niveles antes de
toparse con otro clavo.
En este caso la curva
será mucho más
estrecha, lo que indica
una menor variabilidad y
por tanto menor
volatilidad.
Si por el contrario la bola
tuviese que moverse a
izquierda o derecha
varios clavos antes de
bajar al siguiente nivel,
entonces la variabilidad
aumentaría por lo que
estaríamos en un entorno
de alta volatilidad.
El cálculo de la volatilidad puede llevarse a cabo de un modo determinista, es decir, volatilidad constante que no
cambia en el tiempo o lo hace de forma cierta. Este tipo de volatilidad es la empleada en los modelos de Black &
Scholes y normalmente se estima mediante la desviación típica.
Pero también podemos pensar en un tipo de volatilidad que cambia en el tiempo de forma incierta. Esta se denomina
volatilidad estocástica y su valor es estimado usando modelos econométricos del tipo Arch1, Garch, Agarch...
La complejidad de este último tipo de valoración escapa por completo al objetivo del presente curso, por lo que nos
centraremos en el modelo determinista, que por su mayor sencillez es el más extendido.
<<Por tanto, para nuestro propósito el valor de la volatilidad se corresponderá con la
desviación típica del subyacente en el plazo de un año medida en términos porcentuales>>.
Heterocedasticidad Autoregresiva Condicional, premio Nobel de economía 2003 Robert F. Engle.
1
En un entorno de distribución aleatoria normal tal como a la que nos hemos estado refiriendo, la desviación típica
nos informa de la probabilidad de que una bola finalice en un agujero a una distancia específica de la media.
La probabilidad exacta asociada con cualquier número de
desviaciones típicas puede encontrarse en manuales
sencillos de estadística. Siempre podemos apoyarnos en
las siguientes referencias:
±1 desviación típicas engloba aproximadamente
un 68,3% (cerca de 2/3) de todos los casos.
±2 desviaciones típicas engloban
aproximadamente un 95,4% (cerca de 19/20) de
todos los casos.
±3 desviaciones típicas engloban
aproximadamente un 99,7% (cerca de 369/370)
de todos los casos.
Así pues, si disponemos de un activo que se encuentra en un valor de 100 y que presenta una volatilidad del 12%,
esto nos dirá que después de un año el valor del activo estará comprendido entre 88 y 112 con una probabilidad del
68,3%.
Si lo que necesitamos en la volatilidad mensual, entonces dividiremos:
Si lo que necesitamos en la volatilidad semanal, entonces dividiremos:
Si lo que necesitamos en la volatilidad diaria, entonces dividiremos:
) mes '
) sem '
) día '
12%
12
12%
52
12%
256
A modo de indicación, la fórmula matemática para el cálculo de la desviación típica de una serie es;
n
)'
En donde;
Xi es el valor de cada observación.
X se corresponde con la media de la serie.
y n es el número de observaciones.
*(X
i '1
i
& X)
n &1
2
Finalmente, podemos encontrarnos con los siguientes tipos de volatilidad.
Volatilidad Histórica.
Es la volatilidad en el pasado del precio del activo subyacente.
Volatilidad Implícita.
Es la volatilidad que se obtiene “invirtiendo” los modelos de valoración, en el sentido de que la incógnita será la
volatilidad.
Refleja las expectativas del mercado sobre la volatilidad del subyacente hasta el vencimiento de la correspondiente
opción.
Volatilidad Futura.
Es el dato que a cualquier operador de opciones le gustaría conocer.
Todos los modelos de estimación de volatilidades intentar determinar este valor, ya que permitiría valorar
correctamente las opciones.
La Volatilidad.
El SKEW de Volatilidad.
Volatilidad
Strike
En la valoración de opciones intervienen el nivel de spot, el precio de ejercicio, el tiempo que resta a vencimiento, el
tipo de interés y la remuneración prevista, así como la volatilidad.
Como podemos ver, todos estos elementos con la excepción de la volatilidad, son directamente observables en
mercado, por lo que no difieren entre los distintos partícipes del mercado. Es justamente la volatilidad lo que da
lugar a una distinta percepción del precio de mercado que pueda estar negociándose para una opción determinada.