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Variables Aleatorias
VARIABLES ALEATORIAS
1. Variable aleatoria. Tipos..................................................................................... 2
2. Distribución de probabilidad asociada a una variable aleatoria discreta...... 4
3. Función de distribución. Propiedades................................................................ 5
4. Función de densidad............................................................................................. 7
5. Cálculo de Probabilidades................................................................................... 10
6. Caracterización de una distribución.................................................................... 13
6.1. Moda…………………………………………………………………… 13
6.2. Mediana………………………………………………………………... 13
6.3. Esperanza matemática. Propiedades..................................................... 13
6.4. Momentos................................................................................................. 15
6.4.1. Momentos de orden k respecto al origen............................... 15
6.4.2. Momentos de orden k respecto a la media........................... 15
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Variables Aleatorias
VARIABLES ALEATORIAS
1. VARIABLE ALEATORIA. TIPOS.
En el tema de Estadística Descriptiva hemos estudiado la variable estadística que
representaba el conjunto de resultados observados en una muestra tomada de un experimento
aleatorio, presentando cada valor una frecuencia relativa.
Frecuentemente, al realizar un experimento aleatorio nos interesa más que el resultado
completo del experimento (variable estadística) una función real de los resultados. Tales
funciones, cuyos valores dependen de los resultados de un experimento aleatorio, se llaman
variables aleatorias.
Así al lanzar 60 veces un dado, obtenemos una muestra que representamos por una variable
estadística x que toma los valores y frecuencias relativas siguientes:
Si
imaginamos
xi
1
2
3
4
5
6
fi
10/60
7/60
12/60
11/60
13/60
7/60
1
que se realiza una infinidad de pruebas relativas al experimento la infinidad de resultados
posibles da origen a la noción de variable aleatoria asociada a un experimento aleatorio. Donde
los valores que toma la variable aleatoria son todos iguales a 1, 2, 3, 4, 5, y 6 cada uno de ellos
con probabilidad 1/6. La variable aleatoria es pues la abstracción o idealización de la variable
estadística.
Tenemos así los conceptos concretos de población o muestra, frecuencia y variable
estadística, como nociones concretas de las cuales, por un proceso de abstracción, resultan los
conceptos teóricos de espacio muestral, probabilidad y variable aleatoria.
Sea (E, B, P) un espacio probabilístico asociado a un experimento aleatorio. Una
variable aleatoria es una función definida sobre el espacio muestral E que toma valores en el
cuerpo de los números reales R, es decir,
ξ: E→ R
A→ξ(A)
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Variables Aleatorias
Una variable aleatoria puede ser discreta o continua.
Una variable aleatoria ξ se dice que es discreta cuando toma un número finito o infinito
numerable de valores reales, es decir, cuando es un conjunto de puntos aislados.
EJEMPLO 1:
Sea la experiencia de lanzar dos monedas al aire o dos veces una moneda y
observar el resultado. El espacio muestral E = {cc, cx, xc, xx}. Consideremos la variable
aleatoria número de caras obtenido.
ξ: E→ R
ξ(cc) = 2
ξ(cx) = 1
ξ es una variable aleatoria discreta.
ξ(xc) = 1
ξ(xx) = 0
Podíamos haber definido otra variable aleatoria η de tal forma que:
η: E→ R
η(cc) = 1
η es una variable aleatoria discreta.
η(cx) = 1
η(xc) = 1
η(xx) = 0
En muchos casos el resultado del experimento es un número real, entonces se adopta
dicho valor. Por ejemplo, al lanzar un dado ξ( x i ) = x i
Hay variables aleatorias que no toman valores aislados, sino que pueden tomar
cualquier valor de un intervalo real. A las variables de este tipo las definiremos como variables
aleatorias continuas.
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Variables Aleatorias
EJEMPLO 2:
Consideremos un círculo graduado de 0 a 1 y una manecilla que gira alrededor de
su centro C, que puede tomar todos los valores reales de [0,1). Es una variable continua.
EJEMPLO 3:
Los errores de observación constituyen una variable aleatoria continua.
2. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ASOCIADA A UNA VARIABLE
ALEATORIA DISCRETA
En el ejemplo 1 a cada valor de la variable aleatoria ξ le corresponde una probabilidad.
P(ξ = 2) = ¼
En el caso de la variable η:
P(η = 1) = ¾
P(ξ = 1) = ½
P(η = 0) = ¼
P(ξ = 0) = ¼
La tabla formada por los valores que toma la variable junto con sus probabilidades,
recibe el nombre de distribución de probabilidad de la variable.
Sea ξ una variable aleatoria discreta. A cada valor xi le podemos asociar un número
P( x i ) = P(ξ = x i ) ∈ [ 0,1] , hemos definido así una función P(x) sobre la variable aleatoria ξ. Si en
el espacio muestral los sucesos que corresponden a los diferentes valores de xi constituyen una
partición de E, se verifica que
∑P( x ) = 1. En estas condiciones P( x ) se llama distribución de
i
i
probabilidad de ξ.
EJEMPLO 4:
Si consideramos el lanzamiento de un dado y la variable aleatoria ξ=“puntos
obtenidos”. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
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Variables Aleatorias
xi
ξ( xi ) = xi
P( xi ) = P( ξ = xi )
1
1
1/6
2
2
1/6
3
3
1/6
4
4
1/6
5
5
1/6
6
6
1/6
Distribución
de
probabilidad
que
se
puede
representar mediante un diagrama de barras.
1/6
1 2 3 4 5 6
x
i
3. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
Supongamos que, en el ejemplo anterior, nos interesa ver la probabilidad de obtener una
puntuación menor o igual que un cierto
valor.
Gráficamente,
adopta
una
forma
xi
≤1
≤2
≤3
≤4
≤5
≤6
P(ξ ≤ x i )
1/6
2/6
3/6
4/6
5/6
1
de
escalera, tomando los saltos en los valores
aislados que toma la variable, siendo en
cada uno de éstos continua por la derecha.
Obsérvese que la altura de cada salto finito
en
los
puntos
de
discontinuidad
se
corresponde con la probabilidad en dicho
punto.
Analíticamente,
 0
1/ 6

2 / 6

F(x) = 3 / 6
4 / 6

5 / 6

 1
si
si
si
si
si
si
si
x<1
1 ≤ x<2
2 ≤ x<3
3 ≤ x<4
4 ≤ x<5
5 ≤ x<6
6≤x
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Sea ξ una variable aleatoria discreta o continua, a la función F(x) tal que: F( x) = P( ξ ≤ x) se la
denomina función de distribución.
Propiedades:
1.- F(x) es monótona no decreciente
Si a<b entonces F(a) ≤ F(b)
En efecto, F(b) = P( ξ ≤ b) = P(ξ ≤ a) + P(a < ξ ≤ b) = F(a)+P(a < ξ ≤ b) ≥ F(a)
puesto que la probabilidad es mayor o igual a cero.
2.- lim F(x) =0
x→−∞
lim F(x) = lim P( ξ ≤ x) = P( φ) = 0
x→−∞
x→−∞
3.- lim F(x) = 1
x→∞
lim F(x) = lim P( ξ ≤ x) = P (E) = 1
x→∞
x→∞
4.- La función de distribución es continua por la derecha.
lim F(x + h) − F(x) = lim+ P( ξ ≤ x + h) − P( ξ ≤ x) = lim+ P( x < ξ ≤ x + h) = P( φ) = 0
h→ 0 +
h→ 0
h→ 0
5.- Dada la función de distribución, podemos calcular la probabilidad,
P(a < ξ ≤ b) = F(b) - F(a), puesto que F(x) = P( ξ ≤ x)
En el caso de que la variable sea discreta: F(x) =
∑ P( x )
i
xi ≤ x
EJEMPLO 5:
Si queremos calcular la función de distribución para el ejemplo 1,
xi P(ξ= xi ) F(x)
0
1/4
1/4
1
2/4
3/4
2
1/4
1
 0
 1 / 4
F( x) = 
3 / 4
 1
si x < 0
si 0 ≤ x < 1
si 1 ≤ x < 2
si 2 ≤ x
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Variables Aleatorias
Gráficamente,
En el caso continuo:
EJEMPLO 6:
Consideremos el ejemplo 2. y que queremos determinar la probabilidad de que la
manecilla se pare en una posición determinada, es decir, de obtener una puntuación 0,6,
por ejemplo. Dicha probabilidad es prácticamente cero puesto que existen infinitos casos
posibles. Si nos preguntamos por obtener una puntuación menor o igual a x, nos dará la
función de distribución:
F(x)
0<x
 0 si

F(x)= P(ξ ≤ x) =  x si 0 ≤ x < 1
 1 si
1≤ x

Gráficamente,
F(x)
0
1
x
La probabilidad de que la manecilla caiga entre el 0,5 y el 0,6 será:
P(0,5 < ξ ≤ 0, 6) = F(0,6) - F(0,5) = 0,6 - 0,5 = 0,1
En general consideraremos, el intervalo (x, x+h), para el cual P( x < ξ ≤ x + h) = F(x+h)F(x) es la probabilidad en el intervalo. Si dividimos por h, nos da la probabilidad media
F( x + h) − F( x)
que llamaremos densidad media de ese intervalo. Por último, si el intervalo lo
h
F( x + h) − F( x)
= F’(x) = f(x) que llamaremos función de
h→ 0
h
tomamos infinitesimal, tendremos: lim
densidad, que representa por tanto la probabilidad media en un intervalo infinitésimal, y que es
equivalente a la función de probabilidad de las variables aleatorias discretas.
función de distribución:
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0<x
0 si

f(x)= F '(x) = 1 si 0 ≤ x < 1
0 si
1≤ x

4. FUNCIÓN DE DENSIDAD
Una variable aleatoria ξ con función de distribución F(x), se dice que es una variable
aleatoria continua si F(x) es una función absolutamente continua (o simplemente continua) de
x cuya derivada F’(x) = f(x) existe y es continua salvo, como mucho, en un número finito de
puntos. La función f(x) definida, se denomina función de densidad de ξ .
Como F(x) es no decreciente, tendrá que ser f(x) ≥0 para todo x. Además, integrando
F( x) =
∫
x
−∞
f ( t )dt y como lim F( x) = 1 resulta
x→∞
∫
∞
−∞
f ( t )dt = 1. Por tanto, en una función de densidad
f(x) se verifican siempre las dos propiedades:
1.- f(x) ≥ 0 para todo x
2.-
∫
∞
−∞
x
f ( t)dt = 1 siendo F(x) = P( ξ ≤ x) = ∫ f ( t)dt
−∞
EJEMPLO 7:
 x2
1
si 0 ≤ x ≤ 9
 − 2x +
Sea f(x) =  3
¿Es f(x) una función de densidad?
9

0
resto

Solución:
Para que sea función de densidad debe verificar:
1.- f(x) ≥ 0 para todo x
2.-
∫
∞
−∞
f (t)dt = 1
en particular f(1) =1/3 - 2 + 1/9 <0, por tanto, no es una función de densidad, aunque
∫
∞
−∞
f (t)dt
=1
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Variables Aleatorias
Determinada F(x) se obtiene f(x) y recíprocamente. Mediante la función de densidad,
podemos calcular:
P(a < ξ ≤ b) = F(b) − F(a) =
∫
b
−∞
f ( t)dt −
∫
a
−∞
f ( t)dt =
∫
b
a
f ( t)dt
Si f(t) es esa curva, F(x) es el
área rayada y el área encerrada entre la
curva y el eje OX es igual a la unidad.
La probabilidad de que ξ se encuentre
entre dos valores es igual al área
comprendida entre estos dos valores.
∫
b
a
f ( t)dt = P(a < ξ ≤ b)
En particular P( ξ = x) =
∫
x
x
f ( t)dt = 0
EJEMPLO 8:
La duración en minutos de una reacción química viene dada por una variable
aleatoria con la siguiente función de densidad:
kx si 1 ≤ x ≤ 3
f(x) = 
 0 en el resto
Calcular: a) Valor de k para que f(x) sea función de densidad. b) Probabilidad de que la
reacción dure entre 2 y 4 minutos. c) Obtener la función de distribución.
Solución:
a) Se tiene que cumplir que f(x) ≥ 0 para todo x y que
∫
∞
−∞
f (t)dt = 1
3
kx 2 
1
=
=
=4k =1 ⇒ k =
f
(x)dx
kxdx

∫−∞
∫1
2 1
4
∞
3
1
 x si 1 ≤ x ≤ 3
b) f(x) =  4
 0
en el resto
3
∫
P(2 < ξ <=
4)
c) F(x)= P(ξ ≤ x)=
4
2
∫
x
−∞
=
f (x)dx
∫
3
2
4
x
x2 
5
= =
dx + ∫ 0dx

3
4
8 2 8
f (t)dt
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Variables Aleatorias
Si x<1 se tiene que F(x) = 0
x
Si 1<x ≤ 3 se tiene que F(x) =
∫
x
1
t
t2 
x2 −1
=
dt =
4
8 1
8
3
Si 3<x se tiene que F(x) =
∫
3
1
x
t
t2 
dt + ∫ 0dt =  =1
3
4
8 1
>
1
si
x <1
 0
 2
 x −1
si 1 ≤ x < 3
Resultando F(x) = 
 8
si
3≤ x
 1
F(x)
>
1
cuya gráfica es:
2
1
f(x)
Obsérvese que en las variables
aleatorias
continuas
x
3
la
función
de
>
1
distribución es continua.
2
x
3
La función de densidad no tiene porque ser continua en un número finito de puntos.
5. CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Se calcula la probabilidad de cualquier suceso asociado a una variable aleatoria a partir de
la distribución de probabilidad o de la función de densidad.
Caso discreto
Caso continuo
a
P(ξ =a)
P(ξ= a)=
∫ f ( x ) dx=
0
a
P(ξ <=
a) F(a) − P=
(ξ a )
a
P(ξ < a)=
∫ f ( x ) dx=
F(a)= P ( ξ ≤ a )
−∞
P(a < ξ ≤ b)= P ( ξ ≤ b ) − P ( ξ ≤ a )= F(b) − F(a)
P(ξ > a) = 1 − F(a) = 1 − P ( ξ ≤ a )
P(a < ξ ≤=
b) F(b) − F(a)
=
∫ f ( x ) dx
b
a
+∞
P(ξ > a) = ∫ f ( x ) dx
a
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Variables Aleatorias
En el caso de variable aleatoria discreta si los valores de la variable para los cuales la
probabilidad es distinta de cero son x1, x2,…xn, la función de distribución es:
1
0
si
x<x1


P(x1 )
si x1 ≤ x < x 2

 P(x1 ) + P(x 2 )
si x 2 ≤ x < x 3
F(x) = 
P(x1 ) + P(x 2 ) + P(x 3 ) si x 3 ≤ x < x 4
 ....................................................

1
si x n ≤ x



P(x i ) =F(x i ) − F(x i −1 ) =


F(x2)
F(x1)
x1
x2
xn
EJEMPLO 9:
 0 si x<-2
0.4 si -2 ≤ x<-1

Sea X una variable aleatoria con función de distribución: F(x) = 
0.8 si -1 ≤ x<1
 1 si 1 ≤ x
a) Representar gráficamente F(x).
b) ¿Es una variable aleatoria continua? ¿Por qué?
c) Determinar la distribución de probabilidad.
Solución:
a)
b) No es continua, ya que F(x) es discontinua.
c) La probabilidad se obtiene en cada punto de discontinuidad y su valor es el salto finito.
xi
-2
-1
1
Suma
P(X=xi)
0,4
0,8-0,4=0,4
1-0,8=0,2
1
En el caso de variable aleatoria continua el proceso de cálculo de F(x) es algo diferente.
Supongamos una variable aleatoria continua con función de densidad:
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Variables Aleatorias
si x1 ≤ x<x 2
 f1 (x)
 f (x)
si x 2 ≤ x<x 3
 2
f (x) = 
.
....................
f (x)
si x n −1 ≤ x<x n
 n −1
en otro caso
 0
Para calcular la función de distribución, se tiene en cuenta, el valor de la función de densidad en
cada uno de los distintos intervalos, es decir
0
si
x<x1


x
 F(x ) + f (t)dt
si x1 ≤ x < x 2
1
∫

x1

x

si x 2 ≤ x < x 3
F(x 2 ) + ∫ f (t)dt
F(x) = 
x2

..................................

x

si x n −1 ≤ x < x n
 F(x n −1 ) + ∫ f (t)dt

x n −1

1
si
xn ≤ x

.
EJEMPLO10:
Si la función de densidad de una v. a. continua es:
1

si
0≤x< 
2x
2


1
7
1
=
f (x) 
si
≤x< 
2
2
4
 0 en el resto





a) Obtener la función de distribución. b) P ( 2 ≤ X < 4 ) c) Obtener un valor de x tal que
P( X ≥ x)=0.3 d) El primer cuartil.
Solución:
a) Si x<0 , entonces F(x)=0
si 0<x<1/2, entonces =
F(x)
si 1/2<x<7/2, entonces
∫
x
−∞
f=
(t)dt
x
x
2tdt
∫=
0
x2
1
2
0
x
F(x) =∫ f (t)dt =∫ 2tdt + ∫1
−∞
2
1
1 1
1 1
1
dt = +  x −  = x +
4
4 4
2 4
8
si 7/2<x, entonces F(x)=1
 0

 x2

F(x)= P(X ≤ x)=  1
1
4 x + 8

 1

si
si
si
si
x≤0
1
2
1
7
≤x<
2
2
7
<x
2
0≤x<
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b)
P ( 2 ≤ X < 4=
)
c)
∫
4
2
f (x)dx=
7
2
2
∫
1
17

dx=
 − 2 =
4
42

3
8
P(X > x) =0,3 ⇒ F(x) =P(X ≤ x) =−
1 P(X > x) =−
1 0,3 =0, 7
1
1
F(x) =
x + = 0, 7 ⇒ x = 2,3
4
8
d)
F(x)= P(X ≤ x)= 0, 25
1
1
1
F(x) =
x + = 0, 25 ⇒ x =
4
8
2
http://asignaturas.topografia.upm.es/matematicas/videos/va.wmv
http://asignaturas.topografia.upm.es/matematicas/videos/va.mp4
6. CARACTERIZACION DE UNA DISTRIBUCIÓN
Al estudiar las variables estadísticas en el primer capítulo, vimos una serie de medidas
con unas frecuencias relativas fi . Si suponemos en términos teóricos que el número de
observaciones tiende a infinito, estas frecuencias relativas tomarán el carácter de probabilidades
de cada uno de los valores de la variable.
6.1. Moda.
Moda es el máximo de la función de densidad o de la función de probabilidad.
6.2. Mediana.
Mediana es el valor x tal que la función de distribución vale 0,5. En el caso discreto
será xi tal que F(xi-1)<0,5≤F(xi).
6.3. Esperanza matemática. Propiedades.
La esperanza matemática es el valor medio teórico que resulta de sustituir las f i por las
Pi , y que no es sino una media aritmética ponderada. Se acostumbra a definirlo como
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Variables Aleatorias
esperanza matemática de ganancias, es decir, la ganancia que teóricamente esperaba obtener
un jugador frente a unas determinadas reglas de juego.
Definición: Sea ξ una variable aleatoria, se define el operador E[ ξ] como:
E[ ξ] =
n
∑ x P( X ) para una variable discreta y finita.
i =1
i
i
∞
∑ x P( X )
E[ ξ] =
i
i =1
i
para una variable discreta y no finita siempre que la serie sea
convergente.
∫
E[ ξ] =
∞
−∞
t. f ( t ). dt cuando la variable ξ es continua con función de densidad f(x) y
siempre que la integral sea absolutamente convergente.
Si ξ es discreta.
Si ξ es continua.
∞
µ= E [ ξ=
]
∑ x P(x )
i =1
i
µ= E [ ξ=
]
i
∞
∫ xf (x)dx
−∞
EJEMPLO 11:
En el ejemplo clásico del dado 4:
E [ ξ] = x =
6
∑ x P(x ) = 1
i =1
i
i
1
1
1
1
1
1
21 7
+2 +3 +4 +5 +6 =
=
6
6
6
6
6
6
6 2
EJEMPLO 12:
En el ejemplo 8 la duración media de la reacción, será.
E [ ξ] =
∫
∞
−∞
3
x.f (x).dx =
∫
3
1
x
13
x3 
=
x. .dx =

4
6
12 1
Propiedades:
1.- La esperanza matemática de una constante es la propia constante.
E[ k] = k
2.- La esperanza matemática de una constante por una variable es igual a la constante
por la esperanza matemática de la variable.
E[ k. ξ] = k. E[ ξ]
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Variables Aleatorias
3.- La esperanza matemática de la suma de variables es igual a la suma de las
esperanzas matemáticas de cada una de las variables.
E[ ξ + µ] = E[ ξ] + E[ µ]
4.- La esperanza matemática es un operador lineal, consecuencia de las propiedades 2 y
3.
E[ a. ξ + b. µ] = a. E[ ξ] + b. E[ µ]
5.- La esperanza matemática de un producto de variables aleatorias es igual al producto
de las esperanzas matemáticas de cada una de las variables, cuando éstas son independientes
entre sí.
E[ ξ.η] = E[ ξ] . E[ µ]
→ R una función, tal que g(ξ) es una variable
6.- Sea ξ una variable aleatoria, y g : R 
continua con esperanza finita, entonces:
∞
∞
−∞
i =1
E g ( ξ )  =
∑ g ( x i ) p(x i )
∫ g ( x ) f (x)dx ó E g ( ξ ) =
6.4. Momentos
6.4.1. Momentos de orden k respecto al origen
[ ]
El momento de orden k respecto al origen se define como m k = E ξ k en el caso de
[ ] = ∑ x . P( x )
variables discretas: m k = E ξ
n
k
i =1
k
i
i
[ ] ∫
y si la variable es continua: m k = E ξ k =
∞
−∞
x k . f ( x).dx
La media o esperanza matemática es: m1 = E[ξ] = x = µ
6.4.2. Momentos de orden k respecto a la media
El momento de orden k respecto a la media, µ k , de la distribución se define como
[
µ k = E (ξ − m 1 )
k
].
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Variables Aleatorias
Entre estos tiene particular importancia la varianza que es el momento de segundo
[
orden respecto a la media: µ 2 = σ 2 = E (ξ − m 1 )
]
2
Si se trata de una variable discreta: µ 2 = σ2 = ∑( x − m1 ) . P( x i )
2
i
y en el caso de una variable continua: µ 2 = σ2 = ∫ ( x − m1 ) 2 . f ( x).dx
∞
−∞
Si ξ es discreta.
2
2
σ=
V [ ξ=
] E ( ξ − µ ) =
∞
∑[x
i =1
Si ξ es continua.
i − µ ] ·P(x i )
2
∞
2
2
σ=
V [ ξ=
] E ( ξ − µ ) =
∫ ( x − µ)
2
f (x)dx
−∞
La raíz cuadrada positiva de la varianza se llama desviación típica σ
Seguidamente, veamos algunas propiedades de la varianza, consecuencia del operador
E[ ξ] .
[
] [
[ ]
] [ ]
•
µ 2 = σ 2 = E (ξ − m 1 ) = E ξ 2 − 2ξm 1 + m 12 = E ξ 2 − 2m 1 E[ξ] + m 12 = E ξ 2 − m 12 = m 2 − m 12
•
La varianza de una constante es cero.
•
La varianza de una constante por una variable es igual al producto del cuadrado de la
2
constante por la varianza de la variable.
[
] [
]
[
]
V(kξ) = E (k.ξ − E[k.ξ]) 2 = E (k.ξ − k.E[ξ]) 2 = k 2 E (ξ − E[ξ]) 2 = k 2 .V(ξ)
•
La varianza de una suma o diferencia de variables es igual en ambos casos a la suma de
las varianzas de las variables, cuando éstas son independientes.
V(ξ ± η) = V(ξ) + V(η)
EJEMPLO 13:
Si queremos calcular la varianza en el ejemplo 4. (al arrojar un dado).
Teníamos m1 = E [ ξ]=
7
, luego
2
µ 2 =σ2 =∑ ( x − m1 ) .P(x i ) =
2
i
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Variables Aleatorias
2
2
2
2
2
2
7 1 
7 1 
7 1 
7 1 
7  1 35
 7 1 
=
1 −  +  2 −  +  3 −  +  4 −  +  5 −  +  6 −  =
2 6 
2 6 
2 6 
2 6 
2  6 12
 2 6 
35
12
y, por consiguiente, la desviación típica σ =
EJEMPLO 14:
13
La varianza de la reacción para el ejemplo 8, será: E [ ξ] = calculada.
6

E ξ =
2
∫
∞
−∞
3
=
x .f (x).dx
2
∫
3
1
x
x4 
=
= 5
x . .dx
4
16 1
2
sin más que sustituir V(ξ) = E ξ  − ( E [ ξ])
2
2
2
 13  11
= 5−  =
 6  36
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