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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica.
Propagación y Radiación Electromagnética I
EE-521
Eduardo Olivera / Marcial López
Lima-Perú
2,000
© 2,000. Todos los derechos reservados
Primera Impresión Marzo del 2,000
La Información suministrada en este libro se asume esencialmente correcta, pero los autores no asumen
ninguna responsabilidad por el uso de ésta, se permite su copia para uso personal, siempre y cuando no se
altere el contenido del mismo.
Acerca de los autores:
Eduardo Olivera Polo , Ingeniero Electrónico de la UNI, universidad donde ejerció la docencia desde 1,981
hasta 1,997. En la actualidad es profesor ordinario del Departamento de Ingeniería de la PUCP.
Marcial López Tafur, Ingeniero Electrónico de la UNI, Profesor Asociado, ejerce la docencia desde 1,980
hasta la fecha en la UNI, también es consultor de proyectos de telecomunicaciones y temas afines.
Prefacio
El propósito de los autores es el de contribuir a un mejor conocimiento de la Teoría Electromagnética, especialmente
para la parte del electromagnetismo, hemos podido observar en el transcurso de varios años de dictado, que este tipo de
cursos presentan problemas para el alumno, que es, generalmente, el de visualizar el fenómeno físico, a partir del
modelo matemático, para ello, se ha tratado en los ejemplos, de clarificar la teoría sin incidir demasiado en la
complejidad matemática, dado que estos tiempos de software de simulación y amplia información (internet), el tener el
concepto claro es mas importante que el resolver problemas mecánicamente, hay que mencionar a los estudiantes que
en la vida profesional, la capacidad de resolver problemas entendiendo las causas de estos, es importante, que tratar de
aplicar recetas que no se adecuen al problema que uno enfrenta y hagan que la situación se complique; en la vida de
estudiante, esto último equivale a resolver problemas tipos, de memoria o mecánicamente.
Para los estudiantes que quieran especializarse en telecomunicaciones, diseño de maquinas eléctricas, es muy
importante esta parte de la teoría Electromagnética por lo cual recomendamos darle el mayor empeño a su estudio.
UNI, Lima Febrero del 2,000
Eduardo Olivera y Marcial López
Contenido:
Capítulo 1:
Magnetostática del vacío
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1.1. Introducción .
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1.2. Fuerza Magnética sobre una corriente.
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1.3. Vector Inducción (B)
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1.3.1.
Ley de Ampere .
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Ejemplo 1.1 (Filamento infinito de corriente)
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1.3.2. Ley de Biot - Savart
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1.4 Potencial Vectorial A. .
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1.4.1
Ecuación diferencial para A
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1.4.2
A en función de la corriente
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1.4.3
Flujo de B y circulación de A
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1.5 Potencial Escalar Magnético
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1.6 Momento dipolar magnético
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1.6.1
Campo B de un circuito pequeño .
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1.6.2
Expresiones para evaluar m
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1.7 Casos especiales .
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1.7.1
Bobina de Helmholtz
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1.7.2
Aplicación (Cascarón esférico girando con densidad de carga)
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1.7.3
Aplicación (Hallar B en puntos fuera del eje de simetría para una espira)
1.7.4
Aplicación (Calcular B para un plano infinito con corriente superficial)
1.7.5
Problema (Hallar B en el centro de dos espiras poligonales) .
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Capítulo 2:
Magnetostática en la Materia. .
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2.1 Introducción
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2.2 Vector Magnetización
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2.3 Potencial Vectorial en la materia .
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2.4 Potencial Escalar en la materia
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2.5 Campo Magnético en la materia .
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2.5.1
Intensidad de campo H .
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2.5.2
Ecuaciones fundamentales.
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Ejemplo 2.1 (Imán permanente recto)
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Ejemplo 2.2 (Magneto cilíndrico de gran longitud) .
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Ejemplo 2.3 (Magneto en forma de esfera hueca) .
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Ejemplo 2.4 ( Imán en forma de segmento esférico) .
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2.6 Clasificación de la materia por sus propiedades magnéticas .
2.6.1
Materiales diamagnéticos .
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2.6.2
Materiales paramagnéticos
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2.7 Ferromagnetismo y los materiales magnéticos
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2.7.1
Teoría de los Dominios .
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2.7.2
Curva de Magnetización .
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2.7.3
Lazo de Histéresis
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Ejemplo 2.5 (Determinar la µr de una cáscara cilíndrica de Fe)
Ejemplo 2.6 (Circuitos magnéticos con imanes permanentes).
Ejemplo 2.7 (Transformador de poder)
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Apéndice
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Capítulo 3:
Solución de Problemas con condiciones de frontera.
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3.1 Introducción
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3.2 Comportamiento de los vectores de campo magnético en una frontera .
3.2.1
Intensidad de campo H .
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3.2.2
Inducción de campo B .
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3.3 Problemas de contorno en coordenadas cartesianas .
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3.4
3.5
3.6
3.7
Ejemplo 3.3.1 (Plano con densidad superficial de corriente) .
.
Ejemplo 3.3.2 (Modelo de entrehierro en una máquina eléctrica)
.
Problemas de contorno en coordenadas esféricas .
.
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Ejemplo 3.4.1 (Esfera con magnetización propia uniforme) .
.
Ejemplo 3.4.2 (Hallar el factor de blindaje de un cascarón esférico de Fe).
Problemas con geometría cilíndrica
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Ejemplo 3.5.1 (Material magnético en forma de cilindro largo)
.
Conductores perfectos y ferromagnetismo ideal
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Método de las imágenes .
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Ejemplo 3.7.1 .
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Ejemplo 3.7.2 .
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.
Ejemplo 3.7.3 .
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Capítulo 4:
Inducción Electromagnética y Corrientes Variables .
4.1 Ley de Faraday de la inducción .
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4.1.1 Sistema en reposo .
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4.1.2 Sistemas en movimiento relativo
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Ejemplo 4.1
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Ejemplo 4.2
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Ejemplo 4.3
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4.2 Conversión electromecánica
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4.3 Autoinductancia y coeficiente de autoinducción
.
Ejemplo 4.4
.
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Ejemplo 4.5
.
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Ejemplo 4.6
.
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.
Ejemplo 4.7
.
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.
4.4 Inductancia mutua y coeficiente de inducción mutua .
Ejemplo 4.8
.
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.
Ejemplo 4.9
.
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.
4.5 Corrientes de Foucault (eddy currents)
.
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4.6 Generador Homopolar (disco de Faraday) .
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Notas de aplicación práctica para este capítulo .
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Apéndice 4.1.
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Apéndice 4.2.
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Capítulo 5
Energía Magnética
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5.1 Relación entre trabajo eléctrico y flujo magnético en un circuito estático
Ejemplo 5.1
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Ejemplo 5.2
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5.2 Relación entre trabajo mecánico y flujo magnético en un circuito móvil.
Ejemplo 5.3
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5.3 Flujo magnético, energía almacenada y trabajo desarrollado por un circuito
Ejemplo 5.4
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5.4 La energía magnética en términos de los vectores de campo .
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5.4.1
La energía magnética y A .
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Ejemplo 5.5
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5.4.2
La energía magnética, B y H
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Ejemplo 5.
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5.4.3
Cálculo de L usando el método de la energía .
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Ejemplo 5.7
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5.5 Energía magnética y curva de histéresis .
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5.5.1
Ecuación de Steinmetz
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5.6 Cálculo de Fuerzas y Torques por el método de la energía
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Ejemplo 5.8
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5.6.1 Expresiones particulares para la energía magnética
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Ejemplo 5.9
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Ejemplo 5.10
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5.6.2 Diversas aplicaciones de la fuerza por interacción magnética.
Ejemplo 5.11
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Capítulo 6
Electrodinámica. Propagación de O.E.M. Planas
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6.1 Las ecuaciones de Maxwell.
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Ejemplo 6.1
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Ejemplo 6.2
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Ejemplo 6.3
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6.1.1 Autoconsistencia de las ecuaciones de Maxwell.
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6.1.2 Relaciones constitutivas
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6.1.3 Condiciones de Contorno .
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6.2 Naturaleza ondulatoria del campo electromagnético .
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6.2.1
O.E.M. Planas
.
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6.2.2
Solución de la ecuación de onda en el dominio de la frecuencia.
Ejemplo 6.4
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Ejemplo 6.5
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6.2.3
Medio conductores semi-infinitos .
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6.2.4
Efecto pelicular en buenos conductores
.
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6.2.5
Conductividad aparente y efectiva .
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6.3 Balance dinámico de energía en el campo electromagnético. .
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Ejemplo 6.6
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Ejemplo 6.7
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Ejemplo 6.8
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6.4 Propagación de O.E.M. planas a través de varios medios
.
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6.4.1
Incidencia Normal.
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6.4.2
Incidencia Oblicua
.
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6.4.3
Incidencia normal sobre un buen conductor .
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Ejemplo 6.9
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Ejemplo 6.10
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Problemas Propuestos:
(Archivo de Prácticas Calificadas, Exámenes y Tareas)
59
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Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I.
Eduardo Olivera / Marcial López
z
Capítulo 1
B
x
MAGNETOSTÁTICA DEL VACÍO
y
I
Fig. 1.3a
1.1 Introducción:
Por la analogía con la electrostática conviene
caracterizar al circuito de la fig 1.2 por un momento
dipolar magnético (m):
t elect = p × E y t mag = m × B
(1.3)
Dentro del estudio de la interacción electromagnética
aquí se tratará la llamada “interacción magnetostática”.
Toda interacción puede estudiarse inicialmente en
base al concepto de fuerza. La fuerza electromagnética
sobre una partícula con carga “q” (carga puntual) es:
F = q (E + v × B )
(1.1)
llamada fuerza de Coulomb-Lorentz, donde: E es el
vector intensidad de campo eléctrico y B es el vector
inducción de campo magnético.
El concepto de campo permite asociar a cada punto del
espacio un vector B; en condiciones estacionarias el
vector sólo depende de r.
Para el caso de una espira con corriente I, que encierra
el área S : m = I S , para N espiras: m = NIS
θ
Fig1.3b
B
m
El dipolo gira hasta quedar paralelo a B (θ = 0),
entonces τ = 0
B = B(r ) = B ( x , y , z )
Además E y B son independientes el uno del otro.
Las unidades de B son el Tesla o Weber/m2 (Wb/m2)
1T = 104 G (G : Gauss)
1.3 Vector de Inducción (B):
1.2 Fuerza magnética sobre una
corriente:
Ampere estableció experimentalmente que el campo
magnético es debido a las corrientes eléctricas.
Por la ec. (1.1) sólo las cargas móviles experimentan
fuerza; un conjunto de cargas en movimiento es una
corriente eléctrica. En los capítulos 1,2 y 3 trataremos
los efectos magnéticos de las corrientes estacionarias.
Se sabe: ∇ gJ +
1.3.1 Ley de Ampere:
B(r)
I
r
F
Ñ∫
dl
Γ
=0
B gd l = µ 0 ∫ J gd S = µ 0 I
S
(1.4)b
−7
Donde: µ 0 = 4π × 10 H / m
Fig. 1.2
y
x
∂t
En condiciones estacionarias: ∇ gJ = 0
En base a esta condición, Ampere estableció que el
rotacional de B es: ∇ × B = µ0 J
(1.4)b
Carácter rotacional (campo vórtice)
Forma integral:
Examinemos la forma diferencial de la ec. 1.1 para B
z
∂ρ f
permeabilidad magnética del vacío
para especificar completamente el campo B debe
conocerse la divergencia de B:
∇gB = 0
(1.5)a
dl
dq
dF = dq v × B = dq × B =
dl×B
dt
dt
dF = I d l × B = J × B dV
F = IÑ
∫ dl×B
carácter solenoidal
(1.2)a
Γ
d t = r ×dF = Ir × (d l × B )
Γ
S
B gd S = 0
(1.5)b
la ec. (1.5) es cierta aun en condiciones dinámicas; las
ec. (1.4)a y (1.5)a son las ecuaciones diferenciales
fundamentales para el campo magnético estacionario.
Si B es uniforme o el circuito es muy pequeño, luego
no existe efecto traslacional:
Evaluando el momento de fuerza relativo al origen:
t = I Ñ∫ r × (d l × B)
Ñ∫
Ejemplo 1.1: Filamento infinito de corriente:
Por conocimientos previos de física asumiremos la
forma de las líneas de fuerza (ver ejemplo 1.5). Así
puede usarse la ec. (1.4)b
(1.2)b
En general, existe efecto rotacional.
Una pequeña bobina (Flip-coil) puede usarse para
detectar la existencia de un campo magnético
1
Radiación y Propagación Electromagnética I
ρ
Fig 1.4a
B gd l = 2πρ B
Luego: B =
B = ∫ dB = ∫
S
I
Γ
Γ
y µ0
∫ J gd S = µ I
0
S
Ejemplo 1.2: Solenoide ideal infinito:
Se asume que sólo existe campo dentro de aquél y
dicho campo es uniforme y paralelo al eje.
Γ
V
µ0 J S a T × a R dS '
4π R 2
(1.7)
Para una distribución volumétrica: (J)
µ0 I
µ I
µ I
ó B = 0 a φ = 0 a z × añ
2πρ
2πρ
2πρ
Fig 1.4b
Eduardo Olivera / Marcial López
Para una distribución superficial: (JS)
B
Ñ∫
U.N.I.
B = ∫ dB = ∫
V
V
µ0 Ja T × a R dV '
4π R 2
(1.8)
Ejemplo 1.3: Hallar B en puntos del plano z = 0 para
un filamento de corriente I finito
z
I (0,0,L1)
aR
Fig 1.6a
l
x
I
ϕ
(0,0,-L2)
Ñ∫
Γ
S
Luego: B = µ0 nI
z’
ρ
(ρ,ϕ,0)
a T×aR
= |a T×aR|aϕ
µ 0 Ia T × a R
dz '
4π
R2
µ I sen α aj dz ' µ0 I ρ dz ' aj
dB = 0
=
4π ( ρ 2 + z '2 )
4π ( ρ 2 + z '2 )3 / 2
µ0 I ρ a j L1
dz '
B=
2
∫
'
z
=−
L
2 (ρ
4π
+ z '2 )3 / 2
dB =
B gd l = Bl y µ 0 ∫ J gd S = µ 0 nIl
dz
R
y
B
n espiras por unidad de longitud
at
α
recordando que:
z ' = ρ tan θ , dz ' = ρ sec 2 θ dθ , tan θ = z '/ ρ

µ I
z'
B = 0 aj 
2
4πρ  z ' + ρ 2
Fig. 1.4c Un solenoide real
1.3.2 Ley de Biot – Savart:
dB(r)
I
dl’
Γ
R
r = punto de campo
r’ = punto de fuente
r
r’
Fig. 1.5
dB( r ) =
µ 0 Id l × R
4π R3
(1.6)a

µ0 I
L1
L2
B=
aj 
+
2
2
2
4πρ  L + ρ
L2 + ρ 2
 1
z
1
R
=
dq 3
R
4πε 0
µ0
4π
Id l '× R
Γ
R3
Ñ∫
at× ar θ’
θ’
(1.6)a
La ec. (1.6) corresponde a la densidad de corriente
unifilar. Es usual emplear:
Id l ' = Ia T d l ' y
Fig 1.7a
R = Ra R
2
z
ar
aϕ
dθ’
B es un vector axial y E es un vector polar
B (r ) =



Ejemplo 1.4: Un gran número de vueltas (N) muy
próximas de un alambre muy fino se enrollan en una
sola capa sobre una esfera de madera de radio a, con
los planos de las vueltas ortogonales al eje diametral de
la esfera, cubriendo toda la superficie de ésta. Sí la
corriente en el alambre es I, hallar la inducción en el
centro de la esfera.
Nótese la similitud con la ley de Coulomb:
d E( r )
L1

=

 z '=− L
2
at
dϕ’
θ’ dl’
I
Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I.
Eduardo Olivera / Marcial López
B = ∇ × A '− ∇ × A = ∇ × ( A '− A)
∇ × ( A '− A) = 0
∇ × (∇Ψ ) = 0
∴ A ' = A + ∇Ψ
Nótese que:
a T = a j , a R = −ar , a T × a R = −aθ
dB =
µ0 dIa ϕ × ( −ar )dl '
4π a 2
dl ' = a sen θ ' dϕ ' P
lo que se resuelve especificando la divergencia de A.
En estado estacionario: ∇ g A = 0
(1.9)b
Además se debe especificar el comportamiento de A en
contornos de la región (ver capítulo 3)
or simetría, B resultante será paralela al eje z; sólo
requerimos:
µ 0 dI sen 2 φ ' dφ ' a z
4π a
NI
NIdθ '
adθ ' =
también: dI =
aπ
π
2
µ NI sen θ ' dθ ' dϕ
dB z = 0
4π 2a
π
π
2π
µ0 NI 
sen 2θ ' 
B = ∫ ∫ dB z =
a z θ '−
θ '= 0 ϕ '= 0
4π a
2 θ '= 0

µ NI
B = 0 az
4a
dB z = dB sen θ ' a z =
1.4.1 Ec. Diferencial para A:
Reemplazando ec (1.9)a en (1.4)a:
∇ × (∇ × A ) = µ 0 J
∇(∇g A ) − ∇ 2 A = µ0 J
Por ec. (1.9)b:
∇ 2 A (r ) = − µ0 J (r )
Ejemplo 1.5:Hallar B para un conductor cilíndrico muy
largo de radio a con densidad de corriente uniforme J0.
ρ
NI
JS =
= cte
aπ
J0az
luego de la ec. (1.7):
dB =
µ0
J S aϕ × (−ar )dS '
4π a 2
µ0 J S a ϕ × ( −a r )a 2 sen θ ' dθ ' dϕ '
a
ϕ
x
z
− µ J a
∇2 A =  0 0 z
 0
Por simetría: A = A( ρ ) a z
4π a 2
ρ<a
ρ >a
1 d  dA 
ρ

ρ dρ  dρ 
1 d  dA 
a) Para ρ < a :
ρ
 = −µ0 J 0
ρ dρ  dρ 
z
at× ar θ’
θ’
aρ
aϕ
Observación: El sistema dado equivale a una corriente
superficial, con densidad:
dB =
(1.10)
Entonces: ∇ A =
2
JS aϕ
µ0 J 0 ρ 2
+ C1 ln ρ + C2
4
1 d  dA 
b) Para ρ > a :
ρ
=0
ρ dρ  dρ 
A = C3 ln ρ + C4
dA
Hallamos: B = ∇ × A = −a ϕ
dρ
A=−
Fig 1.7d
µ0 J S sen 2 θ ' dθ ' dϕ '
az
4π
µ Jπ
B = 0 S az
4
dB z =
 µ 0 J 0 ρ C1 
−  aϕ ρ < a

ρ
 2
B=
C

− 3 aϕ
ρ >a

ρ
1.4 Potencial vectorial A:
En teoría de campos la solución analítica de las ec.
(1.4)a y (1.5)a se obtiene en términos de la función
potencial.
(1.9)a
B =∇×A
El potencial no está unívocamente determinado:
Criterio: C1 = 0 para que B esté definido en ρ = 0
3
Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I.
Eduardo Olivera / Marcial López
Φ m = ∫ ∇ × Ag dS = Ñ∫ Ag d l
Por continuidad (capítulo 3):
µ0 J 0 ρ
2
ρ =a
C
=− 3
ρ
µ J a2
→ C3 = − 0 0
2
ρ =a
B
Γ
S
Φ m = Ñ∫ A gd l
(1.13)
Γ
Ejemplo 1.6: Calcular A debido a un solenoide infinito
con n espiras por unidad de longitud y corriente I.
∼ρ
Fig. 1.8b
∼1/ρ
y
JS
ρ
ρ=a
1.4.2 A en función de la corriente:
Se trata de resolver la ec. (1.10) en función de la
corriente; vemos el caso en coordenadas cartesianas:
J S = J S aϕ , J S = nI
∇ 2 Ay = − µ0 J y
La solución es análoga a un cilindro de radio a con
carga electrostática.
µ0
4π
∫
J (r ') dV '
(1.11)a
R
V
µ0
4π
µ
= 0
4π
A (r ) =
∫
J S ( r ') dS '
(1.11)b
R
Id l
Ñ∫ Γ R
S
(1.11)c
El ejemplo 1.5 es análogo a un cilindro con densidad
de carga ρf = ρ0 .
1.4.3 Flujo de B y circulación de A:
Φ m = ∫ Bgd S
Unidad: Weber (Wb) ó (Tesla×m2)
1Wb = 108 Mx (Mx: Maxwell)
B
S1
dS1
Para ρ < a:
Ñ∫
Γ
Ag d l = 2πρ A
2πρ A = ∫ Bg dS = πρ 2 µ 0 nI (ejemplo 1.2)
S
→
A=
ρµ0 nI
2
→ A=
ρµ0 nI
aϕ
2
2πρ A = ∫ Bg dS = π a 2 µ 0 nI
S
a 2 µ0 nI
µ0 a 2nI
→ A=
→ A=
aϕ
2ρ
2ρ
A ≠ 0 en todo el espacio, aunque B = 0 en el exterior
puede comprobarse tomando ∇ × A
Como ∇.B = 0 ec. (1.5), siempre se cumple que:
S2
∇ 2Vm = 0
dS2
(1.14)b Ec. de LaPlace
Γ2
dl2
Sup. convexa
Sup. plana
Por simetría:
analogía con la electrostática puede definirse un
potencial escalar:
B = − µ0∇Vm
(1.14)a
B
dl1 Γ1
Le ec. (1.13) permite una solución más simple.
1.5 Potencial Escalar Magnético:
Cuando J = 0, la ec. (1.4)a es ∇ × B = 0 y por
(1.12)
S
σ f = σ 0 sen ϕ ( Ax ) σ f = σ 0 cos ϕ ( Ay )
Para ρ > a:
Para otras distribuciones de corriente:
De la ec. (1.9)a:
El solenoide es equivalente a una corriente superficial:
J S = − J S sen ϕ a x + J S cos ϕ a y
A (r ) =
Se define:
x
∇ 2 Ax = − µ0 J x
∇ 2 Az = − µ 0 J z
ρf
2
conocemos: ∇ φ = −
; luego, por analogía:
ε0
ρ f (r ') dV '
1
φ( r ) =
∫
4πε 0 V
R
A (r )
ϕ
Fig. 1.10
1.6 Momento dipolar magnético:
1.6.1 Campo B de un circuito pequeño:
Fig. 1.9
4
Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I.
De la ec. (1.14)a:
z
r >> a,b
I
x
1 ∂Vm 
 ∂V
B = − µ0  m ar +
aθ 
r ∂θ
 ∂r

µ0 m
B=
[ 2cos θ ar + sen θ aθ ]
4π r 3
µ m sen θ
aϕ
también: A = 0
4π r 2
Punto de
campo lejano
r
b
a
y
Fig. 1.11a
z
Ix = I ↔ λ
Ix
x
Fig. 1.11b
1 pgr
4πε 0 r 3
z
p = λ ab(−ay )
1
2
superficial:
m=
1
2
volumétrica:
m=
y
Fig. 1.12
r = xa x + ya y + za z
Sabemos: φ0 =
1  py 
λ aby
Luego: Φ =
=−

3 
4πε 0  r 
4πε 0 r 3
Iabµ0 y
(ver ec. (1.11)a)
Ax = −
4π r 3
Iabµ0 x
también: Ay =
4π r 3
m×r
podemos expresar el resultado: A = µ0
(1.15)
4π r 3
m = Iaba z
µ0
4π
 m 3mgr 
 − r 3 + r 5 
mgr
4π r 3
En coordenadas esféricas la ec. (1.17): Vm =
S
S
(1.18)a
(1.18)b
(1-18)c
(1.19)b
Q0
4πε 0 a
→ Q0 = 4πε 0 aφ0
Q0
εφ
= 0 0
2
4π a
a
Por ec. (1.19)a:
J S = σ f v = σ f ω × r ' = σ f ω 0 a a y × ar =
J S = σ f ω 0 a sen θ ' aϕ
Por ec. (1.18)b:
m=
2π
π
1
2 ϕ '= 0 θ '= 0
∫ ∫
( aa r ) ×
× (ε 0φ 0ω 0 sen θ ' a ϕ )a 2 sen θ ' dθ ' dϕ '
m=
(1.16)a
obsérvese que en puntos de campo lejano: ∇ × B = 0 ;
luego puede despejarse Vm :
Vm =
S
Para distribución uniforme σ f =
usando la ec. (1.9)a:
B=
Γ
Ejemplo 1.7
Una esfera conductora de radio "a" está cargada a un
potencial φ0; sí gira en torno a su eje diametral con
velocidad angular ω0 cte. Hallar:
a) Densidad de corriente superficial
b) Momento dipolar
m = maz
r
1
2
Ñ∫ Ir '× d l '
∫ r '× J dS '
∫ r '× J dV '
J = ρf v
A
θ
m=
Para todos los efectos magnéticos una distribución de
carga electrostática en movimiento equivale a una
corriente:
JS = σ f v
(1.19)a
De acuerdo con la sub-sección 1.4.2 la solución para
Ax puede obtenerse por analogía electrostática (fig.
1.11b)
m
corriente unifilar:
y
Sabemos que: Φ =
(1.16)b
1.6.2 Expresiones para evaluar m:
b
Ix
x
Eduardo Olivera / Marcial López
a 3ε 0φ 0ω 0
2
2π
∫ ∫
π
ϕ '= 0 θ '= 0
m = a 3πε 0φ 0ω 0 ∫
π
θ '= 0
(−aθ ) sen 2 θ ' dθ ' dϕ '
(−a θ ) sen 2 θ ' dθ '
se nota que m resultante es paralela a az
m = a 3πε 0φ 0ω 0a z ∫
(1.17)
π
θ '= 0
m cos θ
4π 2
obteniéndose:
5
sen 3 θ ' dθ '
Radiación y Propagación Electromagnética I
ε φ 
m = ( 34 π a3 )  0 0  ( a)(ω 0a z )
 a 
m = (volumen)(σ f )(radio)  ω0
U.N.I.
Eduardo Olivera / Marcial López


z
3µ0 NIa2 
( z − d)

=
−
−
dz
2  (a2 + z2 )5/2 a2 + (z − d )2 5/2 

 

dB( z)
1.7 Casos especiales:
Eligiendo z0 = d/2 resulta: B(z0)’ = 0
Sí además d = a puede probarse que B(z0)’’= 0,
resultando:
1.7.1 Bobina de Helmholtz
B( z ) = B( z0 ) + ..... =
Sistema formado por 2 bobinas compactas de N vueltas
8µ0 NI
+ ....
53 / 2 a
B(z)
z
B0
I
a
z
z0
Fig. 1.14a d
Campo en el eje aproximadamente constante alrededor
de z0.
I
a
y
x
z
aR
aT ⊥ aR
θR
RR
Fig. 1.14b
ϕ’
R
aT
x
aT × aR
θ
R
θ
zR
aR
R
aT
a
R
y
1.7.2
Hallar B en todo el espacio debido a un cascarón
esférico con densidad de carga σf, girando en torno al
eje z (diametral) con velocidad ω constante.
z
dS’ JS
r
r’
a
Fig. 1.15a
Para la fig. 1.14b:
Sabemos: J S = σ f v = σ f ω × r '
dB =
Por ec. (1.11)b
µ0 NIa T × a R d l ' µ0 NIa T × a R ad ϕ '
=
4π R 2
4π (a 2 + z 2 )
por simetría el B sólo depende de dBz:
µ NI aT × a R a sen θ d ϕ '
az
dB z = 0
4π (a 2 + z 2 )
µ 0 NIa 2 d ϕ '
dB z =
az
4π (a 2 + z 2 )3 / 2
2π
µ0 NIa 2
µ0 NIa 2a z
B=
az
dϕ ' =
4π (a 2 + z 2 )3 / 2 ∫ϕ '=0
2(a 2 + z 2 )3 / 2
B = B( z ) a z campo en el eje z
Por el teorema de Taylor:
∞
B( z ) = ∑
k =0
B( z0 )
k!
µ0σ f ω
× Ñ∫
r ' dS '
R = r '− r
R
y dS ' ar = d S '
4π
siendo: r ' = aar
µσ ω
dS'
A = 0 f × Ñ∫
S R
4π
S
(i)
conocemos:
Ñ∫
S
d SgΨ = ∫ ∇ gΨdV
V
luego:
Ñ∫
S
g puede ser también ×
dS'
R
1
= ∫ ∇ '  dV ' = ∫ 3 dV '
V
V
R
R
R
la integral puede calcularse por la ley de Gauss como
en electrostática; es el caso de una distribución esférica
con densidad ρf.
a) Para r > a:
k
( z − z0 ) k =
= B( z0 ) + B( z0 ) '( z − z0 ) +
A=
B( z0 ) ''
2!
( z − z0 )2 + ...
E=
6
ρf
4πε 0
∫
V
R
1 4 3
dV ' =
 πa ρf
3
R
4πε 0  3
r
 3
r
Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I.
∫
A(r) = 0 +
1/ 2
1/ 2
R
1 4 3  r
dV ' =
E=
 πr ρf  3
3
∫
4πε 0 V R
4πε 0  3
r
R
4
∴ ∫ 3 dV ' = π r
V R
3
µ 0σ f aω × r
En (i): A =
, ω × r = ω r sen θ a ϕ
3
µσ a
B = ∇ × A = 0 f ∇ × (ω r sen θ a ϕ )
3
2 µ σ aω
B= 0 f
(cos θ ar − sen θ aθ )
3
2 µ σ aω
B= 0 f
a z = 23 µ 0σ f a ω
3
=  ρ 2 + a2 + z 2 − 2 ρ a cos ϕ '
Generalizando:
Aϕ =
az=cosθar-senθaθ
aθ
∫
a cos ϕ ' dϕ '
π
ϕ '= 0
1/ 2
 ρ 2 + a 2 + z 2 − 2 ρ a cos ϕ '
K =∫
π /2
dx
(1 − k sen 2 x )1/ 2
2
0
E=∫
π /2
(1 − k 2 sen 2 x )1/ 2 dx
0
Para evaluar el rot:
∂K
E
K
=
−
2
∂k k (1 − k ) k
∂E E K
= −
∂k k k
Cambio de variable:
ϕ ' = π − 2α
→ dϕ ' = −2 dα
ϕ ' = 0 → α = π / 2
cos ϕ ' = 2sen 2 α − 1 
ϕ ' = π → α = 0
ar
r
µ0 I
2π
Integrales Elípticas completas de 1ª clase (K) y 2ª clase
(E)
campo uniforme.
θ
ϕ '= 0
R = ( ρ´−a cos ϕ ') 2 + a 2 sen 2 ϕ '+ z 2 
ρf
Fig 1.15b
∫
π
= ( ρ − a cos ϕ ')ax − a sen ϕ ' ay + zaz
b) Para r < a:
az
µ0 Ia y
a cos ϕ ' d ϕ '
2π
R
R = r − r ' = ρax + zaz − (a cos ϕ ' ax + a sen ϕ ' ay )
R
4
r
dV ' = π a 3 3
3
V R
3
r
µ0σ f aω  4 3 r  µ 0 m × r
En (i) A =
× π a 3  =
4π
r 
4π r 3
3
3
Campo dipolar, ec (1.16)a y: m = σ f a ( 43 π a )ω
∴
Eduardo Olivera / Marcial López
aϕ
Resulta:
µ 0 Ia π / 2
(2sen 2 α − 1)dα
π ∫0 (a + ρ ) 2 + z 2 − 4a ρ sen 2 α 1/ 2


4a ρ
Definiendo:
k2 =
 (a + ρ )2 + z 2 
1.7.3
Aϕ =
Hallar B en puntos fuera del eje de simetría para el
caso de una espira circular
z
R
Fig. 1.16
a
(ρ,0,z)
r’
ϕ
y
y
∂k
∂z
Se llega:
I
Solución:
Según la ec. (1.11)c
∂k
∂ρ
Nótese que puede hallarse:
Aϕ =
x
µ0 Ia
1/ 2
π (a + ρ ) 2 + z 2 
∫
π /2
0
(2sen 2 α − 1) dα
(1 − k 2 sen 2 α )1/2
Puede demostrarse que:
µ I 2π aϕ adϕ '
A(r) = 0 ∫
4π ϕ '= 0 R
a ϕ = − sen ϕ ' a x + cos ϕ ' a y
1/ 2
µ Ia
Aϕ = 0  
πk  ρ 
 k 2 

1 −  K − E 
2 


Finalmente:
µ0 Ia x 2π a sen ϕ ' dϕ '
+
4π ∫ϕ '=0
R
µ Ia 2π a cos ϕ ' d ϕ '
+ 0 y∫
4π ϕ '= 0
R
A(r) = −
B = ∇ × A = −a ρ
7
∂Aϕ
∂z
+ az

1  ∂Aϕ
ρ
+ Aϕ 

ρ  ∂ρ

Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I.
Eduardo Olivera / Marcial López
1.7.4
(1)
Calcular B para un plano infinito con corriente
superficial uniforme usando Biot - Savart
z
P
z
I
R
y’
aR
α
P
B
y
-y
ax
Solución: Para (a):
y
y '2 + z 2
β
y’
x
ay
y
µ0 J S aT × a R
dS '
4π
R2
µ J sen α sen β (−a y )dx ' dy '
dB = 0 S
4π
( x '2 + y '2 + z2 )
De las figuras:
µ0 J S a y
zdx ' dy '
4π ( x ' + y '2 + z2 )3 / 2
µ 0 z J S a y +∞ +∞
dx ' dy '
B=−
2
∫
∫
'
'
y
=−∞
x
=−∞
4π
( x ' + y '2 + z 2 ) 3 / 2
µ 0 Ia T × a R
dl'
4π R 2
µ I sen α (−a z )
dB1 = 0
dx'
4π R 2
µ Ia (−a z )d x '
µ0 Iaa z dx '
dB1 = 0
=−
3
4π R
4π ( x '2 + a 2 )3 / 2
µ Iaa 0
dx '
B1 = − 0 z ∫
2
x '=−∞ ( x ' + a 2 ) 3 / 2
4π
dB1 =
0


µ Iaa
x'
= − 0 z lim  2 2 2 1/ 2 
M
→∞
4π
 a (x ' + a ) −M
2
=−
Cálculo de la integral:
dx '
( x ' + A2 )
A2 = z 2 + y '2
cambio de variable:
x ' = a tan α
a
x’
dB =
2
Tramo recto (1)
aT
α
aR
Por la fórmula (1.7):
+∞
(b)
aT = ax
aT × aR
x '=−∞
(3)
a
(3)
(a)
dS’
JS
x
∫
(1)
P a (2)
I
x’
dB = −
(2)
dx ' = A sec 2 α dα
+π / 2 cos α
A sec2 α dα
2
∫α =−π / 2 ( A2 tan 2 α + A2 )3/2 = ∫α =−π / 2 A2 dα = A2
+∞
2dy '
Luego queda: ∫
y '=−∞ ( y ' 2 + z 2 )
2
cambio de variable: y = z tan α , dy = z sec dα
B1 = −
 −M
µ0 Iaa z 
0 − lim 
2 
4π a  M →∞  M 2 + a 2
µ0 Ia z
µ Ia
(1) = − 0 z
4π a
4π a
Tramo recto (3)
+π / 2
Reemplazando:
+ π / 2 2 dα
2 z sec 2 α dα
2π
∫α =−π / 2 ( z 2 tan 2 α + z 2 )3 / 2 = ∫α =−π / 2 z = z
µ J
B = − 0 S ay , z > 0
2
Así:
µ J
B = 0 S ay , z < 0
2
+π / 2
Hallar B en el punto P (Centro del círculo de radio a)
para los alambres infinitos con corriente I:


 
y
x
aT
α
aR
a
x’
µ0 Ia T × a R
dl'
4π R 2
µ I sen α (−az )
dB3 = 0
d x'
4π R 2
µ Ia (−a z )d x '
µ0 Iaa z dx '
=−
dB3 = 0
3
4π R
4π ( x '2 + a 2 )3 / 2
µ Iaa 0
dx '
µ Ia
B3 = − 0 z ∫
=− 0 z
2
2 3/2
x
'
=−∞
4π
(x ' + a )
4π a
dB3 =
Tramo semicircular (2):
8
Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I.
Eduardo Olivera / Marcial López
I
µo J s aR × aT
dS
Js =
2
4π
R
aφο
a
µo J s adφ dzaR × aT
aR × aT = Senα =
dB =
2
2
4π a + (z0 − z ) 
r
dB =
y
aR aT
ϕ'
x
Por consideraciones de simetría, el campo B está en la
dirección y, se calcula integrando la componente de dB
µ0 Ia T × a R
µ I (−a z )adϕ '
dl' = 0
2
4π R
4π a 2
µ Ia dϕ '
dB 2 = − 0 z 2
4π a
µ Ia π / 2
µ Ia
B 2 = − 0 2z ∫
dϕ ' = − 0 z
'
/
2
ϕ
=
π
4π a
4a
µ0 I
B P = B1 + B2 + B 3 = −
[2 + π ]a z
4π a
a lo largo del eje y: dB Cos φ
dB 2 =
µ J
∴ 0 s ay
2π
φο / 2 L
∫ ∫ a
0
0

a 2 cos θ
2
+ ( z0 − z )2 
3/2
dzdφ
¿Sí φ = 0 ⇒ B = ??, ¿Cómo se interpreta físicamente?
Problema: Se tienen dos espiras poligonales de n lados
inscritas en una circunferencia de radio R y N vueltas,
las espiras se encuentran en planos que son
perpendiculares al eje z y a una distancia 2L entre si, y
son recorridas por una corriente I. Se pide:
a. Una expresión para B en el punto medio entre las
dos espiras en función de los datos.
b. Lo mismo que en (a), si las espiras son circulares y
comparar los resultados con (a) para n®∞
Para (b):
En el tramo (1): α = 0
→ sen α = 0
En el tramo (3): α = π → sen α = 0
µ I
Del tramo (2): B P = − 0 a z
4a
z
Se tiene una cáscara cilíndrica de espesor despreciable
y longitud L, recorrida por una corriente I. Calcular B
en un punto P del eje del cilindro imaginario al cual
pertenece la cáscara. El radio del cilindro es "a" y la
cáscara subtiende un ángulo φo.
Solución:
z
Z = 2L
Z=L
y
P
R
x
a
Solución:
aR
aT
µ0 I a R × a T
dl
4π
r2
µ I sin α dx
aP
dB1 = 0
y como sinα =
2
4π
r
r
dB1 =
L
x
φ
y
dB1 =
dB
φ
φo/2
Fig. 1.14
µ0 aP
µ I
aP
I 3 dx = 0
3
2
2
4π r
4π 
 cb

2
 − x  + aP 
 2


µ I
B1 = 0
4π
⊗I
De (1.10)a
9
cb
2
∫
0
aPdx
 ( x − cb )2 + aP 2 
2


3
2
Radiación y Propagación Electromagnética I
B1 =
µ0 I
4π
U.N.I.
Eduardo Olivera / Marcial López
cb
1
 2 cb 2  2

aP  aP +


4


π 
Pero como: cb = 2 R sin  
N
Bax =
dB 1
P
z
r
aR
o
aT
R
a
I
b
π 
2 R sin  
N
µ0 I
L
1
2
4π 
π



2
2
2
 R cos  N  + z 
 


1
K
1
2
 2 2π 
2
2 π 
2
R
sin
+
R
cos
+
z
N
N


 
 


µ0 IR sin(π / N )
B1 =
1
1
2
 2
2 π 
2
2
2 2
2π  R cos   + z  ( R + z )
N


B=
Baxial =ΣB1sinβ
como hay N elementos
que producen cada uno
un campo B1 con N
vueltas, se tendrá:
az

µ0 IR2nN sin( πN ) 
1
B=

1
4π
  R2 cos2 ( π ) + z 2  (R2 + z 2 )2
N



1

+
a
1 z
2
2 π
2
2
2 2
 R cos ( N ) + (2L − z)   R + (2L − z) 

∴
x
dl = dx
 2
2 π 
2 
 R cos  N  + z  
 


1
2
Luego la expresión total considerando las dos espiras
poligonales será:
π 
aP = R2 sin 2   + z 2
N
c
π 
nNB1 cos  
N
B1
β
P
β
z
a
o
Rcos(π/N)
10
Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I.
Eduardo Olivera / Marcial López
2.3 Potencial Vectorial en la Materia:
Capítulo 2
El potencial diferencial dA en el punto P es:
dV'
MAGNETOSTÁTICA EN LA MATERIA.
M(r')
2.1 Introducción:
En el capitulo anterior consideramos el campo magnético producido por la llamada corriente eléctrica
libre; para mantener la consistencia, los fenómenos
magnéticos en la materia se consideran debidos a las
llamadas "corrientes ligadas" a escala molecular/atómica, explicables por el modelo atómico de
Bohr. La manifestación material más importante del
magnetismo (el ferromagnetismo) sólo puede explicarse correctamente dentro del marco de la Física del
Estado Sólido y la Mecánica Cuántica.
dA (r ) =
dA ( r ) =
átomos
Ie
µ0 dm × (r − r ')
4π r − r '
3
=
µ0 dm × R
,
4π R3
µ0 M (r ) × R dV '
4π R
Si el cuerpo tiene un volumen total V:
A (r ) =
+
Modelo del
átomo
Fig. 2.2
o
e-
Cuerpo
Material
r
r'
+
dA(r)
r-r'
µo
4π
M (r ) × R dV '
∫
(2.2)
4π R
V
Para que esta expresión sea consistente con los resultados del capítulo anterior se transforma la ec. (2.2) así:
m = I eS
A (r ) =
e-
µ0
4π
µ0
4π
Fig. 2.1a
∫
∇ '× M (r ') dV '
r-r'
V
Ñ∫
+
(2.3)
M (r ') ×n dS '
r-r'
S
m: momento dipolar magnético equivalente, llamado
momento magnético orbital de un electrón.
Carga eléctrica
Ie =
Periodo de Revolución
Siendo S la frontera de V, comparando la ec. (2.3) con
las ec. (1.11)a y b observamos que:
i)
∇ × M (r ') , hace el papel de una densidad vo-
S = área cerrada por la órbita.
ii)
m1 µ0
m2
m3
mi
perficial de corriente.
Fig 2.1b Cuerpo material
modelado como una región
vacía conteniendo dipolos
magnéticos.
Luego, definimos:
JM = ∇ × M
(2.4)
Como densidad volumétrica de corriente de magnetización
J SM = M × n
(2.5)
Como densidad superficial de corriente de magnetización.
En consecuencia B se calcula igual que en el capitulo 1,
ec. (1. 7) y (1.8) (Ver aplicaciones)
2.2 Vector Magnetización:
Para cuantificar este modelo se define una magnitud
vectorial llamada Magnetización (M); su definición
matemática es la siguiente:
M = lim
∆V → 0
N
mi
∑ ∆V
(2.1)a
i =1
2.4 Potencial Escalar en la materia:
Donde: ∆V → 0 , se debe entender en sentido macroscópico. Es decir que ∆V es pequeño en comparación con el volumen del cuerpo pero grande comparado con las moléculas/átomos (modelo macroscópico)
Luego:
d m = Mdv
Unidades Amperio/metro
lumétrica de corriente
M (r ') ×n , hace el papel de una densidad su-
Igual que en sección 2.3 usamos los conceptos del capítulo 1 y la ec. (2.2).
dV'
r-r'
M(r')
(2.1)b
r'
o
11
r
Fig. 2.3
dVm(r)
Radiación y Propagación Electromagnética I
dmg(r - r ')
dVm (r ) =
4π r - r '
3
=
U.N.I.
Ñ∫
M (r ') gRdV '
4π R
Eduardo Olivera / Marcial López
Γ
3
B g d l = µ 0 ∫ (J + J M )g d S = µ 0 ( I + I M )
S
(2.13)c
Ñ∫
Para un cuerpo de volumen total V
Vm (r ) = ∫
V
M (r ') gRdV '
4π R
Γ
Modificando (2.6) por identidades vectoriales se
puede llegar a la expresión
Vm (r ) = Ñ
∫
S
M (r ') gRdS '
4π R
+∫
V
∇ 2Vm = − ρ M
 −∇ 'gM (r ')  dV '
4π R
(2.14)b
De donde se tiene la forma integral:
Ñ∫
(2.3)
De donde puede establecerse una analogía formal
entre los potenciales electrostático y escalar magnético, definiendo:
ρ M = −∇gM '
(2.4)
S
H gd S = ∫ ρ M dV = QM
(2.14)c
V
Notar analogía con la ley de Gauss.
Ejemplo 2.1:
Un imán permanente recto puede modelarse como un
cilindro de radio a y longitud 2L, con magnetización
uniforme M0 en la dirección axial. Hallar Vm en puntos
del eje así como H y B
Como densidad volumétrica de carga magnética
(polo magnético)
σ M = M gn
(2.9)
Como densidad superficial de carga magnética (polo
magnético)
Lo que resulta muy útil para la solución de problemas.
z
Fig. 2.4 a
M0az
a
x
2.5 Campo Magnético en la Materia:
B puede hallarse como se dijo en 2.3 dentro y fuera
del volumen del cuerpo. Puede demostrarse que B se
halla en base a Vm, así:
B = − µ0∇Vm
(2.10)
B = − µ0∇Vm + µ0 M
(2.13)d
S
En función del concepto de "polos magnéticos" están las
siguientes ecuaciones diferenciales:
∇ gΗ = ρ M
(2.6)a
(2.2)
3
H gd l = ∫ J gd S = I
y
2L
-M0
z
Elemento
(anillo) de
radio ρ' y
espesor dρ'
Fig. 2.4 b
+M0
(2.10)
x
2.5.1 Intensidad de Campo H:
z
La ec. (2.4) sugiere la introducción de una tercera
magnitud vectorial llamada "intensidad de campo
magnético" H, definido por:
H = −∇Vm
(2.11)
Con iguales unidades que M (Amperio/metro)
Luego la ec. (2.9) toma la forma:
B = µ0 [H ( r ) + M ( r ) ]
(2.12)
y
z' = L
Solución:
ρ M = −∇ 'gM = 0
− M 0

σ M = M gn =  0
+ M
0

Relación constitutiva
Nótese que M ( r ) = 0 fuera del cuerpo material.
Superposición:
Vm =
2.5.2 Ecuaciones fundamentales:
Estas ecuaciones expresan el hecho fundamental que
el campo B es producido tanto por las carga eléctricas
libres como por las corrientes de magnetización (corrientes ligadas)
∇ × B = µ0 (J + J M )
(2.13)a
1
4π
−
Vm =
(2.5)b
∇× H = J
Que se interpreta en el sentido que la intensidad de
campo H se puede calcular sólo considerando la
corriente eléctrica.
Las formas integrales correspondientes son:
12
∫
ρ '= 0
1
4π
M0
2
M 0 (2πρ ' d ρ ')
a
∫
a
ρ '= 0
( z − L)2 + ρ '2
−
M 0 ( 2πρ ' d ρ ' )
( z + L)2 + ρ '2
a

2
2
−
  ( z − L) + ρ ' 
ρ '= 0

a
 ( z + L)2 + ρ '2  

 ρ '= 0 
z ' = −L
ρ'=a
z ' = +L
Radiación y Propagación Electromagnética I
Vm =
Vm
{
U.N.I.
M0 
( z − L) 2 + a 2  − z − L −

2 
 ( z + L)2 + a 2  + z + L


 M0
 2

 M0
=
 2
 M0
 2
ax
}
J M = ∇ '× M = 10−4


( z − L) + a − ( z + L) + a + 2L z > L


( z − L) + a − ( z + L ) + a + 2 z 


( z − L) + a − ( z + L) + a − 2 L z < − L
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
J SM = M × n

2

2
Eduardo Olivera / Marcial López






L−z
y
JSM
Fig. 2.5
b
2
( z − L) + a
2
L−z
2
( z − L) + a
2
dVm
az
dz

a
z
2
2  z
( z + L) + a 

z+L
− 2 a z
2
2
( z + L) + a

z+L
+
+
d
= 2 ×10−4 a z
dz '
0
= 10−4 a aö × añ = −10−4 a az

Calcularemos primero H: H = −∇ Vm = −
az
d
d
dx ' dy '
−y ' x '
z <L
Notar la continuidad de Vm.
M
 0
 2
H =
M0
 2

ρ '= a
ay
x
JM
Usando la ec. 2.13 c:
>L
Para: r < a
Ñ∫
Γ
B gdl = µ0 ∫ J M gdS
S
2πρ B = µ 0 (2 × 10−4 )(πρ 2 )
z < L
B = µ0 (1× 10 −4 ) ρ aö
Ahora puede hallarse B usando:
Para: r > a:
 µ0 H
B=
 µ0 (H + M 0 a z )
2πρ B = µ 0  (2 × 10−4 )(π a 2 ) − (10−4 a )(2π a )  = 0
z >L
z <L
∴ B=0
Ahora se puede calcular H: H =
Ejemplo 2.2:
Un magneto cilíndrico de gran longitud y radio “a”
está magnetizado perpendicularmente a su eje longitudinal; la magnetización es proporcional a la distancia al eje “y” y perpendicular a la dirección radial.
Sabiendo que M = 10-4a en la superficie hallar la
expresión de M en coordenadas cilíndricas y cartesianas; calcular las densidades de corriente de magnetización y los campos H y B.
y
aj
el espacio
Ejemplo 2.3:
Cierto magneto (en forma de esfera hueca), posee
M = k r’. Hallar:
a) Densidades de polo magnético
b) H y B en todo el espacio.
ar
Fig. 2.5 a
b
Fig. 2.6
a
B
− M = 0 , en todo
µ0
j
a
M
x
Solución:
Solución:
−
 ar
+ar
−4
Según enunciado: M = k ρ ' aö = 10 ρ ' aö
De la fig. 2.6 se tiene: n = 
Transformando coordenadas:
M = 10 −4 ρ '(cos ϕ ' a y − sin ϕ ' a x )
r '= a
r '= b
1  d

(r '2 kr ')  = 3k
2 
r '  dr '

− ka r ' = a
= M gn = 
+ kb r ' = b
ρ M = −∇ 'gM = −
M = 10−4 ( x ' ay − y ' ax )
De las ec. 2.4 y 2.5:
σM
Usando la ley de Gauss:
Para r < a :
13
Ñ∫
S
H gdS = QM ( en S )
QM = 0 → H = 0
Radiación y Propagación Electromagnética I
a<r<b:
Ñ∫
S
U.N.I.
Eduardo Olivera / Marcial López
H gdS = 4π r 2 H simetría esférica
H=
QM = −3k  ( 43 π )(r 3 − a 3 ) − ka  4π a 2 
QM
Igualando: H =
= − kr → H = − kr
4π r 2
B
µ0
Ejercicio: Repetir este problema usando “cargas
magnéticas” y ley de Coulomb.
2.6 Clasificación de la materia por sus
propiedades magnéticas:
B<r:
3
3
2
2
QM = −3 k ( 43 π )( b − a ) − ka 4π a  + kb 4π b  = 0






QM = 0 (Siempre la QM total de un cuerpo es cero)
∴ H=0
Para hallar B: B = µ0 ( H + M) que es cero en el
2.6.1 Materiales diamagnéticos:
En un material diamagnético los átomos no poseen magnetización permanente en ausencia de campo exterior.
F
exterior del magneto y también en el interior porque
M ( r ) = M ( r ') allí.
Fig. 2.8
r0
r0
Ejemplo 2.4:
Dos electrones en
órbitas iguales
girando en sentidos
opuestos con idéntica velocidad
Se fabrica un imán en forma de segmento esférico,
con una magnetización uniforme y perpendicular a la
base del segmento. Encontrar B en el centro de la
esfera a la cual pertenece el segmento y cuyo radio es
“a”.
z
M = M0az
Fig. 2.7 a
q0
a
∑m = 0
ar
Cada electrón experimenta
la fuerza F, una de ellas
aumentará y la otra disminuirá, entonces
∑m ≠ 0
unidad, característica de cada material o sustancia.
Ejemplos:
Materiales
cm
Bismuto
-1.66×10-5
Plata
-2.6×10-5
Oro
-3.6×10-5
r’
q’
dB
B = µ0 H B
F = −ev × B
χ m es una constante negativa y mucho menor que la
aj
aq
Fig. 2.7 b
r0
Macroscópicamente, esto resulta en una magnetización
inducida opuesta a B: M = χ m H
(2.15)
o
z
F
r0
y
Solución:
χ MKSA = ( χ gausiano )(4π )
J M = ∇ '× M = 0
0
n = −a z

J SM = M × n = 
 M 0 sin θ ' aö n = ar
µ J a ×a
De la ec. 1.7 : dB = 0 SM t 2 R dS '
4π
R
µ  M 0 sin θ ' aö × (−ar )  2
dB = 0 
 a sin θ ' dϕ ' dθ '
2
4π 
a

µM
dB = 0 0 sin 2 θ '(−aè ) dϕ ' dθ ' , por simetría
4π
2.6.2 Materiales paramagnéticos:
Sus átomos tienen magnetización permanente, pero no
están alineados, de tal forma que en ausencia de campo
externo su magnetización es cero.
H
Fig. 2.9
∑m = 0
sólo existe la necesidad de considerar dBz :
µ M sin 3 θ ' dϕ ' dθ '
dB z = 0 0
az
4π
θ0
2π
µM
B = 0 0 a z ∫ ∫ sin 3 θ ' dϕ ' dθ '
θ '= 0 ϕ '= 0
4π
µM
B = 0 0 a z  2 − 3cos θ 0 + cos 3 θ 0 
6
M=0
∑m ≠ 0
M≠0
Teóricamente, los dipolos deberían girar hasta ser paralelos a H; debido a otras interacciones no magnéticas ello
sólo ocurre parcialmente. Vale la ec. 2.15, pero χ m es
positivo y varía con la temperatura.
Ejemplos:
14
Radiación y Propagación Electromagnética I
Materiales
Magnesio
Aluminio
Tungsteno
U.N.I.
cm
1.2×10-5
2.3×10-5
6.8×10-5
Eduardo Olivera / Marcial López
Energía de Intercambio: depende de la interacción SPINSPIN. De acuerdo con el principio de exclusión dos
electrones con igual SPIN no pueden ocupar la misma
región del espacio.
Par antiparalelo (mneto = 0)
De las ec. (2.12) y (2.15)
B = µ0 (1 + χ m ) H = µ H
µ = µ0 (1 + χ m )H
µ
µr =
= 1 + χm
µ0
Par paralelo (mneto ≠ 0)
(2..16)a
Fig. 2.12
(2.16)b
Los electrones de las capas externas de átomos adyacentes tienden a formar pares antiparalelo; notar que en el
caso del Fe los electrones ferromagnéticos están en las
capas interiores, lo que les impide formar dichos pares.
Esta energía es mínima cuando las m son paralelas.
Para los materiales aquí tratados (no magnéticos) µ es
aproximadamente constante.
2.7 Ferromagnetismo y los materiales
magnéticos:
Energía magnetostática: Esta energía está en el campo H
que produce el material fuera de él (Cap. 5); es mínima
cuando las líneas de fuerza de M son continuas.
Tres sustancias Fe, Co, Ni o aleaciones con estos
elementos tienen átomos que poseen magnetización
permanente, pero tal magnetización no es orbital sino
que se debe al SPIN electrónico. Así pueden tener
magnetismo sin H exterior (M espontánea)
+
M
mSPIN
ω
M
mSPIN puede ser hacia arriba (UP) o hacia abajo
(DOWN); se puede imaginar al electrón como una
esfera cargada en rotación.
L
M
Fig. 2.13a
6
2s2 2p
6
2
3s2 3p 3d
Fig. 2.13b
Arreglo de materiales
magnéticos en lazo
cerrado
(dominio continuo)
N
4eno
apareados
1s2
Pared de
Bloch
-e
Fig. 2.10
K
-
Fig. 2.13c
Un bloque uniformemente magnetizado (SPINs paralelos) minimiza la energía de intercambio pero maximiza
el campo H y la Umagnetostática. Fig. 2.13
4s2
La división en 2 dominios minimiza la Umagnetostática.
Fig. 2.11 Configuración electrónica del átomo de Fe
(26 electrones) por capas
Notar los electrones ferromagnéticos y los electrones
de conducción.
Energía anisotrópica: La anisotropía magnética es la
preferencia de los momentos magnéticos para alinearse
con los ejes del cristal.
2.7.1 Teoría de los Dominios:
Un cristal de Fe colocado entre los polos de un imán se
alinea paralelo a alguno de sus ejes [001] para minimizar
la energía Fig. 2.14 a
Según el modelo de la fig 2.1b en un material ferromagnético las mi con igual dirección determinan
regiones llamadas "dominios magnéticos" (su volumen es del orden de 10-8 a 10-12 m3 y contiene de 1017
a 1021 átomos). La formación de tales dominios es
consecuencia del balance entre cuatro energías con el
fin de tener un sistema en el estado de energía mínima total:
Para minimizar la energía anisotrópica la configuración
de 2.13c, adquiere dominios discretos.
Fig. 2.14b
Utotal=Uintercambio+Umagnética+Uanisotrópica+Umagnetoestricción
15
Radiación y Propagación Electromagnética I
[001]
Fácil
U.N.I.
Eduardo Olivera / Marcial López
B
Bsat
[011]
Media
3
2
Fig. 2.18 a
[111]
Dura
Fig. 2.14 a
1
Cristal B.B.C. de Fe
H
Hsat
Curva de magnetización típica del Fe
B = µ0 ( H + M) permite hallar la M correspondiente.
Fig. 2.14b
El tramo de 1 a 2 es casi lineal.
H
Energía de magnetoestricción: Este fenómeno consiste en la deformación de un cristal para aliviar el esfuerzo mecánico que experimenta en un campo magnético; si un cristal es comprimido su magnetización
también se afecta.
No magnetizado
(a)
H
(b)
(c)
Fig. 2.18 b
(a) H = 0,
∑M
i
(d)
=0
(b) Hasta el punto 2 se tiene la magnetización por crecimiento del dominio. (proceso reversible), región
de fácil magnetización.
(c) A partir del punto 2 se produce la magnetización por
rotación de dominio (irreversible), difícil magnetización
(d) Al llegar al punto 3 M alcanza Msat.
Compresión
B(Wb/m2)
1.5
1.1
Tracción
Resultado final del
balance magnético
para alcanzar el
mínimo.
Para el Fe al Si
(96% Fe y 4% Si)
µr ≈ 7000
0.2
Fig. 2.18 c
H(A/m)
100 200 600
Fig. 2.15
2.7.3 Lazo de Histéresis:
2.7.2 Curva de Magnetización:
La excitación del anillo de Rowland con Iac se obtiene el
llamado "lazo de histéresis".
Para una relación práctica entre B y H en los materiales ferromagnéticos altamente no lineales se usa la
gráfica conocida con este nombre.
ρ0
B
Br
Muestra de Fe en
forma toroidal
(anillo de Rowland)
Fig. 2.17
Hc
H
Fig. 2.19
Asumiendo sección recta S pequeña comparada con
ρ0 (radio medio):
H=
NI
2πρ 0
→ B=
Φm
S
 Curva principal (de saturación)
Curvas secundarias
… Curva de magnetización normal
Br = inducción retentiva o remanente
Hc = intensidad coercitiva
Un fluxímetro permite medir Φ m y calcular B; así se
obtiene pares de valores (B,H) para cada valor de Idc.
El anillo debe ser previamente calentado (recocido)
para asegurar que Minicial = 0
Este proceso de magnetización periódica consume energía, que se manifiesta como calor (pérdidas por histéresis); se tratará en el capítulo 5.
16
Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I.
Ñ∫
µr max
B (T)
1
abc
Hg d l = − Ñ∫ Hg d l
cda
Nótese que en el tramo abc vale una relación lineal:
Fig. 2.20
B
µ0 H
∆B
µ rp =
µ0 ∆H
B
µ r0 = lim
H →0 µ H
0
B = µ H → Φ m = BA = cte
dl
Φm ∫
= − ∫ Hg d l
abc µ A
cda
Φ m  abc = − H mlm
µr = 100
µr = 10
H (A/m)
2500
µ ra =
de amplitud
(i )
Bm Am abc = − H mlm → K
De la fig. 2.22 a:
incremental
 abc =
inicial
l
l
li
+ g ; g
µi Ai µ 0 Ag µ0 Ag
{
{
piezas
polares
K
( ii )
gap
 lmAg

µ0  H m
 lg Am 


Reemplazando (ii) en (i): Bm = − 
Ejemplo 2.5:
Determinar la µr de una cáscara cilíndrica de Fe colado (CAST IRON) muy larga, en el sistema de la fig.
2.21 a
Fig. 2.21 a
Recta desmagnetizante
B
Bm
Fig. 2.22b
I = 90A
3 cm
0.2 cm
1m
H
Hm
Notar la determinación del "punto de trabajo" usando la
recta desmangnetizante sobre la "curva de desmagnetización" del P.M.
La cifra o figura de mérito importante para un P.M. es el
producto H m Bm ; debe ser lo mayor posible. Para el
B(Wb/m2)
Fig. 2.21b
−3
Alnico 5 BH máx ≈ 30, 000 Jm , para B ; 1T
H(A/m)
I
2πρ
El campo H es: H =
ρ = 0.03 m
= 478A/m
Para conservar bien un P.M.
Tanto en el aire como en el fierro.
De la curva en la Fig 2.21 b para H = 478 A/m tenemos: B = 0.31 Wb/m2; entonces:
µ ra =
Eduardo Olivera / Marcial López
Fe dulce (keeper)
B
0.31
=
= 516
µ 0 H 4π 10−7 × 478
N
S
B
H
N
S
Así el H desmagnetizante
decrece
Fig 2.22 c
Ejemplo 2.6:
Circuitos magnéticos con imanes permanentes
b
Ejemplo 2.7:
Un transformador de poder diseñado correctamente para
operar a 110V, 440 Hz. ¿operará bien a 110V, 60 Hz?
Am: Sección
recta de PM
I1
V1+
-
a
P.M.
d
c
N
lm
S
Fig. 2.23
a
Asumimos:
Hg d l = 0
Φ m = Φ 0 sen ω t
Fig. 2.22 a
Solución:
Ñ∫
abcda
17
N
S
Φm
Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I.
d Φm
= N ω Φ 0 cos ω t
dt
N (2π f )Φ 0
=
= 4.44 Nf SBmáx
2
Eduardo Olivera / Marcial López
 µS 
 NI , equivalente a la ley de Ohm
 l 
fem = N
Así Φm = 
VRMS
La constante de proporcionalidad entre Φ m y NI se llama
“permeancia magnética”
µS
l
P=
Como el VRMS no cambia, luego si la frec. decrece
Bmáx debe aumentar en el factor de 440/60 = 7.33
Su recíproco es la reluctancia magnética
1
l
=
P µS
R=
Al transfo le falta
Fe para funcionar
a 60 Hz; debe
aumentarse S
400Hz
60Hz
60Hz
El producto NI es análogo a un voltaje eléctrico y se
denomina “fuerza magnetomotriz” F = NI
Con unidades A×Vuelta.
I2
Fig. 2.23
Fig. 2.26 a
I1
En el caso opuesto
(bien diseñado para
60 Hz), Bmáx debe
decrecer el mismo
factor, el transfo
"tiene mucho Fe"
para 440 Hz, debe
reducirse S
400Hz
N2
µ3
N1
µ4
µ1
µ2
Sea el siguiente un circuito magnético
Φ m2
+ N2I2 R1
Apéndice:
B (Wb/m2)
+
_
µ /µ
µo
B
1.6
6000
1.2
4500
0.8
3000
µ /µ
µo
0.4
R3
N1I1
Φ m1
R2
Fig2.26b
1500
Ri =
H (A/m)
200
400
600
800
Fig. 2.24 Curva de Magnetización del material
B = µ( H ) H
µ (H )





∆B
=
∆H
(2.7)a y b
i =1
i =1
n
∑Φ
mi
=0
i=1
(Nodo magnético)
Con este método se calculan los valores promedios de las
magnitudes.
Fig. 2.25
µ NIS
, donde 2π r0 = l
2π r0
n
(Malla magnética)
H
Aplicación de H alterna a un material magnético:
Φm =
n
∑ Fi = ∑ RiΦmi
dB
=
dH
Cte
li
µ iSi
Las leyes de Kirchof son:
Se observa que el proceso no es lineal y µ es función
de H µ = µ(H) normalmente es tomada como la pendiente de la curva µ = µ( H )
µ
R4
(l = longitud
media del anillo)
18
Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I.
Eduardo Olivera / Marcial López
Ñ∫
Capitulo 3
C
Hgdl = ∫ J S gdS
S
Sí ∆h → 0, Entonces:
Ñ∫
Solución de Problemas con Condiciones de Frontera:
C
Hgdl ≈ ( H 2 t − H1t ) dl
De donde resulta:
H 2t - H1t = J S
H 2t - H1t = J S × n
n × ( H2 - H1 ) = J S
3.1 Introducción:
Sí: J = 0, J M = 0 y ρ M = 0
Entonces: ∇ × B = 0, ∇ gB = 0
De la relación constitutiva:
(3.2)
(3.3)
Una consecuencia importante: La componente tangencial (Paralela a la interfase) de H es continua en la
frontera entre 2 medios materiales si en dicha frontera
no existe corriente eléctrica superficial.
∇ × B = µ0 ∇ × [H + M ] = µ0 [∇ × H + ∇ × M ] = 0
∇ × H + J M = 0 ∴ ∇ × H = 0 . . . (i)
También:
∇gB = µ0∇g[ H + M ] = µ0 [∇gH + ∇gM ] = 0
3.2.2 Inducción de campo B:
∇gH − ρ M = 0 ∴ ∇gH = 0 . . . . . (ii)
Por (i): H = −∇ Vm , en (ii):
Se trata de aplicar la ley de Gauss para B al volumen
infinitesimal:
Ñ∫
∇ 2Vm = 0 Ecuación de LaPlace.
Stotal
(3.1)
Para resolver un problema magnetostático se debe
encontrar la solución de la ec. (3.1), que cumpla las
condiciones de frontera, es decir, el comportamiento de
los vectores de campo en la(s) frontera(s) de la región
considerada. Expresando la ec. (3.1) en coordenadas
rectangulares:
∂ 2Vm ∂ 2Vm ∂ 2Vm
+ 2 + 2 =0
∂x 2
∂y
∂z
(3.1)b
2
-n
1
a
H1
(3.4)a
(3.4)b
∴ La componente normal (Perpendicular a la interfase)
de B es siempre continua en la frontera entre dos medios materiales.
n
3.3 Problemas de contorno en coordenadas cartesianas:
La interfases o fronteras son superficies planas.
Resolveremos problemas en dos dimensiones:
∂ 2Vm ∂ 2Vm
+
=0
∂x 2
∂y 2
dl
(3.5)
Pero Vm es función armónica, teniendo como propiedad
el poder expresarse como producto de funciones de una
sola variable, es decir:
Vm ( x , y ) = f ( x ) g ( y )
(3.6)a
1
Interfase
Fig. 3.2
B 2n = B1n
ng(B 2 - B1 ) = 0
b
JS
B2
De donde resulta:
H2
d
Dh →muy pequeño
B1
dS
3.2.1 Intensidad de campo H:
2
- B1n )gdS = 0 valores en la
Dh
En el caso concreto del campo magnético se debe especificar el comportamiento de H y B para garantizar
la unicidad de la solución de la ec. (3.1)
dl
C
2n
n
3.2 Comportamiento de los vectores
del campo magnético en una frontera:
c
Ñ∫ BgdS ≈ ( B
frontera
Las soluciones físicamente correctas para la ec. (3.1)b
se denominan “funciones armónicas”, también es posible la solución en coordenadas cilíndricas o esféricas.
Dh
BgdS = 0 , sí Dh → 0, entonces:
Fig. 3.1
Reemplazando (3.6)a en (3.5):
S trata de aplicar la ley circuital de Ampere al contorno
ABCDA infinitesimal:
19
Radiación y Propagación Electromagnética I
g
U.N.I.
Eduardo Olivera / Marcial López
d2 f
d 2g
f
+
=0
dx 2
dy 2
z
Región
(1)
dividiendo:
1 d2 f 1 d2g
+
=0
f dx 2 g dy 2
y
Se deduce que esta ecuación solo es posible si cada
término es igual a una constante (real), esto es:
2
1d f
= k2
2
f dx
2
H1t
d2 f
− k2 f = 0
dx 2
d 2g
+ k2g = 0
2
dy
ó
1d g
= −k 2
2
g dy
al plano de corriente: H1t = H 2 t
y= 0
____________________________________________
H1t − H 2t = J S × n
Usando (3.3)b:
o en su forma usual:
y= 0
π z 
 az
 a 
π z 
= J 0cos  
 a 
Para la región (1) −2H1t = + J 0 cos 
(3.6)b
2 gf '(0)
Nota: Es posible también el uso del Potencial Vectorial.
µ0
Para la región (2):
Ejemplo 3.3.1:
2 gf '(0)
En el plano xz existe una densidad superficial de
corriente eléctrica JS. Hallar H en todo el espacio.
µ0
En conclusión:
Jo

 − µ 0 2
f '( 0 ) = 
 µ Jo
 0 2
〈β〉 en 〈α〉:
z
JS
µo
o
π 
J S = J 0 cos  z  a x
a 
y
π z 
= − J 0 cos  
 a 
y>0
y<0
π 
f "−   f = 0 →
a
π z 
g ( z ) = cos 
K β
 a 
πy
2
Fig. 3.4 a
para y < 0 ,
Solución: Usaremos el potencial vectorial A; por la
f '(0) =
f ( y ) = C1 e a + C2 e
µ0 Jo
2
entonces: f ( y ) =
naturaleza de JS: A = A(y,z)ax , Luego: ∇ A = 0 ,
2
∂2 A ∂2 A
+
= 0 y como A = f ( y ) g ( z ) , tenemos:
∂y 2 ∂z 2
gf "+ fg " = 0 KKKKK α
para y > 0 ,
f '(0) = −
entonces:
Para aplicar condiciones de contorno en el plano xz se
debe calcular H:
H=
n = ay
Carácter antisimétrico de la componente de H paralela
f ( x ) = C1ekx + C2 e − kx , g ( y ) = D1e − jky + D2 e jky
f ( x ) = A1 senh(kx ) + A2 cosh(kx ) 

g ( y ) = B1 senh(ky ) + B2 cosh(ky ) 
H2t
Fig. 3.4 b
Se conoce la solución:
x
Región
(2)
µ0 J 0
2
f( y ) =
y
−
πy
a
lim f ( y ) = 0
y →−∞
µ0 J 0 a πa y
e
2π
y lim f ( y ) = 0
y →∞
µ 0 J 0a − πa y
e
2π
Ejercicio: Graficar H vs y.
∇×A 1
=
( fg ' a y − gf ' a z )
µ0
µ0
Ejemplo 3.3.2:
La figura es un modelo del entrehierro en una máquina
eléctrica, el devanado rotórico puede imaginarse como
una densidad superficial de corriente JS. Hallar B en el
entrehierro.
20
Radiación y Propagación Electromagnética I
µ→∞
y
U.N.I.
3.4 Problemas de contorno en coordenadas esféricas:
(3)
y=a
Las interfases son superficies esféricas, trataremos
problemas con simetría azimutal; es decir independientes de φ. Escribiendo (3.1) en coordenadas esféricas:
(2)
µ0
JS=JSay
1 ∂  2 ∂Vm
r
r 2 ∂r 
∂r
x
µ→∞
Eduardo Olivera / Marcial López
(1)
J S = J 0 sin ( πbx )
1
∂ 
∂Vm

+ 2
 sin θ
∂θ
 r sin θ ∂θ 
. . . . . . . . . . (3.7)
Por propiedades de funciones armónicas:
Vm ( r ,θ ) = f ( r ) g (θ )
Solución:
∇ 2Vm = 0 → Vm = Vm ( x , y ) = f ( x ) g ( y )
g '' f + gf '' = 0 . . . . . . . (i)
(3.8)a
como en el caso de la sección 3.3 se obtienen dos ecuaciones separadas; para el caso de g (θ ) , se obtiene la
como µ → ∞ en rotor y estator: ⇒ H1 = H3 = 0
y : H 2 = −∇ Vm = − ( f ' g ax + fg ' ay )
llamada “ecuación de Legendre”; la solución completa
es:
condiciones de contorno en y = 0:
H 2t − H1t = J S ×n
∞
Vm ( r ,θ ) = ∑  An r n + Cn r − ( n +1) Pn (Cosθ )
n = ay
y= 0

=0

n =0
H 2 t = − J 0 sin( )a x = − f '( x) g (0) a x . . . (ii)
(3.8)b
condiciones de contorno en y = a:
Pn (Cosθ ) es la notación general para los “Polinomios de
πx
b
H 2t − H1t = 0
n = ay
y =a
H 2 t = 0 = − f '( x ) g ( a )a x
De (ii): f '( x ) = sin( πbx )
 P0(cosθ ) = 1; P1(cosθ ) = cos θ ;
2
1
 P2(cosθ ) = 2 ( 3cos θ − 1) ; ...
Legendre”, 
. . . . . . . . . . (iii)
g (0) = J 0
cuando se resuelve problemas donde las interfases son
superficies concéntricas ec. (3.8)b, puede simplificarse:
g(a) = 0
De (iii):
Luego: f ( x ) = − πb cos( πbx )
Vm ( r ,θ ) = A0 + C0r −1 + ( A1r + C1r −2 ) cos θ
2
En (i):
d g b
− cos( πbx ) + πb cos( πbx ) g = 0
dy 2  π
d 2g π 2
−(b) g = 0
dy 2
→ g = C1e
− πb y
Pero A0 es irrelevante (interesa calcular H y B), A1 y C0
corresponden a una carga magnética puntual (que no
existe); entonces la solución para este caso es:
π
+ C 2e b
Vm ( r ,θ ) = A1r cos θ + C1r −2 cos θ
y
De las condiciones de contorno: J 0 = C1 + C2
0 = C1e
− πb a
C1 =
π
b
Considérese una esfera con magnetización propia uni-
+ C2 e , resolviendo:
π
.π a
a
− πb a
y C2 =
z
J0e b
π
b
− πb a
e −e
e −e
π
π ( y − a)
J0
− ( y−a)

g( y ) = π a −π a e b
− eb

eb − e b 
J0
g( y ) =
{− sinh  πb ( y − a ) }
sinh( πba )
H 2 = − f ' g a x − fg ' a y =
H2 =
a
a
(3.8)c
Ejemplo 3.4.1:
πa
b
J0e b
...
ar
az
aθ
θ
Mo
a
(1)
µo
(2)
Fig. 3.5 Un imán esférico.
forme y constante, hállese los campos dentro y fuera de
ella.
Solución: Para el interior:
J0
{sin( πbx )sinh  πb ( y − a) a x −
sinh( πba )
Vm1( r ,θ ) = A1r cos θ + C1r −2 cos θ
cos( πbx ) cosh πb ( y − a )a y }
Para el exterior: Vm 2( r ,θ ) = A2 r cos θ + C2 r
−2
cos θ
Debe tomarse C1 = 0 y A2 = 0 para que Vm1 este
acotado en r = 0 y Vm 2 lo esté en r → ∞ .
21
Radiación y Propagación Electromagnética I
Por definición: H = −∇ Vm = −
U.N.I.
∂Vm
1 ∂Vm
ar −
aè
∂r
r ∂θ
C1 ≠ 0 , porque existe la fuente de campo puntual m,
m
por consiguiente: C1 = 0 (ver ec. 1.17)
4π
Calculando los campos:
H1 = − A1 cos θ ar + A1 sin θ aè
−3
Para el resto del espacio:
Vm 2 = A2 r cos θ + C2 r −2 cos θ
−3
H 2 = 2C2 r cos θ ar + C2 r sin θ aè
En el exterior B 2 = µ0 H ; en el interior (magnetización propia) debe usarse la relación constitutiva:
B1 = µ0 (H1 + M 0a z ) .
Expresando Mo en coordenadas esféricas:
M 0a z = M 0 (cos θ a r − sin θ aè ) , así:
C3
Para aplicar las condiciones de contorno, calculamos
los campos:
H = (2C1r −3 − A1 )cosθ ar + (C1r −3 + A1 )sinθ aè
(1)  1
B1 = µ0H1
H = (2C2r −3 − A2 )cosθ ar + (C2r −3 + A2 )sinθ aè
(2)  2
B2 = µ0 KmH2
H = 2C3r −3 cos θ ar + C3r −3 sin θ a è
(3)  3
B 3 = µ 0 H 3
....... ( i )
A1 = C2 a
........ ( ii )
−3
Finalmente:
H1 = −
M0
az
3
3
M a
H 2 = 0   [2cos θ ar + sin θ aè ] .... (iii )
3 r
Las condiciones de contorno en r = a y b, producen las
siguientes ecuaciones:
Observaciones:
a) Comparando (iii) con ec. (1.16)b observamos que
el campo es dipolar con m = π a M 0
b) El campo interior H1 es opuesto a M; por ello se
denomina "campo desmagnetizante". El factor 1/3
(que afecta a Mo) se denomina "factor desmagnetizante" de la esfera Nm (H1 = -NmM)
− A1 + A2
+ a −3C2
0 + A2
+ b −3C2
3
4
3
a −3
− b −3C3 = 0
a −3
b −3
2 K m a −3
2 K m b −3
−1 +1
0
1
∆=
1 −Km
0 −Km
+0
=
m0
4π
a −3
0
− b −3
0
−2b−3
∆ = a−3b−3 (2Km + 5Km + 2) + 2b−6 (2Km − Km −1)
2
2
Como sólo nos interesa calcular C3:
Km
−1
1
0
1
∆C 3 =
1 −Km
0 −Km
m
(1)
a
b
∆C 3 =
3.6
C3 =
Dipolo Magnético apantallado por una esfera ferromagnética.
Solución: Se pide calcular hm = H3'/H3, donde: H3' es
el campo sin la esfera y H3 es el campo con la esfera.
Vm1 = A1r cos θ + C1r −2 cos θ
m0
4π
El determinante de la matriz de coeficientes:
Hallar el factor de blindaje magnético para la esfera de
hierro de la fig. 3.6
Fig.
=
0 − K m A2 + 2 K mb −3C2 − 2b −3C3 = 0
Ejemplo 3.4.2:
(2)
+0
A1 − K m A2 + 2 K m a −3C2
Ejercicio: Hallar el factor desmagnetizante de un imán
cilíndrico muy largo.
(3)
r>b
Observar que: H '3 = (m0 / 4π ) , sólo se requiere hallar
H3
C3
ahora podemos aplicar las condiciones de contorno en
r=a:
a<r<b
Vm3 = C3 r −2 cos θ
B1 = [( M 0 − A1 ) cos θ a r + ( A1 − M 0 ) sin θ aè ]
− A1 + M 0 = 2C 2a −3
Eduardo Olivera / Marcial López
mo
4π
(9Kma
22
b
),
∆C 3 mo  9 Kma −3b −3 
=


∆
4π 
∆

Finalmente:
r<a
−3 −3
a −3
b −3
2 K m a −3
2 K m b −3
a −3
0
m0 −3
4π a
0
m0
4π
Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I.
Solución:
Regla: para usar la ec. (3.10)c debe orientarse la magnitud vectorial dato paralela al eje x.
Los potenciales escalares son:
mo
H3'
4π
=
=
H 3 mo  9 Kma −3b −3 


∆
4π 

Vm1( ρ ,ϕ ) = A1 ρ cosϕ
Vm 2( ρ ,ϕ ) = A2 ρ cosϕ + C2 ρ −1cosϕ
  a 3 
H3'
−1
2
2
= 1 + 9 Km ( Km − 1) 1 −   
H3
  b  
Nótese que A2 ≠ 0 porque en ρ → ∞ existe un
campo uniforme Bo, luego calculamos A2 así:
lim Vm 2 = A2 ρ cosϕ = A2 x
Ejercicio: Calcular el factor de blindaje magnético para
el caso de una esfera hueca de radios a y b (a < b) de
permeabilidad relativa Km, con Ho como campo externo y H1 campo dentro de la parte hueca de la esfera.
(Ho/H1 = ?)
ρ →∞
lim B 2 = − µ0 K m 2
r →∞
∴ A2 = −
3.5 Problemas con geometría cilíndrica:
2
 1 ∂ Vm
+
=0

2
2
 ρ ∂ϕ
∂Vm
1 ∂Vm
añ −
aö , así:
∂ρ
ρ ∂ϕ
H1 = − A1cosϕ añ + A1sinϕ aö , B1 = K m1H 1
 B0
C 
H2 = − 
+ 22  cosϕ añ +
 µ0 K m 2 ρ 

B0
C 
+−
+ 22  sinϕ aö
 µ0 K m 2 ρ 
Por propiedad de las funciones armónicas:
Vm ( ρ ,ϕ ) = f ( ρ ) g (ϕ )
(3.10)a
Siendo la solución:
Vm ( ρ ,ϕ ) = ( A0 + C0 Lnρ )(ϕ + 1) +
B2 = K m2 H2 .
∞
+ ∑ ( An ρ n + Cn ρ − n )(sinnϕ + cosnϕ )
Las condiciones de contorno dan las ecuaciones:
n =1
(3.10)b
Sí las interfases son superficies cilíndricas concéntricas:
− A1 K m1 =
B0 C2 K m 2
+
µ0
a2
(i )
A1 =
B0
C
+ 22
µ0 K m 2 a
(ii)
Vm ( ρ ,ϕ ) = ( A1 ρ + C1ρ −1 )(sinϕ + cosϕ )
De ( i ) y ( ii ) se obtienen A1 y C2 y la respuesta se
Si los ejes se eligen apropiadamente, basta con una de
las dos funciones trigonométricas. Usaremos la siguiente solución para las aplicaciones:
Vm ( ρ ,ϕ ) = A1 ρ cosϕ + C1 ρ cosϕ
B0
µ0 K m 2
H = −∇Vm = −
(3.9)
−1
∂Vm 2
a x = − µ0 K m2 A2a x = B0a x
∂x
Calculo de H:
Resolveremos problemas con uniformidad axial (independientes de la coordenada z). La ecuación de Laplace
en coordenadas cilíndricas es:
1 ∂  ∂Vm
ρ
ρ ∂ρ  ∂r
Eduardo Olivera / Marcial López
calcula con: M1 =
(3.10)c
B1
− H1 , según relación constituµ0
tiva.
Ejemplo 3.5.1:
M1 = ( K m1 − 1)H1 =
Sea un material magnético en forma de cilindro largo
(radio “a”) cuya permeabilidad magnética relativa es
Km1. Este material está totalmente inmerso en un medio
muy extenso de permeabilidad relativa Km2, en el cual
existe un campo uniforme y constante B0ax. Calcular la
M inducida en el cilindro.
3.6 Conductores perfectos y ferromagnetismo ideal:
En muchos casos conviene idealizar el carácter conductor de un material (σ → ∞) o el carácter ferromagnético (µ → ∞), los resultados así obtenidos son una aceptable aproximación a las soluciones exactas.
1º) No existe campo magnético dentro de un conductor
perfecto. Esto es H = B = 0. Puede existir en la superficie de dicho conductor y en consistencia con las condiciones de frontera una corriente superficial (ver capítulo 6)
y
aϕ
Km2
r
Km1
ϕ
2 B0 ( K m1 − 1)
ax
µ0 ( K m1 + K m 2 )
ar
Boax
x
a
23
Radiación y Propagación Electromagnética I
H2
Fig. 3.8 a
(2)
JS
H1 = B 1 = 0 σ → ∞
(1)
U.N.I.
 Ia z × R 2 I ' a z × R1 
+


2
2
R2
 R1

1  I '' a z × R 2 
H1 =


2
2π 
R2

H2 =
Cond de
contorno:
B2n = 0
H2t ≠ 0
2º) En todo material ferromagnético existe B; luego,
para que B = µH sea siempre finita H → 0 cuando
µ→ ∞
(1)
µ→ ∞
H1 = 0
B 2 = µ0 H 2 ;
B 1 = µ 0 K m H1
c) Aplicar las condiciones de contorno con los campos
obtenidos de (a) y (b) :
De la Fig. 3.9 b:
I sinθ − I 'sinθ = I ''sinθ
I − I ' = I '' ......... (i )
I cosθ − I 'cosθ = K m I ''cosθ
3.7 Método de las Imágenes:
I + I ' = K m I '' .... (ii)
Análogo al empleado en Electrostática; el efecto de los
medios materiales es tomado en cuenta usando líneas
de corriente o dipolos imágenes.
 K −1 
2I
I ' =  m  , I '' =
( K m + 1)
 Km + 1 
Cálculo de M1: M1 = ( K m − 1) H1
De (i) y (ii):
Ejemplo 3.7.1:
 K −1   2I   az × R2 
M1 =  m  


2
 2π   K m + 1   R2 
Se tiene una cubeta muy grande lleno de aceite (permeabilidad relativa Km) a una altura h sobre la superficie libre de aquel pasa un conductor horizontal paralelo
a aquella. Si el cable es muy largo y de radio despreciable, calcular el campo magnético en todos los medios cuando aquel transporta una corriente I.
De donde deducimos:
J M = ∇ '× M1
J SM = M 1 × n
y
(0,h)
I
Fig. 3.9 a
1
2π
b) Expresar el campo B de acuerdo al tipo de material
Cond. de
contorno:
H2t = 0
B2n ≠ 0
Fig. 3.8 b
(2)
Eduardo Olivera / Marcial López
Fig. 3.9c
µo
h
R2
x
(1)
(x',y')
R 2 = ( x ', y '− h)
a z × R 2 = x ' a y − ( y ' − h)a x
a z × R 2 x ' a y − ( y ' − h )a x
=
2
( x ')2 + ( y '− h)2
R2
µoKm
Solución: El método consiste en reemplazar los medios
materiales por un conjunto de alambres rectilíneos
(imágenes) de tal manera que se cumplan las condiciones de frontera.
ax
a ×R 
∂
∇×  z 2 2  =
∂
x'
R

2

( y '− h)
−
( x ')2 + ( y '− h)2
y
(0,h) I, I''
R2 az× R1 θ az× R2
θ
n
(2)
t
(0,-h)
I'
az
∂
∂z '
0
∂ 
 ∂ 

x'
y '− h
= az   2
+
 2
2
2 
∂x ' ( x ') + ( y '− h)  ∂x ' ( x ') + ( y '− h) 

∂ 
x'
− x '2 + ( y ' − h) 2
=
∂x '  ( x ') 2 + ( y '− h) 2  [( x ') 2 + ( y '− h) 2 ]2
x
(1)
Fig. 3.9 b
ay
∂
∂y '
x'
( x ')2 + ( y '− h)2
R1

∂ 
y '− h
x ' 2 − ( y ' − h) 2
=
∂x '  ( x ')2 + ( y '− h) 2   ( x ') 2 + ( y '− h) 2  2


a ×R 
entonces: ∇ ×  z 2 2  = 0 → J M = 0
 R2 
Notar las imágenes I', I'' así como las direcciones y
sentidos de los campos expresados por: az× R1, az× R2.
Solución:
a) Expresar los campos H para los medios (1) y (2)
24
Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I.
JS =
y
Fig. 3.9 d
J SM
h
R2
θ
(1)
az × R2
n
1
P
2
3
Solución. Primero resolvemos:
(2)
I µ
0
σ→∞
R2
Ver Fig. 3.9 b
µ→∞
 K −1 
2I
I ' =  m  , I '' =
( K m + 1)
 Km + 1 
Cuando K m → ∞ tenemos:
I ' = I , I '' = 0 → H1 = 0
Pero B1 ≠ 0, siendo
az× R1 θ
az× R2
θ
x
R1
B1 =
µ 0 K m  2 I  a z × R2


2π  K m + 1  R22
lim B1 =
1  Ia z × R 2 I ' a z × R1 
H2 =
+


2
2π  R12
R2

1  I '' a z × R 2 
H1 =


2
2π 
R2

Como H1 , B1 son nulos, debe ser: I '' = 0 ,
B 2 gn = 0 y existe J S en y = 0
µ 0 H 2 gn = 0 con R1 = R2
µ 0 ( I cosθ + I ' cosθ ) = 0 → I ' = − I
Km →∞
µ 0 I a z × R2
2
π
R2
Nótese el cumplimiento de la ec. (ii)
De aquí deducimos que en el acero existe un circuito
imagen:
Circuito real
Circuito imagen
El cálculo pedido se hace con la fórmula del ejemplo
1.3:
condiciones de contorno: J S = n × ( H 2 − H 1 ) en
y =0
JS = n ×
I µ
0
Según 3.7.1:
(1)
Fig. 3.10 b (0,-h) I'
h
(1)
y
I,
I''
(0,h)
t
µ0
µr
Hallar los campos en todas partes debidas al conductor
unifilar de la fig 3.10a frente a un conductor perfecto
muy extenso.
n
J S dx = − I
2
Ejemplo 3.7.2:
(2)
−∞
Cerca de la superficie plana de una plancha de acero
(µr → ∞) se sitúa en el aire un marco triangular, por
el cual circula una corriente I = 2A. Las dimensiones
están en cm. Hallar B en el punto P.
conclusión: I ' = I M
h
∞
Ejemplo 3.7.3:
→ I M = ∫ J SM dx
h2 + x 2
x =−∞
+∞
( K − 1) I
h
( K − 1) I
IM = m
dx = m
∫
2
2
π ( K m + 1) x =−∞ ( h + x )
( K m + 1)
Fig. 3.10 a
∫
Nótese que una corriente dc induce otra corriente en un
conductor perfecto. Cuando σ es finita, para lograr esta
inducción se requiere una corriente ac.
+∞
h
I
I sin θ
(− sin θ − sin θ )az = −
az
2π R2
π R2
como en el ejemplo 3.7.1: I S =
x
 a z × R2 

 × n = sin θ a z
2
 R2 
( K m − 1) I sinθ
= M1 × n =
az
π ( K m + 1) R2
sin θ =
Eduardo Olivera / Marcial López
B=
I  a z × R2 a z × R1 
−


2
2π  R12
R2 
25
µ0 I 
L1
L2

+
2
2
4πρ  L + ρ 2
L2 + ρ 2
 1




Radiación y Propagación Electromagnética I
L2
L1
U.N.I.
Eduardo Olivera / Marcial López
I
P
ρ
α
Los tramos verticales no contribuyen a B.
Los tramos horizontales pueden calcularse así:
a) circuito real:
3
7
I
I
1 P
3
I
b) circuito imagen:
α
L1
L2
P
α = tan −1 23 = 33.6º
ρ = 7 cos α = 5.83cm
L2 = 7sin α = 3.87 cm
L1 = 3.61 − 3.87 = −0.26cm
5
3

3.87
 µ I  1  −0.26
B=−az  0 
+

−2 
 4π  5.83×10  0.262 +5.832 3.872 +5.832 
I
Cto. real: L1 = 3cm, L2 = 0, ρ = 1cm
3
µ I  1 
B = −a z  0  −2 
 4π  10  32 + 12
Cto. imagen: L1 = 3cm, L2 = 0,
Campo total:
µ I 
B = −az  0  (−0.949 +0.103+ 0.467 − 0.087)×102
 4π 
B = −a z (0.932) × 10−5 T (aprox. 0.1G)



ρ = 5cm

3
µ I  1 
B = −a z  0 

−2 
2
2
 4π  5 ×10  3 + 5 
Los tramos inclinados pueden calcularse así:
a) circuito real:
L1
3
ρ
L2
ρ 3 I α
P
α = tan −1 23 = 33.6º
ρ = 3cos α = 2.5 cm
L1 = 3sin α = 1.66 cm
L2 = 22 + 32 − 1.66 = 3.61 − 1.66 = 1.95cm

1.66
1.95
µ I  1 
B =−az  0 
+

−2 
 4π  2.5×10  1.662 + 2.52 1.952 + 2.52 
26
Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I.
Eduardo Olivera / Marcial López
Λ es el flujo concatenado.
Capítulo 4.
i2(t)
Inducción Electromagnética
Corrientes Variables.
y
i1(t)
Fig. 4.2 a
Vdc
4.1 Ley de Faraday (1831) de la inducción:
Sistema de encendido para auto motor
N
S
i1(t)
i
A
I0
Fig. 4.1 a
t
i2(t)
N
S
i
Fig. 4.1 b
t
<
A
Nótese el movimiento relativo entre imán y bobina. Sin
esta condición i = 0
Fig. 4.2 b
El trabajo experimental puede ser abstraído como en la
fig. 4.3
B = B(t)
i
Fig. 4.3
Un circuito Γ
imaginario
VDC
A
dS
dl
Fig. 4.1 c
E
Ahora el campo magnético se debe a una corriente
continua
Φ m = ∫ BgdS
fem = Ñ∫ Egdl
Γ
S
Por ec. (4.1) a
i
A
Γ
Ñ∫
Γ
Egdl = −
d
B gdS (4.2)
dt ∫S
4.1.1 Sistema en reposo:
VAC
Fig. 4.1 d
El campo magnético es producido por una corriente
alterna.
Sea el caso de un observador en un sistema de referencia para el cual Γ y S son fijos, invariables en el tiempo, pero B = B(t)
Para ec. (4.2):
La presencia de la corriente eléctrica inducida detectada con el amperímetro implica la existencia de una
fem; el movimiento relativo o el uso de una corriente
alterna para crear el campo magnético implican un
campo B variable en el tiempo, que se traduce en un
flujo magnético de igual naturaleza a través del circuito
con el amperímetro; experimentalmente se encuentra
que la fem inducida aumenta con el número de vueltas
de la bobina.
∂B
g dS
S ∂t
∂B
∇×E = −
(4.3)
∂t
∫ ∇ × Egd S = − ∫
S
en cualquier punto del espacio.
Como B = ∇×A así:
∂ (∇ × A )
 ∂A 
= ∇ ×−

∂t
 ∂t 
∂A
E=−
− ∇φ
(4.4)
∂t
∇×E = −
d
( NΦm )
(4.1)a
dt
d
fem = − Λ
(4.1)b
dt
fem = −
De donde:
donde el signo - es debido a la ley de Lenz y
27
Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I.
Ñ∫
4.1.2 Sistemas en movimiento relativo:
Γ
Para sistemas inerciales no relativísticos, la fuerza es
invariante.
y
x Sist.
Lab.
x’
q
Fig. 4.4
vo
v0
Fq = q(E + v 0 × B) = qE '
∇×E = −
B(t)
Γ
z’ Sistema
Móvil
y’
vo∆t
dl
y
Sist.
x
Lab. t = t0
Fig. 4.5
t1 = t + ∆t
x’
S
estado de movimiento no altera la ley de Faraday en su
forma diferencial; es decir la ec. 4.3 es invariante.
Las ecuaciones fundamentales para la solución de
problemas son:
Por la condición citada: E ' = E + v 0 × B (4.5)
Sí v0 << c, B' = B
z
(E '− v 0 × B)gdl = ∫ ∇ ×(E '− v0 × B)gdS =
 ∂B 
gdS
= ∫ −
S
 ∂t 
∂B
∴ ∇ × (E '− v 0 × B) = −
(4.6)b
∂t
∂B
De la ec. (4.5) ∇ × E = −
lo que demuestra que el
∂t
z’ Sistema
Móvil
y’
z
Eduardo Olivera / Marcial López
∂B
y F = q( E + v 0 × B)
∂t
Ejemplo 4.1:
Describir todos los fenómenos de inducción para el
sistema de la fig. 4.6 a, con una barra conductora ac.
Asumir que B existe en una región cilíndrica muy
extensa.
vo
Para la superficie lateral del volumen generado:
z
dS 2 = dl × v 0∆t
Según lo visto en 4.2.1: fem ' = −
BoCosωt
∆Φ m
si ∆t → 0,
∆t
a
o
porque para el observador o' el circuito está en reposo.
El cambio de flujo se puede hallar usando la ley de
Gauss para B evaluado en t = t + ∆t.
∇gB = 0 →
∫
S1
B gd S = 0
∂B
≠ 0 entonces independiente∂t
mente de la presencia de la barra existe un campo tal
que ∇ × E = B0ω sin ω ta z . Por simetría cilíndrica y
B (t +∆t ) gd S1 − ∫ B (t ) gd S
la analogía con ∇ × H = J , escribimos:
S
∂B
−∫
∆t g d S + Ñ∫ B (t +∆t ) g d l × vo∆t = 0
S ∂t
C
como: ∆Φ m = ∫ B ( t +∆t ) g d S1 − ∫ B ( t ) g d S
S1
 ∂B 
Ñ∫ Egdl = ∫  − ∂t gdS
Γ
S
S
∂B
gd S + ∆t Ñ∫ vo × B gd l = 0
C
∂t
Dividiendo entre ∆t y llevando el límite de ∆t → 0:
∆Φ m 
∂B

fem ' =  lim
 = −∫S gd S + Ñ∫ Γ vo × B gd l
∆t →0 ∆t
∂t


∂B
fem ' = Ñ
∫ Γ E 'gd l = −∫S ∂t gd S + Ñ∫ C vo × B gd l
.........
↔
Ñ∫ Hgdl = ∫ JgdS
Γ
S
y
S
La ecuación queda:
∆Φ m − ∆t ∫
x'
y'
vo'
c
Solución: Como:
B (t +∆t ) gd S2 = 0
v = voay
Fig. 4.6 a
x
S
S2
S1
STotal
z'
l
B (t +∆t ) gd S1 + ∫ B (t +∆t ) g(−d S) +
∫
∫
Ñ∫
y
Fig. 4.6 b
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º º
º º
º º
o
º º
º º
º º
º º ºΓ
º º º º
º º º º
x
º ρº º
º º º º E
º º º º
2πρ E = ( B0ω sin ω t )(πρ 2 )
B0ωρ sinω t
aö , aö = − sin ϕax + cos ϕay
2
B ωρ sinω t
E= 0
(− yax + xay ) Sistema de labo2
∴E =
(4.6)a
De aquí:
ratorio.
En el sistema móvil:
28
Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I.
B0ω sin ω t
(− y ' a x + x ' a y )
2
x ' = x, y ' = y − v0 t
Eduardo Olivera / Marcial López
Hallamos las densidades superficiales en los extremos
"a" y "c" usando la condición de frontera:
E' =
Si se colocase una espira conductora sobre Γ en E
hallado producirá una corriente eléctrica inducida en
aquella.
El observador en el sistema móvil ve la barra en repo-
(2)
Para o el campo exterior a la barra es el ya hallado:
Eext = E =
El observador del laboratorio (según la ec. 4.5) mide:
Ebarra = E 'barra − v0ay × B0 cos ω ta z
Ebarra
D2
σ f = (D2 - D1 )gn
B0ω sin ω t
(− y ' a x + x ' a y )
2
so; luego: E 'barra =
D1
σf
(1)
B0ω sin ω t
(− ya x + xa y )
2
De la ec. (4.5), para o' es:
B ω sin ωt
= 0
(− y ' ax + x ' ay ) − v0 B0 cos ωtax
2
B0ω sin ω t
(− ya x + xa y ) + v0 B0 cos ω ta x
2
E 'ext =
Notar que si fuese B constante y uniforme (B = B0az):
E'barra=0 porque ∇×E = 0, la situación es electrostática;
también Ebarra = -v0B0ax este campo es necesario para
que el conductor en movimiento permanezca con sus
cargas en equilibrio. Hallaremos la fem usando la definición como "trabajo por unidad de carga".
Los campos en la barra ya fueron hallados
Para o:
n
(1)
(2)
extremo c
z'
B
Fig. 4.6 c
Fq
o
y'
a
x'
-
c
qB0ω sin ω t
 − y ' a x − x ' a y 
2
W
1 a
dl ' = dx ' a x
fem ' = c →a = ∫ F 'q gdl '
q
q c
B ω sin ω t 0
B ω ly 'sin ω t
fem ' = 0
(− y ' dx ') = 0
∫
xx '=l
2
2
F 'q = qE =
z'
B
Fig. 4.6 d
Fq
o
x'
F 'q = q (E + v × B)
y'
q
c
n = -ax
extremo a
 B ω sin ω t
(− y ' a x ) − v0 B0 cos ω ta x
σ fc = ε 0  0
2

B ω sin ω t

(− ya x )  g[−a x ]
− 0
2

 B ω sin ω t

σ fc = ε 0  0
( y '− y ) + v0 B0 cos ω t 
2


 B ω sin ω t

σ fa = −ε 0  0
( y '− y ) + v0 B0 cos ω t 
2


+
q
(2)
n
(1)
Repitiendo para o' se concluye que:
σ ' fc = σ fc
a
σ fa ' = σ fa
Sea otra vez el caso de un B = cte.; tendremos:
+
Eext = 0
E 'ext = v0 B0 a x
σ fc = ε 0v0 B0
σ fa = −ε 0v0 B0
- v
qB0ω sin ωt
− y ' ax − x ' ay  + qv0 B0 cosωtax
2
1 a
B ω ly sin ω t
fem = ∫ Fq gdl = 0
− v0B0l cos ω t
c
q
2
-a
-a
F 'q =
Ebarra= -v0B0ax
+c
+c
Si el extremo "a" de la barra coincide con o', entonces
y' = 0 y fem = 0. También: y = v0t, luego:
Este campo se
debe a la separación de cargas
por la fuerza de
Lorentz
B0ω lv0t sin ω t
− v0 B0l cos ω t
2
para B = B0a z queda fem = −v0 B0 l ; obsérvese
fem =
-
que es la fuerza de Lorentz el agente que asegura el
funcionamiento de un dinamo.
fem
Como la barra para ambos observadores es un conductor en una región donde existe campo eléctrico entonces aquella presentará una distribución de carga.
+
29
E'ext = v0B0ax
fem = v0B0l
Este campo
induce las
cargas en el
conductor
Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I.
Si consideramos que el conductor permanece eléctricamente neutro, entonces la fuerza de Lorentz es nula y
el electrón debe permanecer en reposo; esto no es aceptable debido al cálculo anterior.
Por contracción de longitud:
Ejemplo 4.2:
Recalcular la fem para el ejemplo 4.1 usando la forma
integral de la ley de Faraday.
y
x=l
Circuito
imaginario
aodc
a
v 
L ' = L0 1 −  0 
c
B
c
o
Q = L0 ρ S = L ' ρ ' S
x
d
ρ movil =
Sea el circuito: caodc (Notar sentido de circulación)
dΦ
Ñ∫ caodc Egd l = − dt m
d
( B0 (cos ω t )ly )
d
c
dt
vo t  B ω sin ωt

∫y =0  0 2 (− yay + lay ) g dyay  + fem =
= ( B0ω sinω t )(lv0t ) − ( B0 cos ω t )(lv0 )
 B0ω sinωt 

 (lv0t ) + fem =
2


= ( B0ω sinω t )(lv0t ) − ( B0 cos ω t )(lv0 )
B ω lv t
fem = 0 0 sinω t − v0 B0l cos ω t
2
∫
c
a
Eg d l + ∫ Eg d l + 0 + 0 = −
2
ρ+
v 
1−  0 
c
ρ− '
v 
1−  0 
c
2
2
En el sistema móvil existe una densidad volumétrica
neta:
2
v 
ρ+  0 
ρ+
v 
c
ρ+ '+ ρ− ' =
− ρ+ 1−  0  =
2
2
c
v 
v 
1−  0 
1−  0 
c
c
2
ρ-
v-
S
Fig. 4.7 c
E'
ρ'
I
r
r = r ar
ρ+ + ρ− = 0
El electrón experimenta una fuerza: F = q v 0 × B
ρ 'S
ar
2πε 0 r
el electrón experimenta una fuerza: F = −eE '




2
ev0 µ0 ρ + S 
1

F=−

 ar
2
2π r
v
 1−  0  
  

c 
1
recordando que: 2 = µ0ε 0
c
( 2π rL ') E ' =
ev µ I
 −µ I 
F = −e ( v0a z ) ×  0 aö  = − 0 0 a r
2π r
 2π r

se concluye que el electrón es atraído hacia el conductor; recordando que: I = ρ + v0 S , entonces:
ev µ ρ S
F = − 0 0 + ar
2π r
2
Para el observador en el sistema móvil el conductor
tiene velocidad -v0
electrón
r
L0
ρ
L'
v0
L0
Fig. 4.7 b
v 
1−  0 
c
ρ+
v − = v 0 = v0a z
ρ'=
ρ reposo
Para electrones: ρ − =
Relatividad de los campos E y B:
Conductor en reposo en el sistema de laboratorio
Fig. 4.7 b
→
Para iones positivos: ρ + ' =
Ejemplo 4.3:
electrón
r
2
Siendo la carga eléctrica invariante luego:
y = v0 t
Fig. 4.6 e
Eduardo Olivera / Marcial López
v+ = -v0az
ρ ' SL '
ε0
→ E' =
También recordamos la dilatación del tiempo:
v+
30
Radiación y Propagación Electromagnética I
∆t =
U.N.I.
∆t '
v 
1−  0 
c
ev µ ρ S 
∆p = F∆t =− 

 2π r 
Si i < 0 B0lv es la fem generada y la máquina trabaja
como generador, impulsado por la fuerza F0 ; puede ser
V0 = 0.
2
v
∆t '
2
0 0 +
Eduardo Olivera / Marcial López
2
v 
1−  0 
c
VSS
ar = F' ∆t ' = ∆p
Fig. 4.8 b
t
Conservación del momentum lineal.
Vss =
4.2 Conversión electromecánica:
R
( B0l )
2
V0lB0 

 F0 − f r + R 
Una máquina eléctrica lineal:
Motor Lineal con F0 = 0
b
B0 = B0az
z
i
B
v
R
y
F0ay
i
V0
V0/R
l
Fig. 4.8 c
x
t
Fig. 4.8 a
Una maquina
a
eléctrica lineal
Rozamiento fr constante, barra ab tiene masa m
La corriente i se hallará por superposición:
Generador Lineal con V0 = 0
i
t
Fig. 4.8 d
Φ m = ylB0
d Φm
dy
= lB0
= lB0 v
dt
dt
lB v
Por ley de Lenz: i1 = 0
R
B0lv es la "fem por movimiento"
Considerando el efecto de la batería: i =
4.3 Autoinductancia y coeficiente de
autoinducción:
(4.7)a
La autoinductancia es la propiedad de un circuito de
producir inducción en el mismo.
Coeficiente de autoinducción: L =
V0 lB0 v
−
R
R
es cte. usamos: L =
ilB0
Fuerza de Lorentz
sobre la barra
N
I
Km
V0
e
R
−
Km
x
a
l
Fig. 4.9 a
. . . . . . . . . . . . (4.7)b
i=
(4.8)b
Solenoide ideal con entrehierro
dv
F0 − f r + ilB0 = m
dt
V0lB0 (lB0 ) 2 v
dv
F0 − f r +
+
=m
R
R
dt
R 
V lB 
mR
v=
F − fr + 0 0  1− e−t /τ  , τ =
2  0
(B0l) 
R 
(B0l)2
t
τ
dΛ
dt
Ejemplo 4.4:
Ecuación dinámica sobre la barra:
−
(4.8)a
Unidad: Henry (H), esta ecuación es aplicable si el
medio donde está el circuito es lineal (µ = cte) si µ no
B0
i
Λ
I
Φ m = Bπ a 2 =
1
[ F0 − f r ] 1 − e −t /τ  . . . (4.7)c
( B0l )
Sí i > 0, B0lv es llamada "fuera contra-electromotriz" y
la máquina trabaja como motor energizado por la fuente V0; puede ser F0 = 0 y fr incluiría la carga mecánica.
Λ = N Φm =
31
µ0 NIK mπ a 2
[ L + ( K m − 1) x ]
µ 0 N IK mπ a
[ L + ( K m − 1) x]
2
2
I
+
V
-
L
Radiación y Propagación Electromagnética I
L=
U.N.I.
Eduardo Olivera / Marcial López
Λ
µ N 2 K mπ a 2
= 0
I [ L + ( K m − 1) x ]
I(t)
N
Nótese la polaridad, consistente con la ley de Lenz.
V = Vmcosωt
V
dI
Relación Volt-Ampere: V = L
= − fem
dt
Fig. 4.11 a
Vm cos ω t = N
Ejemplo 4.5:
Inductor de núcleo de hierro toroidal:
d Φm
dt
→ Φm =
Vm
Nω 0
Se asume que el lazo de histéresis es muy estrecho
(material blando)
N
S
Φ m(t)
Φ m(t)
I
Sí: 2π r0 = l entonces: Λ = N Φ m = NSB
I(t)
ldH
NI = Hl → dI =
, d Λ = NSdB
N
dΛ
N 2 S dB
De la ec. (4.8)b:
dI =
=L
dI
l dH
I(t)
Nótese que es una magnitud variable.
Im
B
Bmax
Fig. 4.9 b
B1
ω0t
Fig. 4.11 b
ω0t
dB
dH H
max
H1
Nótese la fuerte distorsión en la forma de onda para
I(t). Es porque si V(Φ m) es elevado esta Im puede causar
problemas.
H
4.4 Inductancia mutua y coeficiente de
inducción mutua:
µ1 =
dB
permeabilidad diferencial.
dH
I1
B(I2)
En la práctica:
 N 2S 
 N 2 S  Bmax
Lave = 
µ
=
 ave 

 l 
 l  H max
Fig. 4.12
Ejemplo 4.6:
B
i = j flujo concatenado propio
Λij = 
i ≠ j flujo concatenado mutuo en Γi debido a I j
∆H
∆B
i(t)
i(t) = I0+IAC
H0
Fig. 4.10 b
Por superposición: Λ i =
H
Se define: M ij =
Fig. 4.10 a
 N 2S 
L=
 µint
 l 
Γ2
B(I1)
Λtotal a través de (1) depende tanto de I1 (flujo propio)
como de I2 (flujo mutuo)
Inductor con corriente continua:
L
I2
Γ1
∆B
µint =
∆H
M ij =
Λ ij
Ij
d Λ ij
dI j
Propiedad: M ij = M ji
Ejemplo 4.7:
Armónicos de la corriente en transformadores:
32
n
∑Λ
j =1
ij
para n circuitos (4.8)
medio lineal
......
(4.9)a
medio no lineal . . . . .
(4.9)b
femi = −
d Λi
(4.10)
dt
Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I.
En este ejemplo k = 1, por no considerar flujo de dispersión; en un transformador real k < 1.
Ejemplo 4.8:
El transformador con núcleo toroidal:
I1
Ejemplo 4.9
Un conductor rectilíneo infinito con corriente I1 = I1(t) y
una bobina compacta rectangular (N vueltas, resistencia R y autoinductancia L) son coplanares. La bobina se
aleja con velocidad v0. Hallar la fem inducida en esta.
N1
Fig. 4.13 a
Eduardo Olivera / Marcial López
µ
ρ
v = − ddtρ
du
N2 I2
I1(t)
h
a
b
u
ρ
dρ
h
(1)
r
Asumiremos que el núcleo tiene µ = cte.
Ñ∫
Γ
I2(t)
(2)
H gd l =N1I1 con I 2 = 0
a
Fig. 4.14
N1I1
en el núcleo
, Φ m = ∫ Bgd S
S
2πρ
b
µ N1I1h
µ N1I1h  b 
Φm = ∫
dr =
ln  
ρ = a 2πρ
2π
a
H=
Solución:
Φ 21 = ∫ B 21 gdS 2 =
S2
Φ 21 = ∫
µ N 12 I1h  b 
ln  
Λ1 = Λ11 = N1Φ m =
2π
a
2
µ N1 h  b 
L1 =
ln  
2π
a
µ N1 N2 I1h  b 
Λ 2 = Λ 21 = N 2 Φ m =
ln  
2π
a
µ N1 N2 h  b 
M 21 = M =
ln  
2π
a
µ N 22 h  b 
ln  
con I1 = 0 se hallará: L2 =
2π
a
Λ 21 =
+
L2 V2
-
 ρ+a
ln 

 ρ 
dI1
dM d ρ
dI
− I1
−L 2
dt
d ρ dt
dt
dI
dM
dI
= − M 1 − I1v
−L 2
dt
dρ
dt
fem2 = − M
Ordenando:
V = I2 R + L
dI1
dI
dI
dI
− M 2 y V2 = L2 2 − M 1
dt
dt
dt
dt
+
V1 L1
-
2π
2π
 ρ +a
ln 

 ρ 
µ0 Nh  r + a 
ln 
 = M(ρ)
2π
 r 
d Λ2
fem2 = −
= I2 R
dt
Siendo: Λ 2 = Λ 22 + Λ 21
Λ 2 = M ( ρ ) I1 + LI 2 ,
+
L2 V2
-
I1
µ0 I1(t ) Nh
µ0 I1(t ) h
M 21 =
Los flujos mutuos se restan, por la ec. (4.10):
V1 = L1
2π u
du =
Según ec. (4.9)a:
I2
+
V1 L1
-
µ0 I1(t ) h
u =ρ
Flujo magnético conectado por la bobina primaria:
I1
ρ +a
dI 2
dM
dI
= − I1v
−M 1
dt
dρ
dt
+
R I2
L
V
Si la espira no fuese continua, siempre existirá el voltaje V.
Se puede encontrar:
I2
Fig. 4.14 b
dI1
dI
dI
dI
+ M 2 y V2 = L2 2 + M 1
dt
dt
dt
dt
M
coeficiente de acoplamiento magnético k =
L1L2
V1 = L1
V=
33
 ρ + a  dI1 
µ0 Nh  I1av
− ln 



2π  ( ρ + a ) ρ
 ρ  dt 
Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I.
Eduardo Olivera / Marcial López
4.5 Corrientes de Foucault (eddy currents)
4.6 Generador Homopolar: (Disco de
Faraday):
Cuando un conductor se desplaza a través de un campo
magnético no uniforme o cuando aquel está en reposo
dentro de un campo variable en el tiempo aparecen
corrientes eléctricas que se cierran sobre si mismas en
forma de remolinos.
Generador capaz de producir corrientes intensas con
fem pequeña.
z
B = B0coswtaz
y
r
x
I
+
Vf
-
a
Fig. 4.15
ω
N
B0ωρ
sin ω taö
2
B ωσρ
Y existe: J = σ E = 0
sin ω taö
2
2
Sabemos: dP1 = J gEdV = σ E dV
+
v
-
µ→∞
Φm
Fig 4.17a
 B ωρ

Pl = ∫ σ  0 sin ω t  [ 2πρ ed ρ ] =
0
 2

2
σπ e( B0ω a)
=
sin 2 ω t
8
1 2π
σπ e( B0ω a 2 )2
Pl =
Pd
(
ω
t
)
=
l
2π ∫ω t = 0
16
2
a
En el entrehierro está el disco metálico (conductividad
σ) de radios R1 y R2 (R2 > R1) y espesor e. El núcleo del
electroimán tiene sección recta media S.
z z’
Fig. 4.17 b
π a ; Nπ b
y’
ρ
y
x’
En el sistema de referencia móvil: E ' = 0 dentro del
disco, para el sistema de laboratorio: E = E '− v 0 × B
e
E = −(ù × ñ) × B
E = −(ω az × ρ añ ) × B0a z = −ω B0 ρ añ
El disco de la fig 4.15 es laminado cortándolo en N
discos más pequeños, aislados entre sí, Sea b el radio
de cada laminación:
2
ϕ
x
2a
2
ω az
B0az
El disco se calienta. Este fenómeno se usa en los “hornos de inducción” (crisoles de inductancia) para el
tratamiento térmico de metales. En otros casos el fenómeno es perjudicial (máquinas eléctricas) y sus efectos pueden atenuarse recurriendo a las laminaciones.
Fig. 4.16
g
σ
d
Esta figura muestra un disco delgado (espesor e), con
conductividad s.
Del ejemplo 4.1: E =
Bo
como ∇ × E = 0
φ R1 − φ R2 = ∫
→ b= a/ N
R2
ρ = R1
En cada laminación existe la corriente y la potencia ya
calculadas:
∆φ = fem = −
2
σπ e( B0ω )2  a 2   σπ e( B0ω a 2 ) 2
Pl = N 
  =
16
16 N
 N  

34
→ E = −∇φ
Egdl = ∫
R2
ρ = R1
(−ω B0 ρ añ )g d ρ añ
ω B0
2
2
( R2 − R1 ) a circuito abierto
2
Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I.
Eduardo Olivera / Marcial López
IL
añ × B0 a z (e ρ dϕ d ρ )
2πρ e
I B
dF = − L 0 aö dϕ d ρ
2π
dF =
+
RL
El torque relativo al eje:
Fig. 4.17 c
dô = ñ × dF = ρ añ × dF = −
I L B0
ρ a z dϕ d ρ
2π
R2
2π
I L B0
a z ∫ ∫ ρ dϕ d ρ
ρ = R1 ϕ = 0
2π
I B
2
2
ô = − L 0 ( R2 − R1 )a z = −GI f I L a z
2
ô=−
J
Anillo diferencial de radio ρ y espesor dρ; tiene:
dR =
dρ
2πρ eσ
Generador autoexcitado:
Fig. 4.17 f
resistencia del disco
R 
dρ
1
=
ln  2 
ρ = R1 2πρ eσ
2π eσ  R1 
RS = ∫
R2
(
)
IL
Gω i = L
Φm =
ℜm + ℜ g
Φ m = B0 S
Lf
;
NI f
ℜg
→ B0 =
Rf
di
 L = L f + LS
+ Ri 
dt
 R = R f + RS
Notas de aplicación práctica para este
capítulo:
µ0 SNI f
g
µ 0 NI f
Para 4.2:
Sí B0 depende de una corriente If podemos escribir:
fem = kI f v , donde k incluye parámetros constantes
g
LS
RS
Fig. 4.17 d
If
=
Rf
nal I0 (por remanencia en el núcleo) hasta ser limitada
por la saturación.
-
NI f
If
i = I 0e
Sí Gω > R la corriente aumenta desde el valor nomi-
ℜg
Φm
+
VL=Vf
-
 R −Gω 
−
t
 L 
ℜm
NIf
Lf
LS
I f = IL = i
+
RL VL
-
Para caracterizar esta máquina debemos expresar B0 en
función de If
+
IL
GωIf
RS
ω B0
2
2
R2 − R1
2
RS
IL
GωIf
de la máquina (como la longitud de la barra “l”). Nótese que en el caso de un motor pude medirse k haciéndolo trabajar como generador.
+
RL VL
-
Para 4.6:
G=
0N
Sí se desea conocer el coeficiente de fricción (existente
en un caso real) usaremos la ecuación dinámica:
( R2 − R ) coeficiente de rapidez
2
2
1
dω
+ ςω + τ L = τ m = kI f I a , en estado estable
dt
dω
= 0 y si además τ L = 0 (sin carga mecánica)
dt
resulta: ςω = kI f I a
Según lo visto en 4.3 cuando existe IL aparece un torque (por interacción con B0); la máquina prima debe
vencer este torque para mantener la fem.
z
Fig. 4.17 e
x
B
ϕ
ω
ρ
y
Para un motor serie: I f = I a = I
J
dV
ver figura 4.17 c
IL
añ
2πρ e
De la sección 1.2: dF = J × BdV
J=
j
y resulta: ς =
35
kI 2
ω
Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I.
Eduardo Olivera / Marcial López
sí se desea hallar j se desconecta el motor y se observa
el tiempo para detenerse:
SW
ς 
−  t
dω
+ ςω = 0 → ω = ω 0 e  j 
j
dt
ςT
si el tiempo es T: j = −
ω 
ln  (T ) 
 ω0 
 circuito de alto voltaje
 circuito de bajo voltaje
El generador Magneto-Hidro-Dinámico:
B
z
SW R1
R2
V0
y
área S
i(t)
V0
+
V1
-
i(t) i1(o) = 0, R1 modela la
resistencia de la
bobina y R2 las pérdidas en el núcleo
R2
V0 i1 = 0
R1 + R2
V
t → ∞ V1 = 0 i1 = 0 , luego:
R1
t = 0 V1 =
x
R
El plasma es un líquido o un gas altamente ionizado;
asumiremos que la velocidad del fluido es v y que
existe B = B0az en la región entre placas conductoras de
área S, en x = 0, l. Sea v = vay.
V1( t ) =
∂B
=0
∂t
F = q v × B = qvB0 a x y la fem entre placas:
1 l
fem = ∫ Fg dx ax = qvB0 (a circuito abierto)
q x= 0
Entonces: ∇ × E = −
t
−
R2
eτ
R1 + R2
i1( t ) =
t
− 
V0 
L
τ
−
1
e

 τ=
R1 
R

b) cuando i1 alcanza cierto valor abre a SW, asumiremos que este estado corresponde a t → ∞ (t > 10τ)
V0
V
VR
t = 0 i1 = 0 V1 = − 0 2
R1
R1
R1
t → ∞ i1 = 0 V1 = 0
i1( 0) =
Notamos que este generador tendrá una resistencia
V1( t ) = −
l
interna
y al cerrar el switch circula:
σS


 vB0 l 
vB0l
I=
→ J=
a
l
l  x


R+
 RS + 
σS
σ 

V0 R2 − τt
e
R1
i1(t ) =
V0 − τt
e
R1
al desaparecer la corriente se cierra otra vez el SW y el
ciclo se repite.
i1(t)
V0/R1
A veces es conveniente atribuir la fem a un “campo
eléctrico equivalente” al verdadero agente que origina
la fem (la circulación del fluido); este campo se llama
t
V1(t)
“campo impreso”: J = σ E , ex = externo
ex
σ Eex =
+
Analizaremos el circuito de bajo voltaje; que esta formado por una bobina arrollada sobre un núcleo de
hierro, de tal forma que el electroimán resultante atrae
al contacto SW abriendo el circuito.
a) modelo con el SW cerrado:
Apéndice 4.1:
o
Plasma (σ)
v(t)
l


ax → Eex = 
 vB0ax
l
 l + σ RS 
RS +
σ
R2V0
t R1 + R2
vB0l
−
V0 R2
R1
Si V0R2/R1 es suficientemente grande se puede vencer
la resistencia dieléctrica del aire y se observa una serie
de chispas. Nótese que el alto voltaje tiene polaridad.
Eex : F
Apéndice 4.2: Carrete de Rhumkorf:
Dispositivo que usando el principio de inducción permite generar pulsos de alto voltaje a partir de una fuente dc de bajo voltaje.
36
Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I.
De la ec. (5.1)c: dU m = Id Λ = LIdI
Capítulo 5.
Energía Magnética.
I
B(r)
Γ
r
E(r)
donde I f es el valor final de la corriente.
Como el proceso es reversible: U m =
Energía magnética de dos circuitos estáticos:
Fig. 5.2 a
2
2
dU m = ∑ Ii d λi
d Λ i = ∑ d Λ ij
i =1
j =1
d Λ1 = d Λ11 + d Λ12 = L1dI1 + MdI 2
también: d Λ 2 = MdI1 + L2 dI 2
Reemplazando:
U m = L1 I1dI1 + MI1dI 2 + MI 2 dI1 + L2 I 2 dI 2 . . . (i)
Fig. 5.11 b Relación entre carga móvil y elemento de
corriente unifilar
La energía total no depende del proceso por el cual las
corrientes alcanzan sus valores finales. Se calcula la
energía magnética usando 2 métodos:
a) Variación independientes de las corrientes:
I
v
dl
Sea:
qv ↔ Idl ↔ J S dS ↔ JdV
dWq = − I Egdl dt , sobre cada elemento de longitud
I 2 = 0 I1 = α I1
(0 < α < 1)
f
dI 2 = 0 dI1 = I1 dα
f
dU m1 = L1 (α I1 )( I1 dα )
f
En (i):
en Γ. Para hallar el trabajo total desarrollado por la
fuente de fem en toda la longitud del circuito:
f
U m1 = L1 ( I1 )2 ∫
f
1
α =0
Wq = Ñ∫ ( − I dt Egdl ) = − I dt Ñ∫ Egdl
Ahora:
Γ
 d Φm 
dWq = ( Idt ) 
 = Id Φm
 dt 
I2
Γ2
Γ1
miendo que las corrientes tienen valores nulos y finales
I1f e I2f. Del principio de superposición:
dWq = − q(E + v × B )g( vdt ) = qv gEdt
Γ
I1
dU m = Id Λ siendo necesario usar el λtotal . Asu-
velocidad. Para que ésta sea constante, la fuente de fem
debe producir una fuerza de igual magnitud y sentido
opuesto, de tal manera que en un desplazamiento dl
aquella efectúa el trabajo.
dWq = − q(E + v × B )gdl sobre cada portador
dl
L f 2
( I ) ( 5.2)
2
Ejemplo 5.2:
Un circuito
de corriente
con R = 0
En el circuito Γ de la figura la fuente de fem efectúa un
trabajo para mantener la corriente I. Desde el punto de
vista de la teoría de campos electromagnéticos cada
partícula de carga (q) está sometida a la fuerza electromagnética: Fq = q( E + v × B) , donde v es la
q
If
 I2 
L
U m = L ∫ IdI = L   = ( I f )2
I =0
2
 2 0
If
5.1 Relación entre trabajo Eléctrico y flujo magnético en un circuito estático.
Fig. 5.1 a
Eduardo Olivera / Marcial López
(5.1)a
I1 = I1
I2 = α I2
f
L1 f 2
( I1 )
2
α dα =
f
dI1 = 0 dI 2 = I 2 dα
f
En (i): dU m 2 = MI1 I2 dα + α I 2 L2 I 2 dα
f
Expresión diferencial que relaciona el flujo magnético
con el trabajo eléctrico. Como el circuito no posee R
tal trabajo queda almacenado en el campo magnético
debido a I (proceso reversible) y podemos escribir:
dWq = Id Φ m =
dU m
(5.1) b
U m 2 = MI1 I 2
f
f
∫
1
f
f
dα + L2 ( I 2 )2 ∫
f
α =0
f
1
α =0
L2
f
( I 2 )2
2
Total: U m = Um1 + U m 2
L f
L
f
f
f
Um = 1 ( I1 )2 + 2 (I 2 )2 M (I1 )(I 2 )
2
2
α dα
U m 2 = MI1 I 2 +
f
{
diferencial de energía magnética
El flujo magnético es el total (Concatenado) :
dU m = Id Λ
(5.1) c
f
(5.3)
Nota: para el análisis en el estado estacionario no es
usual escribir el superíndice f en (5.2) y (5.3)
b) Variación en concordancia de las corrientes:
Ejemplo 5.1:
Energía magnética de un circuito en función de la autoinductancia.
Sabemos que: λ = LI d λ = LdI
I1 = α I1
En (i):
37
f
I 2α I 2
f
dI1 = I1 dα
f
dI 2 = I 2 dα
f
Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I.
Eduardo Olivera / Marcial López
dU m = L1α I1 I1 dα + M α I1 I2 dα
f
f
f
f
+ M α I2 I1 dα + L2α I 2 I 2 dα
L
L
f
f
f
f
U m = 1 ( I1 )2 + M ( I1 )( I 2 ) + 2 ( I 2 )2
2
2
f
f
f
f
B
x
Φ m = ∫ Bgds = B0a z g(− yla z ) = − B0 yl
S
d Φ m = − B0ldy
id Φ m = −iB0ldy = − dWmec según la ec. (5.4)
5.3 Flujo Magnético, energía almacenada y trabajo desarrollado por un circuito:
S2
La ec. (5.4) no toma en cuenta el trabajo eléctrico para
mantener la corriente I; en el ejemplo 5.3 se expresa
por la omisión de la autoinductancia del circuito. En
general , el trabajo eléctrico de las fuentes independientes en parte se convierte en trabajo desarrollado por el
circuito y en parte se almacena como energía magnética; un ejemplo concreto son los motores.
dWb = dU m + Fgds
(5.5)a
B S3 superf.
Fig. 5.4 b
lateral
S1
dl
r(t)
El circuito Γ efectúa un desplazamiento ds en el Intervalo dt. Observamos: ds 3 = dl × ds
Sobre cada dl se efectúa el trabajo mecánico:
Id Λ = dU m + Fgds
Ejemplo 5.4:
dWdl = dWmec = ∫ IB gds 3
Aplicación de la ec. (5.5) al motor lineal (4.3.4)
S3
Esta integral se calcula como en (4.2.2):
En (t+dt):
Ñ∫
S
x
R
B gds = 0 = ∫ B gds 3 − ∫ B gds1 + ∫ B gds3
S2
S1
S3
V0
0 = d Φ m + ∫ Bgds 3
S3
∫
S3
(5.5)b
donde: F es la fuerza E.M. y dW = F gds + Id Λ
dWdl = − Idl × B gds = IB gdl × ds = IB gds 3
Γ
Fmec = ilB0 ay
El Φ m es:
ds
∫
l
= F gds = ilB0a y g dyay = ilB0 dy
dW
Conocemos la fuerza E.M. sobre el elemento de corriente unifilar: F = Idl × B , para que este elemento
pueda desplazarse en el espacio a velocidad constante
se requiere una fuerza mecánica: Fmec = − Idl × B
Si el elemento se desplaza ds luego el trabajo mecánico
es: dWmec = − Idl × Bgds
Para todo Γ:
y
El trabajo mecánico de esta fuerza:
I
dl
Γ
Fmec
a
FE.M. = ilax × B0 az = −ilB0 ay
Fig. 5.4 a
ds
v
fem
+
FE.M.
B0 = B0az
5.2 Relación entre trabajo mecánico y
flujo magnético en un circuito móvil:
r(t+dt)
i
RL
que coincide con (5.3)
B
b
Fig. 5.5
y
IB gds 3 = dWmec = − Id Φ m
F = IlB0 a y
dWmec = − Id Λ
(5.4)
Si el sistema es reversible, este trabajo queda almacenado como energía potencial.
L
fcem
B = B0azI
+
FE.M.= F
Fig. 5.6
Λ total = Λ mutuo + Λ propio
Λ = B0a z g( yla z ) + LI = B0ly + LI
d Λ = B0 ldy + LdI
Id Λ = IB0ldy + LIdI = Fgds + dU m
sí despreciamos R: dWb = Id Λ
Ejemplo 5.3:
Trabajo mecánico y flujo magnético para el generador
lineal (4.3.2)
incluyendo R: dWb = I Rdt + Id Λ
Hallaremos la energía total eléctrica entregada por la
fuente (se asumirá que fr = 0 y L = 0) :
2
FE.M . = ila x × B0a z = −ilB0a y
Fmec = ilB0ay
38
Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I.
 ( B l )2 
V
I = 0 exp  − 0 t 
R
 mR 
2
∞
 ( B l )2 
V ∞
Wb = ∫ V0 Idt = 0 ∫ exp  − 0 t  dt =
t =0
R t =0
 mR 
V 
V m
= 0 2 = m 0 
( B0l )
 B0l 
2
U m = 12 ∫
2
V
∫t =0 I Rdt = R0
2
(nIa j )g( 12 µ0 nIaa j )(2π adz )
energía en un segmento de longitud “l”.
U m = 12 µ0 (nI )2 (π a 2 )l
energía por unidad de longitud:
Um 1
= 2 µ0 (nI )2 (π a 2 )
l
2
evaluando la inductancia por unidad de longitud:
L 2 1
2
2
  I = 2 µ0 (nI ) (π a )
l
 
 L
2
  = µ0 n(π a ) en H/m
l
1
2
2
y la conversión de energía eléctrica en calor:
∞
l
z =0
la energía cinética final de la barra ab es:
1
1 V 
2
mv0 = m  0 
2
2  B0 l 
Eduardo Olivera / Marcial López
 2(B0l )2 
m V 
exp
∫t =0 − mR t  dt = 2  B00l 
∞
2
5.4.2 Um, B y H:
Para hallar esta relación partiremos de la ec. (5.6)c,
recordando que:
Se cumple la ley de conservación de la energía.
∇× H = J
U m = 12 ∫ ∇ × H g AdV
5.4 La energía magnética en términos de
los vectores de campo:
V
Por identidad vectorial:
∇g( A × H) = H g(∇ × A) − A g(∇ × H )
= H g B − A g (∇ × H )
∇ × H g A = H g B − ∇g ( A × H )
Las secciones anteriores tratan la energía magnética
como si ella estuviese concentrada en las corrientes;
aquí se tratará de conceptuar la energía magnética
asociada con los vectores de campo y distribuida en el
espacio.
Reemplazando:
5.4.1: La Um y A:
U m = 12 ∫ H gBdV − 12 ∫ ∇ g( A × H) dV
V
Sea un circuito con corriente estacionaria I, de la ec.
(5.2):
Fig. 5.7
r
1
2 V
H gBdV − 12 Ñ∫ ( A × H )gdS
S
Sí se extiende V hasta que sea "todo el espacio", S está
en el infinito:
1
dS : R 2
R3
A × H gdS = 0
A×H :
I
o
∫
Um =
Γ
A(r)
V
Por el teorema de Gauss:
dl
lim Ñ∫
LI
( LI ) I = Φ m I
Um =
=
2
2
2
1
I
De la ec. (1.13): Um = Ñ
Agdl I = Ñ∫ Agdl (5.6)a
∫
Γ
2
2 Γ
R→∞
2
S
luego: U m =
∫
1
2 V
A × H dS :
1
R
H gBdV (ene todo el espacio) (5.7)a
El desarrollo utilizado asume un medio lineal; luego:
B = µH → Um =
Recordando las relaciones para elementos de corriente:
∫
1
2 V
B2
dV
µ
U m = 12 ∫ µ H 2 dV
qv ↔ Idl ↔ J S dS ↔ JdV
(5.7)c
V
y puede probarse las siguientes relaciones:
(5.7)b
U m = 12 ∫ J S g A dS
(5.6)b
Una interpretación de las ec. (5.7) es que la energía
está distribuida en todo el volumen del espacio con
Um =
(5.6)c
densidad:
S
∫
1
2 V
J g A dV
Um
= um = 12 H gB
dV
Ejemplo 5.5:
Ejemplo 5.4.3:
Un solenoide infinito ideal (ver ejemplo 1.6)
Repetir el ejemplo 5.5, se sabe que B = µ0 nIaz
J S = nIaö
A
ρ =a
= µ0 nIaaö
Luego:
1
2
39
um =
B2
µ (nI )2
= 0
2µ0
2
(5.8)
Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I.
µ0 (nI )2
µ0 (nI )2
=
dV
(π a2 )l
V
V
2
2
2
 U  µ (nI )
por unidad de longitud:  m  = 0
(π a 2 )
2
 l 
Eduardo Olivera / Marcial López
µ0lI 2
 4 c 1 2 2

c ln − (c − b )(3c2 − b2 )
2 2
2 2 
4π (c − b ) 
b 4

iv) Para ρ > c B = 0 U m4 = 0
Um = ∫ um dV = ∫
Um3 =
Energía total: U m = U m1 + U m2 + U m3 + U m4
5.4.3 Cálculo de L usando el método de
la energía:
También: U m =
El concepto de las ec. (5.7) permite hallar L de un
sistema en el cual se conoce H y B en todas partes.
Luego: L =
2U m
I2
1
1
b
1
L = µ 0l  +
ln +
2
2 2
 8π 2π a 2π (c − b )
Ejemplo 5.7:
Inductancia por unidad de longitud para una línea coaxial.
Sí l = 1 obtenemos L por unidad de longitud en H/m
RL
El término central:
Fig. 5.4
ρ
b
a
de radio "a" es: L =
ϕ
µ0l
L µ0
Henrys ó
=
H/m
8π
l 8π
5.5 Energía Magnética y curva de
Histéresis:
c
z
µ0l b
ln , asociado con el Φ m
2π a
eterno a los conductores se llama "inductancia externa". La inductancia interna de un conductor cilíndrico
I
I
 4 c
 c ln b
1

− (c 2 − b 2 )(3c 2 − b 2 )  
4

Cable coaxial
Gen
LI 2
2
x
Del capítulo 2 recordamos el anillo de Rowland:
La longitud es "l" , conductor de cobre, con µ = µ0
i) Para:
∫ Bgdl = µ ∫ J gdS
0< ρ < a:
0
Γ
S
N
 πρ 
µ Iρ
µ (I ρ )2
2πρ B = µ0I  2  B = 0 2 aϕ um1 = 0 2 2
2π a
8(π a )
 πa 
a
µ lI 2
U m1 = ∫ um1 (2πρ d ρ )(l ) = 0
ρ =0
16π
µ0 I
µ0 I 2
ii) Para: a < ρ < b B =
aϕ um2 =
2πρ
8(πρ )2
b
µ lI 2 b
U m2 = ∫ um2 (2πρ d ρ )(l ) = 0 ln
ρ =a
4π
a
iii) Para: b < ρ < c Ñ
∫ Bgdl = µ0 ∫ JgdS
2
Γ
ρ0
I
Sabemos: H =
um3
NI
2πρ
d Φ m = SdB
Reemplazando:
dWb = (2πρ 0 H )( SdB) = 2πρ 0 SHdB
Observamos que: 2πρ 0 S = V ( volumen del anillo)
Luego: dWb = VHdB
S
2
Γ
µ0 I 2
= 2 2 2 2
8π (c − b )
Fig. 5.10 a
Por la ec. (5.1)b: dWb = Id Λ = NId Φ m
(Trabajo eléctrico efectuado por la fuente)
c − ρ 
B gdl = µ 0 I  2 2 
 c −b 
 c2

µ0 I
∴ B=
− ρ  aϕ
2
2 
2π (c − b )  ρ

Ñ∫
2
ρ0 = radio medio
S: sección recta
Sí I aumenta desde o hasta alcanzar la saturación el
trabajo total eléctrico es: Wb = V
 c4
2
2
 ρ 2 − 2c + ρ 


40
∫
Bmax
B =0
HdB
Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I.
5.6 Cálculo de Fuerzas y Torques por
el método de la energía:
B
Bmax
Fig. 5.10 b
Curva de
magnetización
Este cálculo se basa en la ec. 5.5b:
Id Λ = dU m + Fgds
dB
sea el caso de un circuito unifilar; de 5.4.1 sabemos:
Um =
H
H
Bmax
Um
= ∫ HdB
B =0
dV
dWb = 2dU m = dU m + FgdS
(5.9)
FgdS = dU m = ∇U m gdS
densidad de energía magnética.
Obsérvese que si el material es lineal, entonces:
∴ F = +∇U m
B
H = y se obtiene la ec. 5.8
µ
Wb
= HdB
V Ñ∫
τ=
(5.10)
∂U m
∂θ
dWb = 0 = Id Λ = dU m + FgdS
dB
H
FgdS = − dU m
F = −∇U m
τ=−
B
B
+Bm
(5.11)b
I = cte
El procedimiento puede extenderse a cualquier sistema
magnético lineal; si tal sistema no contiene fuentes de
fem externas:
B
Fig. 5.10 c
(5.11)a
I = cte
Esta ec. Permite calcular la fuerza magnética sobre un
circuito si se expresa U m como una función de una
variable adecuada (ver ejemplos). Si el circuito está
dispuesto de tal forma que pueda rotar, entonces:
Si la corriente es alterna, entonces el área del lazo de
histéresis es el Wb neto por unidad de volumen:
wb =
Φ m I ΛI
Id Λ
=
luego: dU m =
2
2
2
que se interpreta como el cambio en la energía para
mantener I cte., para lo cual la fuente externa efectúa el
trabajo diferencial dWb , reemplazando:
Este trabajo es igual a la U m ; entonces:
um =
Eduardo Olivera / Marcial López
H
∂U m
dθ
Λ= cte
(5.12)a
Λ= cte
(5.12)b
Ejemplo 5.8:
H
Una bobina compacta tiene N espiras, corriente I2 y se
ubica en el mismo plano que un conductor unifilar
infinito con corriente I1. Hallar la fuerza sobre la bobina y el torque alrededor del eje x
-Bm
Al final de un ciclo completo el estado magnético del
material es el mismo que al principio; luego la energía
magnética es la misma; entonces la ec. 5.10 representa
una pérdida de energía que aparece como calor por
unidad de volumen y por ciclo de la corriente alterna.
I1
x0
aϕ
I2
a/2
x
Fig. 5.11 a
a/2
ρ
5.5.1 Ecuación de Steinmetz:
dρ
Es una fórmula empírica que da la potencia perdida
como calor en watt por unidad de volumen:
η fBmax
1.6
Calculemos la energía magnética según ec. 5.3
en W/m3
Rango: 1000G < Bmax < 15000G
η = 0.001 (acero al silicio) Silicon Steel
= 0.002 - 0.004 (Feee dulce) Soft Iron
= 0.03 (acero moldeado) Hard Cast Steel
U m = 12 L1I1 + 12 L2 I 2 + MI1I 2
2
luego: F = +∇U m
2
I1 , I 2 = cte
como L1 = L2 = cte , entonces:
∇U m = I1 I 2 ∇ M
41
Radiación y Propagación Electromagnética I
cálculo de M: B 21 =
U.N.I.
µ 0 I1
aϕ
2πρ
m, en un campo B que no depende de aquella,
entonces:
U m = m gB
(5.13)e
µ0 I1
µ I a x +b
aϕ g(ad ρ aϕ ) = − 0 1 ln 0
ρ = x0 2πρ
2π
x0
µ I Na x + b
Λ 21 = − 0 1 ln 0
2π
x0
d Λ 21
µ Na x + b
= − 0 ln 0
M=
2π
dI1
x0
Para evaluar ∇U m debemos expresar M como una
Φ 21 = ∫
Eduardo Olivera / Marcial López
x0 + b
m
Ejemplo 5.9:
Una espira circular de radio a (L = 0, resistencia R) está
en el plano z = 0. Un imán de volumen V y magnetización M0 se aleja de la espira a lo largo del eje z con
velocidad cte. Hallar
(a) corriente en la espira
(b) m de la espira
(c) fuerza de interacción
función de x y luego reemplazar x = x0:
µ0 Na x + b
ln
2π
x
µ NabI1 I 2
dM
F = +∇U m = + I1 I 2
ax = 0
ax
dx
2π x ( x + b)
µ NabI1 I 2
F x= x0 = 0
a x fza. de repulsión
2π x0 ( x0 + b)
M ( x) = −
z
v0
M0
(1)
Nota: es la misma que se calcularía usando:
F = I l×B
a
(2)
ax
x
I1
Fig. 5.11 b
θ
y
Asumiendo z grande comparada con el imán y la espira
usaremos una aproximación dipolar (ver cap. 1):
Bobina
de canto
θ
B 21 =
B21
α
µ 0  m1 3m1 g R 
R  R = − za z
+
4π  R3
R5

m1 = M 0V = M 0Va z
µ 0  M 0Va z 3( M 0Va z )g(− za z )

+
( − za z ) 
3
5

4π  z
z

µ M Va
µm
B 21 = 0 0 3 z = 0 31
2π z
2π z
B 21 =
De la fig: cos α = − cosθ
Φ 21 = ∫ B 21 gdS 2 = ∫ B21 cos α dS 2
S2
z
Fig. 5.13
Para hallar el torque suponemos un giro de la bobina
alrededor del eje x:
dS2
B
Fig. 5.12
S2
µ0 I1a
x +b
cos θ ln 0
2π
x0
µ NI a cos θ x0 + b
Λ 21 = − 0 1
ln
2π
x0
d Λ 21
µ Na cosθ x0 + b
M=
=− 0
= M (θ )
ln
dI1
x0
2π
dU
dM µ0 NI1 I2 a sin θ x0 + b
τ = + m = I1I 2
=
ln
dθ
dθ
2π
x0
Φ 21 = −
(a) Flujo total en la espira:
µ 0 M 0V
(π a 2 )
3
2π z
2
d Φ 2 3µ0 M 0Va dz 3µ0 M 0Va 2
fem2 =
=
=
v0
2z4
2z4
dt
dt
fem2 3µ0 M 0Va 2v0
i=
=
R
2 Rz 4
Φ 2 = Φ 22 + Φ 21 = Lí + B21 S2 =
El sentido de i se calcula por la ley de Lenz:
El signo (+) indica en el mismo sentido de θ
B21 (decrece)
5.6.1 Expresiones particulares para Um:
i
Para el cálculo de fuerzas, conviene en ciertos casos
modelar a la parte del sistema sobre la cual se determina tal fuerza como se indica a continuación:
i)
Dipolo en campo externo: Si la parte del sistema mencionado puede caracterizarse por un
Antihorario para
ayudar a B21
(b) por definición: m 2 = iS 2 = i(π a a z ) =
2
42
Radiación y Propagación Electromagnética I
m2 =
U.N.I.
Eduardo Olivera / Marcial López
Solo se incluye el volumen donde B ≠ 0 ; así:
3µ 0 M 0Va 4v0
az
2 Rz 4
U m = 12 (km − 1)µ0 ( nI )2 (π a 2 y )
(3) De la ec. 5.13, considerando que la espira no influye en el campo del imán: U m = B 21 gm 2 energía de la
espira en el campo del imán.
F21 = −∇U m (no hay fuentes independientes de fem)
De la ec. 5.14 b:
dU m
d  3( µ 0 M 0V ) 2 a 4v0 
F21 = −
az = − 
 az
dz
dz 
2 Rz 7

está dirigido hacia arriba, la barra es repelida fuera del
solenoide.
dU m
ay = 12 (km − 1)µ0 (nI )2 (π a2 )ay c
dy
omo el cuerpo es diamagnético ( km − 1) < 0 , así F
F = +∇Um =
21( µ0 M 0V )2 a 4v0
a z (atracción, ver fig.
4 Rz 8
5.13), por la ley de newton: F12 = −F21 la calidad de
(b) Para equilibrar el peso de la barra:
F21 =
1
2
µ0 (1 − km )π a 2 (nI ) 2 = δ gπ a 2 d
1/ 2
 2δ gd

I =

2
 µ0 n (1 − km ) 
la fuerza confirma la ley de Lenz
ii) Cuerpo material magnetizable en campo externo:
5.6.2 Diversas aplicaciones de la fuerza
por interacción magnética:
Bext
Fig. 5.14
Demostración experimental de la ley de Lenz
Mint
i
Fig. 5.16 a:
M int es la M inducida por el B ext
Um =
∫
1
2 V
cuerpo
B
SW
SW
F = +∇U m (5.14)b
Bext gM int dV
I
Ejemplo 5.10:
Levitación magnética: Se tiene un solenoide con corriente I, n espiras por unidad de longitud, con su eje
vertical . Dentro de éste se introduce una barra cilíndrica delgada de radio a, de material diamagnético. Hallar:
(a) Fuerza magnética en la barra
(b) I para equilibrar el peso de la barra (densidad
δ y longitud d)
Fig. 5.16 b:
Inicialmente el electromagneto no tiene corriente y el
flujo magnético a través del anillo es cero.
Al cerrar el SW aparece i en el conductor en sentido tal
Que se opone a B de I y la fuerza F repele al anillo; si
en éste se practica un corte radial no existiría "i" y el
anillo queda en reposo (ver ejemplo 5.4 considerando
que el imán se acerca a la espira)
(2)
I
ay
y
Fig. 5.15
Levitación de magnetos permanentes sobre materiales
superconductores.
(1)
F(i)
H
S
N
Campo creado por el solenoide: H1 = − nIa y (ver
capítulo 1), como la barra es delgada, entonces las
condiciones de contorno en la superficie lateral de la
barra establecen: H 2 = H1 = − nIay
Fig. 5.17
i
Casquete
superconductor
Por teorema del capítulo 2:
M 2 = (k m − 1)(− nIay )
(a) de la ec. 5.14 a: U m =
donde: Bext = − µ0 nIay
∫
1
2 V
barra
El imán queda suspendido en el aire sobre el casquete
superconductor debido a la interacción con las corrien-
B ext gM int dV
M int = (km − 1)(− nIa y )
43
Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I.
Eduardo Olivera / Marcial López
tes i de Foucault inducidas en éste (ver ejemplo 5.9
considerando R → 0)
A
C1
A1
C
Nota a la fig 5.17:
En los superconductores el flujo magnético no puede
penetrar y el campo tiene el aspecto que se muestra
(Efecto Meissner) Ver 3.6
B1
B
Si se coloca un conductor en el espacio donde existe B
éste experimenta un torque y gira.
I
B
Fig. 5.18 b
Anillo conductor
Mesa aislante
Placa superconductora
Núcleo toroidal
con alimentación trifásica
B
B
Conductor
normal
La velocidad de rotación del anillo es diferente de la
velocidad de rotación de B (deslizamiento)
El anillo conductor gira alrededor del eje vertical por
acción del B rotatorio (principio del motor de inducción trifásico) ô = m × B hasta que m sea paralelo a
B, pero como B gira esto no sucede y el giro se mantiene
Super
conductor
Campo magnético giratorio: Fig 5.18 a
B
A
Motor de inducción monofásico de polo blindado:
(shaded-pole)
A1
B (simétrico)
(ii) B1
(i)
Disco conductor
C
VAC
A
El B(t) del electromagneto con AC monofásica produce
corrientes de Foucault, pero por ser simétrico el torque
es nulo (el disco se calienta)
A1
C1 (iii)
Fig. 5.19 a
Electromagneto
(iv)
B (simétrico)
B
C
Polo sombreado
VAC
(v)
B1
C1
Disco conductor
Electromagneto
Fig. 5.19 b
El B asimétrico resultante por acción de la placa conductora cubriendo media cara del polo equivale a un
imán que se desplaza de la zona “no blindada” a la
blindada. El torque neto así generado hace girar al
disco conductor.
(vi)
Se muestra un núcleo toroidal de Fe con un arreglo de
6 bobinas; las bobinas alimentan por pares secuencialmente en el tiempo con corriente continua I en (i), (ii) y
(iii), en (iv), (v) y (vi) la corriente I invierte su sentido.
Sí este proceso se efectúa con una transición continua
entre cada estado el resultado es un campo B giratorio,
para ello se utiliza corriente trifásica (una de las ventajas de tal corriente es la posibilidad de generar este tipo
de B0)
Ejemplo 5.11: Uso de electromagnetos
para levantar pesos:
El núcleo en forma de U posee µ → ∞ ; la armadura
está unida a la carga (también posee µ → ∞ ) Sección
del gap1 = 2S, sección del gap2 = S
44
Radiación y Propagación Electromagnética I
I
U.N.I.
N
gap2
gap1
Fig. 5.20 a
+
x
Peso a
levantar
¡g1
¡m≈0
Φm
¡a≈0
NI
Fig. 5.20 b
¡g2
NI
( ¡ g1 + ¡ g 2 )
x
x
¡ g1 =
¡ g2 =
2 µ0 S
µ0 S
2 S µ 0 NI
∴ Φm =
3x
Φm =
De la ec. 5.7 b:
2
B2
Φ  L 
1 (Φ m / S ) SL
Um =
V=2
= m 
µ
µ
2 Sµ 
2
U m = 12 Φ m ¡
1
2
( NI )2 S µ0 Φ m x
=
9x
4µ 0 S
2
gap1: U m1 =
2( NI )2 S µ 0 Φ m x
=
9x
2µ0S
2
gap2: U m 2 =
De ec 5.11a:

dU m1
( NI )2 S µ 0
ax = −
ax 
2

dx
9x
 Para I=cte
2
dU m 2
2( NI ) S µ0 
F2 = +
ax = −
ax

dx
9 x2
F1 = +
De ec. 5.12a:
2

dU m1
Φ
ax = − m ax 
dx
4µ 0 S 
 Para Φ m =cte
2
dU m 2
Φm
F2 = −
ax = −
a x 
2µ0 S 
dx
F1 = −
Notar que el polo cónico ejerce una fuerza doble; si el
peso es incrementado cede primero el polo común.
45
Eduardo Olivera / Marcial López
Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I
Eduardo Olivera / Marcial López
Capítulo 6
Ñ∫
Electrodinámica
cargas eléctricas.
Como el proceso de carga del capacitor es dinámico,
usaremos la ec. (6.5) con:
Γ
H gd l = ∫ J gd S = 0 entre las placas no hay
S1
∂D ∂  Q (t )  1 ∂Q (t )
=
=
, siendo Q ( t ) la carga en
∂t ∂t  S  S ∂t
∂Q ( t )
∂D I
→
= , luego:
la placa, como I =
∂t
∂t S
 
∂D 
∫S1  J + ∂t gd S = ∫S1 J gd S = I
 

Ñ∫ Γ Hgd l =   ∂D 
I
IS

J+
gd S = ∫
dS = = I


∫
S2 S
 S 2 
∂t 
S
Propagación de OEM Planas
6.1 Las ecuaciones de Maxwell:
Los fenómenos eléctricos y magnéticos son dos aspectos de un único fenómeno: la interacción electromagnética. Los fenómenos electromagnéticos son dinámicos
y su formulación matemática clásica se debe a J. Maxwell (1866). A partir de sus ecuaciones, Maxwell predijo la naturaleza ondulatoria de esta interacción y que
la luz era también una manifestación electromagnética.
En la física moderna el electromagnetismo es explicado por la Mecánica Cuántica y tiene como partícula al
fotón.
∇ gD = ρ f
(6.1)
Leyes de Gauss

(6.2)
∇ gB = 0
Nótese que la corriente de conducción en batería y
conectores se convierte en “corriente de desplazamiento” entre las placas del capacitor.
Ejemplo 6.2
∂B
Ley de Faraday
∇×E = −
(6.3)
∂t
∂ρ f
=0
Ec. de continuidad ∇ gJ +
(6.4)
∂t
Ley de Ampere
∇×H = J
Por identidad: ∇ g∇ × H = ∇ gJ = 0 que contradice a
Relación Volt-Ampere para un capacitor
+q (t)
+
+
+
+
+
ec. (6.4), Maxwell propuso la siguiente modificación:
∇× H = J +
∂D
∂t
d
+
∂D
como una “densidad de corriente”
∂t
Solución: Entre placas E =
Sea el caso de un capacitor plano con dieléctrico de
aire. Demostrar la aplicación de la ec. (6.5) a este caso,
ilustrado en la fig. 6.1
σf =
Ñ∫
S1
S
Γ
εV(t )
d
Jgd S +
−i +
Γ
I
, D=
εV(t )
, q=
SV(t )
d
∂
∂t
∫
V
ρ f dV = 0
d (q )
d  SεV( t ) 
dV
=0 → i= 
=C

dt
dt  d 
dt
Nótese que en el dieléctrico existe una corriente de
Vo
desplazamiento: S
Solución: Usamos la ley de Ampere
Ñ∫
V(t )
De la ecuación de continuidad:
S2
Fig. 6.1
-
d
d
Por condiciones de frontera: ( D2 - D1 )gn = σ f
Ejemplo 6.1
t=0
V (t)
S: Área de la placa,
d: Separación entre placas, ε = ε r ε o
por sus efectos magnéticos, aunque no asociada con
movimiento de portadores de carga.
S: área de la placa
S1 y S2 son superficies
imaginarias que tienen
como frontera Γ
D
Fig. 6.2
Ley de Ampere - Maxwell
Interpretando
-
ε
i (t)
(6.5)
-q (t)
H gd l = ∫ J gd S = I S1 acotada por el conducS1
tor.
47
∂D Sε dV
=
=i
∂t
d dt
Radiación y Propagación Electromagnética I
+
U.N.I
Marcial López / Eduardo Olivera
E=
-
6.1.1 Autoconsistencia de las ecuaciones de Maxwell:
i (t)
+ V (t)
∂B
∂t
∂D
∇× H = J +
∂t
∇ gD = ρ f
∇gB = 0


 1er Par
(6.6) b 

(6.7) a 
 2do Par
(6.7) b 
∇×E = −
Ejemplo 6.3
Un micrófono electrostático está formado por 2 placas
circulares metálicas de radio “a”, una fija y otra móvil.
Hallar H entre las placas cuando el SW está cerrado y
también cuando está abierto.
a
∂D
=0 → H=0
∂t
Qo
az = cte y
ε oπ a 2
(6.6) a 
De la ec. (6.6) a:
z
∇g(∇ × E) = −∇ g
SW
d
0=−
∂B
∂
= − (∇gB)
∂t
∂t
∂
(∇gB ), como B = B (t ) , luego ∇gB = 0
∂t
De la ec. (6.6) b:
Fig. 6.3 b
Vo
d = do + d1Senωt
∇g(∇ × H) = ∇gJ + ∇g
Solución:
0=
Vo
Vo
az =
az, SW=ON
d
do + d 1 Senω t
D = ε E, entre placas:
∂D
ε V d ω Cosω t
J = 0,
=− 0 0 1
az
(d 0 + d1 Senω t ) 2
∂t
E=
y
a
ρ
∂
(− ρ f + ∇gD) → ∇gD = ρ f
∂t
6.1.2 Relaciones constitutivas:
D = ε 0 E + P, B = µ 0 ( H + M)
Para medios lineales, homogéneos, isotrópicos sin P ni
M propios:
D = ε E, B = µ H
Fig. 6.3 b
z
6.1.3 Condiciones de contorno:
(2)
∂D
Ñ∫ Γ Hgd l = ∫S ∂t gd S
 ε V d ω Cosω t 
2πρ H = −  0 0 1
(πρ 2 ), para ρ < a
2
(
d
+
d
Sen
ω
t
)
 0 1

n
(1)
E1t = E 2t
(D2 − D1 )gn = σ f
B1n = B 2n
n × (H 2 − H1 ) = JS
6.2 Naturaleza ondulatoria del
campo electromagnético:
ε oVod 1ω Cosω t  ρ 
H=−
  aϕ
(d 0 + d1 Senω t )  2 
Se asume que este H = H( t ) es tal que según
∇×E = −
∂D
∂
= ∇gJ + (∇g D)
∂t
∂t
Puede deducirse considerando el caso particular de una
región sin fuentes, no conductora (J y ρf son nulos)
De la ec. (6.6) a:
∂B
, el campo eléctrico asociado con él es
∂t
∂B
∂
= − µ (∇ × H )
∂t
∂t
2
∂E
−∇ 2E = − µε 2
∂t
2
∂E
∇ 2E = µε 2
(6.8) a
∂t
∇ × (∇ × E) = −∇×
pequeño; ésta es llamada “aproximación cuasiestacionaria” del campo E.M.
Cuando el SW se abre, podemos imaginar que en las
placas queda una carga ±Qo ; entonces:
48
Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I
∂ 2 Ex
∂ 2 Ex
reemplazando:
= µε 2
(6.9) a
∂z 2
dt
∂ 2 Hy
∂ 2 Hy
=
µε
(6.9) b
∂z 2
dt 2
∂Ey
∂ Hx
∂Hx
∂Ey
=µ
=ε
∂z
∂t
∂z
∂t
Análogamente, usando la ec. (6.6) b
∇ 2 H = µε
∂ H
∂t 2
2
(6.8) b
Recordando la ecuación de onda de la física:
1 ∂2X
∇ X= 2 2
v ∂t
2
Luego la velocidad de propagación de las OEM para
este caso: v =
se concluye que Ex se relaciona sólo con Hy, Ey sólo
con Hx. Para esta región, para resolver el caso más
simple basta con la ec. (6.9)
1
µε
En general propagación es el estudio de las soluciones
para el campo E.M. en la región sin fuentes.
El estudio de las soluciones en función a las fuentes se
denomina radiación.
6.2.2 Solución de la ecuación de
onda en el dominio de la frecuencia.
Nos interesa la solución en el estado estacionario sinusoidal. Notación fasorial para el dominio de la frecuencia:
∇ × E = − jωµ H
(6.10) a
6.2.1 OEM planas:
Constituyen la solución más sencilla al problema de
propagación. Estudiaremos el caso de una onda que
viaja en la dirección del eje z; entonces:
∇ × H = J + jωε E=
∇gD = ρ f
∇gB = 0
E = E ( z , t ), H = H ( z , t )
∂B
∇×E = −
∂t
∂Ex
∂Ey
∂Hy
∂Hz 
 ∂Hx
ay −
ax = − µ 
ax +
ay +
az 
∂z
∂z
∂t
∂t 
 ∂t
(6.10) b
(6.11) a
(6.11) b
Procediendo como en 6.2 se obtiene la ecuación homogénea de Helmholtz:
∇ 2 E=
+ µεω 2 E=
=0
∇ 2 E=
+ K 2 E=
=0
jω t
E=E=
= (t )e
∂Ex
∂Hy
= −µ
∂z
∂t
∂Ey
∂Hx
∂Hz
=µ
y
=0
∂z
∂t
∂t
∂D
∇× H = −
∂t
∂Hx
∂Hy
∂Ey
∂Ez 
 ∂Ex
ay −
ax = −ε 
ax +
ay +
az 
∂z
∂z
∂t
∂t 
 ∂t
∂Hx
∂Ey
Tenemos que:
=ε
∂z
∂t
∂Hy
∂Ex
∂Ez
= −ε
y
=0
∂z
∂t
∂t
∂Ez
∇ gD = 0 → ε
∂z
Por ley de Gauss:
∂Hz
∇gB = 0 → µ
∂z
Tenemos que:
(6.12) a
(6.12) b
Asumiendo el caso particular de una onda que viaja en
la dirección del eje z con E=
// ax : E=
( r ) = E=
( z )ax y la
d 2 E=
(z)
+ K 2 E=
(z) = 0
2
dz
− jKz
jKz
E=
(z) = E =
oe
+ E=
1e
ec. (6.12) b, queda como:
Para volver al dominio del tiempo:
jω t
E = Re{E=
( z ) ax e
}
E = Eoa x cos(ω t − Kz ) + E1a x cos(ω t + Kz )
x
vpaz
Eo
z
Fig. 6.4 a
λ
x
Como Ez, Hz no son funciones de z,t deben ser nulos;
luego el campo E.M. no tiene componentes en la dirección de propagación (carácter transversal).
También notamos que las otras componentes se relacionan así:
∂Ex
∂Hy
= −µ
∂z
∂t
2
∂ Ex
∂ 2 Hy
µ
=
−
∂z 2
∂zdt
Eduardo Olivera / Marcial López
-vpaz
E1
z
∂Hy
∂Ex
= −ε
, derivando:
∂z
∂t
∂ 2 Hy
∂ 2 Ex
= −ε 2
dt ∂z
∂t
λ = periodo espacial (longitud de onda)
vp = velocidad de fase (del frente de onda)
49
Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I
r = xax + yay + zaz vector posición, punto de campo.
Sí llamamos Eo al vector contenido en el plano de
frente de onda que representa la amplitud del campo
eléctrico.
Por ser periodo espacial:
cos(ω t − Kz ) = cos[ω t − K ( z + λ )]
2π
K λ = 2π → λ =
K
z
o
Fig. 6.4 b
E = Eo=
e− jKgr , donde K = Kn (vector de propagación)
1
De la ec. (6.10) a: H=
=−
∇×E
jωµ
vp
x
De la ec. (6.14) b:
 K

K
Eoay e− jKz = 
az × Eoay e − jKz 
ωµ
 ωµ

K
n × E, n, E, H , son mutuamente ortogoH=
ωµ
K
z
H=
El punto que representa la amplitud máxima corresponde a una fase constante (esto es cierto para cualquier otra amplitud): ω t − Kz = cte ,
∂z
ω
= vp =
∂t
K
Derivando:
Marcial López / Eduardo Olivera
nales,
Nótese que para la onda que viaja en -az:
ω t + Kz = 0 →
tiene unidades de impedancia,
∂z
ω
=−
∂t
K
ωµ
Z=
=
=
K
como K aparece en las expresiones de λ y vp la llamaremos “constante de propagación”, de la
K = ω εµ
2π
1
También: λ =
=
ω εµ
f εµ
1
vp =
εµ
vp
λ=
f
K
Y=
=
se define:
µ
ε
(6.13) a
que sería la impedancia intrínseca.
(6.13) b
Ejemplo 6.4:
(6.15) b
Una OEM plana con polarización lineal se propaga en
el aire a lo largo del eje y. E es paralelo a az, con amplitud de 5mV/m y la frecuencia es 100 MHz. Hallar la
f.e.m. inducida en:
a) antena de lazo (a = 20 cm)
b) antena de varilla (L = 30 cm), como se ve en Fig.
6.6 a
(6.13) c
(6.13) d
Sí la región de interés es infinita, sólo existirá una de
las ondas en la fig. 6.4 a.
Asumiendo que las fuentes están en z → ∞ , tendremos:
z
α
E
E = E0 ax cos(ω t − Kz )
Fig 6.6 a
E = E0a x =
e− jKz
ngr = cte
a
y
µo, εo
Solución: λ = λ o =
n
ay
H
x
Cuando la dirección de propagación es arbitraria, los
frentes de onda están dadas por la familia de planos
β
L
c
= 3cm , como λ ? a,L ;
f
puede considerarse uniforme el campo en ellas.
Para (a) requerimos:
Fig. 6.5
1
ay × E0az cos(ω t − K 0 y )
Z0
E
µA
H = 0 ax cos(ωt − K0 y) = 13.3 ax cos(ωt − K0 y)
Z0
m
H=
z
n.r = cte2
r
x
n.r = cte1
z
y
Fig. 6.6 b
n : vector unitario en dirección y sentido de propagación.
n
x
50
y
α
α
H
Radiación y Propagación Electromagnética I
φm = ∫
U.N.I
dK
dω
dK
ω 2 = ω o − ∆ω K 2 = K (ωo −∆ω) ; K (ωo) −
dω
ω1 = ωo + ∆ω K1 = K (ωo + ∆ω) ; K(ωo) +
µ oHgndS = µ oH π a cos α
2
S lazo
φ m = 21× 10−3 cos α cos(ω t − K 0 y )
dφ
fem = − m = 1.316 ×10 −3 cos α sen(ω t − K 0 y )
dt
z
E = Eo e

Para:

 dK  
cos  ∆ω  t −
z   que limita a la onda:
 dω  

cos  (ω 0t − K(ωo ) z )  , velocidad de esta última:
Egd l = EL cos β
fem = 1.5 × 10−3 cos β cos(ω t − K 0t )
β = 0º femRMS = 1.06 mV
β = 30º femRMS = 0.92 mV
β = 90º femRMS = 0 mV
ω 0t − K (ωo ) z = cte
∂
ω
ω 0t − K (ωo ) z  = 0 → vp = 0
K (ωo )
∂z
velocidad de la envolvente:
Conclusión: Con polarización lineal la orientación de
la antena es crítica.
∆ω t − ∆ω
Ejemplo 6.5:
( jω t − jKz )
-ωo
ℑ
t
-τ/2
+∞
 medio no
vg = vp 
dispersivo
Pero si µ, ε son funciones de ω se tendrá: vg ≠ vp ,
medio dispersivo.
ω
t
+∞
-∞
∴
+∞
ωo
K = ω µε , sí µ , ε no dependen de ω , entonces:
dK
dω
1
ω
= µε →
=
=
dω
dK
µε K
(sinusoide eterna, físi-
ℑ
dK
1
dω
z = cte → vg =
=
dK
dω
dK
dω
Recordando:
Calcular la velocidad de propagación de una onda
sinusoidal físicamente realizable.
Solución:
Idealmente: E = Eo e
camente irrealizable).
 dK 
 dK 
 e j∆ω  t − dω z  + e − j∆ω  t − dω z  

 

debido a la diferencia en la frecuencia existe una envolvente:
y
l var illa
j (ω o t − K ( ω o ) z )
  dK  
z 
= 2E0 cos (ω0t − K(ωo ) z ) cos ∆ω  t −
  dω  
β
fem = ∫
∆ω
ωo
E = Re {E} =
E
Fig. 6.6 c
∆ω
ωo
Probar que:
α = 0º femRMS = 0.93 mV
α = 30º femRMS = 0.80 mV
α = 90º femRMS = 0 mV
Para:
Eduardo Olivera / Marcial López
ωo
6.2.3 Medios conductores semiinfinitos:
τ/2 -
µ,ε,σ
ω
Fig. 6.8
τ/2
Se concluye que una representación elemental de una
sinusoide físicamente realizable puede hacerse con dos
sinusoides eternas de igual amplitud y frecuencias
ligeramente diferentes.
z
En z > 0 existe J = σ E ; entonces tenemos:
∇ × E = − jωµ H
∇ × H = jωε E + σ E
∇ gH = ∇ gE = 0
E = Eo e j (ω 1t − K 1z ) + Eo e j (ω 2 t − K 2 z )
Se demuestra que:
51
Radiación y Propagación Electromagnética I
∇ 2E + (ω 2 µε − jωσ )E = 0
U.N.I
Marcial López / Eduardo Olivera
(6.16) a
ecuación homogénea de Helmholtz
∇ 2E + γ 2E = 0
Eo -
E
(6.16) b
Fig. 6.9 b
γ = µε (ωε − jσ )
1/ 2
(6.16) c
constante de propagación compleja γ = K , sí σ = 0
Eo/e
según la relación H = Yn × E , ahora se tiene:
Y = Z −1 =
γ
ωµ
z
1/α
(6.17)
1
2
=
, es la llamada profundidad de penetraα
ωµσ
El campo eléctrico de la onda que viaja en dirección az:
E = Eo e− jγ z ax, sea γ = β − jα , resulta:
E = Eo e −α z e − j β z ax , en el dominio de la frecuencia.
ción ó efecto pelicular (SKIN DEPTH): δ =
2
ωµσ
(6.18) Cuando ω es elevada, puede asumirse que el
campo EM sólo existe en una delgada capa vecina a la
superficie del conductor
En el dominio del tiempo:
−α z
E = Eo e ax cos(ω t − β z ) , donde:
α : factor de atenuación y β : factor de propagación.
6.2.3 Conductividad aparente y
efectiva:
Estudiaremos el fenómeno de polarización por efecto
de un campo eléctrico alterno en un dieléctrico.
+q
Esta OEM cuya amplitud decrece en la dirección de
propagación se llama onda plana no homogénea.
Conviene clasificar los materiales como:
i)
Dieléctricos con pérdidas, cuando
Sin campo
externo el
momento
dipolar es
nulo a nivel
de un átomo
entre las corrientes de conducción y desplazamiento en amplitud (observar ley de Ampere – Maxxwell en el dominio de la frecuencia)
iii)
1
σ
Cuasiconductores, cuando
<
< 100
100 ωε
σ
Buenos conductores, cuando
> 100
ωε
= ωµε
e
+q
p
p = -qx
momento
dipolar
inducido
Fig. 6.10
dx
d 2x
− Kx = m 2
dt
dt
Donde m es la masa de la nube electrónica que se desplaza .
En el dominio de la frecuencia:
−qEx − mv ( jω X ) − K X = −ω 2mX
qEx
X=−
2
− mω + K + jω vm
X = Re{Xe jω t } = − A cos(ω + θ ) ,
( q / m ) Ex
donde: A =
1/ 2
2
(ω − ω p 2 ) + ω 2v 2 


Sí: ωε = σ , la ec. (6.16) c, es:
γ ≈ ωµσ ( − j )
E = Excosωt
El núcleo
permanece
en reposo
Ecuación dinámica: −qE − mv
6.2.4 Efecto pelicular en buenos
conductores:
1/2
E
-q
σ
σ
< 100 , nótese que
es el cociente
ωε
ωε
ii)
x
jπ

−  + 2 Kπ 
2 2


ωµσ
(1 − j ) α > 0
ωµσ e− jπ / 4 =


2
γ =
 ωµσ e− jπ / 4 e− jπ = ωµσ (−1 + j) α < 0

2
K
 ωv 
2
θ = tan −1  2
y ωp =
2 
m
 ω −ω p 
El momento dipolar inducido es:
Para una onda que viaja en dirección + az sólo es posible la primera solución:
52
Radiación y Propagación Electromagnética I
p = − qx =
U.N.I
∂D 
∂D

J gE =  ∇ × H −
gE = Eg∇ × H − Eg
∂t 
∂t

(q 2 / m) Ex cos(ω t + θ )
 (ω 2 − ω p 2 ) + ω 2v 2 


1/ 2
Aquí usamos la identidad:
∇g(E × H) = Hg∇ × E − Eg∇ × H
Eg∇ × H = Hg∇ × E − ∇g(E × H )
∂B
Eg∇ × H = − Hg − ∇g(E × H )
∂t
sí el dieléctrico tiene N átomos por unidad de volumen,
la polarización macroscópica es P = Np y no esta en
fase con E :
D = ε 0 E + P = ε E = (ε ' − jε '')E
(6.19) a
Usando este resultado en la ley de Ampere - Maxwell:
Ñ × H = jωε E + J = jωε ' E + (σ + ωε '')E
Reemplazando:
J gE = − H g
(6.19)
b
Se deduce que, aparte de la conductividad óhmica (σ)
un dieléctrico posee también una conductividad aparente (ωε''); la conductividad efectiva es: σ+ωε'', se
define como tangente de pérdidas:
tan δ L =
Eduardo Olivera / Marcial López
∂B
∂D
− Eg
− ∇g(E × H)
∂t
∂t
Observación:
Hg
σ + ωε ''
ωε '
 ∂

 ∂

∂B
∂H
= µHg
= µ  12 (H 2 ) = µ  12 (HgH)
∂t
∂t
 ∂t

 ∂t

 ∂

=  12 (HgB)
 ∂t

Que aplicamos a la ecuación anterior:
∂  H gB EgD 
+


∂t  2
2 
6.3 Balance dinámico de energía
en el campo Electromagnético.
J gE = −∇g( E × H ) −
Ejemplo de una ley de conservación:
(6.21) b
Comparando las ecuaciones (6.21):
d
Ñ∫ S Jgd S + dt ∫V ρ f dV = 0
∂ρ
∇ gJ + θ = 0
∂t
Π = E× H
H gB EgD
U=
+
2
2
∫
V
Ejemplo 6.6: Carga lenta de un capacitor:
UdV
Aquí falta tomar en cuenta la conversión de energía
E.M. en otra forma de energía, primero relacionado
con el trabajo efectuado sobre la materia por unidad de
tiempo.
altura h
H
Fg v = q ( Eg v + v × Bg v ) = qvgE
Si hay N cargas por unidad de volumen, l trabajo por
unidad de tiempo es: Nq v gE ; J gE por unidad de
volumen; luego en el volumen V tenemos:
V
J gE dV
En conclusión:
Ñ∫
S
Π gd S +
d
dt
∫
V
a»h
Ñ∫
Γ
H gd l = ∫
S
∂U d  π a 2 hεo E 2 
dE
; 
= ε 0π a 2 hE
,

dt 
dt
∂t
2

V
Cuya forma diferencial es:
∂U
+ J gE = 0
∂t
∂U
J gE = −∇gΠ
Π−
∂t
E
+
campo será sólo la eléctrica; así:
UdV + ∫ J gEdV = 0 (6.20) a
∇gΠ +
Placas circulares, radio a,
z
∂D
gd S
∂t
I
 dE 
2
2πρ H =  ε o
 (πρ )
Fig. 6.11
 dt 
ε ρ dE
H= o
aϕ
2 dt
dE
Como el proceso es lento:
; 0 y la energía en el
dt
F = q (E + v × B)
∫
(6.22) b
La ec. (6.22) a define al vector de Poynting o vector
densidad de flujo de potencia.
La energía se conserva, sea Π un vector que representa
la densidad del flujo de potencia y sea U la densidad de
energía en el campo.
d
Ñ∫ S Π gd S + dt
(6.22) a
además:
(6.20) b
Π = E × H = Ea z × Ha j = − EHa r (radial hacia
adentro)
Aplicando la ec (6.20) a:
(6.21) a
De las ecuaciones de Maxwell:
53
Radiación y Propagación Electromagnética I
Ñ∫
S
Π gd S +
U.N.I
6.4 Propagación de OEM planas
a través de varios medios:
dU
= ( − EH )(2π ah) ρ = a +
dt
dE
+ ε 0π a 2 hE
=0
dt
6.4.1 Incidencia normal:
Sea el caso de una interfase plana (z = 0), entre dos
medios dieléctricos semi-infinitos.
Ejemplo 6.7 Efecto Joule en corriente contínua:
ε1, µ1
H
a
Fig. 6.2
Conductor
cilíndrico
a«h
z
Joaz
h
H = H1 + j H 2
Hi = Y1a z × Ei = Y1E1a y e − jK1z
E = Re{E e jω t }
Por definición:
H r = Y1 (−a z ) × E r = − Y1E2a y e + jK1z
H = R e{H e jω t }
Ht = Y2a z × Et = Y2 E3a y e − jK 2 z
1 T
E × Hdt =
T ∫t =0
1 2π
Re{E e jω t } × Re{H e jω t }
=
2π ∫ωt = 0
Π =
En la interfase z = 0:
(E i + E r )ga x = E t ga x
Π =
Π =
1
2π
− 21π
∫
∫
2π
∫
2π
ωt =0
(H i + H r )ga y = H t ga y ó Y1E1 − Y1E2 = Y2 E3 (ii)
2π
0
Π =
De (i ) e (ii):
E2 =
E1 × H1 cos ω tdω t
E2 =
(E 2 × H1 + E1 × H2 )senω t cos ω tdω t
+ 21π
1
2π
(E1 cos ω t − E 2 senω t ) ×
× (H1 cos ω t − H 2senω t ) dω t
0
∫
2π
Ahora evaluaremos:
E × H = [E1 + j E2 ] × [H 1 − jH 2 ]
E × H = E1 × H1 + E2 × H 2 +
1
2π
(6.23) a
(6.23) b
Nótese que estos coeficientes no cambian sí:
+ j (E 2 × H1 − E1 × H2 )
Π =
Z 2 − Z1
2
2Z 2
E1 ; E3 =
E1
Z 2 + Z1
Z 2 + Z1
Z 2 − Z1
Z 2 + Z1
2
2Z 2
Τ=
Z 2 + Z1
Γ=
[E1 × H1 + E2 × H 2 ]
y observamos que:
Y1 − Y2
2Y1
E1 ; E3 =
E1
Y1 + Y2
Y1 + Y2
De aquí resultan los coeficientes de reflexión y transmisión:
E 2 × H 2senω tdω t
0
ó E1 + E2 = E3 (i)
También:
Desarrollando:
1
2π
(2)
Se trata de encontrar expresiones para E2, E3 en función de E1, siempre se requiere establecer condiciones
de frontera, para lo cual calculamos los campos magnéticos:
(representado como Π ) en función de E, H
E = E1 + jE 2
z
(1)
Hallar la expresión de Π promediando en un periodo
Sea el campo:
ε2, µ2
Fig 6.13
Ejemplo 6.8:
Solución:
Marcial López / Eduardo Olivera
Ei = E1a y e− jK1z
Re{E × H ∗ }
6.4.2 Incidencia Oblicua:
La fig. 6.14 muestra las direcciones de propagación de
las OEM por rectas llamadas "rayos" como en la óptica
geométrica. Para los fasores se debe usar la representación mostrada en la fig. 6.14 b.
54
Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I
xz es llamado "plano de incidencia" y
xy es llamado "plano de interfase"
Según se vió en 6.2.1 cualquier OEM plana puede
describirse usando vectores mutuamente ortogonales
Eduardo Olivera / Marcial López
Para aplicar condiciones de frontera, se observa la fig.
6.15:
Ei // ga x + E r // ga x = Et // ga x
Ei = Ei ^ + Ei //
Continuidad de E tangencial en z = 0:
E1 cosθi e− jKi gr + E2 cosθr e− jKr g r = E3 cosθt e− jKt gr
con: r = xa x + yay
A diferencia del caso anterior aquí existe diferencia
entre las condiciones de frontera para cada componente. Sólo trataremos el caso de la componente paralela;
el otro se deja como ejercicio
se requiere: K i gr = K r g r = K t gr
(ω ε1 µ1 ) sen θ i = (ω ε1µ1 ) sen θ r =
x
= (ω ε 2 µ2 ) sen θ t
n
kr
(2)
(1)
Fig. 6.14
θr
θi
ki
ε1µ1 sen θi = ε 2 µ 2 sen θ t
z
n=
(6.24) b
Ahora la condición de frontera se reduce a una relación:
E1 cos θ i + E2 cos θ i = E3 cos θ t
Hi // ga y + H r // ga y = Ht // ga y
E2
continuidad de H tangencial en z = 0
a partir de las leyes de Snell, obtenemos:
E3
Y1E1 − Y2 E2 = Y3 E3
Kt
Fig. 6.15
E1
θr
θi
θt
resolviendo las dos ecuaciones tenemos:
E2 Y1 cos θ t − Y2 cos θ i
=
E1 Y1 cos θ t + Y2 cos θ i
Z cos θ t − Z1 cos θ i
Γ // = 2
Z 2 cos θ t + Z1 cos θ i
E3
2Y1 cos θ i
=
E1 Y1 cos θ t + Y2 cos θ i
2Z 2 cos θ i
Τ// =
Z 2 cos θ t + Z1 cos θ i
z
Ki
Ei // = E1e − jK i gr
E r // = E 2 e − jK r gr
Et // = E 2 e − jK t gr
E1 = E1 (cos θ i a x − sen θ i a z )
(6.25) a
(6.25) b
Las ec. (6.25) a y b, dan los coeficientes de Fresnel
para reflexión y transmisión.
También se definen los coeficientes de reflexión y
transmisión para potencia.
K i = ω ε1 µ1 (sen θ i ax + cos θ i az )
E 2 = E2 (cos θ r a x + sen θ r a z )
R=
K r = ω ε1µ1 (sen θ r a x − cos θ r a z )
E3 = E3 (cos θ t a x − sen θ t a z )
Τ=
K t = ω ε 2 µ2 (sen θ t a x + cos θ t a z )
Hi // = Y1
εµ
= ε r µ r , y tenemos:
ε o µo
n1 sen θ i = n2 sen θ t 2ª Ley de Snell
ε1, µ2
x
Kr
(6.24) a
Se define como índice de refracción:
θt
ε1, µ1
Como: θ i = θ r 1ª Ley de Snell
kt
Ki
× Ei // = Y1 E1a y e − jKi gr
Ki
Π r gn
Π i gn
Π t gn
Π i gn
Se plantea como ejercicio encontrar:
R // , T// , R ⊥ y T⊥
H r // = − Y1 E2a y e − jKr gr
Ht // = Y2 E3a y e − jKt g r
55
(6.26) a
(6.26) b
Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I
6.4.3 Incidencia normal sobre un
buen conductor:
Ei = Eo a x e
σ Τ Eo
Pl ' =
2
2
− jK1 z
E r = ΓEoa x e
Marcial López / Eduardo Olivera
2
∫
∞
z =0
e −2 z / δ dz =
Τ Eo
Pl ' =
Re{Z 2 }
2
2
1
4
+ jK1 z
Et = ΤEo a x e− z / δ e − j z / δ , δ =
ε1, µ1
2
µ2σω
Sí en la fig. 6.16 a, el medio (1) es aire y el medio (2)
un conductor perfecto, caracterizar completamente el
campo EM total existente en el aire.
Solución:
De la ec. (6.27) a: lim Z 2 = 0 y entonces resulta de la
ε2, µ2, σ
z
σ →∞
ec. (6.23): Γ = −1, Τ = 0 , en consecuencia:
(2)
Ei = Eo a x e− jKo z , E r = − Eoa x e+ jKo z
(1)
E1
Fig. 6.17 b
2Eo
-λo -λo/2
-3λo/4 -λo/4
E1
Hi = YEo a x e − jK o z , Hi = Yo Eo a x e + jK o z
Expresamos los campos totales en el aire:
E1 = Ei + E r = − j 2 E0 sen( K 0 z )a x
2YoEo
z
(6.27) b
Ejemplo 6.9:
Fig 6.16 a
Fig. 6.17 a
σδ 2 2
Τ Eo
4
-λo
-3λo/2
H1 = H i + H r = 2Y0 E0 cos( K 0 z )a y
z
Pasando al dominio del tiempo:
E1 = Re{E1e jωt } = 2 Eoax sen(K0 z )cos (ωt − π / 2)
-3λo/4 -λo/4
Patrones de onda estacionaria
H1 = 2Y0 E0a y cos( K 0 z ) cos ω t
Se observa que las condiciones de frontera en z = 0 son
las mismas que en la fig 6.13; entonces son aplicables
las ec. (6.23) con la diferencia en la forma para Z 2 según la ec. (6.17) y la subsección 6.2.4
que representan ondas estacionarias.
En la práctica se trabaja con el módulo del fasor:
E1 = 2 E0 sen( K0 z ) ,
H1 = 2Y0 E0 cos( K 0 z )
ωµ 2
Z2 =
ωµ 2σ
(1 − j )
2
1
ωµ 2
Z2 =
(1 + j ) =
(1 + j )
(6.27) a
2σ
σδ
como en el medio (2) existe J = σ E t , ello da lugar a
Nulos de E1 :
K 0 z = Κπ ; Κ = 0, ±1, ±2,... z ≤ 0
Κπ Κλ0
z=
=
Ko
2
Máximos de E1 :
una transformación de la energía electromagnética en
calor:
K0 z =
(2Κ + 1)π
2
z=
(2Κ + 1)λ0
4
Es interesante notar que E1 puede escribirse así:
z
E1 = Eoa x e− jKo z 1 − e j 2 Ko z  , luego:
Fig. 6.16 b
E1 = Eo 1 − e j 2 K o z , es decir, la amplitud del fasor
que representa la onda estacionaria es igual a la amplitud de la onda incidente por un factor 1 − e
dz
Pl =
∫
1
2 V
2
E t gJ dV , dV = Sdz
∗
rriente eléctrica superficial en z = 0:
1
2
∫
∞
z =0
.
Nótese que en este caso Pl ' = 0 y existe una co-
JS = n × ( H 2 − H 1 ) = az × (2Y0 E0a y ) = 2Y0 E0 ax
Como en teoría S es infinita, conviene calcular la potencia por unidad de S:
Pl ' =
j 2 Ko z
∗
Et gσ Et dz watt/m2
56
Radiación y Propagación Electromagnética I
U.N.I
Ejemplo:
Derivar una expresión aproximada para Pl ' en un
conductor muy bueno.
Solución:
De ka ec. (6.27) b y considerando:
Z1 = Z0
y
Z2 = Z m
Τ Eo
2Z m
Pl ' =
y Τ=
Z 0 + Zm
Re{Z m }
como σ es muy grande, entonces Z m = Z 0 y apro2Z m
ximamos Τ ;
, reemplazando:
Z0
2
2
1
4
2
 4 Zm
E0
Pl ' ;

Re{Z m }  Z 0
1
4
2
2

Zm
2
2
 = Y0 E0

Re{Z m }

De la ec. (6.27) a:
2
 2


2
2  σδ 
2
2 2 
= Y0 E0 
Pl ' ; Y0 E0

 1 
 σδ 


 σδ 
Pl ' ; 12 (2Y0 E0 ) 2 Re{Z m }
aquí identificamos el módulo de JS para un conductor
perfecto y resulta:
Pl ' ;
1
2
J S Re{Z m }
2
haciendo: Re{Z m } = Rm (parte real de la impedancia intrínseca del metal), tenemos:
Pl ' ; 12 Rm JS × JS
∗
(6.28)
Es decir, las pérdidas por conductividad finita en un
muy buen conductor pueden estimarse en base a la JS,
que existiría en la superficie si fuese un conductor
perfecto. Por esta razón los campos EM en problemas
donde aparecen metales como la plata o el cobre se
calculan asumiendo que tienen σ → ∞
57
Eduardo Olivera / Marcial López
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica.
1998-2
Problemas propuestos de Propagación y Radiación Electromagnética I , EE521 O
1. Calcular el campo Β en el eje de un disco de radio “a” que está formado por un conductor
aislado muy delgado enrollado en espiral con “n” vueltas, que transporta una corriente I
desde el centro a la circunferencia periférica.
I
θ
I
x
P
2. Considerar que en el plano z = 0, existe una densidad de corriente superficial Js definida
por:
Js = Jo sen (πx/a) a y, determinar H para z < 0 y z> 0.
3.
Se tiene un solenoide cilíndrico de radio “a” y de “n” espiras por unidad de longitud, por
el cual circula una corriente I. Si en el centro existe una esfera de radio “a” de un material
de permeabilidad relativa km. Se pide:
3.1 H para el interior de la esfera.
3.2 La magnetización M de la esfera.
3.3 H para puntos exteriores al solenoide situados en el plano xy.
3.4 Si en la esfera existe una pequeña burbuja de aire esférica de radio c (a»c).
Determinar el campo H en el interior de la misma.
4. La figura muestra la región x<0 llena de un material magnético y la región x>0 vacía. El
material magnético está uniformemente magnetizado. Determinar H y B sí:
4.1 M = Mo ax para x<0 y x>0
4.2 M = Mo ay para x<0 y x>0
4.3 Además de la magnetización de 4.2 existe una densidad de corriente superficial Js, tal
que Js = Jo az, calcular para x<0 y x>0
5º Control de Propagación y Radiación E.M. I EE 521 (Junio de 1990)
1. Resolver completamente el caso de incidencia oblicua sobre interfase dieléctrica cuando E es
perpendicular al plano de incidencia (z) Expresar Τ1 y Γ1 en función al plano de incidencia (6P)
2. Un barco en la superficie del mar intenta comunicación inalámbrica con un submarino. El agua de
mar tiene σ = 4.5 mhos/m, µr = 1, εr = 80 y el equipo de radio opera a 1KHz. Hallar la profundidad
a la cual el nivel de potencia de ruido (asumido constante) es igual al nivel de la potencia
transmitida. En la superficie la relación señal-ruido es S/N = 20 dB. (6P).
3. Una Onda E.M. plana circularmente polarizada se propaga en el aire. El vector de campo eléctrico
E = E0 cos (ω t − k 0 z ) a x + E0 sin (ω t − k 0 z ) a y
es:
(4P)
a) Demostrar que en un plano de z = cte. el vector gira describiendo una circunferencia, indicar
sentido de giro.
b) Hallar los vectores: H y Π .
4. Las ondas E.M. planas también se llaman "ondas T.E.M." (campos electromagnéticos
transversales, porque E y H son perpendiculares a su propagación. Una onda de este tipo incide
normalmente desde el aire sobre un dieléctrico muy extenso (µr = 1, εr = 2) E es paralelo al eje x
con valor eficaz 1.732 volt/m y la frecuencia es 500 MHz se pide:
a) Las expresiones fasorial y vectorial para E, H y Π
b) Si el dieléctrico tiene un agujero muy hondo, calcular a que profundidad la onda que pasa por
aquel adelantará en 90º a la onda transmitida en el material. Expresar en longitud es de onda
(4P)
-7
-12
µ0 = 4π×10 H/m , ε0 = 8.85×10 F/m
5º Control de Propagación y Radiación E.M. I EE 521 (1991 -2)
1. Una OEM plana monocromática, cuyo campo eléctrico tiene amplitud máxima 5 V/m, incide
normalmente desde el vacío sobre la superficie plana de un medio conductor semi-infinito con
parámetros ε2, µ0, σ. Si la frecuencia es 5 MHz y el campo eléctrico total en el vacío tiene un
mínimo de 3 V/m a 3m de la interfase, hallar:
a) Módulo y ángulo del coeficiente de reflexión en la interfase
b) Impedancia intrínseca del medio conductor
c) Campo eléctrico total máximo en el vacío y a qué distancia mínima de la interfase está (6P)
2.
La fig. 2 muestra un fenómeno de incidencia oblicua, una OEM plana incide desde el aire sobre
un conductor perfecto (σ → ∞). Dar las expresiones en el dominio del tiempo de todos los campos
eléctricos y magnéticos. Comentar las caracteristicas del campo magnético total en el vacío. En
ele proceso de determinar los campos demostrar que θi = θrr. (4P)
3. Una onda plana de 3 GHz incide perpendicularmente sobre una lámina grande de polietileno (εr =
2.7) ¿Cúan gruesa debe ser la lámina para que la onda experimente un retraso de fase de 180º
respecto a una onda que viaja a través de un orificio grande en la lámina? (4P).
4. La fig. 3 muestra un recubrimiento para eliminación de reflejos. Encontrar el espesor mínimo "d" y el
valor de ε2 para cumplir dicho fin (4P)
ε0, µ0,
Fig. 1
Ei
x
ε0, µ0, σ
z
x
kr
Er
Fig. 3
ε0, µ0,
σ→∞
θr
z
Ei
UNI-FIEE
1998-2
9ε0, µ0,
z
θi
ki
ε2, µ0,
Fig. 2
EXAMEN FINAL DE EE521 M-N-O
MA/22/12/98
Sin Copias ni libros 1Hora 50´
Apellidos: .....................................
Nombres: ....................................
Código: __/__/__/__/__/__/__
Sección: ___ Firma: ...................
Instrucciones:
Haga números y letras que se entiendan.
Enmarque (Ponga dentro del cuadro sus respuestas)
Se tendrá en cuenta para la calificación el orden y limpieza (Sin borrones ó tachaduras) para efectos de la
calificación.
1.
Se tienen dos espiras separadas por una distancia r (r >> radio de las espiras), cada una transportan corrientes
I1 e I2 respectivamente, sí sus momentos dipolares tienen la misma dirección se pide:
1.1 El valor del ángulo que formarán r con m1 para que la inductancia mutua M sea nula (3P)
1.2 El valor del ángulo que formarán r con m1 para que M sea máximo.(1P)
1.3 El valor del ángulo que formarán r con m1 para que M sea mínimo. (1P)
2.
Se tiene un imán en cuyo entrehierro existe un campo Bo constante y uniforme (Despreciar efecto de bordes).
Se introduce lentamente una lamina de un material conductor de espesor e y ancho a y permeabilidad relativa
Km y conductividad g, una profundidad x, se pide:
2.1 La fuerza que se ejerce sobre la lámina. (2P)
2.2 Si se introduce la lámina con una velocidad v, ¿cuál es la expresión de la fuerza que se ejerce sobre la
lámina cuando la distancia recorrida es x?. (3P)
3.
Una onda electromagnética plana incide perpendicularmente desde el vacío sobre la superficie de un
dieléctrico sin pérdidas, se ha medido un coeficiente de reflexión de –0.3 y la potencia promedio a través de
la superficie es de 2 W/m2. Calcular.
3.1 La constante dieléctrica del medio dieléctrico. (2P)
3.2 La velocidad de propagación en el dieléctrico. (1P)
3.3 El Campo eléctrico máximo en el dieléctrico. (1P)
3.4 El campo eléctrico incidente. (1P)
4.
Se tiene un submarino navegando bajo el nivel del mar, su base desea comunicarse con él para lo cual
transmite en la frecuencia de 50 KHz, Calcular:
4.1 Calcule la profundidad de penetración en el mar. (2P)
4.2 La impedancia intrínseca del mar (Datos: K=80, = o, conductividad g= 4 mhos/m) (2P)
4.3 A que profundidad el campo eléctrico se reduce a 10-6 V/m si el Campo eléctrico eficaz de la onda
incidente es de 3 V/m. (1P)
Los Profesores del Curso.