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Electricidad y Magnetismo
Curso 2005/2006
Campo Magnético en Puntos Alejados
• El estudio de los campos magnéticos estacionarios en puntos
alejados tiene un interés aún mayor que el de los campos eléctricos
estáticos en situaciones similares: los resultados obtenidos pueden
aplicarse en muchos casos, con sólo pequeños cambios, a los
problemas de variación temporal arbitraria.
• La situación de partida es la representada en la figura siguiente:
vv
J ( r ′)
v v
∇ ′ ⋅ J ( r ′) = 0
v
v
max r ′ << r
– Obsérvese que se ha escogido el origen
próximo a la distribución de forma que:
V
v v
r − r′
v
r
v
r′
O
EyM 5-1
J.L. Fernández Jambrina
Potencial vector en puntos alejados
r r
µ
r r
J (r ′)dv′
• Partiendo de la expresión general del potencial A(r ) = ∫∫∫ r r
4π V r − r ′
vector y aplicando la condición de punto alejado:
– Se pueden realizar las siguientes aproximaciones:
[
r
r
max r ′ << r
]
r r −1
r r r r −1
r2 r 2
r r − 12
r − r ′ = [(r − r ′) ⋅ (r − r ′)] 2 = r + r ′ − 2r ⋅ r ′
=
r2
r r
1 ⎡ r ′ − 2r ⋅ r ′ ⎤
= r ⎢1 +
⎥
r2
r ⎣⎢
r
⎦⎥
−1
2
r2
r r
r r
1 ⎡ 1 r ′ − 2r ⋅ r ′ ⎤ 1 ⎡ r ⋅ r ′ ⎤
≈ r ⎢1 −
≈
1
+
⎥
⎢
r
r2
r2 ⎥
r ⎣⎢ 2
r
r ⎦⎥
⎦⎥ r ⎢⎣
– donde se ha aplicado:
⎛−1 ⎞ n
1
x <<1
2 ⎟ x + K ⎯⎯
⎯→1 − x
⎟
2
8
2
n
⎝
⎠
r 2
r r
r ′ − 2r ⋅ r ′
– siendo en este caso: x =
r2
r
r2
r r
– también se ha despreciado r ′ frente a 2r ⋅ r ′
(1 + x )− 12 = 1 − 1 x + 3 x 2 + K + ⎜⎜
EyM 5-2
J.L. Fernández Jambrina
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Tema 5b: magnetostática
1
Electricidad y Magnetismo
Curso 2005/2006
Potencial vector en puntos alejados.
(2)
• Aplicando esta simplificación, válida para puntos alejados:
r r
r r
J (r ′)dv′
µ
µ
Alej (r ) =
r r ≈
r
4π ∫∫∫V r − r ′
4π r
r r
r r r r
µ
∫∫∫ J (r ′)dv′ + 4π rr ∫∫∫ J (r ′)(r ⋅ r ′)dv′
3
V
V
r r
– La primera de las integrales se cancela porque ∇′ ⋅ J (r ′) = 0
(se demuestra más adelante)
– el segundo integrando se puede reescribir como:
r r
r r r r
µ
Alej (r ) ≈
r 3 ∫∫∫V J (r ′)(r ⋅ r ′)dv′ =
4π r
r r r r
r r r r
µ
µ
1 r r r r
1 r r r r
=
r 3 ∫∫∫V J (r ′)(r ⋅ r ′) − r ′ r ⋅ J (r ′) dv′ +
r 3 ∫∫∫V J (r ′)(r ⋅ r ′) + r ′ r ⋅ J (r ′) dv
2
2
4π r
4π r
– La segunda integral es nula (se demuestra más adelante)
y la primera se simplifica:
r r
r r r r
r r r r
r r r
r
r
1 r r r
µ
J (r ′)(r ⋅ r ′) − r ′ r ⋅ J (r ′) = r ′ × J (r ′) × r ⇒ Alej (r ) ≈
r 3 ∫∫∫V r ′ × J (r ′) dv′ × r
2
4π r
[
{
[
] [
]}
[
{
]
[
]}
]
EyM 5-3
J.L. Fernández Jambrina
Potencial vector en puntos alejados:
Demostración auxiliar 1.
r
∫∫∫ JdV = 0
V
• Demostración de que si V encierra a todas las corrientes, entonces:
– Tomando como punto de partida la siguiente igualdad:
r
r
r
r
r r
r
r
∇ ⋅ UJ = ∇U ⋅ J + U∇ ⋅ J ⇒ ∫∫∫ ∇ ⋅ UJ dV = ∫∫UJ ⋅ dS = ∫∫∫ ∇U ⋅ J + U∇ ⋅ J dV
V
S
V
r
r
– en nuestro caso ∇ ⋅ J = 0 y J ⋅ nˆ = 0 :
S
r
» como el volumen encierra a todas las J no pueden existir
componentes normales a su superficie: ello implicaría que la
corriente saldría del volumen y, por tanto, no estaría encerrada en el
volumen.
r
– Con esto: 0 = ∫∫∫ ∇U ⋅ JdV
( )
( )
(
)
V
r
r
– Tomando ahora un vector constante arbitrario ra que, como ∇ × a = 0 ,
U
resulta que debe existir un escalar
tal que a = ∇U resulta:
r
r r
r
0 = ∫∫∫ a ⋅ JdV = a ⋅ ∫∫∫ JdV
V
V
r
– Al ser a arbitrario la única posibilidad para que se verifique la expresión
anterior es que:
r
∫∫∫VJdV = 0
EyM 5-4
J.L. Fernández Jambrina
Página 2
Tema 5b: magnetostática
2
Electricidad y Magnetismo
Curso 2005/2006
Potencial vector en puntos alejados.
Demostración auxiliar 2.
r r r r r r r r
∫∫∫{J (r′)(r ⋅ r′) + r′[r ⋅ J (r′)]}dV ′ = 0
V
• Demostración de:
r
– Para simplificar la nomenclatura
demostraremos
que si a es un vector
r
r
constante y arbitrario, ∇ ⋅ J = 0 y J es nulo fuera de V:
r r r r r r
∫∫∫ J (a ⋅ r ) + r a ⋅ J dV = 0
[
)]
(
V
– Empecemos por calcular los términos en ax del integrando:
r r r r r r
r
r
= a x xJ + ax J x r = ax x(xˆJ x + yˆ J y + zˆJ z ) + ax J x ( xxˆ + yyˆ + zzˆ ) =
J (a ⋅ r ) + r a ⋅ J
[
)]
(
ax
[
]
= 2 xJ x xˆ + (xJ y + yJ x )yˆ + ( xJ z + zJ x )zˆ ax
– observando que:
r
r
r
r
r
∇ ⋅ x 2 J = (∇x 2 ) ⋅ J + x 2∇ ⋅ J = (∇x 2 ) ⋅ J = 2 xxˆ ⋅ J = 2 xJ x
r
r
r
r
r
∇ ⋅ xyJ = (∇xy ) ⋅ J + xy∇ ⋅ J = (∇xy ) ⋅ J = ( yxˆ + xyˆ ) ⋅ J = yJ x + xJ y
r
r
r
r
r
∇ ⋅ xzJ = (∇xz ) ⋅ J + xz∇ ⋅ J = (∇xz ) ⋅ J = ( zxˆ + xzˆ ) ⋅ J = zJ x + xJ z
r r r r r r
r
r
r
= ∇ ⋅ x 2 J xˆ + ∇ ⋅ xyJ yˆ + ∇ ⋅ xzJ zˆ ax
– resulta: J (a ⋅ r ) + r a ⋅ J
( )
( )
( )
[
)]
(
ax
[ ( )
( )]
( )
EyM 5-5
J.L. Fernández Jambrina
Potencial vector en puntos alejados.
(2)
Demostración auxiliar 2.
r r r r r r r r
∫∫∫{J (r′)(r ⋅ r′) + r′[r ⋅ J (r′)]}dV ′ = 0
V
– El resultado
anterior se puede generalizar para las otras componentes
r
de a
r r r r r r
r
r
r
J (a ⋅ r ) + r a ⋅ J = ∇ ⋅ x 2 J xˆ + ∇ ⋅ xyJ yˆ + ∇ ⋅ xzJ zˆ ax +
r
r
r
+ ∇ ⋅ y 2 J yˆ + ∇ ⋅ yzJ zˆ + ∇ ⋅ yxJ xˆ a y +
r
r
r
+ ∇ ⋅ z 2 J zˆ + ∇ ⋅ zxJ xˆ + ∇ ⋅ zyJ yˆ az
[
)] [ ( )
[ ( )
[ ( )
(
( )]
( )]
( )]
( )
( )
( )
– Integrando al volumen y aplicando el teorema de Gauss:
r
r
r v
r r r r r r
J (a ⋅ r ) + r a ⋅ J dV = xˆ ∫∫ a x x 2 J + a y xyJ + az xzJ ⋅ dS +
∫∫∫[
(
)]
V
(
S
)
(
)
(
)
r
r
r v
r
r
r v
+ yˆ ∫∫ a y y 2 J + az yzJ + ax yxJ ⋅ dS + zˆ ∫∫ a z z 2 J + ax zxJ + a y zyJ ⋅ dS
S
S
r
– Y puesto que J S ⋅ nˆ = 0 , ya que el volumen V contiene a todas las
corrientes, todas las integrales se cancelan.
r r r r r r
r r r r r r r r
∫∫∫ J (a ⋅ r ) + r a ⋅ J dV = 0
∫∫∫ J (r′)(r ⋅ r′) + r′ r ⋅ J (r′) dv′ = 0
[
V
(
)]
{
V
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[
]}
EyM 5-6
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Tema 5b: magnetostática
3
Electricidad y Magnetismo
Curso 2005/2006
Potencial vector en puntos alejados:
Introducción al momento magnético.
• Habiendo demostrado que para puntos alejados:
r r
r r
⎫ r
r r r
µ
µ ⎧1
J (r ′)dv′
Alej (r ) =
r r ≈
r 3 ⎨ ∫∫∫ r ′ × J (r ′) dv′⎬ × r
′
−
4π ∫∫∫
2
r
r
4π r ⎩ V
V
⎭
[
]
v
• se observa que la dependencia del potencial vector respecto de r
queda fuera de la integral y, que por tanto, se puede definir una
magnitud que sólo depende de la distribución. Esta magnitud recibe
el nombre de momento magnético de la distribución de corrientes y
se define como:
[
] (
r 1
r r r
m = ∫∫∫ r ′ × J (r ′) dv′ A ⋅ m 2
2 V
)
• Utilizando el momento magnético el potencial para puntos alejados
de la distribución se puede expresar ahora como:
r r
r r
µ m×r
Alej (r ) ≈
r
4π r 3
EyM 5-7
J.L. Fernández Jambrina
Campo magnético en puntos alejados
• Una vez conocida una expresión del potencial vector para puntos
alejados resulta inmediata la obtención de una expresión del campo
magnético:
r r⎞
⎛ µ m
r
r r
×r ⎟
Blej (r ) = ∇ × Alej ≈ ∇ × ⎜
=
⎜ 4π rr 3 ⎟
⎝
⎠
r
r
⎞r
r
r⎛
r
µ ⎡⎛⎜ r
⎢ r 3 ⋅ ∇ ⎟m − (m ⋅ ∇ ) r 3 + m⎜ ∇ ⋅
=
⎟
⎜
4π ⎢⎜⎝ r
r
⎠
⎝
⎣
r
r ⎞⎟
r3 ⎟−
r ⎠
r
r
r ⎤
r
r
µ r
r 3 (∇ ⋅ m )⎥ = − (m ⋅ ∇ ) r 3
4π
r
r
⎥⎦
r
r
– donde se aplicado que m es independiente del punto r donde se
calcula el campo y que
⎛ rr ⎞
∇ ⋅⎜ r 3 ⎟ = 0
⎜r ⎟
⎝
⎠
siempre que no se calcule en el
origen, que no es un punto alejado dado que consideramos que el origen
está próximo a la distribución.
EyM 5-8
J.L. Fernández Jambrina
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Tema 5b: magnetostática
4
Electricidad y Magnetismo
Curso 2005/2006
Campo magnético en puntos alejados.
(2)
• Desarrollado los términos en mx de la última expresión:
r
Blej
mx
=−
r
⎛
µ
(mx xˆ ⋅ ∇ ) rr 3 = − µ mx ∂ ⎜⎜
π
∂
4π
4
x
r
⎝
=−
µmx
4π
⎡ xˆ v ∂ ⎛
⎢ r3 +r r ⎜
∂ r ⎜⎝
⎢⎣ r
r
µmx
r ⎞⎟
r3 ⎟ = −
4π
r ⎠
⎡ 1 ∂rr v ∂ ⎛ 1 ⎞⎤
⎢ r3
+ r ⎜ r 3 ⎟⎥ =
∂x ⎜⎝ r ⎟⎠⎥
⎢⎣ r ∂x
⎦
r⎤
r
⎞
⎡
⎤
⎡
µmx xˆ r 3 x
µ 3mx xr mx xˆ ⎤
1 ⎟dr
⎥
=
−
−
=
r
⎢
⎥
⎢
r5 − r3 ⎥
r3
r
r4 r
4π ⎢⎣ r 3
r r ⎦⎥ 4π ⎣⎢ r
r ⎦⎥
r ⎟⎠ dx ⎥⎦
• Trabajando con el resto de componentes:
r
Blej
r
Blej
r
Blej
mx
my
mz
r
µ ⎡ 3mx xr mx xˆ ⎤ ⎫
⎢ r5 − r3 ⎥ ⎪
4π ⎢⎣ r
r ⎥⎦ ⎪
⎪
r
µ ⎡ 3m y yr m y yˆ ⎤ ⎪⎪
=
− r 3 ⎥⎬
⎢ r
4π ⎢⎣ r 5
r ⎥⎦ ⎪
⎪
v
µ ⎡ 3mz zr mz zˆ ⎤ ⎪
=
⎢ r5 − r3 ⎥ ⎪
4π ⎣⎢ r
r ⎦⎥ ⎭⎪
=
r r r
r
r r
µ ⎡ 3(m ⋅ r )r m ⎤
Blej (r ) =
⎢ r5 − r3⎥
4π ⎣⎢ r
r ⎥⎦
• Expresión muy similar a la de electrostática.
EyM 5-9
J.L. Fernández Jambrina
Representación gráfica del campo creado por
un momento magnético.
1
r
m = mz zˆ
0.5
0
0.5
r
B
1
1
0.5
0
0.5
1
Se ha cubierto la zona del origen porque
en ella los resultados no son válidos.
J.L. Fernández Jambrina
EyM 5-10
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Tema 5b: magnetostática
5
Electricidad y Magnetismo
Curso 2005/2006
Campo magnético en puntos alejados.
Expresiones independientes del origen.
• El desarrollo anterior presenta la limitación de que el origen debe
estar cerca de la distribución.
– Así no serían utilizables respecto del origen O de la figura.
– Pero si se escoge como origen provisional O1 un punto de la distribución
o muy próximo a ella, entonces:
v
v
v
v
µ ⎡ 3[m ⋅ r1 ]r1 m ⎤ v
µ m × r1
− 3 ⎥; A1 (r1 ) =
Blej ,1 (r1 ) =
⎢
5
4π r1 3
4π ⎢⎣ r1
r1 ⎥⎦
v v v
– con sólo trasladar el origen de coordenadas: r1 = r − rd
v v v v v
v
v v v
v v
v v
v v v
µ ⎡ 3[m ⋅ (r − rd )](r − rd )
m ⎤ v µ m × (r − rd )
− v v 3 ⎥; A ≈
Blej (r ) = Blej ,1 (r1 ) = Blej ,1 (r − rd ) =
⎢
5
v
v
4π rv − rvd 3
4π ⎢⎣
r − rd
r − rd ⎥⎦
v
J
V
O1
v
r1
v
rd
– La condición de punto lejano es ahora:
v r v
r1 = r − rd >> máxima dimensión de V
v
r
O
EyM 5-11
J.L. Fernández Jambrina
Momento magnético.
Independencia respecto del origen.
• El momento magnético de una distribución caracteriza totalmente la
misma desde el punto de vista de campo en puntos alejados.
– Su unidades son (Amperios·m2)
– La expresión ya vista se puede generalizar sin problemas al caso de
distribuciones superficiales y lineales:
r 1
r r
m = ∫∫∫ r × JdV
2 V
r 1 r r
m = ∫∫ r × J S dS
2 S
r I r r
m = ∫ r × dl
2C
V
v
– Su valor es independiente
del
origen
de
coordenadas
J
v
v
escogido: si llamamos m1 y m2 a los momentos
magnéticos de una misma distribución con respecto
v
v
v
a los orígenes O1 y Or 2 , runidos
r por el vector R , resulta:
r2
r1
r
r
r
r
r r
r 1
r
r
r1 = r2 + R 1
m1 = ∫∫∫ r1 × J1 (r1 )dV1 ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ ∫∫∫ r2 + R × J1 r2 + R dV2 =
v
2 V
2 V
O2
O1 R
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
1
1
1
= ∫∫∫ r2 × J 2 (r2 )dV2 + R × ∫∫∫ J 2 (r2 )dV2 = ∫∫∫ r2 × J 2 (r2 )dV2 = m2
2 V
2
2 V
V
1
42
4 43
4
=0
EyM 5-12
J.L. Fernández Jambrina
(
) (
)
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Tema 5b: magnetostática
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Electricidad y Magnetismo
Curso 2005/2006
Momento magnético de una espira plana
r I r r
m = ∫ r × dl
2C
• El momento magnético de una espira plana tiene
una interpretación inmediata:
r
v
dl
r
– el producto r × dl representa una contribución en la
dirección normal de valor igual al área sombreada
en la figura superior. Luego su mitad se puede
hacer corresponder con el área más obscura.
– Al integrar se van sumando las áreas asociadas
con el resto de los diferenciales dando como
resultado el área total de la espira.
– Considerando que el producto va en el sentido
positivo de la normal:
r
m = ISnˆ
• El momento magnético es el producto superficie
por corriente.
Su dirección es la de la regla del tornillo.
v
r
O
v
dl
v
r
O
– Este resultado es válido aunque el origen no esté
en el plano de la espira.
EyM 5-13
J.L. Fernández Jambrina
Comportamiento del campo
magnético en el infinito
• Aunque las expresiones del potencial vector y del campo magnético
r
muestran una dependencia con r similar a las de electrostática, las
condiciones de regularidad en el infinito son diferentes.
– Si una distribución de corrientes estacionarias puede ser encerrada
dentro un volumen finito, el campo que generará a grandes distancias
será el de un dipolo magnético:
r r
r
r v
µ
µ r
B(r ) =
r 2 m × rˆ
r 3 [3(m ⋅ rˆ )rˆ − m] A(r ) =
4π r
4π r
– Luego el comportamiento del campo en el infinito puede describirse
como:
r r r
r r r2
lim
B(r ) r = 0 lim
A(r ) r = 0
r
r
r →∞
r →∞
r r
r −3
» Aunque para puntos lejanos: B(r ) ∝ r
» No es cierto que:
r r r3
lim B(r ) r = cte
r
r →∞
r r
r −2
A(r ) ∝ r
r r r2
lim A(r ) r = cte
r
r →∞
ya que estas constantes dependerán de la dirección.
EyM 5-14
J.L. Fernández Jambrina
Página 7
Tema 5b: magnetostática
7
Electricidad y Magnetismo
Curso 2005/2006
Corrientes ligadas.
• Un material magnético, µ≠µ0, puede representarse directamente por
sus corrientes ligadas, internas, en el vacío, µ=µ0.
• En presencia de un campo magnético externo aparecen o se
reorientan las corrientes ligadas:
r
B=0
r
B≠0
• Cada elemento del material se convierte en un momento magnético.
– Se puede definir una densidad volumétrica de momento magnético, el
vector Magnetización:
r
r
r
∆m dm
M = lim
=
∆V → 0 ∆V
dV
EyM 5-15
J.L. Fernández Jambrina
Corrientes ligadas.
(2)
• El potencial vector creado por las corrientes ligadas
se puede expresar como la integral:
r r
r r
r r µ
r r
⎛ 1 ⎞
µ
M (r ′) × (r − r ′)
0
A(r ) =
dV ′ = 0 ∫∫∫ M (r ′) × ∇′⎜⎜ r r ⎟⎟dV ′
r
r
3
V
π
4π ∫∫∫V
4
r − r′
⎝ r − r′ ⎠
⎛ 1 ⎞ rr − rr′
⎛ 1 ⎞
• Donde se ha aplicado que: ∇′⎜⎜ rr − rr′ ⎟⎟ = r r 3 = −∇⎜⎜ rr − rr′ ⎟⎟
⎝
⎠ r − r′
⎝
⎠
r r
r r
⎛ 1 ⎞ r r
⎛ M (r ′) ⎞ ∇′ × M (r ′)
• Como: ∇′ × ⎜ r r ⎟ = r r + ∇′⎜ r r ⎟ × M (r ′)
⎜ r − r′ ⎟
⎜ r − r′ ⎟
r − r′
Vr
⎠
⎝
⎠
⎝
M
• Resulta:
r r
r r
r r µ
⎛ M (r ′) ⎞
∇′ × M (r ′)
µ
A(r ) = 0 ∫∫∫ r r dV ′ − 0 ∫∫∫ ∇′ × ⎜⎜ r r ⎟⎟dV ′ =
V
V
r − r′
4π
4π
⎝ r − r′ ⎠
r
r r
r r
M (r ′) × dS ′
µ0
∇′ × M (r ′)
µ0
′
=
r r dV +
r r
4π ∫∫∫V r − r ′
4π ∫∫S r − r ′
– Donde se ha aplicado que:
r
r
J.L. Fernández Jambrina
S
µ0
dV’
r
r′
r
r
O
r
∫∫∫∇ × AdV = −∫∫ A × dS
V
µ0
EyM 5-16
Página 8
Tema 5b: magnetostática
8
Electricidad y Magnetismo
Curso 2005/2006
Corrientes ligadas.
r
r
J Ligada (r ′)
• Interpretación:
r r µ
A(r ) = 0 ∫∫∫
4π V
(3)
{
r
r
J S , Ligada (r ′)
}
{
}
r r
r r
M (r ′) × nˆ′
∇′ × M (r ′)
µ0
dV ′ +
dS ′
r r
r r
r − r′
4π ∫∫S r − r ′
– Las corrientes ligadas del material son equivalentes a:
» Una corriente volumétrica ligada:
r
r
J Ligada = ∇ × M
V r
M
µ0
µ0
r
r
J S = M × n$
µ0
V
r
r
J =∇×M
µ0
» Una corriente superficial ligada situada en su superficie:
r
r
J S , Ligada = M × nˆ
S
V
µ
µ0
Nota:
Nota:El
Elefecto
efectode
delas
lascorrientes
corrientesligadas
ligadasqueda
quedarepresentado
representadopor
porµµ
EyM 5-17
J.L. Fernández Jambrina
Corrientes ligadas.
• El desarrollo anterior es válido para puntos
exteriores al material.
• Para puntos interiores se puede dividir el
volumen de integración en dos:
(4)
V-Vrδ
M
– Una esfera de radio δ centrada en el punto de evaluación.
– El resto.
r r
r r
r r
r r
r r µ
µ0
M (r ′) × (r − r ′)
M (r ′) × (r − r ′)
0
′
A(r ) =
dV +
dV ′
r
r
r
r
3
3
∫∫∫
∫∫∫
4 π V −V δ
4 π Vδ
r − r′
r − r′
µ0
Vδ
µ0
2δ
• La dificultad está en la esfera de radio δ: puede no converger.
∫∫∫
Vδ
– Escogiendo un origen de coordenadas
en el centro de la esfera:
r r r
r r r
r r
r r
rp′ = r ′ − r
M (rp′ )× rp′ r 2
M (r ′) × (r − r ′)
µ0
− µ0
dV ′
→
rp′ sen θ′p drp′ dϑ′p dϕ′p
r r3
r 3
4π ∫∫∫Vδ
4π ∫∫∫Vδ
r − r′
rp′
– Tomando módulos y calculando el límite cuando δ →0:
r r r
r r r
max M (rp′ ) rp′
r r
M (rp′ ) × rp′ r 2
rp′ sen θ′p drp′ dϑ′p dϕ′ ≤ ∫∫∫
sen θ′p drp′ dϑ′p dϕ′p = 4πδmax M (rp′ )
r
r 3
Vδ
rp′
r′
p
EyM 5-18
J.L. Fernández Jambrina
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Tema 5b: magnetostática
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Electricidad y Magnetismo
Curso 2005/2006
Corrientes ligadas.
(5)
– Calculando el límite cuando δ →0:
r r r
r r
M (rp′ ) ⋅ rp′ r 2
lim
rp′ sen θ′p drp′ dϑ′p dϕ′p ≤ lim 4πδmax M (r ′) = 0
r 3
δ→0 ∫∫∫Vδ
0
δ
→
rp′
– Luego la integral converge y por tanto:
r r
r r
r r
r r
⎛µ
⎞
r r
µ0
M (r ′) × (r − r ′)
M (r ′) × (r − r ′)
′
+
A(r ) = lim ⎜ 0 ∫∫∫
d
V
dV ′ ⎟ =
r
r
r
r
3
3
∫∫∫
−
V
V
V
⎟
δ
δ
4π
δ→0⎜⎝ 4π
r − r′
r − r′
⎠
r r
r r
r r
r r
µ0
M (r ′) × (r − r ′)
µ0
M (r ′) × (r − r ′)
= lim
dV ′ =
dV ′
r r3
r r3
4π ∫∫∫V
δ→0 4π ∫∫∫V −Vδ
r − r′
r − r′
– Por lo que los resultados también son válidos
para el interior del material magnético.
V-Vrδ
M
µ0
Vδ
µ0
2δ
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J.L. Fernández Jambrina
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Tema 5b: magnetostática
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