Download Vector de Poynting - Universidad Nacional de La Plata

Vector de Poynting
Campos y Ondas
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA
ARGENTINA
CAMPOS Y ONDAS
CAMPOS Y ONDAS
CAMPOS Y ONDAS
CAMPOS Y ONDAS
P
H
E
J
CAMPOS Y ONDAS
S
∂
⎛µ 2 ε 2⎞
w
∫∫ SC ( E × H ) ⋅ dS + ∫ ∫ ∫ ( E ⋅ J ) dv = − ∂ t ∫ ∫ ∫ ⎜⎝ 2 H + 2 E ⎟⎠ dv
CAMPOS Y ONDAS
CAMPOS Y ONDAS
Vector de Poynting
Onda Plana Progresiva, linealmente polarizada
Ey = E0 sen(ωt − β x)
Hz = Ho.sen(ωt − β x + ϕ )
ExH = Ey.Hz = Ey.sen(ωt − β x) Ho.sen(ωt − β x + ξ )
1
(ExH ) =
T
CAMPOS Y ONDAS
t +T
∫
t
1
Ey.Hz.dt =
T
t +T
∫
t
Eo sen(ωt − β x) H o sen(ωt − β x + ξ )dt =
Eo.Ho
cos(ξ )
2
CAMPOS Y ONDAS
CAMPOS Y ONDAS
Vector de POYNTING en una ONDA PROGRESIVA.
w
∫∫
SC
µ
( E × H ) ⋅ dS = −
(E × H)
ε
H + E2
2
2
CAMPOS Y ONDAS
2
∂
⎛µ 2 ε 2⎞
⎜ H + E ⎟ dl.dS
∫
∫
∫
∂t
2 ⎠
⎝2
=v
dS
dl
Vector de POYNTING en una ONDA PROGRESIVA.
⎛µ⎞
=⎜ ⎟
H ⎝ε ⎠
E
CAMPOS Y ONDAS
1
2
Vector de POYNTING en una ONDA PROGRESIVA.
CAMPOS Y ONDAS
Vector de POYNTING en una ONDA PROGRESIVA.
Vector de POYNTING en una ONDA PROGRESIVA.
CAMPOS Y ONDAS
Vector de POYNTING en una ONDA PROGRESIVA.
CAMPOS Y ONDAS
VECTOR DE POYNTING EN UNA ONDA ESTACIONARIA.
CAMPOS Y ONDAS
VECTOR DE POYNTING EN UNA ONDA ESTACIONARIA.
CAMPOS Y ONDAS
VECTOR DE POYNTING EN UNA ONDA ESTACIONARIA.
CAMPOS Y ONDAS
VECTOR DE POYNTING EN UNA ONDA ESTACIONARIA.
La expresión del vector de Poynting para
esta onda estacionaria pura es la
siguiente:
Px = −4 E2 H 2 cos ωt sen ωt cos β x sen β x
CAMPOS Y ONDAS
VECTOR DE POYNTING EN UNA ONDA ESTACIONARIA.
CAMPOS Y ONDAS
Max(E) = (2n + 1) λ
Max(H ) = (n) λ
4
λ
2
2
Max(P ) = (2n + 1) λ
λ
1.5
H
E
2
P
1
8
0.5
P
0
-0.5
Min(E) = (n) λ
-1
2
Min(H ) = (2n + 1) λ
Min(P) = (n) λ
CAMPOS Y ONDAS
8
-1.5
4
-2
0
100
200
300
400
500
600
700
Vector de POYNTING en un cable coaxial.
∫∫ J ⋅ dS = I = ∫ H ⋅ dl
C
∫∫ J ⋅ dS = I = 2πrH
Hϕ =
I
2π r
V=
P = E× H
Pz = Er .H ϕ
b
λ ⎛b⎞
ln⎜ ⎟
2πε ⎝ a ⎠
E=
V
Er =
⎛b⎞
r ln ⎜ ⎟
⎝a⎠
b
V
I
VI
dr
W = ∫∫ (E × H) ⋅ da = ∫
2πr dr =
= VI
∫
2
π
r
r
b
b
⎛ ⎞
⎛ ⎞
SC
a r ln⎜ ⎟
ln⎜ ⎟ a
⎝a⎠
⎝a⎠
CAMPOS Y ONDAS
λ 1
2 πε r
VECTOR DE POYNTING EN UN HILO CONDUCTOR.
•
En un conductor, con conductividad finita,
circula una corriente continua, se desarrollará
un campo eléctrico dentro de dicho conductor.
Este campo tendrá la misma dirección que la
corriente, ya que:
E=
J
σ
H
Pr
J
VL = E z L
a
E
El vector intensidad de campo magnético será concéntrico con el conductor, y
en la superficie del mismo tendrá el siguiente valor:
Hϕ =
I
2πa
P = − Ez Hφ r + 0φ + 0 z
L
L
I
W = ∫∫ Ez H φ ds = ∫ Ez H φ 2π a dz = VL ∫ dz = VI
L0
sc
0
CAMPOS Y ONDAS
VECTOR DE POYNTING EN UN HILO CONDUCTOR.
I
2
H.dl
=
H
ϕ
.2
π
.
r
=
π
.
r
v∫
π .a 2
Iint erior = πr
2
Hϕint erior
r
=
I
2
2π a
I
E
πa 2
P
Hϕ =
• La potencia que fluye hacia adentro del conductor, a
través de una capa cilíndrica, de radio r<a, será:
VL r
r2
W= .
I .2π rL = VL I 2
2
L 2π a
a
CAMPOS Y ONDAS
r
I
2
π
a
2
APLICACIÓN DEL VECTOR DE POYNTING A CIRCUITOS.
∫
V = − E ⋅ dl
∫
I = H ⋅ dl
Circuito
Potencia
P=w
∫∫ P ⋅ ds = w
∫∫ S ⋅ ds
Se considera ahora un circuito
• una batería conectada, a través
• de un par de conductores perfectos
• una carga de resistencia R.
• Se supone que toda la f.e.m. está
concentrada en la batería, y que toda
la resistencia esta concentrada en la
carga.
En cualquier punto el vector de Poynting P
P = E× H
CAMPOS Y ONDAS
APLICACIÓN DEL VECTOR DE POYNTING A CIRCUITOS.
•
•
•
•
Alrededor de la batería el
vector de Poynting es hacia
afuera (positivo).
Alrededor de la resistencia
(carga) el vector de Poynting
es hacia adentro (negativo).
En un plano imaginario
ubicado a mitad del circuito,
el vector de Poynting va de
izquierda (batería) a derecha
(carga).
En la superficie de
integración que encierra a
la carga, un cilindro
conductor
P=w
∫∫ ( E × H ) ⋅ ds =w
∫∫ ( Ez .Hϕ ) ⋅ dl1.dl2
P = ∫ E ⋅ dl1
CAMPOS Y ONDAS
v∫ H ⋅ dl
2
= −VI
APLICACIÓN DEL VECTOR DE POYNTING A CIRCUITOS.
• Se obtiene la misma potencia en la carga predicha por la
teoría de circuitos
• En la teoría de campo, esta potencia es negativa, ya que se
dirige hacia el interior de la superficie de integración que
encierra a la carga.
• El flujo de potencia se desarrolla en el espacio circundante
al circuito, actuando los conductores del circuito como guías
para dicha potencia.
• En la anterior figura del circuito se muestran algunas líneas
de flujo del vector de Poynting. Resulta evidente que el
flujo de potencia se desarrolla en el espacio
circundante al circuito, actuando los conductores del
circuito como guías para dicha potencia.
• Desde el punto de vista de la teoría circuital,
usualmente se dice que los conductores transportan
la potencia o que la potencia fluye por los
conductores, pero esto no es mas que una simplificación
del problema y no representa la situación real.
CAMPOS Y ONDAS
APLICACIÓN DEL VECTOR DE POYNTING A CIRCUITOS.
Densidad del vector de Poynting muy intenso
Toda la energía que va a la carga atraviesa las rendijas por donde pasa el coductor
CAMPOS Y ONDAS