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EC1311 TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA
UNIDAD 3: CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS EN PRESENCIA DE LA MATERIA
CAMPOS ESTÁTICOS PRODUCIDOS POR UNA RESISTENCIA CILÍNDRICA.
Para simplificar la solución del problema, se coloca a la resistencia de
tal manera que su eje coincide con el eje z para 0<z<L y el filamento por
donde se conecta a la resistencia a la fuente de corriente ocupa el resto del eje
z, definiéndose la corriente en sentido de z positivo. Además, se divide el
problema en cuatro regiones para llenar el espacio, como se muestra en la
figura 1 y se especifica en la tabla 1.
Fig. 1: Geometría para el cálculo de los campos producidos en una resistencia
cilíndrica excitada por una fuente de corriente.
Tabla 1: Regiones para el cálculo de los campos producidos por una
resistencia cilíndrica.
Región 1
Región 2
Región 3
 0
 0
0   R
R
0    2
0    2
0    2
0    2
zL
z0
0 z  L
0 z L
Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007
Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela
Región 4
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Nótese que los únicos sitios del espacio no contemplados en las
regiones son los ocupados por los discos metálicos conectados a los extremos
de la resistencia, donde ya se sabe que los campos son nulos.
Se calcula en primer lugar el campo magnético usando las ecuaciones
de Maxwell en forma diferencial y las condiciones de frontera, luego se
calcula el campo eléctrico dentro del conductor aplicando la Ley de Ohm.
Cálculo del campo magnético
Por simetría del problema, el campo magnético sólo depende de la
coordenada  en cada región, es decir, H  H  . Como las corrientes tienen
dirección z, por regla de la mano derecha la componente H z   del campo es
nula. Además, la componente H    también es nula para que se cumpla la
Ley de Gauss del Campo magnético con H  H  .
De acuerdo con lo anterior H  1φ H    en todo el espacio. El
rotacional del campo magnético entonces toma la forma:


  H    1φ H    1z


1   H  


En las regiones 1, 2 y 4, que son externas al conductor, no hay
corrientes volumétricas. Por lo tanto, igualando a cero el rotacional y
resolviendo, se tiene:
c
c
c
H1     1 ; H 2     2 ; H 4     4



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En la región 3, interna al conductor, se supone que la corriente se
distribuye uniformemente, por lo que existe una densidad de corriente de
conducción constante Jc = 1z I0 / (R2). La Ley de Ampère queda:


I
I
1   H   
 0  d  H    0  d


 R2
 R2


Al integrar ésta última ecuación diferencial y despejar H 3   , queda:
H 3   
I0
c
 3

2 R 2
Para completar el proceso de solución, es necesario determinar las
cuatro constantes asociadas a la solución homogénea de las ecuaciones
diferenciales resultantes de aplicar la Ley de Ampère. Comenzando por la
región 3, allí no hay corrientes filamentosas en el eje z, por lo cual el campo
magnético no puede ser singular en el eje z. Entonces c3=0.
En la superficie frontera entre las regiones 3 y 4 (superficie   R ,
0    2 , 0  z  L ) hay continuidad de las componentes tangenciales del
campo magnético, por lo que:
H 3 R  
I0
I
c
R  H 4  R   4  c4  0
R
2
2R 2
En la superficie frontera entre las regiones 1 y 4 (superficie   R ,
0    2 , z  L ) y en la superficie frontera entre las regiones 2 y 4
(superficie   R , 0    2 , z  0 ) también hay continuidad de las
componentes tangenciales del campo magnético, por lo que:
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H 4   z  L 
I0
I
c
 H1   z  L  1  c1  0
2

2
H 4   z  0 
I0
I
c
 H 2   z  0  2  c2  0
2

2
En definitiva, el campo magnético solución de este problema es:
I0

1φ 2 en las regiones 1, 2 y 4
H    
I 
1φ 0 en la región 3
 2R 2
Cálculo del campo eléctrico
Para calcular el campo eléctrico en el interior del conductor basta con
aplicar la Ley de Ohm para conductores volumétricos:
E  J c /   1z
I0
R 2
El problema de calcular el campo eléctrico en el exterior del conductor
es mucho más complejo, porque fuera del conductor dicho campo depende de
la coordenada z (por la ubicación de los discos metálicos con la diferencia de
potencial electrostático entre ellos) y de la coordenada radial  (porque para 
muy grande el campo debe anularse).
Los métodos estudiados hasta ahora para resolver problemas de campos
no son aplicables cuando el campo depende de dos o más coordenadas, por lo
cual se deja sin resolver. La figura 2 muestra un bosquejo del campo eléctrico
dentro y en la vecindad de la resistencia, la figura 3 muestra un bosquejo del
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campo eléctrico en sitios muy lejanos a la resistencia, considerando que el
potencial electrostático en los conductores metálicos es constante.
Fig. 2.: Campo eléctrico dentro y en la vecindad de la resistencia.
Fig. 3: Campo eléctrico lejos de la resistencia.
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