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Programa de Estudios de Tópicos de Geometría (2015)
Institución: Rosario, Argentina
Profesor: Prof. Roberto Biraghi
UNIDAD 1: SUPERFICIES I
SUPERFICIES: definición; ecuaciones general, ordinaria y canónica; estudio elemental de una superficie.
SUPERFICIES ESFÉRICAS: definición y estudio elemental. SUPERFICIES CILÍNDRICAS: definición; método para
obtener su ecuación (dadas la directriz y la dirección de sus generatrices); estudio elemental (superficie cilíndrica
elíptica, parabólica e hiperbólica rectas). SUPERFICIES CÓNICAS: definición; método para obtener su ecuación
(dados la directriz y el vértice); estudio elemental de la superficie cónica elíptica recta con vértice en el origen.
SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN: definición. SUPERFICIES REGLADAS: definición.
UNIDAD 2: SUPERFICIES II
SUPERFICIES CUÁDRICAS CON CENTRO: definición; estudio elemental (elipsoide, hiperboloide de una y dos
hojas). SUPERFICIES CUÁDRICAS SIN CENTRO: definición; estudio elemental (paraboloide elíptico e hiperbólico).
Casos patológicos (superficies cuádricas degeneradas).
UNIDAD 3: SISTEMAS DE COORDENADAS I
SISTEMA DE COORDENADAS POLARES: definición y notas históricas; fórmulas de transformación entre
coordenadas polares y rectangulares; distancia entre dos puntos en coordenadas polares; estudio elemental de un
lugar geométrico en coordenadas polares (intersecciones con eje polar, eje perpendicular y polo; simetrías respecto
del eje polar, eje perpendicular y polo; extensión; representación gráfica; transformación de su ecuación a
coordenadas rectangulares); algunas curvas polares notables (rectas, circunferencias, espirales, caracoles,
cardioides, rosas y lemniscatas).
UNIDAD 4: SISTEMAS DE COORDENADAS II
SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS: definición; fórmulas de transformación entre coordenadas cilíndricas
y rectangulares; representación gráfica de puntos; ecuación de un lugar geométrico en coordenadas cilíndricas.
SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS: definición; fórmulas de transformación entre coordenadas esféricas y
rectangulares; representación gráfica de puntos; ecuación de un lugar geométrico en coordenadas esféricas.
SISTEMA COORDENADAS GEOGRÁFICAS: definición; relación con las coordenadas esféricas; representación
gráfica de puntos; aplicaciones prácticas.
UNIDAD 5: GEOMETRÍA INVERSIVA
INVERSIÓN: definición y propiedades fundamentales; construcción geométrica de puntos inversos; propiedades de
la inversión de rectas y circunferencias; invariancia de ángulos; transformación de haces de rectas y circunferencias.
APLICACIONES DE LA INVERSIÓN: la geometría del compás (teorema de Mascheroni-Mohr); construcciones
geométricas con sólo el compás (duplicación de un segmento; punto medio de un segmento; centro de una
circunferencia; intersección de dos rectas; intersección de una recta y una circunferencia); otras aplicaciones de la
inversión (problema de Apolonio; inversores de Watt y Peaucellier).
UNIDAD 6: GEOMETRÍA PROYECTIVA
Definición y notas históricas; el plano proyectivo; razón doble de cuatro puntos y cuatro rectas; teorema fundamental
de Staudt; puntuales proyectivas y perspectivas; involución; las cónicas proyectivas; teoremas de Pascal y de
Brianchon; determinación de cónicas.
UNIDAD 7: TOPOLOGÍA I
TOPOLOGÍA DE SUPERFICIES: introducción y notas históricas; transformación y deformación topológica;
homeomorfismo; propiedades topológicas e invariantes topológicos; superficies topológicamente equivalentes;
conexidad simple y múltiple; género de una superficie; superficies uniláteras (cinta de Möbius y botella de Klein).
Algunos teoremas topológicos notables: fórmula de Euler para poliedros simples; los cinco sólidos platónicos;
teorema de la curva de Jordan. NUDOS: definición y aplicaciones.
UNIDAD 8: TOPOLOGÍA II
TEORÍA DE GRAFOS: introducción y notas históricas; Euler y el problema de los siete puentes de Könnigsberg;
definiciones y conceptos básicos (grafo simple; grado de un vértice; camino y ciclo); isomorfismo de grafos.
GRAFOS EULERIANOS: ciclo euleriano. GRAFOS HAMILTONIANOS: ciclo hamiltoniano. COLOREO DE GRAFOS:
coloración de grafos por vértices; número cromático; coloración de grafos por aristas. Otros teoremas topológicos
notables: coloración de mapas (teoremas de los tres y los cuatro colores).
UNIDAD 9: GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS
Introducción y notas históricas; los “Elementos” de Euclides y el problema del quinto postulado; la conjetura de
Saccheri; los aportes de Gauss, Lobachevsky, Bolyai y Riemman. GEOMETRÍA HIPERBÓLICA: la pseudoesfera.
GEOMETRÍA ELÍPTICA. Los modelos euclidianos de Klein y Poincaré. Caracterización de las distintas geometrías:
suma de ángulos interiores de un triángulo; distancia entre dos puntos; congruencia y semejanza de triángulos;
superficie sobre la que se desarrolla. Aplicaciones de las geometrías no euclidianas.
UNIDAD 10: CURVAS CLÁSICAS NOTABLES
TRACTRIZ: definición; ecuaciones paramétricas; estudio de su gráfica y propiedades generales. CISOIDE DE
DIOCLES y CONCOIDE DE NICÓMEDES: definición; ecuaciones polares; su aplicación a los problemas clásicos de
la geometría. CICLOIDE y TROCOIDE: definición; ecuaciones paramétricas. EPICICLOIDE e HIPOCICLOIDE:
definición; ecuaciones paramétricas; casos particulares. CATENARIA: definición; ecuaciones paramétricas. CURVAS
LÍMITES (FRACTALES): definición y notas históricas; curva de Koch y copo de nieve; tamiz de Sierpinski; curva de
Hilbert; autosemejanza; dimensión fractal.
Rosario, 31/03/2014