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Función de probabilidad
una que vez tenemos un suceso, nos preocupa saber si hay muchas o pocas posibilidades de
que al realizar la experiencia se haya verificado, sería interesante tener alguna función que
midiera el "grado de confianza" para que se verifique el suceso.
A esta función la denominaremos función de probabilidad. es, una aplicación entre el
conjunto de resultados y el conjunto de números reales, que asignará a cada suceso la
probabilidad de que se verifique.
La notación:
P(A) significará: Probabilidad de un suceso A.
Lo que se hace para decir qué es y qué no es una función de probabilidad es construir una
serie de propiedades (denominadas axiomas) que se exigirán a una función para poder ser
catalogada como función de probabilidad.
Axiomas:
Sea S el conjunto de sucesos.
Axioma 1: Para cualquier suceso A, la probabilidad debe ser mayor o igual que 0.
Axioma 2: P(Ω)=1
Axioma 3: Para sucesos Ai , de modo que cada par de sucesos no tengan ningún resultado
común , se verifica que :
De este modo, puede haber muchas funciones de probabilidad que se podrían asociar a la
experiencia.
El problema pasa entonces al investigador para decidir cual o cuales son las funciones de
probabilidad más razonables asociadas a la experiencia que está manejando.
Distribuciones de variable discreta
Se denomina variable discreta aquella que sólo puede tomar unos determinados valores, el
conjunto de valores que toma X es finito o numerable. En este caso la Distribución de
Probabilidad es el sumatoria de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:
Esta expresión representa la suma de todas las probabilidades desde
Las distribuciones de variable discreta más importantes son las siguientes:
hasta el valor xi
Distribución uniforme
Es una distribución de probabilidad cuyos valores tienen la misma probabilidad.
Su función de probabilidad es en el caso discreto con valores posibles
p(xi) = 1 / n.
Su función de distribución es en el caso discreto
Su media estadística es
.
Función de densidad en el caso continúo entre los valores a y b
La función de distribución en el caso continuo entre a y b es
Su media estadística es (a + b) / 2 y su varianza (b − a)2 / 12.
Distribución binomial
En estadística la distribución binomial es una distribución probabilidad discreta
describiendo el número de éxitos de n experimentos independientes con probabilidad p de
un éxito.
Su función de densidad es
Eso es por que en n experimentos hay n sobre x (el coeficiente binomial) posibilidades para
un numero de x éxitos (probabilidad pk) y n − x no-éxitos ((1 − p)n − x).
El valor esperado de una variable aleatoria de probabilidad binominal es E[x] = np y su
varianza V[x] = np(1 − p).
Distribución Poisson
Es una distribución de probabilidad discreta con un parámetro λ < 0 cuya función de masa
para sucesos
es
La distribución de Poisson describe el número de sucesos en una unidad de tiempo de un
proceso de Poisson. Muchos fenómenos se modelan como un proceso de Poisson, por
ejemplo las llamadas en una empresa o los accidentes en una carrera.
El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X de distribución Poisson son
E[X] = V[X] = λ
Proceso de Poisson
Distribución geométrica
Es una distribución probabilidad discreta con un parámetro p cuya función de densidad para
valores discretos
P(X = x) = p(1 − p)x − 1
Su función de distribución es
es
El parámetro p (la probabilidad de éxito de un experimento) fija la media estadística E(X) =
1 / p y la varianza V(X) = (1 − p) / p2.
Distribución hipergeométrica
Es una distribución de probabilidad discreta con tres parámetros discretos N, d y n cuya
función de probabilidad es:
Aquí,
se refiere al coeficiente binomial, o al número de combinaciones posibles al
seleccionar b elementos de un total a.
Esta distribución se refiere a un espacio muestra donde hay elementos de 2 tipos posibles.
Indica la probabilidad de obtener un número de objetos x de uno de los tipos, al sacar una
muestra de tamaño n, de un total de N objetos, de los cuales d son del tipo requerido.
El valor esperado de una variable aleatoria X de distribución hipergeométrica es
Y su varianza
Distribución zeta
Es una distribución probabilidad discreta con un parámetro s > 1 cuya función de densidad
para valores discretos
es
Aquí ζ(s) es la función zeta de Riemann con
El equivalente continuo de la distribución zeta es la distribución Pareto
Distribuciones de variable continua
Se denomina variable continua aquella que puede tomar cualquiera de los infinitos valores
existentes dentro de un intervalo finito. En el caso de variable continua la Distribución de
Probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que:
Las distribuciones de variable continua más importantes son las siguientes:
Distribución exponencial
Es una distribución de probabilidad continua con un parámetro λ > 0 cuya función de
densidad es
Su función de distribución es
El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución exponencial son
E[X] = 1 / λ
V(X) = 1 / λ2
Distribución beta
Es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros a y b cuya función de
densidad para valores 0 < x < 1 es
Aquí Γ es la función gamma.
El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución gamma son
.
Un caso especial de la distribución Beta con a = 1 y b = 1 es la probabilidad uniforme.
Distribución de Cauchy
A veces también distribución de Lorentz es una distribución de probabilidad continua cuya
función de densidad es
donde t y s > 0 son sus parámetros. En el caso t = 0,s = 1 eso es
.
En general la distribución de Cauchy no tiene valor esperado ni varianza.
Si U y V son dos variables aleatorias uniformes dentro -1 y 1 y U2 + V2 < 1 el numero U / V
tiene la distribución Cauchy.
La distribución de Cauchy también es la distribución t de Student con un grado de libertad.
Bibliografía:
http://www.ub.es/stat/docencia/Software/Statmedia/DemoStatm/Temas/Capitulo1/C1m1t3.
htm
http://www.ub.es/stat/docencia/Software/Statmedia/DemoStatm/Temas/Capitulo1/C1m1t3.
htm
http://enciclopedia.us.es/index.php/Distribuci%F3n_de_probabilidad
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