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Universidad Panamericana
Estadística I
Prof. Andrés Sandoval H
Estadística I
6. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD
6.1 Distribución uniforme
La variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad está distribuida
constantemente entre un intervalo y otro recibe el nombre de distribución uniforme
La función de densidad de probabilidad uniforme se expresa como sigue:
1
f(X)=
para a ≤ X ≤ b
b–a
0
en cualquier otra parte
Un ejemplo de lo anterior se presenta a continuación:
Se supone que la variable aleatoria X representa el tiempo de vuelo de un avión
que va de la Cd. De México a Colima. Se supone que el tiempo de vuelo puede
ser cualquier valor entre 120 y 140 minutos. Como la variable aleatoria X puede
tomar cualquier valor dentro de ese intervalo, X es un variable aleatoria continua y
no discreta.
Si cualquier intervalo de un minuto es igualmente probable, se dice que la variable
aleatoria de que se trata tiene una distribución de probabilidad uniforme. Se
supone que este es el caso de los tiempos de vuelo.
Tomando en cuenta estos supuestos, la función de densidad quedaría de la
siguiente manera:
1
f(X)=
para 120 ≤ X ≤ 140
140 – 120
0
en cualquier otra parte
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De manera gráfica, se puede representar de la siguiente manera:
Como se observa en la figura anterior, el área bajo la gráfica de f (x) es un
rectángulo. Como se sabe, el área de un rectángulo se conoce multiplicándola
medida de ancho por la medida de alto. De este modo el área de este rectángulo
es igual a 1, que se obtiene de multiplicar 1/20 por 20. Es decir, la probabilidad de
que el tiempo de vuelo esté entre 120 y 140 minutos es de 100%.
De acuerdo con lo anterior, para conocer la probabilidad de que el tiempo de vuelo
esté entre 120 y 130 minutos, se tiene que calcular el área bajo la gráfica que
corresponda a este intervalo.
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6.2 Distribución exponencial
Es parte de la familia de las distribuciones de variables aleatorias continuas. Esta
distribución tiene una amplia aplicación en las teorías de líneas de espera. Sirve
para calcular la probabilidad del tiempo que debe transcurrir para que un evento
suceda.
Los requisitos que se deben cumplir para la utilización de este tipo de distribución
son:


Los eventos son independientes. La probabilidad de ocurrencia de eventos
en el intervalo de tiempo que transcurre
es independiente de la
probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia en intervalos pasados.
La probabilidad de un evento debe darse en una unidad o intervalo
determinado.
La función de densidad de probabilidad uniforme se expresa como sigue:
λ e λx
para x > 0 y λ > 0
f ( x ) = P ( x ≥ x) =
0, de otra forma
Una fórmula simplificada es la siguiente: F ( x ) = 1 – e – λ
x
Un ejemplo para donde se utiliza este tipo de distribución es el siguiente:
A un servicio de emergencias llega un paciente cada 2 horas en promedio (λ=
1/2),
a)¿cuál es la probabilidad de que un paciente llegue en un lapso mayor a dos
horas?
b) ¿cuál es la probabilidad de que un paciente llegue en un tiempo menor a una
hora?
c) ¿cuál es la probabilidad de que un paciente llegue en un tiempo mayor a una
hora y menor a tres?
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a) La probabilidad de que un paciente llegue en un lapso mayor a dos horas es de
37%
P ( x > 2 ) = e – 1/2 (2)
P ( x > 2 ) = 0.3678
b) La probabilidad de que un paciente llegue en un lapso menor a una hora es de
40%
P ( x < 1 ) = F (1) = 1 – e
P ( x < 1 ) = 1 – 0.6065
P ( x < 1 ) = 0.3935
– 1/2 (1)
c) La probabilidad de que un paciente llegue en un tiempo mayor a una hora y
menor a tres es de 38%
P ( x < 3 ) = F (3) = 1 – e – 1/2 (3)
P ( x < 3 ) = F (3) = 1 – (2.71828) – 1/2
P ( x < 3 ) = F (3) = 1 – 0.223130385
P ( x < 3 ) = F (3) = 0.7769
P ( x < 1 ) = F (1) = 1 – e – 1/2 (1)
P ( x < 1 ) = F (1) = 1 – (2.71828) – 1/2
P ( x < 1 ) = F (1) = 1 – 0.6065
P ( x < 1 ) = F (1) = 0.3935
(3)
(1)
P (1 < x < 3 ) = F(3) – F(1) = 0.7769 - 0.3935 = 0.3834