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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS
DISCRETAS
Función de Probabilidad f(x).
Una variable aleatoria discreta toma cada uno de los valores con cierta probabilidad. La P(X = x), es
la probabilidad de que la variable aleatoria “X” tome el valor “x”; en otras palabras es la probabilidad de que
ocurra el evento que esta formado por todos los elementos del espacio muestral donde X = x.
Sea X una variable aleatoria discreta, que puede tomar valores x1, x2,…., xn; entonces la Función de
Probabilidad está dada por:
f ( x)  P( X  x)
El conjunto de pares ordenados (x; f(x)) se llama Distribución de Probabilidad.
Propiedades de la Función de Probabilidad:
1-. f ( x )  0
2-.
 f ( x)  1
x
Función de Distribución Acumulada F(x).
En ocasiones es necesario calcular la probabilidad de que el valor observado de la variable “X” sea
menor o igual que un determinado número real “x”.
La Función de Distribución Acumulada F(x) de una variable aleatoria discreta “X” con distribución
de probabilidad f(x) es:
F ( x)  P( X  x) 
 f (x )
xi  x
i
Propiedades de la Función de Distribución Acumulada:
1-. 0  F ( x )  1
2-. Si x < y, entonces F (x) < F (y)
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
DEFINICIÓN
Un experimento aleatorio que consta de n ensayos repetidos tales que:
(1) los ensayos son independientes, es decir, el resultado de un ensayo no afecta el resultado de otro.
(2) cada ensayo tiene dos resultados posibles, denominados éxito y fracaso,
(3) la probabilidad de éxito en cada ensayo, denotada como p, permanece constante,
(4) la probabilidad de fracaso es denotada q y q  1  p
recibe el nombre de Experimento Binomial.
La variable aleatoria X es igual al número de ensayos donde el resultado es un éxito, y sigue una
distribución binomial con parámetros n y p.
La función de probabilidad de X es:

n!  x n  x
 p q
, para X= 0, 1,2,….., n
P X  x   
 x!n  x ! 
 

La esperanza y varianza para Distribución Binomial son:
 x  E ( x)  n. p

2
x
 V ( x)  n. p.1  p 
Grafica de la Distribución Binomial (fuente: wikipedia.org)
Ejemplo:
En un laboratorio se analizan muestras de aire periódicamente para determinar la presencia de una molécula
extraña. La probabilidad de que una muestra de aire contenga una molécula extraña es de 10%. Suponga que
las muestras son independientes con respecto a la presencia de la molécula. Para las próximas seis muestras
que serán analizadas, determinar la probabilidad de que el número de muestras que tengan la molécula
extraña:
a) sea igual a 3.
b) sea por lo menos 2
c) sea menor que 3
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
DEFINICIÓN
Si el número promedio de ocurrencias (eventos) en una unidad de tiempo, de área o de volumen es  › 0. La
variable aleatoria X que es igual al número de ocurrencias en el intervalo, sigue una distribución de
Poisson, con parámetro  .
La función de probabilidad de X es:
e  
P X  x  

x!
x
, para X = 0,1,2,……….
La esperanza y varianza para Distribución de Poisson son:
 x  E (x)  
 2 x  V ( x)  
Grafica de la Distribución de Poisson (fuente: wikipedia.org)
Ejemplo:
El número de fallas superficiales en un alambre delgado de cobre esta descrito por una distribución de
Poisson, con media de 2,3 fallas por milímetro. Determine la probabilidad de tener:
a) dos fallas en un milímetro de alambre.
b) diez fallas en cinco milímetros de alambre.
c) al menos dos fallas en dos milímetros de alambre.
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS
CONTINUAS
Si el rango de valores de la variable aleatoria “X” es un intervalo de números reales, entonces “X” es
una variable aleatoria continua. Una variable aleatoria continua puede tomar infinitos valores en un intervalo
de valores a y b, por lo que las probabilidades puntuales P(x) no son válidas. Una variable aleatoria continua
tiene probabilidad igual a cero de tomar exactamente cualquiera de sus valores. En el caso de variables
aleatorias continuas se cuenta con una función continua donde el área bajo la curva representa la probabilidad.
Función de Densidad de Probabilidad f(x)
La función f(x) es una función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua “X”, si
para cualquier intervalo de números reales (a, b):
1-. f ( x )  0

2-.
 f ( x)dx  1

b
3-.
P(a  x  b)   f ( x)dx
a
4-. P ( X  a )  0 , probabilidades puntuales igual a cero.
Función de Distribución Acumulada
x
F ( x)  P( X  x) 
 f ( x)dx , es una función creciente de cero a uno.
