Download Unidad 1. Trigonometría

Unidad 1.
Trigonometría
1.1. Sistemas de Coordenadas Rectangulares y Localización de puntos
Ejercicios.
1.
Encuentra las coordenadas de los vértices del siguiente polígono y escríbelas en el lugar
correspondiente.
Y
A ( ___ , ___ )
B
C
B ( ___ , ___ )
A
D
X
C ( ___ , ___ )
D ( ___ , ___ )
E ( ___ , ___ )
F
E
2.
F ( ___ , ___ )
Localiza cada uno de los siguientes puntos en el plano cartesiano.
Y
M(0,–5)
N(–4,–3)
P(–2,0)
X
Q(–3,3)
R(1,5)
S(4,–3/2)
3.
Escriba sobre la línea el número del cuadrante o el nombre del eje en el que se encuentra cada uno
de los siguientes puntos.
G ( –1, 3 )
________________
J ( 0, –3/4 )
________________
H ( 2, 0 )
________________
K( 2,5)
________________
I ( 5, –7.4 )
________________
L ( –1,–7 )
________________
1
4.
5.
Contesta las siguientes preguntas
a)
Si un punto está sobre el eje X ¿Cuál es su ordenada?
b)
Si un punto está sobre el eje Y ¿Cuál es su abscisa?
c)
¿A qué cuadrante pertenecen los puntos de coordenadas (1, y) con y positivo?
d)
¿A qué cuadrante pertenecen los puntos de coordenadas (x, –2) con x negativo?
Describe las características de las coordenadas de:
a)
Un punto cualquiera del cuadrante II
______________________________________
b)
Un punto cualquiera del cuadrante III
______________________________________
c)
Un punto cualquiera del cuadrante IV
______________________________________
6.
Encuentra y traza todos los puntos tales que :
a)
su abscisa es 3
b)
Su ordenada es –2
c)
Su abscisa se igual a su ordenada
d)
Sus coordenadas tienen distinto signo pero igual valor absoluto
Y
X
2
1.2. Razones trigonométricas en triángulos rectángulos.
Ejercicios.
1.
Calcula cada las razones trigonométricas para el ángulo de 36.9º en cada triángulo.

53.1º
3
I
5
sen 36.9º
I
36.9º
cos 36.9º
4
tan 36.9º
cot 36.9º
53.1º
6
10
II
sec 36.9º
csc 36.9º
36.9º
8
Con base a los resultados obtenidos, contesta las siguientes preguntas.
a)
¿Qué puedes concluir acerca de las razones trigonométricas del ángulo 36.9º en un triángulo
rectángulo?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
b)
¿Es verdadera tu conclusión para el ángulo de 53.1º en un triángulo rectángulo?
___________________________________________________________________________
c)
¿Crees que tu conclusión sea verdadera para cualquier ángulo agudo de un triángulo
rectángulo?
___________________________________________________________________________
3
2.
Utiliza las siguientes figuras para calcular el valor de las funciones trigonométricas de los ángulos
de 30º, 45º y 60º y completa el cuadro siguiente.
B
B
45º
30º
2
45º
C
A
3
60º
A
1
2
2
1
A
sen A
cos A
tan A
cot A
1
C
sec A
D
1
csc A
30º
45º
60º
3.
Calcula las razones trigonométricas de los ángulos A y B del siguiente triángulo.
A
B
B
Seno
Coseno
7
Tangente
Cotangente
C
9
A
Secante
Cosecante
Observe los resultados obtenidos y complete las siguientes afirmaciones.
a) Los ángulos A y B suman _________ , por lo tanto son un par de ángulos ________________
b) Note que
sen A = _________
cot A = _________
cos A = _________
sec A = _________
tan A = _________
csc A = _________
c) Conclusión:
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
4
4.
Calcula las razones trigonométricas del ángulo A del siguiente triángulo. Escriba sus respuestas en
forma fraccionaria.
C
17
15
B
A
sen A =
cot A
cos A =
sec A =
tan A
csc A =
=
=
¿Qué funciones son recíprocas? Es decir ¿Cuáles son las funciones cuyo producto es uno?
Calcula los siguientes cocientes y determina a que función trigonométrica es igual

sen A
cos A

cos A
sen A
Calcula lo siguiente. ¿Qué puedes concluir?
 1  tan 2 A

1  cot 2 A

sec2 A

sec2 A

sen 2 A  cos 2 A
5
1.3. Razones trigonométricas de ángulos en general.
Ejercicios.
1.
Calcula los valores de las seis funciones trigonométricas para los siguientes ángulos en posición
normal si su lado terminal contiene el punto
seno
a)
coseno
tangente
cotangente
secante
cosecante
(–2,3)
b) (–3,–2)
c) (1,–3)
2.
Utilice los resultados del ejercicio anterior para completar la siguiente tabla que indica el signo de
las funciones trigonométricas en cada cuadrante.
CUADRANTE
FUNCION
I
3.
sen o csc
+
cos o sec
+
tan o cot
+
II
III
IV
Encuentra los valores de las funciones trigonométricas del ángulo
a) 150º
b) 210º
c) 315º
6
4.
La siguiente figura representa un cuarto de una circunferencia con centro en el origen y radio 1. Se
forman triángulos rectángulos dibujando una recta vertical desde un punto del eje X hasta la
circunferencia y luego se conecta con el origen.
a)
Use el teorema de Pitágoras y Trigonometría para completar la tabla de valores de cada
triángulo señalado.
Y 1
(0.4, y)
0.8
(0.8, y)
0.6
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
O
b)
5.
Longitud de la
hipotenusa
Valor de x
1
0.2
1
0.4
1
0.6
1
0.8
1
X
Valor de y
sen O
cos O
Formula una conjetura sobre el par ordenado (x, y) de la circunferencia, el seno y el coseno del
ángulo O.
Si  es un ángulo en posición normal con lado terminal en el cuadrante III y cot  = –12/13
encuentre las otras funciones trigonométricas.
7
1.4. Funciones Trigonométricas de un ángulo dado
Ejercicios.
1.
Completa la siguiente tabla. Redondea los valores a tres posiciones decimales

72
74
76
78
80
82
84
86
88
sen
cos
2.
a)
¿A qué valor se aproxima sen  cuando  se acerca a 90º?
______________
b)
¿A qué valor se aproxima cos  cuando  se acerca a 90º?
______________
Completa la siguiente tabla. Redondea los valores a tres posiciones decimales

18
16
14
12
10
8
6
4
2
sen
cos
tan
3.
4.
a) ¿A qué valor se aproxima sen  cuando  se acerca a 0º?
______________
b) ¿A qué valor se aproxima cos  cuando  se acerca a 0º?
______________
c) ¿A qué valor se aproxima tan  cuando  se acerca a 0º?
______________
Utilice el hecho sen A csc A = 1, cos A sec A = 1 y tan A cot A =1 para calcular:
a)
sec 70º
b)
csc 25º
c)
cot 35º30’
d)
sec 62º10’25’’
Halla el valor del ángulo  si se sabe que:
a)
sen  = 0.534
b)
cos  = 0.347
c)
cot  = 2.85
8
1.5. Resolución de Triángulos Rectángulos.
Ejercicios.
1.
Encuentra el valor de x en cada uno de los siguientes triángulos rectángulos.
B
B
C
10
7
x
35º 20’
10
C
2.
55º 25’
42º 40’
A
C
x
A
A
B
x
Encuentra la medida de A en los triángulos rectángulos siguientes
B
B
20
32
5
C
C
25
12
A
A
C
A
B
36
9
1.6. Aplicación a la Resolución de Problemas.
Ejercicios.
1.
Calcula la altura de la palmera a la cuál se le amarró una cuerda de 8.5m formando un ángulo de
50º30’ con el piso.
2.
Una escalera se apoya contra la pared de un edificio formando con el piso un ángulo de 70º. El pie
de la escalera dista 5m del edificio. Calcula la longitud de la escalera.
3.
Una carretera tiene una inclinación de 7º ¿Cuál es el aumento de la altura del automóvil después de
haber recorrido 2000 pies?
4.
En un colegio el asta bandera tiene 15m de alto. ¿Qué sombra proyectará ésta si el sol se encuentra a
28º10’ sobre el horizonte?
10
5.
El palo central de una tienda de campaña de forma de cono circular mide 6m y su parte superior está
sostenida por cuerdas de 12m de largo amarradas a estacas clavadas en la tierra. ¿Cuál es el ángulo
que forman los cables con la tierra? ¿A qué distancia están las estacas del mástil central?
6.
La antena de una radiodifusora tiene 305m de altura, un observador se encuentra a 450m de
distancia de la base. ¿Cuál es el ángulo de elevación desde el punto donde se encuentra el
observador hasta la cúspide de la antena?
7.
Desde un faro de 150m se observa una lancha con un ángulo de depresión de 28º. Calcule la
distancia de la lancha a la base del faro.
11
1.7. Ley de senos
Ejercicios.
1.
Resuelva el triángulo dados A=60º, B=45º y a=40.
C
A
2.
B
Resuelva el triángulo dados A=25º, a=50 y b=100.
C
A
B
12
1.8. Ley de cosenos
Ejercicios.
1.
Resuelva el triángulo dados a = 54, b = 42 y C = 52º 6’.
C
A
2.
B
Resuelva el triángulo si a = 51 b = 65 y c = 20
C
A
B
13
Unidad 2.
Conceptos Básicos de la Geometría
Analítica
A C T I V I D A D #1.
Longitud de un segmento horizontal
Objetivo. El alumno obtendrá un modelo para calcular la longitud de un segmento horizontal.
INSTRUCCIONES.
o
Intégrense en equipos de 4 o 5 personas.
o
o
En forma individual realice los procedimientos que se indican y conteste el cuestionario siguiente.
Concentre la información y presenten sus conclusiones.
PROCEDIMIENTO Y CUESTIONARIO.
1. Traza un segmento horizontal cualquiera y nombre a sus extremos con letras mayúsculas.
2. Determine las coordenadas de cada punto
__ ( __, ___ )
Y
__ ( __, ___ ).
3. ¿Cómo son las ordenadas de estos puntos?
_____________________________________________
4. Calcula la diferencia de las abscisas.
X
_____________________________________________
5. Calcula la longitud del segmento.
_____________________________________________
6. ¿Qué relación hay entre la diferencia de las abscisas y la
longitud del segmento?
_____________________________________________
CONCLUSION: _______________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
14
2.1. Distancia entre dos Puntos
E j e r c i c i o.
Calculemos la distancia que hay del punto A(–2,4) al punto B(3,1) utilizando el siguiente procedimiento:
a) Encuentre un punto C tal que el triángulo formado sea rectángulo y la hipotenusa sea AB.
b) Calcule, de forma visual, las longitudes de AC y BC.
c) Calcule la longitud de AB usando el teorema de Pitágoras.
Y
X
15
Ejercicios.
1.
2.
Calcula la longitud de los segmentos determinados por cada pareja de puntos.
a) A(–3,2) y B(1,4).
AB 
b) J(–5,3) y K(–1,–2)
JK 
c) M(3/2,–1) y N(1/2,–3)
MN 
d) P( 3 ,2) y Q(  3 , 4)
PQ 
Calcula el perímetro del cuadrilátero con vértices consecutivos A(–3,–2), B(4,–2) C(4,3) y D(–1,5).
Y
X
3.
Sean A(–2,–1) B(1,0) C(2,–3) los vértices de un triángulo. Comprueba que es isósceles.
Y
X
16
4.
Muestra que las diagonales de A(–3,2), B(–1,3), C(1,–1) y D(–1,–2) son iguales.
Y
X
5.
Calcula el área del círculo limitado por la circunferencia con centro en C(2,3) que pasa por P(3,–1)
Y
X
6.
Si la longitud de un segmento es 5 y las coordenadas de uno de sus extremos es A(2,–1), encuentra
la abscisa del otro extremo si su ordenada es 3. (Dos soluciones.)
Y
X
17
2.2. Punto medio de un segmento
E j e m p l o.
En la siguiente figura, AD = CD y BE = EC. Además DM  AC y EM  BC.
Y
B(6,5)
M
A(2,1)
E
D
C(6,1)
X
a. Determina las coordenadas de los puntos D y E.
________________________________
b. Encuentre las coordenadas del punto M
________________________________
c. ¿Qué relación hay entre AM y BM?
________________________________
d. Calcula la semisuma de las abscisas de A y B
________________________________
e. Calcula la semisuma de las ordenadas de A y B
________________________________
f. ¿Qué relación hay entre las semisumas de las abscisas de A y B y la abscisa de M?
________________________________
g. ¿Qué relación hay entre las semisumas de las ordenadas de A y B y la ordenada de M?
________________________________
CONCLUSION:
18
Ejercicios.
1.
Encuentra el punto medio de cada uno de los siguientes segmentos:
a) P(–5,2), Q(–1,–4).
Y
X
b) A(2,–2), B(3,–2)
c) G(1/2, 0), H(3/2, 3)
2.
Si A(–1,–1) es el extremo de un segmento y su punto medio es M(2,1). Encuentre las coordenadas
del otro extremo.
Y
X
19
3.
Compruebe que las diagonales del paralelogramo con vértices A(–4, –1), B(0, –2), C(6,1) y D(2,2)
se bisecan entre sí.
Y
X
4.
Encuentre las coordenadas del centro de una circunferencia que tiene por diámetro el segmento
cuyos extremos son A(–4,3) y B(5,–1)
Y
X
5.
Sean A(–3,–1) B(1,5) C(3,–3) los vértices de un triángulo. Calcula la longitud de la mediana que
baja del vértice B al lado AC.
Y
X
20
2.3. Inclinación y Pendiente de una Recta
Ejercicios.
1.
Calcula la pendiente y el ángulo de inclinación de una recta que pasa por los puntos
a) A(–1,4) y B(3,2)
Y
X
b) E(2,5) y F(–2, -1)
Observe que.
1. Si el ángulo de inclinación de una recta es agudo, su pendiente es ___________________
Es decir, si m > 0 entonces  es ___________________
2. Si el ángulo de inclinación de una recta es obtuso, su pendiente es ___________________
Es decir, si m < 0 entonces  es ___________________
2.
Calcula la pendiente y el ángulo de inclinación de una recta que pasa por los puntos
Y
c) C(4,3) y D(–2,3)
X
d) G(4,–1) y H(4,4)
Note que.
1. Si el ángulo de inclinación de una recta es 0º, su pendiente es ___________________
Es decir, si m = 0 entonces  es ___________________
2. Si el ángulo de inclinación de una recta es 90º, su pendiente es ___________________
Es decir, si m esta indeterminada entonces  es ___________________
21
2.4. Rectas Paralelas y Perpendiculares.
Ejemplo.
Visualmente podemos comprobar que A(–1,3), B(3,1), C(1,–3) y D(–3,–1) son los vértices de un
cuadrado.
Calcule las pendientes de cada uno de sus lados.
5 Y
4
A(-1,3)
mAB 

mBC 

mCD 

mAD 

3
2
B(3,1)
1
X
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1
D(-3,-1)
-2
-3
-4
-5
C(1,-3)
1. Los lados AB y CD son paralelos y sus pendientes son _________________
2. Los lados AD y BC son paralelos y sus pendientes son _________________
3. Los lados AB y BC son perpendiculares y el producto de sus pendientes es ______________
4. Los lados BC y CD son perpendiculares y el producto de sus pendientes es ______________
5. Los lados CD y AD son perpendiculares y el producto de sus pendientes es ______________
6. Los lados AB y AD son perpendiculares y el producto de sus pendientes es ______________
CONCLUSIONES
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
22
Ejercicios.
1.
Dado A(–3,–2), B(9,1), C(3,6) y D(5,–2), determina si AB es paralela o perpendicular a CD.
2.
Pruebe, usando pendientes, que el cuadrilátero con vértices A(–4,–2), B(–3,1), C(1,3) y D(0,0) es un
paralelogramo.
Y
X
3.
Sean A(–4,5) B(0,3) y C(–6,–1) los vértices de un triángulo. Compruebe que el segmento que une
los puntos medios de AB y AC es paralela a BC.
Y
X
23
4.
Compruebe que las diagonales del cuadrilátero con vértices A(–2,–1), B(6,–2), C(2,5) y D(–3,4) son
perpendiculares.
Y
X
5.
Si A(–1, –3), B(6,1) y C(2, –5) son los vértices de un triángulo. Comprueba que es rectángulo.
Y
X
6.
Un grupo de mantenimiento esta marcando rectas para señalar espacios de parqueo en los
estacionamientos. Asume que el lote tiene un plano cartesiano imaginario donde cada segmento
representa una yarda. ¿Cómo puede el equipo de mantenimiento dibujar CD paralela a AB si
A(0,0), B(5,2) y C(0,3)?
Y
X
24
2.5. Ángulo entre dos Rectas
Ejercicios.
1.
Encuentra el ángulo formado por las diagonales del cuadrilátero con vértices A(–7,–2), B(4,–5),
C(2,4) y D(–3,6).
Y
X
2.
Los vértices de un triángulo son A(–2,–6) B(–5,8) C(6,9). Encuentra el ángulo A
Y
X
25
Unidad 3.
Línea Recta
3.1. Ecuación de una recta
Ejercicios.
1.
Halla la ecuación general de la recta que pasa por los puntos B(6,3) y C(2,5).
Y
X
2.
Los vértices de un triángulo son A(0,–2), B(3,5) y C(5,–3). Determina la ecuación general de la
mediana que une el vértice A con el lado BC.
Y
X
26
3.
Determina la ecuación de la recta que pasa por (1,–2) y paralela al segmento que une A(–2,2) con
B(3,–4)
Y
X
4.
Obtenga la ecuación de la recta que pasa por punto (–1,2) y es perpendicular al segmento con
extremos en A(–3,–1) y B(3,1)
Y
X
5.
Obtenga la ecuación de la mediatriz de P(–3,6) y Q(–1,2).
Y
X
27
3.2. Ecuación de una recta horizontal o vertical
Ejemplo.
Y
Traza la recta horizontal que pase por (2,3)
Enumera otros tres puntos por donde pasa esta recta.
____________,
X
____________ y
____________
¿Qué tienen en común estos puntos?
_____________________________
CONCLUSIÓN
La ecuación de la recta horizontal que pasa por (a, b) es _________________
Ejemplo.
Traza la recta vertical que pasa por (–2,1)
Y
Enumera otros tres puntos por donde pasa esta recta.
____________,
____________ y
____________
X
¿Qué tienen en común estos puntos?
_____________________________
CONCLUSIÓN
La ecuación de la recta horizontal que pasa por (a, b) es _________________
28
Ejercicios.
1.
Escribe sobre la línea la ecuación de la recta que pasa por:
a)
El punto (3, 5) y es paralela al eje X.
______________________________
b)
El punto (–1, 4) y es perpendicular al eje X.
______________________________
c)
El punto (2, 2) y es paralela al eje Y.
______________________________
d)
El punto (–4, 3) y es perpendicular al eje Y.
______________________________
2.
Escribe sobre la línea la ecuación de la recta correspondiente
Y
L2
L1. ______________
L2. ______________
L3
L1
X
L3. ______________
L4. ______________
L4
29
3.3. Intersección de una recta con los ejes de coordenadas
Ejercicios.
1.
Determine la pendiente y el ángulo de inclinación de las siguientes rectas. Trace la grafica en el
mismo plano cartesiano
a) 5x – 3y + 15 = 0
Y
X
b) 3x + 6y – 9 = 0
2.
Calcule el área limitada por los ejes coordenados y la recta 4x –3y – 12 = 0
Y
X
30
3.
Encuentre la ecuación de la recta paralela a 5x – 6y + 7 = 0 que pasa por el origen
Y
X
4.
Encuentre la ecuación de la recta perpendicular a 2x – 5y + 3 = 0 que pasa por ( –2, 3 )
Y
X
5.
Halla el ángulo entre las rectas 2x – 5y + 10 = 0 y 3x + 2y –12 = 0
Y
X
31
3.4. Punto de Intersección de dos Rectas
Ejercicios.
1.
Determine la ecuación de la recta que pasa por P(–1,2) y por el punto de intersección de las rectas
4x – y = 7 y x – 2y = –7.
Y
X
2.
Determine la ecuación de la recta perpendicular a 2x – 3y + 6 = 0.que pasa por el punto de
intersección de las rectas x + 3y = 5 y 2x – y = 3.
Y
X
32
3.5. Distancia de un Punto a una Recta
Ejercicios.
1.
Considere la recta que tiene por ecuación 3x – 4y + 10 = 0. Calcule la distancia de (–3,2) a la recta.
Y
X
2.
Encuentre el radio de una circunferencia con centro en el origen a la recta 3x – y – 3 = 0
Y
X
33
3.
Sean A(–3,1), B(0,5) y C(4,–2) los vértices de un triángulo. Calcula la altura del triángulo si
tomamos como base al segmento AC.
Y
X
4.
Calcula la distancia entre las rectas paralelas: 3x – 2y – 12 = 0 y 3x – 2y – 24 = 0.
Y
X
34
Unidad 4.
Circunferencia
4.1. Ecuación de una Circunferencia
Ejercicios.
1.
Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por (–2,1).
Y
X
2.
Encuentre la ecuación de la circunferencia con diámetro A(3,–2) y B(–3,2).
Y
X
35
3.
Encuentre la ecuación de la circunferencia tangente a la recta 2x – 3y – 6 = 0 y con centro en el
origen.
Y
X
4.
Encuentre la ecuación general de la circunferencia con C(1,–5) y que pasa por A(–3,2).
Y
X
5.
Encuentra la ecuación de la circunferencia de radio 2 y con centro en la intersección de las rectas
2x + 3y = 0 y 3x – 2y = 13
Y
X
36
6.
Encuentre la ecuación de la circunferencia con diámetro A(–2,5) y B(4,–3).
Y
X
7.
Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro en (–1,3) y tangente a la recta 3x + 4y + 6 = 0.
Y
X
8.
Halla la ecuación de la circunferencia con centro en (–2,1) y tangente a la recta y = –3
Y
X
37
9.
Determina la ecuación de la circunferencia con centro en el tercer cuadrante, de radio 3 y tangente a
las rectas x =1 y y = 2.
Y
X
38
4.2. Elementos de una circunferencia
Ejercicios.
1.
Encuentre los elementos de cada una de las siguientes circunferencias:
a)
9x2 + 9y2 – 25 = 0
b)
2x2 + 2y2 – 6x + 10y + 7 = 0
2. Calcula la longitud de la circunferencia 3x2 + 3y2 + 6x – 12y – 15 = 0. ¿Cuál es el valor del área
limitada por esta circunferencia?
Y
X
39
3. Encuentre la ecuación de la circunferencia concéntrica a x2 + y2 – 2x + 8y – 7 = 0 y de radio 2.
Y
X
4. Encuentre la ecuación de la circunferencia concéntrica a x2 + y2 – 4x – 6y – 5 = 0 que pasa por el
origen.
Y
X
5. Encuentre la ecuación de la circunferencia concéntrica a x2 + y2 + 10x + 4y – 20 = 0 y tangente a la
recta 4x – 3y + 4 = 0
Y
X
40
10.
Obtenga la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (5,3), (–2,2) y (–1,–5)
Y
X
41
Unidad 5.
Parábola
Actividad.

Localiza en el plano cartesiano los puntos: M(2,–4), N(0.5,–2), O(0,0), P(0.5,–2), Q(2,4), R(4.5,6),
S(8,8)
Y
X





Traza la curva que pasa por estos puntos a partir del punto M hasta el punto S.
Localiza también los puntos A(–2,–4), B(–2,–2), C(–2,0), D(–2,2), E(–2,4), G(–2,6) y H(–2,8). ¿A
que lugar geométrico pertenecen? Escribe su ecuación
Ubica el punto F(2,0)
Calcula las distancias enlistadas en la siguiente tabla y escríbelas en la misma.
AM =
MF =
BN =
NF =
CO =
OF =
DP =
PF =
EQ =
QF =
GR =
RF =
HS =
SF =
¿Qué puedes concluir al comparar por fila los resultados de las columnas de la tabla anterior
42
5.1. Elementos de una Parábola
Ejercicios.
Utiliza la siguiente gráfica para completar las cuestiones de abajo.
Y
X
1.
Las coordenadas del vértice son
______________________
2.
Las coordenadas del foco son
______________________
3.
Los extremos del lado recto son
______________________
4.
La longitud del lado recto es
______________________
5.
El valor de p es
______________________
6.
La ecuación de la directriz es
______________________
7.
Ecuación del eje de la parábola
______________________
8.
Punto de intersección del eje y la directriz
______________________
9.
Distancia del vértice a la directriz
______________________
43
5.2. Ecuación de la parábola
Ejercicios.
1.
Halla la ecuación general de la parábola con V(2,1) y F(0,1)
Y
X
2.
Obtenga la ecuación general de la parábola con V(–1,3) y directriz x = – 4.
Y
X
44
3.
Encuentre la ecuación de la parábola con F(0,5) y directriz y + 3 = 0.
Y
X
4.
Halla la ecuación de la parábola que tiene su vértice en el origen, eje de simetría sobre el eje X y pasa
por P(3, 6)
Y
X
5. Si P(4,–3) es un punto de la parábola vertical con vértice en V(–4,5) encuentre el valor de su lado
recto y determine su ecuación.
Y
X
45
5.3. Longitud del lado recto de una Parábola
Ejercicios.
1. Determina la ecuación de la parábola vertical que abre hacia abajo si su vértice es V(–4,2) y su lado
recto mide 8
Y
X
2. Los extremos del lado recto de una parábola son L(1,2) y R(1,–2). Encuentre su ecuación general si se
sabe que abre hacia la izquierda.
Y
X
46
6. Una parábola vertical tiene por lado recto el segmento cuyos extremos son L(5,1) y R(–3,1).
Encuentre su ecuación si se sabe que abre hacia arriba.
Y
X
47
5.4. Ecuación general de la Parábola
Ejercicios.
1. Halla los elementos de cada una de las siguientes parábolas.
a)
x²  4 y  0
Y
X
b)
 y  52  ²  6  x  12 
Y
X
c)
x²  4 x  4 y  8  0
Y
X
48
d)
y ²  20 x  8 y  36  0
Y
X
e)
x²  12 y  36  0
Y
X
f)
y²  2x  2 y  7  0
Y
X
49
Unidad 6.
Elipse
6.1. Elementos de una Elipse
Actividad.
Utiliza la siguiente grafica para completar las cuestiones de abajo.
Y
X
1.
Las coordenadas de los vértice son
______________________
2.
Las coordenadas de los focos son
______________________
3.
Los extremos de lo lados recto son
______________________
4.
La longitud del lado recto es
______________________
5.
La ecuación del eje focal es
______________________
6.
La longitud del eje mayor es
______________________
7.
La longitud del eje menor es
______________________
50
6.2. Ecuación de una elipse
Ejercicios.
1.
Obtenga la ecuación de la elipse con vértices V(–3, –1) y V’(5,–1); y focos F(–1,–1) y F’(3,–1).
Y
X
2.
Una elipse vertical tiene un foco en F(1,–3) y un extremo de su eje menor en B(3,0). Obtenga la
ecuación de esta elipse.
Y
X
51
Halla la ecuación de la elipse con C(–1,3), eje menor igual a 6 y eje mayor igual a 10 y paralelo al eje X.
Y
X
52
6.3. Excentricidad de una elipse
Ejercicios.
1.
Los vértices de una elipse son V(3,–5) y V’(3,3). Determine su ecuación si su excentricidad es
1
2
.
Y
X
2.
La excentricidad de una elipse es
3
5
y sus focos son F(–7,–2) y F’(3,–2). Halle su ecuación.
Y
X
53
Tarea
Consideremos elipses horizontales con centro en el origen y eje mayor igual a 10. Su ecuación es:
x2 y 2

1
25 b2
Sabemos de la ecuación pitagórica para elipses que c  25  b2 .
Complete la siguiente tabla.
b
1
2
3
4
5
c
e
Trace la grafica de la circunferencia de r = 5 y las diferentes elipses.
Y
X
Observación:
Si b aumenta, c disminuye, e disminuye y la elipse se asemeja a la circunferencia.
54
6.4. Longitud de cada lado recto de una elipse
Ejercicios.
1.
Calcula la longitud del lado recto de la elipse que tiene centro en el origen, eje mayor horizontal de
longitud 4 2 y que pasa por el punto P(2,3).
Y
X
2.
Encuentre la ecuación de la elipse cuyo eje menor tiene por extremos B(2,–1) yB’(6,–1) y su lado
recto mide 83 .
Y
X
55
3.
Los vértices de una elipse son V(0,±4) y su lado recto mide 2. Calcule su excentricidad y determine
su ecuación.
Y
X
6.5. Ecuación general de una elipse
Ejercicios.
Encuentre los elementos de cada una de las siguientes elipses.
a) 25x2 + 9y2 = 225
Y
X
56
b) 7x2 – 32y – 28x + 16y2 – 68 = 0
Y
X
c) 9x2 + 5y2 + 20y – 18x – 16 = 0
Y
X
d) x2 + 2y2 + 16x + 4y + 58 = 0
Y
X
57
e) 16x2 + 7y2 – 42y – 49 = 0
Y
X
f)
9x2 + 16y2 – 36x – 32y – 92 = 0
Y
X
g) 4x2 + y2 + 24x + 10y + 45 = 0
Y
X
58
Unidad 7.
Hipérbola
7.1. Elementos de una Hipérbola
Actividad.
Utiliza la siguiente gráfica para completar las cuestiones de abajo.
Y
X
1. Las coordenadas del centro son
______________________
2. Las coordenadas de los vértices son
______________________
3. Las coordenadas de los focos son
______________________
4. Los extremos de los lados rectos son
______________________
5. La longitud de los lados rectos es
______________________
6. La ecuación del eje focal es
______________________
7. La longitud del eje transverso es
______________________
8. La longitud del eje conjugado es
______________________
59
7.2. Ecuación de una Hipérbola
Ejercicios.
1.
Los vértices de una hipérbola son V(–1,2) V’(3,2) y sus focos F(–2,2) y F’(4,2). Determine su
ecuación.
Y
X
2.
Encuentra la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, focos en F(0, ±4) y sus extremos de
su eje conjugado en B(±3,0).
Y
X
60
3.
Determine la ecuación de la hipérbola con centro C(–1,2), distancia focal igual a 4 y semieje
transverso igual a 1 y paralelo al eje Y.
Y
X
61
7.3. Excentricidad de una Hipérbola
Ejercicios.
1. Encuentra la ecuación de la hipérbola cuyos vértices son V(–4,3) y V’(–4,–3) y excentricidad
4
3
.
Y
X
2. Determine la ecuación de la hipérbola que tiene sus focos en los puntos (0,–3) y (4,–3) y excentricidad
Y
X
62
7.4. Longitud de cada lado recto de una Hipérbola
Ejercicios.
1. Los vértices de una hipérbola son V(–3,2) y V’(–3,–6) y sus lados rectos miden 9/2 . Obtenga la
ecuación general de esta hipérbola.
Y
X
2. Los extremos del eje conjugado de una hipérbola son B(1,3) y B’(1,–3) y sus lados rectos miden 9 .
Obtenga la ecuación general de esta hipérbola.
Y
X
63
7.5. Ecuaciones de las Asíntotas de una Hipérbola
Ejercicios.
1. Halla la ecuación de la hipérbola con vértices V  3,0  y cuyas asíntotas son las rectas y = ± 2x.
Y
X
2. Halla la ecuación de la hipérbola con un foco en F(3,2) y cuyas asíntotas son las rectas y = 2x – 10 y
y = –2x + 2.
Y
X
64
7.6. Ecuación general de una Hipérbola
Ejercicios.
Halla todos los elementos de las siguientes hipérbolas.
a)
7x2 – 9y2 = 63
Y
X
b)
25x2 – 16y2 + 400 = 0
Y
X
65
c)
5x² – 4y² + 20x + 24y – 36 = 0
Y
X
d)
9x² – 4y² – 18x + 8y + 41 = 0
Y
X
e)
x² – 2y² – 20y – 56 = 0
Y
X
66
f)
16x² – 9y² + 32x + 160 = 0
Y
X
g)
4x2 – 9y2 + 32x + 36y + 64 = 0
Y
X
67