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CIRCUNFERENCIA
1. Definición. Se llama circunferencia al conjunto de
puntos de un plano que se encuentran a la misma distancia
de un punto fijo llamado centro.
2. Elementos:
 Centro. Es el punto fijo que
se encuentra a la misma
distancia de cualquier punto
de la circunferencia.
 Radio. Es el segmento que
une el centro con cualquier
punto de la circunferencia,
se representa por R o r.
 Diámetro. Es el segmento
que une dos puntos de la
circunferencia y que pasa
por su centro. El diámetro
contiene a dos veces el radio.
 Cuerda. Segmento que une dos
puntos de la circunferencia.
La máxima cuerda es el diámetro.
 Secante. Es una recta que corta a
la circunferencia en dos puntos.
 Arco. Un arco es una porción de
la circunferencia
comprendido
entre dos Puntos
 Tangente. Es una recta que tiene un
punto común con la circunferencia.
Al punto común se le llama punto
tangente.
 Flecha o Sagita. Segmento perpendicular a una cuerda en su su punto medio.
3. Propiedades Asociadas a los Elementos
 El radio es perpendicular a la
 Un radio perpendicular a una
tangente.
cuerda, divide a la cuerda y al arco
correspondiente
en
partes
congruentes.
 Arcos comprendidos entre
cuerdas
paralelas
son
congruentes.
 Por un punto exterior a una
circunferencia sólo se puede trazar
dos tangentes, estas tangentes son
congruentes.
 Tangentes comunes exteriores
 A arcos congruentes le
corresponde
cuerdas
congruentes.
 Tangente comunes interiores
4. Definición
importante
y
teoremas
 Circunferencia Inscrita:
Circunferencia inscrita en un
triángulo es la circunferencia
que es tangente a los tres
lados. Al radio de esta
circunferencia tambien se
llama inradio.




Cuadrilátero Circunscrito
Un cuadrilátero es circunscrito a
una circunferencia cuando sus
cuatro lados son congruentes a
dicha circunferencia.


El cuadrilátero ABCD es
circunscrito
a
la
circunferencia.
La circunferencia es inscrita
en el cuadrilatero ABCD

Teorema de Poncelet
En todo triángulo rectángulo, la
suma de las longitudes de los
catetos es igual a la longitud de
la hipotenusa, más el doble del
radio de la circunferencia
inscrita.

Teorema de Pitot
En todo cuadrilátero circunscrito
a una circunferencia, la suma de
las longitudes de los lados
opuestos, es igual a la suma de
las longitudes de los otros dos
lados opuestos.
La circunferencia es
inscrita en el triangulo
ABC.
El triángulo es
circunscrito a la
circunferencia.
r se llama inradio.
 Teorema de Steiner
En todo cuadrilátero exinscrito a una circunferencia, la diferencia de las
longitudes de dos lados opuestos, es igual a la diferencia de las longitudes de los
otros dos lados opuestos.
5. Ángulos en la Circunferencia
 Angulo central
El vértice se encuentra en el centro de la circunferencia, sus lados son dos
radios. La medida del ángulo central es igual a la medida del arco
comprendido entre sus lados.
 Ángulo inscrito
Su vértice se encuentra sobre la circunferencia, sus lados son dos cuerdas. La
medida del ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del arco
comprendido entre sus lados.
 Ángulo seminscrito
El vértice se encuentra sobre la circunferencia, sus lados son una tangente u
una cuerda. La medida del ángulo seminscrito es inscrito es igual a la mitad
del arco correspondiente a la cuerda.
 Ángulo exinscrito
Su vértice se encuentra sobre la circunferencia, este ángulo es el adyacente
suplementario de un ángulo inscrito.
 Ángulo interior
El vértice se encuentra en el interior de la circunferencia, sus lados son dos
segmentos de cuerda. La medida del ángulo interior es igual a la semisuma
de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados y las
prolongaciones de los lados.
 Ángulo exterior
Su vértice es exterior a la circunferencia, sus lados pueden ser dos secantes,
una tangente y una secante o dos tangentes. La medida del ángulo interior es
igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos comprendidos entre sus
lados.
EJERCICIOS
1. Los lados de un triángulo ABC miden AB =12, BC= 13, AC=15, la
circunferencia inscrita es tangente a AB en D, a BC en E y a AC en F. calcular
(AD)(BD)(CF)
Solución:
AD= P-BC
BE= P-AC
P=(12+13+15)/2 = 20
CF= P-AB
Entonces:
AD= 20-13= 7
BE= 20-15= 5
CF= 20-12= 8
Entonces:
(AD)(BD)(CF) =7x5x8 = 280
2. En un cuadrilátero ABCD circunscrito en una circunferencia se cumple que
AB=3+a, BC= 6+a CD= 10 calcular AD
Solucion:
Aplico teorema pitot:
AB+CD = BC+AD
3+a+10 = 6+a+x
x=7
3. Encontrar AD, si FC = 5, CD = 13, AE = 10
Solución:
AD = 10+8
4. Encontrar x en :
Solución:
AF
2
AF  8 x
4x 
BD
2
BD  10 x
5x 
AF  BD
2
180  8 x  10 x
 90 
x  10
5. En el paralelogramo ABCD calcular x
Solución:
EN
2
2 x  EN
D 
como es parale log ramo A  C
 C  BD  180
BD  140
BD  EN
2
80  140  2 x
 A 
x  30
6. En el cuadrante de centro O calcular “X”
Solución:
Como AO y OB son radios entonces AO=OB
Entonces trazo OC que también es radio:
En el triángulo OCB:
50 + x + x = 180
2x = 130
x = 64
7. Calcular x en:
Solución:
Calculando todos los datos de la figura se tiene:
De la figura:
50 + 2x = 180
x = 65
8. El perímetro de un trapecio circunscrito a una circunferencia es 40, la distancia
entre los puntos medios de las diagonales es 3. encontrar la longitud de la base
mayor.
Solución:
Según datos:
 a+b+c+x=40
 (x-b)/2=3
x-b = 6
b=x-6
 Por T. de Pitot
a+b = b+x ……. Reemplazo en perímetro
a+b+c+x = 40
x= 13
9. Calcular BE en :
Solución: Encontramos datos en la figura:
 Aplico T. de Pitot en el trapecio ABED:
12 + ED = x + x + m
ED = 2x + m ………….(1)
 Aplico El T. de poncelet en el triángulo ECD
12 + m = ED + 2(2) …….(2)
ED = m+8
 Igualo (1) y (2)
ED = ED
2x + m = m + 8
x = 10
10. Encontrar x en:
Solución: Encontrando datos en la figuara:
Del triangulo ABC se tienes que 50+X = 80
X = 30
11. Calcular X en:
Solución:
Los arcos DE=FG
El angulo FEG = 65
Del triángulo se tiene:
X +65 = 90
X=25
12.
El lado AD del cuadrado ABCD es el diámetro de la semicircunferencia calcular x
Solución: extraemos datos de la figura
Calculo EC por T. de Pitágoras:
EC2 = BE2 + BC2
EC = 15
Aplico T. Poncelet en el triángulo BEC:_
BE + BC = EC +2x
9 +12 = 15 +2x
x=3
BIBLIOGRAFIA
 MATEMATICA 4, Manuel Coveñas Naquiche
Editorial Bruño