Download Caso y Notas de Enseñanza. Ximena Tapia Silva

La parábola: ¿representación algebraica o aplicación?
El segundo semestre 2011, Pedro Ruiz profesor de Matemática de la universidad de Viña
del Mar de Chile contempló una evaluación que consistió en una presentación de un tema
de Matemática por parte de los alumnos en forma grupal ante sus compañeros y dos
profesores invitados de modo que los alumnos desarrollaran habilidades de saber
comunicarse y el trabajo colaborativo. El día de la presentación dos grupos trataron el
tema de la parábola desde dos miradas distintas: una algebraica y otra de aplicación.
Entre los profesores invitados no hubo acuerdo inmediato respecto a si aprobar o no su
presentación, pues cada uno apoyó sólo una mirada. Pedro debe registrar la calificación
ese mismo día ¿qué grupo aprobó la evaluación?
Proyecto educativo de la universidad
En la Universidad que trabajó Pedro el aprendizaje y la enseñanza era concebido como un
enriquecimiento constante en la experiencia del alumno donde el profesor participaba
guiando las condiciones que permitían que el aprendizaje fuese con sentido y proyección.
Se pretendía que el aprendizaje de los alumnos se llevara a cabo en un contexto crítico y
diverso, a fin de lograr ser profesionales competentes e íntegros, lo que necesariamente
exigía disponer de contextos facilitadores para la inserción sociolaboral.
La universidad se proponía conocer las características de los alumnos con el fin de
diseñar efectiva y eficientemente la ruta y las acciones que facilitaran el aprendizaje. Por
esto ponía especial atención a las características iniciales de los alumnos y se propuso un
perfil inicial al término de primer año que posibilite a los alumnos proseguir con éxito la
ruta que lo conducía al perfil de egreso.
Debido a que la universidad reconocía al alumno como persona integral, no sólo buscaba
formarlo en aspectos técnicos sino que también en aspectos sociales, emocionales,
cognitivos y ciudadanos. Así no sólo era importante su presencia y éxito en las
asignaturas que cursaban sino que también en espacios extracurriculares que enriquecían
su formación, desarrollo personal y formación integral.
Este caso fue escrito por (Ximena EsterTapia Silva) para el curso de Demandas Educativas en la Sociedad del
Conocimiento, bajo la supervisión de la Dra. María Soledad Ramírez Montoya, profesora titular de la Escuela de
Graduados en Educación del Tecnológico de Monterrey. El caso está basado en la información proporcionada por la
institución donde se investigó el caso. Todos los nombres de personas y de instituciones, así como algunos datos
adicionales, han sido alterados para mantener la confidencialidad de la instancia.
Versión: (26-03-2012)
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El trabajo intelectual contenido en esta obra, se encuentra protegido por una licencia de Creative Commons México del
tipo “Atribución-No Comercial-Licenciamiento Recíproco”, para conocer a detalle los usos permitidos consulte el sitio web
en http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/mx/.
Se permite copiar, distribuir y comunicar públicamente la obra sin costo económico, así como hacer obras derivadas bajo
la condición de reconocer la autoría intelectual del trabajo en los términos especificados por el propio autor. No se puede
utilizar esta obra para fines comerciales, y si se altera, transforma o crea una obra diferente a partir de la original, se
deberá distribuir la obra resultante bajo una licencia equivalente a ésta. Cualquier uso diferente al señalado
anteriormente, se debe solicitar autorización por escrito al autor.
El profesor de la universidad se concebía como un profesional competente e íntegro con
alto grado de compromiso, que disponía de acciones, metodologías y evaluaciones para
facilitar el aprendizaje de los alumnos. El profesor no sólo debía dominar su materia y
especialidad, sino que también comprender el proceso a través del cual ésta podía ser
aprendida por los alumnos.
Unidades académicas de la Universidad
La universidad contaba con diferentes unidades académicas: Escuelas de las diferentes
áreas, Departamento de Formación General, Departamento de Idiomas y Departamento
de Ciencias Básicas.
El Departamento de Ciencias Básicas tenía la tarea de dar la docencia de Física, Biología,
Química y Matemática. En el caso de Matemática y en particular para la asignatura
Matemática I se debían impartir entre 20 y 25 paralelos debido a la gran cantidad de
alumnos que cursaban la asignatura que provenían de las diferentes carreras que impartía
la universidad.
Todas estas unidades debían dar cumplimiento a lo solicitado por la Dirección General de
Pregrado (DGP) en su Calendario Académico (ver Anexo 1), entre otros se solicitaba la
aplicación de evaluaciones en determinados periodos del semestre y el ingreso de las
calificaciones, en sistema informático de la universidad, también con plazos irrestrictos
establecidos.
La problemática
Pedro Ruiz se presentaba siempre como profesor de vocación y profesión; él disfrutaba
realizando sus clases y sentía que debía hacer su aporte a la sociedad tal y como sus
padres se lo habían inculcado desde pequeño. El año 2011 fue el último año que Pedro
dio clases en la universidad, pues se ganó una beca para continuar estudios de doctorado
en una prestigiosa universidad de la región.
Para cumplir con lo estipulado en el proyecto educativo de la universidad Pedro se
dispuso a colaborar desde su asignatura Matemática I (ver Anexo 2) que cursaban
alumnos de primer año en la universidad de la carrera de Ingeniería de gestión en
negocios.
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anteriormente, se debe solicitar autorización por escrito al autor.
El semestre contemplaba 18 semanas de clases, que en el segundo semestre comenzaron
el 1 de agosto y terminaron el 16 de diciembre de 2011
En la planificación del curso se estipulaban cuatro evaluaciones y un examen final. La
cuarta evaluación la planificó como una presentación de los alumnos en forma grupal, la
que debía ser de un tema de geometría analítica. Esta presentación la evaluaba Pedro y
dos profesores invitados de Matemática, que tenían a cargo otros paralelos de la misma
asignatura, Jorge Garrido y Marco Fajardo. Jorge Garrido era un profesor ya mayor con
el grado de Dr. en Matemática (de formación en matemática puras), y Marco Fajardo era
un más joven y tenía un Magíster en Didáctica en la enseñanza de las Ciencias con
mención en Matemática y se caracterizaba por presentar en sus clases situaciones de
aprendizaje basadas en la resolución de problemas.
La presentación por parte de los alumnos estaba definida para mediados del mes de
noviembre, pues a fines de noviembre debían estar todas las calificaciones ingresadas al
sistema informático de notas de la universidad, de modo que se generan las notas de
presentación a examen que comenzaban en la primera semana de diciembre.
El curso lo conformaban 32 alumnos y lo temas a presentar a elección eran la recta, la
parábola, la circunferencia, la elipse y la hipérbola. Se formaron seis grupos y para cada
uno de ellos se designó un líder de grupo.
El tema de la parábola fue presentado por dos grupos: el grupo de líder Mario sólo se
refirió a una presentación algebraica del tema: definición, ecuación, vértice, foco y
directriz. En tanto el grupo de líder Pablo abordó el tema desde la aplicación de una
situación de la vida real en particular en la aplicación de la vida real referida al área de
negocios relacionada con la carrera que estudiaban, presentaron la función cuadrática de
equilibrio entre la oferta y la demanda.
Al momento de indicar la calificación por parte de los profesores invitados no había
acuerdo, pues Jorge piensa que la presentación del grupo de Pablo no es suficiente para
establecer la definición de la parábola por lo que no la aprueba; Marco por otro lado, no
comparte que sólo se haga un tratamiento algebraico de la parábola, pues esa es una de
las representaciones de este tópico y no aprueba al grupo de Mario.
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Que los profesores invitados no estuvieran de acuerdo implicaba que cada grupo
reprobada la presentación y esta mala calificación en algún caso dejaban a los alumnos en
calidad de reprobados en la asignatura.
Se ha provocado un tiempo de receso para realizar una reunión y deliberar respecto a la
situación, pues Pedro debe disponer de esta calificación para cumplir con los plazos
establecidos por la universidad, en otro caso le traerá problemas administrativos por
incumplimiento en solicitado desde la Dirección del Departamento de Ciencias Básicas y
la Dirección General de Pregrado.
Los integrantes de ambos grupos se sintieron confundidos y pensaron que no habían
cumplido con lo solicitado por su profesor Pedro. Además, los compañeros de curso no
tenían muy claro qué pasaba, pues a ellos les parecía que las dos presentaciones estaban
bien.
En esos momentos Pedro se sintió muy angustiado, pues una actividad que había pensado
para promover habilidades de trabajo colaborativo, de saber comunicarse, el
razonamiento matemático y desarrollo de pensamiento crítico había provocado una
situación de incertidumbre en los alumnos, por lo que decidió reflexionar en su soledad
respecto a cómo solucionar esta situación y cómo hacer para que los alumnos también
sean capaces de reflexionar respecto a los factores que llevaron a esta situación, y se
planteó las interrogantes: ¿cuál grupo debía aprobar?, ¿debían reprobar ambos grupos? o
¿debían aprobar ambos grupos?
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Anexo 1. Calendario Académico 2011 la Universidad Viña del Mar
CALENDARIO ACADÉMICOSEMESTRE PRIMAVERA 2011
8
Agosto
Mes
Semana
Lu
Ma
Mi
Ju
Vi
1
1
8
15
22
2
9
16
23
3
10
17
24
4
11
18
25
5
12
19
26
29
5
12
19
26
30
6
13
20
27
31
7
14
21
28
1
8
15
22
29
2
9
16
23
30
3
10
17
24
4
11
18
25
5
12
19
26
6
13
20
27
7
14
21
28
31
7
14
21
1
8
15
22
2
9
16
23
3
10
17
24
4
11
18
25
28
5
12
19
26
29
6
13
20
27
30
7
14
21
28
1
8
15
22
29
2
9
16
23
30
2
3
4
9
Septiembre
5
6
7
8
10
Octubre
9
10
11
11
Noviembre
12
13
14
15
16
12
Diciembre
17
18
19
Observaciones
Primer Certamen
Fiestas Patrias
Segundo Certamen
Tercer Certamen
Examen
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Anexo 2. Programa de asignatura Matemática I
Universidad de Viña del Mar
Departamento de Ciencias Básicas
PROGRAMA DE ASIGNATURA
I. IDENTIFICACIÓN
Nombre: Matemática I
Código: 16303001
Carácter: Obligatorio
Área Matemáticas Generales
Carreras: Arquitectura, Ingeniería de Ejecución en Gestión de Negocios,
Medicina Veterinaria, Contador Auditor, Kinesiología
U.D.: Cátedra: 4 U.D. Taller: 2 U.D.
Total U.D. semestral: 96 U.D. (64 horas cronológicas)
Duración: Un Semestre
Línea: Matemática
Requisito: Ingreso
II. DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA ASIGNATURA
II.1 Objetivo General
El objetivo fundamental de esta asignatura es presentar de manera elemental, los tópicos
De Álgebra, Geometría Analítica, Geometría Vectorial y Funciones, de modo que el
alumno adquiera los conocimientos Matemáticos que sustentan los desarrollos posteriores
en Matemática, Ciencias Básicas y asignaturas de la especialidad.
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II.2 Competencias a lograr por los alumnos
• Operar en el álgebra de los números reales.
• Resolver ecuaciones de primer y segundo grado en una variable.
• Resolver Inecuaciones y Problemas asociados a éstas.
• Resolver sistemas de ecuaciones con 2 y 3 variables.
• Modelar situaciones-problemas elementales.
• Reconocer y aplicar algunos tipos de progresiones.
• Reconocer relaciones clásicas de distancia, recta y parábola en el plano.
• Aplicar la trigonometría a situaciones-problemas elementales.
• Operar con vectores en dos dimensiones.
• Modelar situaciones-problemas usando el concepto de función.
III. CONTENIDOS
UNIDAD 1 Elementos de Álgebra
1.1 Los Números y sus propiedades
1.2 Exponentes y polinomios
1.3 Ecuaciones lineales y cuadráticas en una variable. Aplicaciones.
1.4 Desigualdades e Inecuaciones
UNIDAD 2 Elementos de Geometría Analítica
2.1 El Plano Cartesiano
2.2 Unión del Álgebra y la Geometría
2.3 Estudio analítico de la Recta
2.4 Estudio analítico de la Parábola
2.5 Estudio de la Circunferencia
2.6 Estudio de la Elipse
2.7 Estudio de la Hipérbola
UNIDAD 3 Elementos de Trigonometría Plana
3.1 Trigonometría del triángulo rectángulo
3.2 Seno y Coseno, propiedades, uso de calculadora y aplicaciones
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3.3 Identidades trigonométricas notables
3.4 Leyes del Seno y del Coseno, aplicaciones
UNIDAD 4 Elementos de Geometría Vectorial
4.1 Vectores en el plano
4.2 Vectores
4.3 Operatoria con vectores
UNIDAD 5 Elementos de Teoría de Funciones
5.1 Concepto de función y conceptos asociados
5.2 Inventario de funciones elementales y sus gráficos
5.3 Operaciones con funciones. La Inversa.de una función
5.4 Radicales, exponentes y funciones exponenciales
5.5 Logaritmos y funciones logaritmos, aplicaciones del logaritmo natural.
5.6 Funciones trigonométricas y sus gráficos.
IV. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
1. Clases expositivas.
2. Talleres
V. SISTEMA DE EVALUACION
• Tres Certámenes 25% c/u
• Un promedio de Talleres ó Laboratorio ó ayudantías u otro 25%
• La asistencia mínima a cátedra y a talleres y ayudantía u otros eventos 70%
• La nota de presentación será ponderada al 70% y la del examen al 30%
• Si Nota de presentación es 5.0 o superior entonces el alumno tiene derecho a Eximirse
• Tienen derecho a rendir examen los alumnos cuya nota de presentación sea 3.0 o
• Superior, y menor que 5.0
• Si un alumno obtiene nota inferior a 3.0 en su examen queda reprobado con la
• nota del examen.
• La ausencia a un certamen, significa ser calificado con nota 1.0, situación que podrá ser
revertida por única vez, con una evaluación al final del semestre, previa autorización por
escrito del respectivo jefe de carrera, éste medirá toda la materia del programa
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VI. BIBLIOGRAFÍA
• Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Fleming W., Varber D.,
• Álgebra y Trigonometría. Zill D., Dewar J.
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Notas de enseñanza
Nombre del caso: La parábola: ¿representación algebraica o aplicación?
Autor del caso: Ximena Ester Tapia Silva. Matrícula A01309506
Fecha de elaboración: 26/03/2012
Resumen
Pedro Ruiz profesor universitario ha propuesto en la planificación del curso de
Matemática I una evaluación consistente en una presentación de los alumnos en forma
grupal, la que debía ser de un tema de geometría analítica. La presentación la evaluaba
Pedro y dos profesores invitados de Matemática Jorge Garrido y Marco Fajardo. La
situación se presenta cuando Jorge y Marco no concuerdan con la presentación referida a
la parábola de dos grupos, pues Jorge es partidario del Álgebra y Marco reconoce que el
aprendizaje se logra en la medida de la aplicación. Cada profesor reprueba la
presentación con la que no está de acuerdo. Pedro se pregunta: ¿cuál grupo debía
aprobar?, ¿debían reprobar ambos grupos? o ¿debían aprobar ambos grupos? Debe tomar
pronto la decisión, pues se cumplen el plazo de entrega de la calificación.
Objetivos de enseñanza que persigue el caso
 Identificar desde cuál teoría se están tratando las posturas referidas al saber
matemático.

Comprender la representación de un saber matemático en diferentes registros de
representación: algebraicos, simbólicos y en lenguaje natural.
Temas relacionados con el caso
Se relaciona con la aplicación que tiene la parábola en:
 Física. La trayectoria de un proyectil será una parábola si el movimiento se
considera en un plano y no se tiene en cuenta la resistencia del aire. Además, en el
diseño de espejos telescópicos y ciertos sistemas de alumbrado
 Construcción. En el diseño de los puentes colgantes los cables principales de los
puentes colgantes son generalmente de forma parabólica.
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
Economía. Funciones de ingreso, oferta, demanda, equilibrio entre oferta y
demanda, utilidad.
Planeación de actividades, antes y durante la sesión en la que se usará el caso
Actividades previas para el alumno
1. El alumno debe dar lectura al capítulo 1 del texto:
Duval, R. (1999). Semiosis y pensamiento humano. Registros semióticos y
aprendizajes intelectuales. Cali: Universidad del Valle. Instituto de Educación y
Pedagogía. Grupo de Educación Matemática.
2. El alumno debe dar lectura al capítulo de Geometría analítica del texto:
Zill, D. y Dewar, J.M. (2003). Álgebra y Trigonometría. Colombia: McGraw-Hill.
Actividades previas para el profesor
1. El profesor debe dar lectura completa del texto:
Duval, R. (1999). Semiosis y pensamiento humano. Registros semióticos y
aprendizajes intelectuales. Cali: Universidad del Valle. Instituto de Educación y
Pedagogía. Grupo de Educación Matemática.
2. Preparar las preguntas para el momento de la discusión de modo de motivar a los
alumnos a participar en la discusión.
Actividades durante la sesión de discusión
Trabajo en grupos pequeños
1. El profesor debe dar 15 minutos para la lectura individual del caso.
2. Formar grupos de trabajo integrado por 4 alumnos
3. En el trabajo grupal los alumnos aportan acerca de los personajes, hechos,
situaciones problemáticas del caso y posible solución.
Preguntas para la sesión plenaria
El profesor plantea las preguntas a los grupos:
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



¿Procede la reprobación de los alumnos porque la presentación no coincide con la
postura del profesor invitado?
¿Es válida solamente la evaluación que hace el profesor Jorge Garrido?
¿La evaluación que hace el profesor Marco Fajardo es de menor relevancia?
¿Por qué se da la diferencia en la evaluación? ¿Las evaluaciones podrían ser
complementarias?
Análisis del caso donde el autor proporcione una o varias soluciones
En la enseñanza de la Matemática en la mayoría de los temas son tratados
algebraicamente donde todo es más simple, se trabaja con operatoria, algoritmos, técnicas
y propiedades. Para preparar a los alumnos en la sociedad del conocimiento es necesario
que ellos desarrollen competencias disciplinares como lo es el razonamiento matemático.
Es importante que den sentido a los contenidos de Matemática que tratan en clases, por lo
que se hace necesario que como profesores entreguemos en nuestras clases los diferentes
tipos de representaciones: las algebraicas, las simbólicas y las de lenguaje natural en
aplicaciones a situaciones de la vida real. En la medida que se trabaja en estos tres
ámbitos el alumno logrará un aprendizaje de la Matemática con sentido para él. Por lo
que en este caso se muestra que es necesario complementar las visiones de los profesores
invitados y mostrar a los alumnos las diferentes formas de enseñan y aprender
Matemáticas que disponemos.
Epílogo del caso
El profesor Jorge Garrido estuvo de acuerdo con la presentación del grupo de Pablo a
quienes les pidió que debieran complementar desde el álgebra.
El profesor Marco Fajardo estuvo de acuerdo con la presentación del grupo de Mario y
que debían investigar acerca de una aplicación de la parábola.
De la reunión sostenida entre Pedro, Jorge y Marco estuvieron de acuerdo en la
presentación de ambos grupos y asumen que la Matemática es un todo integrado y una
postura no niega a la otra, sino que se complementan en virtud del aprendizaje del
alumno.
Este caso fue escrito por (Ximena EsterTapia Silva) para el curso de Demandas Educativas en la Sociedad del
Conocimiento, bajo la supervisión de la Dra. María Soledad Ramírez Montoya, profesora titular de la Escuela de
Graduados en Educación del Tecnológico de Monterrey. El caso está basado en la información proporcionada por la
institución donde se investigó el caso. Todos los nombres de personas y de instituciones, así como algunos datos
adicionales, han sido alterados para mantener la confidencialidad de la instancia.
Versión: (26-03-2012)
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