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MN-50
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
PROYECTO MATEMÁTICAS Y FÍSICA BÁSICAS EN ANTIOQUIA
Código:
MN-50
No. de páginas:
Materiales: Ladrillos de 2x1x1, papel cuadriculado, compás.
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INTRODUCCIÓN
1. ¿Quién era Fibonacci? Leonardo de Pisa, apodado Fibonacci, nació alrededor de
1170. En el prefacio de su primera obra “ El Liber Abaci”, escrita en 1202, nos cuenta
un poco sobre los comienzos de su carrera como matemático. Cuando aún era un
chiquillo, su padre, que estaba al frente de la oficina de aduanas de Argelia, le llamó a
su lado y le hizo seguir un breve curso sobre el cálculo posicional hindú, cuyas ventajas
no podían ocultarse a un experto. Así empezó a aficionarse a la matemática.
EJEMPLOS PARA VISUALIZAR LA SUCESIÓN DE FIBONACCI
2. El muro de ladrillos: Si queremos construir un muro de ladrillos, los cuales tienen
el tamaño usual en el cual el largo es el doble del ancho, y si la altura del muro debe ser
de dos unidades de alto, entonces podemos construir un muro de diferentes formas,
dependiendo del largo que lo queramos, así:
Sólo hay una forma de colocar el ladrillo para obtener un muro de 1 unidad de largo,
lograda mediante la colocación del ladrillo parado en su parte inferior.
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Hay dos formas de colocar los ladrillos para un muro de 2 unidades de largo: 2 ladrillos
acostados uno sobre el otro y 2 ladrillos parados, uno junto al otro.
Hay 3 formas de colocarlos para un muro de 3 unidades de largo.
¿Cuántas formas hay para lograr un muro de 4 unidades de largo?__________
¿Cuántas para formar un muro de 5 unidades de largo?__________________
Mira el número de formas que has encontrado para los muros de longitud 1, 2, 3, 4 y 5.
¿Te parece familiar? ¿Puedes encontrar alguna relación para esto?
___________________________________________________________
3. La Ley de Formación: Observa con atención la secuencia de números que has
obtenido, ella debe ser igual a la siguiente:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…
¿Puedes encontrar una regla de formación?
Explica la ley de formación y con ella obtén varios de los términos que seguirían. (12
primeros)
___________________________________________________________
4. Las abejas y los números de Fibonacci:
El árbol genealógico de la familia de las abejas muestra los números de Fibonacci. Para
darnos cuenta de esto, primero veremos algunos hechos de la familia de las abejas un
poco inusuales, tales como: ¡No todas las abejas tienen dos padres!
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En una colonia de abejas hay una hembra especial llamada la REINA.
Hay muchas abejas TRABAJADORAS que también son hembras, pero al contrario de
la reina no producen huevos.
También hay algunos ZÁNGANOS, que son abejas macho y no trabajan. Los machos
son producidos por los huevos no fertilizados de la reina, de este modo las abejas
macho sólo tienen una madre; ¡no tienen padre!
Todas las hembras son producidas cuando la reina se ha apareado con un macho y por
esto tienen dos padres. Las hembras usualmente crecen como trabajadoras, pero
algunas son alimentadas con una sustancia especial llamada JALEA REAL que hace que
se vuelvan reinas, listas para irse y comenzar una nueva colonia cuando las abejas
forman un ENJAMBRE y dejan su casa (la COLMENA) en busca de un lugar para
construir un nuevo nido.
De este modo las abejas hembras tienen 2 padres, una hembra y un macho mientras
que las abejas macho tienen sólo un padre, que es una hembra.
Las reinas tienen 2
padres
Los machos tienen 1
padre
ACTIVIDAD COLECTIVA.
Ahora entre todos construyamos el árbol genealógico de las abejas macho y hembra.
5. La espiral de Fibonacci y la naturaleza:
Ahora construyamos una espiral.
Toma una hoja cuadriculada, ubica el siguiente gráfico en su centro.
Descubre bajo que ley se puede seguir ampliando y hazlo hasta el máximo de la hoja.
¿Vez alguna relación con la sucesión de Fibonacci?
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Esta espiral que hemos obtenido seguramente debe serte familiar, la haz visto
muchas veces en la naturaleza y quizás no eres consiente aún de esto. Las piñas, la
disposición de los órganos encargados de las inflorescencias en los girasoles, la
disposición de las hojas en las plantas y las conchas de los caracoles presentan una
gran relación con la espiral de Fibonacci.
6. Propiedades de los números de Fibonacci: Descubre algunas propiedades y
relaciones de estos números explorando la sucesión y sacando alguna conclusión.
Considera la sucesión: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... y con base en ella llena la siguiente
tabla:
n
Suma los n primeros términos
Total anterior + 1
Posición
de
este
número en la sucesión
(el ordinal)
1
2
3
4
5
6
7
8
¿Qué observas? ¿Puedes formular una regla de formación? Escríbela.
______________________________________________________________
______________________________________________________________
__
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7. Vamos a descubrir otras propiedades:
Escoge un número cualquiera de la sucesión y el que le sigue; elévalos ambos al
cuadrado y suma estos resultados. ¿Qué obtienes?. Toma en cuenta el ordinal de
ambos números y súmalos. ¿A que número de la sucesión de Fibonacci corresponde el
ordinal que resulta? Repite el procedimiento para otros números.
Ahora elige un número Fibonacci, elévalo al cuadrado y réstale el producto de los
números anterior y posterior de la sucesión. ¿Que has obtenido? Repítelo con otros
números diferentes de la sucesión. ¿Sucede siempre lo mismo?
NOTA: Problema de las áreas en el geoplano.
LA RELACIÓN ÁUREA
8. EL Castillo: Considera el siguiente castillo de números fraccionarios:
ESCALÓN 1
1
1
ESCALÓN 2
1
1
1
1
ESCALÓN 3
1
1
ESCALÓN 4
1
1
1
1
1  ......
Realiza las operaciones con los números fraccionarios que sean necesarias y obtén el
valor del castillo cada vez que desciendes un escalón. Anota el resultado en forma de
fracción en la siguiente tabla:
ESCALÓN
0
1
2
3
4
5
VALOR
¿Qué observas en estos números fraccionarios?
5
6
7
8
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______________________________________________________________
______________________________________________________________
__
Realiza las divisiones en cada caso y compara su valor en cada caso con el de
1 5
 1,61804......
2
Escribe lo que observas.
______________________________________________________________
______________________________________________________________
__
A este valor se le denomina RELACIÓN ÁUREA.
Autor:
Fabio Alexánder Suárez y Hugo Alejandro Herrera.
Bibliografía:
Modificado: 29 de mayo de 2000
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