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CAPÍTULO VI
ACCIONES PONDEROMOTRICES
A.-FUERZAS SOBRE CONDUCTORES EN CAMPOS MAGNÉTICOS
6.1.- Fuerza sobre un conductor en un campo magnético.En 1820, Biot, Savart y Ampère, como mencionamos en el capítulo IV,
encontraron que cuando se aplica un campo magnético sobre un conductor por el cual
circula corriente eléctrica, éste sufre una fuerza.
En la figura 6.1, hemos dibujado un conductor que tiene una forma cualquiera.

En él, tomamos un trozo d l . Este conductor está en presencia de un campo de


inducción magnética B , no necesariamente perpendicular a d l . La fuerza que se
genera, dF estará dada por la siguiente expresión:
 

dF = idl  B
(6.1)
con la dirección y el sentido que se observan en la figura 6.1. En la terna derecha, se
han representado estos vectores.
Fig. 6.1
En el caso en que se tome la longitud del conductor entre los puntos 1 y 2, el
valor de la fuerza total que se obtiene, para un campo magnético no necesariamente
uniforme, será:
VI A 1

F =
2
 id l  B


(6.2)
1

Si el conductor es recto y B es uniforme espacialmente, la expresión queda:
 

F = il  B
(6.3)
6.2.- Fuerza que actúa sobre una carga q en un campo magnético.-

Supongamos ahora que una carga q se mueve con velocidad v
perpendicularmente a un campo B . Se trata de encontrar la expresión que da la
fuerza que actúa sobre la carga. Utilizaremos la expresión (6.1), en la cual hemos de
reemplazar
en el segundo miembro el primer factor del producto vectorial, es decir

idl .
Para ello, con las expresiones (2.3), (2.4) y (2.6) tomadas en módulo, hacemos
el siguiente reemplazo:
idl = (J)dl = [(n e v) ]dl = [n e (dl)] v = (n e d) v = q v
es decir que:
i dl = q v
la cual, escribiéndola en forma vectorial, queda:


i dl = q v
Volviendo a la expresión (6.1), en el primer miembro teníamos un diferencial
de fuerza. Ahora, en cambio, vamos a escribir la fuerza que actúa sobre la carga q que
está en movimiento, que, por ser discreta nos permite escribir la fórmula sin el
diferencial. La expresión que queda es, entonces:

 
F = q vB
(6.4)
En la figura 6.2 podemos observar que cuando la carga q ingresa al campo
magnético en una dirección perpendicular al mismo con velocidad v, se genera una
fuerza que actúa perpendicularmente a ambos. Esa fuerza le provoca a la carga q un
movimiento circular de radio R.
VI A 2
Fig. 6.2
Ese movimiento circular se describe a partir de la segunda ley de Newton,
quedando:
qvB =
m v2
R
o sea que el radio R del movimiento circular que se origina es:
R =
mv
qB
(6.5)
y recordando que v =  R = 2  f R, se obtiene:
f =
qB
2m
(6.6)
expresión que se conoce con el nombre de frecuencia de ciclotrón.
Si la dirección del vector velocidad con que la carga q ingresa al campo
magnético B es oblicua a éste, tal como se muestra en la figura 6.2, la expresión del
radio R será:
R =
m v sen
qB
Debido a que la componente de la velocidad en el eje y, que es v cos , se
mantiene constante, tal como se ve en la figura 6.2, el movimiento de la carga es una
hélice de radio R, apoyada en ese eje.
VI A 3
6.3.- Fuerzas entre conductores.Vamos a aplicar lo que acabamos de ver en el párrafo anterior al caso de dos
conductores paralelos 1 y 2, que llevan corrientes i1 e i2 respectivamente, separados
por una distancia d, como se muestra en la figura 6.3. La corriente i1 genera sobre el
conductor 2 un campo magnético cuyo módulo es:
B1 =
 0 i1
2 d
y cuya dirección es la que se ve en
la figura 6.3. La fuerza de origen
magnético se obtiene aplicando la
ecuación 6.3 y es:
F21 = i2 l B1
donde l es el tramo considerado en
ambos conductores, y en la cual si
reemplazamos B1 obtenemos:
F21 =
0
l
i 1i 2
2
d
Fig. 6.3
cuya dirección y sentido están representados en figura 6.3. Haciendo un razonamiento
similar, pero ahora usando el campo B2 generado por la corriente i2 sobre el
conductor i1, obtenemos:
F12 =
0
l
i 1i 2
2
d
fuerza que es de igual magnitud que F12 pero de sentido opuesto:
F12 = F21
por lo que escribimos finalmente:
F =
0
l
i 1i 2
2
d
(6.7)
Es decir que dos conductores rectos y paralelos separados por una distancia
d, se atraen cuando las corrientes que circulan por ellos tienen el mismo sentido. Si
tuvieran sentidos opuestos, le resultará fácil al lector demostrar que se repelen.
VI A 4
6.4.- Fuerzas entre dos elementos diferenciales de corrientes.Escribamos ahora la fuerza de origen magnético entre dos conductores


paralelos entre sí, muy pequeños, dl1 y dl2 :



dF12 = i1 dl1  dB2
pero por la ley de Biot y Savart es:
 

0 i2dl2  r12
dB2 =
4
r122
y reemplazando en la anterior queda:

 

 0 i 1 d l1  (i 2 d l2  r12 )
dF12 =
4
r122
(6.8)
expresión que dará la fuerza de repulsión o de atracción entre dos pequeños
elementos de corriente, según que las corrientes que circulen por ellos sean de
distinto o del mismo sentido, respectivamente.
6.5.- Relación entre fuerzas magnéticas y eléctricas que actúan sobre una carga
en movimiento.-


Habíamos visto que idl = q v , expresión que aplicada a la (6.8) nos permite
escribir:

 


v  (v 2  r12 )
F12 = 0 q1q 2 1
4
r122
expresión en la que no aparece el diferencial por las mismas razones que usamos para
la expresión (6.4). Si las cargas q1 y q2 se mueven con velocidades paralelas e
iguales, podremos escribir que la fuerza de atracción de origen magnético en módulo
es:
Fm =
0
v2
q 1q 2 2
4
r12
Utilizando la ley de Coulomb, la fuerza de repulsión electrostática entre las
cargas q1 y q2 es:
VI A 5
Fe =
1 q 1q 2
4  0 r122
y haciendo el cociente entre ambas fuerzas se obtiene:
Fm
v2
=  0 0 v 2 = 2
Fe
c
ya que en el capítulo VIII demostraremos que vale la siguiente relación:
c2 =
1
 0 0
donde c es la velocidad de la luz. Ello significa que:
Fm =
v2
Fe
c2
(6.9)
lo que nos informa que la fuerza de origen magnético es generada por las cargas en
movimiento, y puesto que en nuestro caso v << c, esta fuerza será mucho menor que
la fuerza de origen electrostático.
6.6.- Fuerza de Lorentz.
Estudiemos el movimiento de una carga puntual q con velocidad v en el
espacio libre, sobre la que actúa un campo eléctrico E . Si sobre ella aplicamos


también un campo magnético B en una dirección perpendicular al E , la fuerza total
que actúa sobre la carga q resulta:

  
F = q(E + v  B)
(6.10)
Si se conocen las magnitudes de ambos campos en todo punto del espacio, así
como la velocidad inicial de la carga q, la expresión (6.10), puede ser utilizada para
predecir el movimiento de la misma. El segundo término de la suma vectorial tiene
obviamente unidades de campo eléctrico.
En el caso en que las fuerzas resultantes fueran iguales en la misma dirección
pero de sentido opuesto, lo cual sucede cuando ambos campos son perpendiculares
entre sí, el movimiento de la carga q es, a su vez, perpendicular a ambos. En ese caso
se cumple que:
v =
E
B
VI A 6
(6.11)
lo cual permite realizar un sistema selector de velocidades de partículas cargadas. En
efecto, si en el espacio ocupado por ambos campos se introduce un grupo de
partículas cargadas positivamente, por ejemplo, que tienen diferentes velocidades,
sólo continuarán en línea recta las que cumplan con la (6.11).
Si se deseara que pasen partículas con otro valor de la velocidad, bastará con
modificar el valor de E, o eventualmente el de B. La figura 6.4 ilustra esta situación.
Thomson, en 1897, utilizó este sistema para determinar la relación e/m del
electrón, que como se sabe es 1.7 x 1011 C / Kg. Cuando Millikan encontró el valor de
la carga del electrón, en 1913, tal como se
explicó en el párrafo 1.14, se pudo
determinar de inmediato la masa del
electrón.
Supongamos ahora que en lugar de
tener una carga q, se tuviera una nube de
carga tal que dq = d. Entonces la fuerza
por unidad de volumen elemental es:
Fig. 6.4

  
dF
= (E + v  B)
d
(6.12)
6.7.- Fuerza y momento sobre una espira circular por la cual circula una
corriente colocada en un campo magnético.Supongamos que se coloca una espira circular, por la que circula una corriente
i, en un campo magnético B , de forma tal que su plano sea paralelo a las líneas del
campo, como se ve en la figura 6.5. La espira tenderá a moverse de modo tal que
presentará a las líneas del campo magnético la mayor superficie.
Sobre un elemento de corriente de la espira actúa la fuerza:
 

dF = idl  B
y de módulo:
dF = idlBsen
Teniendo en cuenta que dl=Rd, se obtiene:
dF = iRd Bsen
El momento respecto de z es:
VI A 7
dTm = dF R sen
dTm = i BR 2 sen 2 d
Si ahora integramos para el ángulo  entre 0 y 2:
2
Tm =  dTm =  iBR 2 sen2 d =iBR 2  =iB
0
donde  es la superficie de la espira
circular. Esta superficie se puede
representar por un vector normal a la
misma, y con un sentido definido por
la corriente i, tal que respete la regla
del tirabuzón. Definimos entonces el
momento magnético de la espira
como:


 = i
(6.13)
Con esta definición podemos

decir ahora que el momento Tm sobre
la espira con corriente
 colocada en un
campo magnético B es:
Fig. 6.5

 
Tm =   B
(6.14)
expresión que es similar a la (1.35), en la cual definimos el momento de un dipolo
eléctrico colocada en un campo eléctrico. También lo es a la (4.1), que da el momento
de un dipolo magnético permanente colocada en un campo magnético. En la figura
6.6a se representan los vectores correspondientes a la (6.14).
Fig. 6.6 a
VI A 8
Observemos que el comportamiento de la espira con corriente colocada en el campo
magnético es el mismo que el del dipolo eléctrico en un campo eléctrico y el del
dipolo magnético permanente en uno magnético.
Fig. 6.6 b
Podemos decir, entonces, que la espira constituye un dipolo magnético
generado por una corriente i que circula por ella. En general, se supone que este tipo
de dipolo magnético, está constituido por una espira cuyo diámetro es muy pequeño
respecto de la distancia de observación. La figura 6.6b representa las líneas de campo
eléctrico del “dipolo coulombiano” y las líneas de campo magnético del “dipolo
amperiano”.
VI A 9
La definición de momento del dipolo magnético generado por corriente (6.13),
resulta así similar a la del dipolo magnético permanente dado por la expresión (4.3).
Las unidades del dipolo definido por (6.13) son:
   Am2
que difiere de las unidades de 4.3 en la permeabilidad magnética.
6.8.- Fuerza electromotriz producida por el movimiento: generador lineal.En el párrafo 2.7 vimos que una fuerza electromotriz se podía expresar como
la circulación del vector campo eléctrico a lo largo de un camino cerrado. Si además
usamos la expresión (6.4) en forma vectorial, podremos escribir:


 
 
F 
e =  E  d l =   d l =  (v  B)  d l
q

es decir que si logramos mover un conductor a una velocidad v en un campo

magnético B , dispondremos de una fuerza electromotriz e. En el próximo párrafo
describiremos un sistema simple que cumple con lo dicho.
Si a la expresión vista arriba le adicionamos la correspondiente a la ley de
Faraday dada por la (5.3), tendremos:


 
B 
 
e =  E  d l = -
 d   ( v  B)  d l
t

expresión que muestra las posibilidades para lograr una fuerza electromotriz
inducida: o bien el campo magnético varía con el tiempo, o bien se mueve un
conductor en un campo magnético, o bien ambas a la vez
6.9. Generador lineal.En la figura 6.7 se representa un generador lineal. El mismo consiste en un
campo magnético, perpendicular al plano del dibujo, y cuyo límite es el recuadro
exterior. Dentro del mismo, hay un circuito rectangular, que tiene una resistencia de
carga Rc , en un extremo, y en el otro, apoyada sobre los conductores de modo que
pueda deslizar fácilmente, una barra conductora móvil de longitud l haciendo
contacto eléctrico y cerrando el circuito rectangular.

Apliquemos a la barra deslizante una fuerza mecánica Fa , tal como se ve en la

figura 6.7. La barra adquiere una velocidad v . Por efecto del movimiento de la barra,
la superficie delimitada por el circuito va disminuyendo a medida que se desplaza
VI A 10
hacia la izquierda. Esto hace que el flujo magnético B también disminuya. Por
efecto de la ley de Lenz se genera en el circuito una corriente que tendrá el sentido
marcado en el dibujo, de modo de que su propio campo magnético se oponga a dicha
disminución. Esta corriente que está sumergida en un campo magnético externo

delimitado por el rectángulo, da lugar a una fuerza Fm de origen magnético, del tipo
de la descripta en la expresión (6.3) y que se opone al movimiento de la barra y cuyo
valor es:
 

Fm = i l  B
donde i es la corriente inducida en el circuito, y cuyo sentido aparece en la figura 6.7.
Volvamos a la expresión que hemos escrito en el párrafo anterior para la
fuerza electromotriz inducida. Si la integramos a lo largo de l, longitud de la barra

deslizante que es la única parte del circuito que se mueve a velocidad v , es:
Fig. 6.7
  
e = (v  B)  l
(6.15)
diferencia de potencial que aparecerá en Rc , debido a que suponemos despreciable la
resistencia del conductor y de la barra móvil de longitud l. Es decir que:
VR C = v B l
y cuya polaridad está señalada en la figura 6.7.
Un resultado similar se obtiene a partir de la ley de Faraday. Si en la (5.1).
hacemos en reemplazo d = l d(-x), ya que el movimiento de la barra deslizante es
hacia las x negativas, obtendremos:
e
d B
d
d( x )
 B
 Bl
 Blv
dt
dt
dt
VI A 11
expresión que es completamente similar a la anterior.
Calculemos ahora el valor de la fuerza mecánica aplicada Fa , de modo de que
se mantenga un movimiento con velocidad v constante, lo que implica que esta fuerza
deberá estar en equilibrio con la fuerza de origen magnético Fm , es decir que Fa = Fm
Para ello hacemos:
Fa = ilB=
VR c
RC
(lB) =
vBl
vB2 l 2
(lB) =
RC
RC
(6.16)
También es posible calcular la potencia mecánica que se debe aplicar para generar la

corriente inducida, recordando que P  F.v . Resulta:
P =
v 2 B2 l 2
RC
(6.17)
6.10.- Motor lineal.La figura 6.8 muestra el esquema de un motor lineal. En él, hemos sustituido
la resistencia de carga RC por una fem de diferencia de potencial V, conectada de tal
forma que la corriente i circula en el mismo sentido que en la figura 6.7. La
resistencia R supondremos en este caso que es la de todo el circuito.
Se observará que
tan pronto se conecta la
batería, la barra se
mueve en la dirección y
sentido que se marca en
la figura, con velocidad

Cuando
esta
v.
velocidad es cero, en el
arranque,
la
fuerza

aceleradora Fm tiene su
valor más grande. Tan
pronto como la barra se
empieza a mover, se
Fig. 6.8
induce un voltaje en el
circuito que reduce la corriente en la barra. Además aparecen las fuerzas de
rozamiento entre los rieles y la barra deslizante. Ambas cosas reducirán la fuerza
aceleradora a un valor tal que la barra alcanza una velocidad de equilibrio.
La fuerza Fm que acelera la barra deslizante de longitud l es:
VI A 12
Fm = ilB=
V - VCE
V - vBl
lB=
lB
R
R
(6.18)
Si aplicamos la segunda ley de Kirchoff en el circuito, y tenemos en cuenta

que por efecto del movimiento con velocidad v de la barra de longitud l se generará
una fuerza contraelectromotriz inducida VCE = v B l, se obtiene:
V - VCE - iR = 0
Multiplicando por i se obtiene el balance de energía:
iV = iVCE + i2 R
y recordando que Fm = ilB, y que VCE = vBl, podemos reemplazar en el primer
término del segundo miembro, obteniendo:
iV  Fm v  i2 R
(6.19)
donde el primer miembro es la potencia entregada por la fuente, el primer término del
segundo miembro es la potencia mecánica consumida, y el segundo término del
segundo miembro es la potencia consumida por efecto Joule por la resistencia R del
circuito.

En este tema se debe advertir que la velocidad v que adquiere la barra no es
siempre constante. En efecto, al principio en el momento de conectarse la batería,
cuando v = 0, la fuerza aceleradora de la barra es máxima. Luego entran en juego las
fuerzas de fricción, además de generarse la fuerza contraelectromotriz. Entre las dos
pueden reducir la velocidad de la barra, hasta un valor constante de equilibrio. En ese
caso se debe estudiar la ecuación de movimiento de la barra, a través de las leyes de
Newton.
6.11.- Las corrientes de Foucault. El freno magnético.La figura 6.9 muestra un dispositivo que consta de un imán permanente que
produce un campo magnético, y una placa de material conductor suspendida de tal
manera que puede oscilar entre sus polos. Constituye un freno magnético, y es una
aplicación de la fuerza magnética y de la ley de Lenz.
Cuando el campo magnético no está aplicado, el péndulo oscila libremente.
Pero en cuanto el campo es aplicado, la placa se frena.
VI A 13
Para explicar este fenómeno, supongamos que la primera parte de la placa que
ingresa al campo magnético, constituye una
barra metálica conductora. Supongamos
para fijar ideas, que el material es cobre.


De la (6.4), y usando (2.7) donde J  E ,
encontramos que:


 J
F  
=v B = E=
q

es decir que existe una corriente inducida
que de acuerdo al sentido de los vectores
Fig. 6.9
de la figura 6.9 está hacia abajo. Una vez
formada esta corriente inducida, debido a la presencia de un campo magnético, va a
transferir a la placa una fuerza magnética dada por la expresión (6.1):
 

dFm = idl  B
cuyo sentido está señalado en la figura 6.9, y como se ve se opone al movimiento
oscilatorio de la placa, lo cual implica un frenado. Ahora bien, como idl = Jd, donde
l es la longitud del conductor, y  el volumen, la última expresión la podemos
escribir:

 

dFm
 
= J  B = [(v  B)]  B
d
y el valor de la fuerza en módulo es:
dFm   v B2 d
(6.20)
Se observa que la fuerza de frenado es proporcional a la conductividad del
material usado en la placa oscilante.
Es interesante ahora señalar que las corrientes inducidas que se forman en la
placa conductora, dado que están confinadas dentro del mismo, se desvían en los
bordes, y forman circuitos cerrados. Se las conoce con el nombre de “corrientes de
torbellino”, o también “corrientes de Foucault”. Si la placa fuera de dimensiones
infinitas, estas corrientes estarían siempre hacia abajo.
En las maquinarias eléctricas en general, constituyen corrientes parásitas que
es imprescindible reducir, por las pérdidas que generan. Para ello, por ejemplo en los
transformadores, se hacen los entrehierros en forma de laminados, colocados en
direcciones tales que reduzcan a un mínimo el valor de esas corrientes.
VI A 14
Es sencillo verificar la reducción de las corrientes de Foucault, mediante un
péndulo oscilante que en lugar de estar hecho de una placa entera de material
conductor, se lo hace en forma de hilos o tiras conductoras. Se podrá observar en este
caso que la reducción de la velocidad es menor que si la placa fuera entera.
6.12.- El ciclotrón.La primera evidencia experimental que mostró la existencia del núcleo
atómico, fue la experiencia de Rutherford realizada en 1911. Consistió básicamente
en bombardear una hoja de oro muy delgada, mediante partículas  provenientes de
una fuente radioactiva de Polonio. Esas partículas, (que son átomos de Helio
doblemente ionizados), estaban cargadas positivamente (+2e). La hoja de oro, ofrecía
a la colisión, según la hipótesis que Rutherford planteaba, y que quería verificar, sus
núcleos, cargados con 79 protones, que era una carga mucho más positiva que las
partículas . Al incidir esas partículas sobre la hoja de oro, los núcleos debían
producir una repulsión coulombiana que era posible medir por el ángulo de desvío de
las partículas . En efecto, esas partículas, cuando inciden sobre una pantalla de
SeZn, producen una pequeña luz, visible a simple vista, que era posible contar.
Mediante un simple modelo, se pudo calcular el ángulo de desvío, y se verificó
experimentalmente. Quedó así en evidencia la existencia del núcleo atómico. Tiempo
después, Bohr idearía el primer modelo atómico, con el núcleo conteniendo los
protones, y los electrones girando a su alrededor, en órbitas bien establecidas.
El Polonio emite partículas  con energías determinadas, hasta un valor
máximo, y obviamente esta última energía no es posible aumentarla de ninguna
forma. Eso hizo que las experiencias posteriores de bombardeos de núcleos mediante
esos proyectiles tuvieran un límite dado por ese valor de energía, lo cual llevó a
pensar de qué forma se la podía aumentar. Y por ello, surgió la idea de acelerarlas en
forma artificial. Esto haría posible continuar la realización de experiencias de física
nuclear, pero con partículas más energéticas, que permitieran lograr más información
sobre los núcleos de los átomos.
El ciclotrón fue la primera máquina aceleradora de partículas, construida con
ese fin, y es una aplicación de lo visto en el párrafo 6.2. Fue inventado en 1931, por
Lawrence y Livingston, en la Universidad de California.
La figura 6.10a muestra un esquema del ciclotrón. Consta básicamente de dos
“D”, que consisten en cajas metálicas, huecas por dentro, que tienen la forma de dicha
letra. Entre ambas hay una zona libre, y en el punto medio, una fuente de iones, que
producen por ejemplo deuterones a partir de Deuterio (isótopo del hidrógeno). Las
“D” están conectadas a un potencial eléctrico alternado. Es decir que en un instante
una está conectada positivamente, y la otra negativamente. Un instante posterior se
invierten, y así sucesivamente, a una frecuencia determinada.
VI A 15
El campo eléctrico va cambiando de sentido
alternadamente. Ambas “D” están dentro de un
campo magnético que abarca todo el espacio de
las mismas. En la figura 6.10b se esquematiza
un corte lateral de esta máquina
Un ión de masa m y de carga q, tendrá
un movimiento circular de radio de curvatura
dado por la (6.5),
r =
mv
qB
Fig. 6.10 a
dado que su movimiento es perpendicular al
campo magnético. El campo eléctrico a su
vez, está aplicado para que el ión realice
media trayectoria dentro de la D
correspondiente. En ese momento, el campo
eléctrico cambia de signo y la partícula es
atraída por el campo eléctrico de la otra D, y
hará otra media circunferencia dentro de ella
Ahora el radio es mayor porque su velocidad
aumentó. La velocidad angular del ión será:
Fig. 6.10 b
 =
v
qB
=
r
m
(6.21)
que es independiente de la velocidad del ión y del radio de la circunferencia. Solo
depende de la relación q/m de la partícula que se acelera. Es decir que si a intervalos
regulares el campo eléctrico cambia de signo, entonces el ión se verá siempre
acelerado. Los iones siguen así una suerte de espiral, tal como se ve en la figura
6.10a.
Debido a la variación relativista de la masa de la partícula cuando las
velocidades que se alcanzan son grandes, estos aceleradores tienen un tope máximo
de energía, pues si este valor es superado, las partículas pierden sincronía con el
campo eléctrico y no son más aceleradas. Para superar este inconveniente, hubo que
sincronizar la frecuencia del campo eléctrico para tener en cuenta la variación
relativista de la masa. Ello permitió alcanzar valores mucho mayores de energía
mediante una máquina conocida con el nombre de sincrociclotrón.
VI A 16