Download Crecimiento neoclásico. El modelo de Ramsey

Tema 3. Crecimiento Neoclásico.
El Modelo de Ramsey
En el modelo Neoclásico de crecimiento y el modelo AK hemos supuesto que las
familias ahorran una proporción constante de la renta, sin cuestionarnos la
racionalidad de su comportamiento. En este capítulo estudiaremos como las familias
toman sus decisiones de consumo y ahorro. Otro supuesto del modelo neoclásico que
parecía poco realista, es que en el modelo neoclásico las familias eran a la vez
consumidoras y productoras, como si se tratase de Robinson Crusoe.
En la vida real, las empresas y los consumidores son instituciones separadas que
interactúan en un lugar llamado mercado. Las familias distribuyen su renta entre
consumo y ahorro. Las empresas contratan trabajo a cambio de un salario y venden el
producto a cambio de un precio. Empresas y familias se encuentran en el mercado y
los precios del trabajo y el capital son tales que los tres mercados se vacía. (Modelo
de equilibrio general de Ramsey (1928)).
En este capítulo vamos a analizar las decisiones que toman los agentes
económicos, consumidores y empresas. Por un lado, analizaremos como las familias
toman sus decisiones de consumo y ahorro. Paralelamente analizaremos las
decisiones de inversión y contratación de mano de obra que hacen las empresas.
El objetivo es estudiar cual es el resultado que obtiene una economía en la que
dejamos que sean los consumidores los que toman sus decisiones de consumo y las
empresas sus decisiones de inversión. En el contexto de esta economía estaremos
preocupados por analizar cuales son los determinantes del crecimiento económico.
3. Modelo de mercado
En este modelo analizamos las decisiones de consumo de las familias y las
decisiones de las empresas.
3.1 Las familias neoclásicas
Supuestos sobre el comportamiento de las familias:
(1) Suponemos que los agentes de la economía deciden cuánto consumir y cuánto
ahorrar en cada período de tal forma que maximicen la utilidad descontada
futura. La utilidad descontada futura viene dada por la expresión (1):

c1  1
u (0)   exp(   t ) Lt t
1
0
La función de utilidad viene dada por la siguiente función:
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
c1  1
u (c )  t
1
donde:  es una constante que representa la tasa de descuento, ct es el
consumo per cápita en el instante t, Lt es el tamaño de la población y  es
una constante que representa el deseo de los consumidores de alisar o
suavizar su consumo en el tiempo.
(2) Segundo, el horizonte temporal relevante para el problema de optimización
que hemos diseñado es infinito. Se está suponiendo que a la hora de tomar sus
decisiones de consumo y ahorro los agentes tienen en cuenta la utilidad que
esperan tener en el futuro. El hecho de que el horizonte sea infinito es
equivalente a suponer que las familias se preocupan por las generaciones
futuras.
(3) Suponemos que la población crece a una tasa constante –n-.
L

Lt  L0 exp( nt )
L
Normalizamos L0  1 y tenemos: Lt  exp(nt ) . En este caso, L es igual a
L
n exp( nt ) y  n .
L
(4) La tasa de descuento  representa el hecho de que los individuos, aunque
son altruistas respecto a sus descendientes prefieren el consumo propio mas
que el de sus hijos.
El tipo de descuento representa el egoismo paterno dentro del altruismo
intergeneracional. En otras palabras, los consumidores a la hora de tomar sus
decisiones de consumo y ahorro, tienen en cuenta la utilidad o satisfacción que
van a obtener hoy con sus decisiones, pero también tienen en cuenta la
satisfacción que las decisiones tomadas hoy les hará tener en el futuro. Ahora
bien, los consumidores no valoran igual la satisfacción hoy que la que vayan a
tener dentro de 3 períodos.
Para el consumidor la misma satisfacción hoy no representa lo mismo que esa
misma satisfacción dentro de t años.
La forma de considerar que los individuos valoran más el presente que el
futuro es las utilidades futuras multiplicadas por un factor de descuento.
n
ct  ct 1 
u(ct )  u(ct 1 )
Valor de la utilidad de consumir ct en t: u(ct )
Valor asignado hoy a consumir ct 1 en t+1: u (ct 1 ) exp(   )
Si   0 , el valor de la utilidad hoy es igual al valor de la utilidad mañana.
El consumidor misma forma la utilidad hoy que la de mañana. Contra mayor
sea el factor de descuento, más valoramos el presente respecto al futuro.
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Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
(5) Se supone que la función de utilidad u(ct ) es una función cóncava. Que la
función de utilidad sea cóncava refleja el deseo de la gente de tener
trayectorias de consumo mas o menos lisas o suaves en el tiempo. Que la
función de utilidad sea lisa, significa que los consumidores prefieren
consumir un poco cada día que consumir un poco mucho y otro nada. La
relación entre concavidad de la función de utilidad y el deseo de alisar el
consumo (es decir querer consumir más o menos lo mismo cada día) se puede
ver en el siguiente gráfico.
Utilidad
U(C2)
U((C2+C1)/2)
U( C1)
C1
( C1+C2)/2
C2
Consumo
Que la función de utilidad sea cóncava quiere decir que:
(c1  c2 )
)
2
(c  c )
1
{u(ct )  u(c2 ) }  u( 1 2 )
2
2
u(ct )  u(c2 )  u(
cT  c1  c2
La utilidad derivada de consumir cT , es mayor cuando el consumo total se ha
repartido que cuando no se reparte.
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Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
Se la siguiente función de utilidad:
c1  1
u (c )  t
1
En esta función,  es una constante que representa el grado de concavidad de la
función de utilidad. Contra mayor sea  , mayor será la concavidad de la función de
utilidad , mayor serán los deseos de los agentes de suavizar el consumo en el tiempo.
Si   0 , no querrían suavizar su consumo en el tiempo y en este caso:
(c1  c2 )
)
2
Una vez descritas las preferencias de los consumidores, pasamos a hablar de la
restricción presupuestaria.
{u(ct )  u(c2 ) }  2 u(
Las familias poseen activos, Bt . Dichos activos pueden ser positivos (las familias
prestan a las empresas o otras familias) o negativos, en cuyo caso son las familias las
que están pidiendo prestado. Estos activos generan un tipo de interés rt . El producto
Bt rt es parte de los ingresos familiares, es lo que llamamos rentas del capital.
Además, las familias son propietarias del trabajo que alquilan a un precio wt . La
renta total de una familia es la suma de los ingresos del trabajo e ingresos del capital:
wLt  rBt 1 . Con la renta de que disponen los consumidores pueden ahorrar o
consumir, de tal forma que:
St  Ct  wLt  rBt 1
Los activos de las familias en t+1, que denotamos por Bt 1 serán igual a la suma de
los activos que tenían en t, que denotamos por Bt , más el ahorro realizado en t, que
denotamos por S t
Bt 1  Bt  St
La diferencia de activos de un período a otro, por ejemplo de t a t+1, (denotamos
dicha diferencia por B , vendrá dada por el ahorro en el período t:
B  St
eliminando el subíndice temporal, podemos escribir la restricción presupuestaria de
las familias como sigue:
B  wL  rB  C
Dado que en la función de utilidad el consumo está expresado en términos per cápita,
expresamos la restricción presupuestaria de las familias en términos per cápita:
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Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
B wL
B C

r 
L
L
L L

B
 w  rb  c (1)
L
B
como activos per cápita, y lo derivamos respecto al tiempo:
L
B L  BL  B
b 
  bn
(2)
LL
L
donde n es la tasa de crecimiento de la población. Sustituimos (2) en (1) y
despejamos b :
B 
 b  bn
L
b  w  rb  c  bn
b  w  c  b(r  n) : restricción presupuestaria expresada en términos per
cápita.
definimos b 
Así, el problema neoclásico de crecimiento puede expresarse de la siguiente forma:
(c)1  1
dt
1
s.a : b  w  c  b(r  n)
Max 0 e  (   n)t
El problema planteado tiene solución si y solo si:
lim ite e (  n )t
(c)1  1
0
1
t 
Si esta condición se cumple, entonces el problema anterior tiene un máximo. Si no se
cumple, no podríamos solucionar el problema anterior ya que la función a maximizar
(c)1  1
crecería de forma infinita. En la ecuación (1), el término
es constante ya
1
que a largo plazo el consumo será constante, por lo tanto para que se cumpla la
condición (1) debe cumplirse que:   n , es decir, la tasa de descuento tiene que ser
mayor que la tasa de crecimiento de la población.
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Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
PROBLEMA DEL CONSUMIDOR:
(c)1  1
dt
1
s.a : b  w  c  b(r  n)
Max 0 e (  n )t
b(0)  0
n
Obtenemos la solución del problema utilizando el método del hamiltoniano:
Pasos a seguir:
1) Construimos el hamiltoniano.
H
 (  n)t
0 e
(c)1  1
dt  v(w  c  b(r  n))
1
v: multiplicador dinámico de Lagrange. Se interpreta como el valor que el
consumidor da a una unidad adicional de activos financieros.
2)
derivamos el hamiltoniano respecto a la variable de control, que en este
problema es el consumo:
H
(1   )e (   n)t c 
0 
v
c
1
(3)
v  e (  n)t c 
3) derivamos el hamiltoniano respecto a la variable de estado, que en este
problema es b. Posteriormente igualamos la derivada del hamiltoniano
respecto a la variable de estado y la igualamos a la derivada de –v
multiplicada por (-1).
H
 v  v(r  n)  v
b
(4)
Derivamos (3) respecto a t:
v  ((   n)e  (   n)t c    cˆ 
Dividimos (5) por (3):
6
c  (   n)t
e
c
(5)
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
v
c
 (   n)  
v
c
(6)
Igualamos la expresión (6) a la expresión (4):
cˆ
 ( r  n )
(7)
cˆ
despejamos de (7) la tasa de crecimiento del consumo privado:
 (   n)  
c 
1

r    : evolución del consumo per cápita.
3.1 Decisiones de la empresa
Definimos los beneficios de la empresa en términos per cápita:


K
 f (k )  w  (r   )
L
L
Decisión de inversión de la empresa:
Max :   f (k )  w  (r   )k
c. p.o :

0 
k
f ' (k )  r  
(8)
Decisión de contratación de la empresa:
Max   Lf (k )  wL  (r   ) K
c. p.o :

0 
L
f (k )  Lf ' (k )k
f (k )  L
f k
w0
k L
 f (k )  f (k )k   w
1
w 
L
'
(9)
Al igual que vimos en el modelo de Solow-Swan, en una economía cerrada la
inversión es igual al ahorro, por eso en esta economía se tiene que cumplir que la
cantidad de capital que compran las empresas que denotamos por k es igual al
ahorro de las familias que es igual a b . Así, teniendo en cuenta que ahorro es igual a
inversión la ecuación que describe el comportamiento del capital per cápita es la
siguiente:
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Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
k  w  c  k (r  n) (10)
que se obtiene de reemplazar b por k en la restricción presupuestaria de las
familias. Sustituyendo la ecuación (9) en la (10) nos queda lo siguiente:
k  f (k )  f ' (k )k  c  k (r  n)
Sustituyendo la ecuación (8) en la ecuación (11):
k  ( f (k )  (r   )k )  c  k (r  n)
(12)
k  f (k )  c  k (  n) : ley de evolución del capital per cápita
c 
(13)  c 
1
( f (k )     )

1
( f (k )  (   ):

trabajo efectivo
'
'
evolución del consumo por unidad de
Las ecuaciones (12) y (13) recogen respectivamente la evolución del capital
per cápita y del consumo per cápita.
ESTADO ESTACIONARIO:
El estado estacionario es una situación en que las variables per cápita crecen a
una tasa constante. Si nos fijamos en la ecuación (13), que describe el
comportamiento del consumo, para que el consumo crezca una tasa constante el
capital tiene que ser siempre el mismo:
 c  cte si y solo si, kt  kt 1 , lo que implica que  k  0
Mirando la ecuación (12), para que el stock de capital no cambie se tiene que
cumplir que el consumo per cápita no varíe.
 k  cte si y solo si, ct  ct 1 , lo que implica que  c  0
En estado estacionario:  k  0 y  c  0
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Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
Si  c  0
Ak (1 )  (   )

1
 A  1  

k *  
   
Stock de capital de estado estacionario
El PIB per cápita de estado estacionario, se obtiene sustituyendo el capital de
estado estacionario en la función de producicón:

 A  1

y *  A
   
Sabiendo que el consumo per cápita es la renta menos el ahorro, lo calculamos como:

 A  1

c*  (1  s) A
   
Consumo per cápita de estado estacionario
3.2Modelo de Ramsey con Progreso tecnológico
Max

0
e  (   n )t
(cˆe xt )1  1
dt
1
La renta de los consumidores es la suma de los ingresos del trabajo e ingresos
del capital: wLt  rBt 1 . Con la renta de que disponen los consumidores pueden
ahorrar o consumir, de tal forma que:
St  Ct  wLt  rBt 1
El ahorro de las familias es igual a:
Bt 1  Bt  St
B  St
Podemos escribir la restricción presupuestaria de las familias:
9
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
B  wL  rB  C
Expresamos la restricción presupuestaria de las familias en unidades de
trabajo efectivo:
B
w
B
C
 r


AL A
AL AL
B
w
  rbˆ  cˆ
AL A
(1)
B
definimos bˆ 
como activos por unidad de trabajo efectivo, y lo
AL
derivamos respecto al tiempo:
B AL  B A L  AL  B
bˆ 

 bˆ( x  n)
AL AL
AL
(2)
Sustituimos (2) en (1) y despejamos b̂ :
B
 bˆ  bˆ( x  n)
AL
w
bˆ   rbˆ  cˆ  bˆ( x  n)
A
w
bˆ   cˆ  bˆ(r  x  n) : restricción presupuestaria expresada en unidades
A
de trabajo efectivo:
3.3. 1 Problema del consumidor
Max

0
e (   n ) t
(cˆe xt )1  1
dt
1
w
s.a : bˆ   cˆ  bˆ(r  x  n)
A
Definimos el hamiltoniano:
H  0 e (  n)t
(cˆe xt )1  1
w
dt  v(  cˆ  bˆ(r  x  n))
1
A
10
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
c.p.o.
H
0 
cˆ
(1   )e (  n) x (1 ) t cˆ 
v
1
(3)
H
 v  v(r  n  x)  v
bˆ
derivamos (3) respecto a t:
((   n)  x(1   ))e ( (  n) x (1 ))t cˆ    cˆ 
(4)
cˆ ( (  n) x (1 ))t
e
 v
cˆ
(5)
Dividimos (5) por (3):
v
cˆ
 ((   n)  x(1   ))  
v
cˆ
Igualamos la expresión (6) a la expresión (4):
(6)
cˆ
 ( r  n  x )
(7)
cˆ
despejamos de (7) la tasa de crecimiento del consumo privado:
((   n)  x(1   ))  
((   n)  x(1   ))  (r  n  x) : evolución del consumo por

unidad de trabajo efectivo.
 cˆ 
1
3.3.2 Problema de la Empresa
Definimos los beneficios de la empresa en términos de unidades de trabajo
efectivo:

K
 f (kˆ)  w  (r   )
AL
AL
Decisión de inversión de la empresa:
Max : ˆ  f (kˆ)  w  (r   )kˆ
ˆ
c. p.o :
 0  f ' (kˆ)  r  
ˆ
k
Decisión de contratación de la empresa:
11
(8)
Macroeconomía IV. Teoría del Crecimiento Económico.
Max   ALf (kˆ)  wL  (r   ) K
c. p.o :

0 
L
Af (kˆ)  AL

f kˆ
w0
kˆ L

1
Af (kˆ)  ALf ' (kˆ)kˆ  w  A f (kˆ)  f ' (kˆ)kˆ  w
(9)
L
Imponemos las condiciones de vaciado de mercado: bˆ  kˆ . La restricción
presupuestaria del consumidor queda como:
w
kˆ   cˆ  kˆ(r  x  n)
A

kˆ  ( f (kˆ)  f ' (kˆ)kˆ)  cˆ  kˆ(r  x  n)
kˆ  ( f (kˆ)  (r   )kˆ)  cˆ  kˆ(r  x  n)
kˆ  f (kˆ)  cˆ  kˆ(  x  n) : ley de evolución del capital por unidad de trabajo
efectivo.
 cˆ 
 cˆ 
(   n  x  x  f (kˆ)    n  x)

1
( f (kˆ)  (    x ):

1
'
'
evolución del consumo por unidad de trabajo
efectivo
12