Download circunferencia unidad

ASTRONOMÍA: Cálculo del radio de la Tierra, distancia de la Tierra a la Luna, distancia de la
Tierra al Sol, predicción de eclipses, confección de calendarios...
CARTOGRAFÍA: Elaboración del mapa de un lugar del que se conocen algunas distancias y
algunos ángulos.
CONSTRUCCIONES: Cómo construir un edificio para que cumpla ciertas exigencias de
orientación. En qué dirección se excava un túnel para que salga, al otro lado de la montaña, en
el lugar deseado.
NAVEGACIÓN: Construcción de cartas marinas en las que se detalle la ubicación de
arrecifes...
sen 
CatOpuesto  1 
;

Hipotenusa  cosec 
cos  
CatContiguo  1 
;

Hipotenusa  sec  
tg 
CatOpuesto
;
CatContiguo
 1 


 cotg 
FÓRMULAS FUNDAMENTALES:
sen 2  cos 2   1
Por el Teorema de Pitágoras:
sen 2  cos 2  
CatOpuesto2 CatContiguo 2 CatOpuesto2  CatContiguo 2 Hipotenusa 2



1
Hipotenusa 2 Hipotenusa 2
Hipotenusa 2
Hipotenusa 2
tg 
sen
cos 
CatOpuesto
sen
CatOpuesto
Hipotenusa


 tg
CatContigu
o
cos 
CatContiguo
Hipotenusa
CÁLCULO EXACTO DE LAS RAZONES DE LOS ÁNGULOS DE 30º, 45º y 60º
sen30º 
a/2 1

a
2
a
3
b * 2
a 3
cos 30º 



a
a
2a
sen30º
1/ 2
1
tg30º 



cos 30º
3/2
3
sen 60º 
b
3
 cos 30º 
a
2
cos 60º 
a/2
1
 sen30º 
a
2
sen 45º 
a2
 a2
2
2
a 2 3a 2
b2  a 2 

4
4
(*)
3
2
3
3
tg 60º 
a
a
1
2


* 
d
2
a 2
2
b
b2 
3a 2 a

3
4
2
sen60º
3/2

 3
cos 60º
1/ 2
(*)
d 2  a2  a2
d 2  2a 2
cos 45º  ( Exactamente igual ) 
tg 45º 
2
2
sen 45º
2 /2

1
cos 45º
2 /2
d  2a 2
d a 2
ÁNGULOS BÁSICOS
CIRCUNFERENCIA
UNIDAD
Signos de las Razones
Trigonométricas
Seno
Coseno
ÁNGULO
en GRADOS
0º
90º
180º
270º
360º
ÁNGULO
en RADIANES
SENO
COSENO
TANGENTE
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
Ángulos Suplementarios
 ,180º 
 ,  
sen  sen   
cos    cos   
tg  tg   
Ángulos que se diferencian en 180º
 ,180º 
,  
sen  sen   
cos    cos   
tg  tg   
Ángulos Opuestos
 , 360º 
 , 2  
sen  sen2   
cos   cos2   
tg  tg2   
Ángulos Complementarios     90º 
 , 90º 
,

2



sen  cos   
2



cos   sen   
2


1
tg 


tg    
2


1.
Expresa en radianes los siguientes ángulos:
0º , 30º , 45º , 60º, 90º , 120º , 135º , 150º, 180º , 210º , 225º , 240º, 270º , 300º , 315 , 330º
2.
Expresa en grados los siguientes ángulos:
3π 5π 3π 9π 4π
;
;
;
;
4
3
2 10 3
3. Halla sin calculadora:
 4 cos 30º 2tg 0º 4 cos 60º 
 2sen150º 5tg 225º 3sen 270º 
 5 cos 315º6sen330º9 cos120º 

2 3sen

5 cos

2
2
3
 4 sen  2 sen

3
2
 2 cos

6
 3 cos 2 
2. Reduce al primer cuadrante:
100º
90º50´
215º
122º34´2´´
124º
285º20´39´´
342º
321º8´´
3. Halla con la calculadora el ángulo  .

sen  0'8   270º

cos   0'37   180º

tg  1'36 sen  0

cos   0'23 sen  0
4. Sabiendo que el ángulo  es obtuso, completa la siguiente tabla:
sen
cos 
tg
0'92
0'5
 0'12
1'2
4
5. Halla las razones trigonométricas de  .
 sen  0'75   270º


2
tg  0
3
tg  3   180º
cos  


6. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos Cˆ  90º .
a) a = 5 cm , b = 12 cm.
b) a = 43 m , Â = 37º
c) a = 8 m , B = 58º25´47´´
d) c = 5,8 km , Â = 71º4´21´´
e) c = 9,2 cm , B = 43º29´´
f) b = 4,3 m, c = 6,7 m
7.
Demuestra las siguientes identidades:
a)
(sin   cos  ) 2  1  2  tg  cos 2 
b)
1
 sin 2 
1  cot g 2 
c)
cot g 2 
 cos2 
1  cot g 2 
d)
cos   tg
 cot g  sec 
cos   tg
8.
e)
tg 2 a  sen 2 a  tg 2 a  sen 2 a
g)
tg
sin   cos 

2
tg   1 sin 2   cos 2 
f)
1  tg
 sin   cos 
sec 
h) sen a  cos a  sen a  cos a
2
2
4
4
Simplifica:
a)
sec 
cos ec  tg
b)
d) sena  cos a   sena  cos a 
2
sec 
1  tg 2 
c)
sin 2 
1  cos 
e) sen a  sena  cos a
2
3
2
9. Halla, sin calculadora:
a)
cot g 270o  sin 270o
2  tg30o
b)
sin 120o  cos 45o
tg30o  cot g135o
10. Relaciona el seno y el coseno de los siguientes ángulos, con un ángulo del primer cuadrante.
a) 90  
b) 270  
o
c) 270  
o
o
11. Si  es un ángulo del segundo cuadrante y tg  4 , calcula:
a) sen180  a
b) tg180  a
c) cos a 
d) sec90  a
e) cos ec270  a 
f) cot g 360  a
12. Halla x :
a) senx  0
b) cos x  
d) 2senx  1  0
e) cos 2 x 
g) senx  45  
2
2
3
2
1
2
c) tgx   3
f) sen3x  60  0
h) 2 cos x  3tgx
i) cos 2 x  sen 2 x  senx  1
j) 3 cos 2 x  2senx  2
k) tg 2 x  sec x  1
l) 2senx  cos ecx  0
ll) 7 cos 2 x  sen 2 x  5
m) sen 2 x  2 cos 2 x  1
n) senx  cos ecx 
5
2
PROBLEMAS
1. Si las dos ramas de un compás forman un ángulo de 60º y cada rama mide 12 cm, halla
el radio de la circunferencia que puede trazarse.
2. Las puntas de las ramas de un compás distan 7 cm y cada rama mide 12 cm. Halla el
ángulo que forman las ramas del compás.
3. Al recorrer 3 km por la carretera, hemos ascendido 280 m. ¿Qué ángulo forma la
carretera con la horizontal?
4. El lado de un rombo mide 8 cm y el ángulo menor es de 48º.
¿Cuánto miden las diagonales del rombo?
5. Calcula el área de un octógono regular de lado 10 cm.
6. Marta, que vive en primera línea de playa, observa un barco averiado bajo un ángulo de
depresión de 10º. Si está a 20 m de altura, ¿cuántos metros deben nadar sus ocupantes
para llegar a la costa?.
7. Una moneda mide 2 cm de diámetro. Halla el ángulo que forman las tangentes a dicha
moneda desde un un punto situado a 6 cm del centro.
8. Se desea calcular la altura de la torre, para ello se miden los ángulos de elevación
desde los puntos A y B.
9. Desde la orilla de un río se ve un árbol en la otra orilla bajo un ángulo de 40º23´ y si se
retrocede 40 m se ve bajo un ángulo de 28º30´ 25´. Halla la altura del árbol y el ancho
del río.