Download 1) Una fábrica de fertilizantes produce dos tipos de abono, A y B, a

Programación lineal
Se llama programación lineal al conjunto de técnicas racionales de análisis y de
resolución de problemas que tiene por objeto ayudar a los responsables en las decisiones
sobre asuntos en los que interviene un gran número de variables. Su empleo es
frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc.
En la práctica se trata de utilizar técnicas matemáticas pretenden optimizar (maximizar
o minimizar) una función lineal de varias variables que llamaremos función objetivo,
sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales.
Al conjunto de valores de x e y que verifican todas y cada una de las restricciones se lo
denomina región factible.
La solución óptima del problema será un par de valores (x0,y0) de la región factible que
haga que la función objetivo tome el valor máximo o mínimo.
Pasos para resolver un problema de programación lineal
1. Elegir las incógnitas.
2. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.
3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.
4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente las
restricciones.
5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles (si son
pocos).
6. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en
cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que
tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no está acotado).
EJERCICIOS
1º) Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y
pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres
pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla
grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de
elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?
x = nº de pastillas grandes
y = nº de pastillas pequeñas
Maximizar : f(x, y) = 2x + y
Restricciones:
40x + 30y ≤ 600
x≥3
y ≥ 2x
El máximo beneficio es de 24 €, y se obtiene
fabricando 6 pastillas grandes y 12
pequeñas.
2º) Una fábrica de fertilizantes produce dos tipos de abono, A y B, a partir de dos
materias primas M1 y M2.
Para fabricar 1 tonelada de A hacen falta 500 kg de M1 y 750 kg de M2, mientras que
las cantidades de M1 y M2 utilizadas para fabricar 1 t de B son 800 kg y 400 Kg.
respectivamente.
La empresa tiene contratado un suministro máximo de 10 t de cada materia prima y
vende a 1000 € y 1500 € cada t de abono A y B, respectivamente. Sabiendo que la
demanda de B nunca llega a triplicar la de A, ¿cuántas toneladas de cada abono debe
fabricar para maximizar sus ingresos y cuáles son estos?
x= nº de toneladas de abono A
y = nº de toneladas de abono B
Función Objetivo a maximizar:
I = 1000 A + 1500 B
Restricciones:
0,5 x + 0,8 y  10 (M1  10)
0,75 x + 0,4 y  10 (M2  10)
y  3x
x>0 e y>=0
Sustituimos A, B, C, D en la función
objetivo
A → I(3´44,10´34)= 18.950 euros
B → I(10, 6´25)= 19.375 euros→ Máximo
C → I(13´34, 0)= 13.340 euros
D → I(0,0)= 0
Los ingresos máximos son 19.375 euros
3º) Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la
temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote
de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de
tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes
de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para
maximizar la ganancia?
x = nº de lotes de A
y = nº de lotes de B
Función objetivo
f(x, y) = 30x + 50y
Restricciones:
x + 3y ≤ 200
x + y ≤ 100
x ≥ 20
y ≥ 10
Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia máxima de 4000 €.
4º) En un hospital se quiere elaborar una dieta alimenticia para un determinado grupo
de enfermos con dos alimentos A y B. Estos alimentos contienen tres principios
nutritivos: N1, N2 y N3. Una unidad de A vale 1 euro y contiene 2 unidades de N1, 1 de
N2 y 1 de N3. Una unidad de B vale 2.40 euros y contiene 1, 3, y 2 unidades de N1, N2 y
N3 respectivamente. Un enfermo de este grupo necesita diariamente al menos 4, 6 y 5
unidades de N1, N2 y N3 respectivamente. Se pide:
a) Plantear un problema de programación lineal que permita determinar las
cantidades de alimentos A y B que dan lugar a la dieta de coste mínimo.
b) Resolver el problema
Cantidad de
alimento
N1
N2
N3
Precio
A
2x
x
x
x
B
y
3y
2y
2,40y
4
6
5
El gasto a minimizar es G(x,y)= x+2.40 y
Restricciones:
2x + y  4
X + 3y  6
X + 2y  5
x0 e y0
A=(0,4); B=(1,2); C=(3,1)
D=(6,0)
G(A)= 9,6 euros
G(B)= 5,8 euros
G(C) = 5,4 euros → Gasto mínimo
G(D)= 6 euros
5º) Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La
empresa A le paga 5 ptas. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más
grandes, le paga 7 ptas. por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los
impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha
calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se
pregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que
su beneficio diario sea máximo?
Llamemos:
x= nº de impresos diarios tipo A repartidos.
y= nº de impresos diarios tipo B repartidos.
La función objetivo es:
f(x, y)=5x+7y  maximizar
Las restricciones:
Vértices:
A (0,100)
B intersección de s,t:
C intersección de r,t:
D (120, 0)
Siendo los valores de la función objetivo:
Debe repartir 50 impresos tipo A y 100 tipo B para una ganancia máxima diaria de 950
ptas..
6º) Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1
m2 de algodón y 3 m2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m2 de cada una de las dos telas.
Calcular el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los
beneficios si un traje y un vestido se venden al mismo precio.
x= nº de trajes.
y= nº de vestidos
a= precio común del traje y el vestido.
Función objetivo:
F(x,y)= ax+ay  Maximizar
Restricciones:
r: x+2y≤80
s: 3x+2y≤120
x≥0
y≥0
Vértices:
Los valores de la función objetivo son:
A(0, 40)
F(A)=40a
B intersección de r y s:
F(B)= 20a +30a  Máximo
F(C)=40a
C(40, 0)
El máximo beneficio lo obtendrá fabricando 20 trajes y 30 vestidos.