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LOS PROCESOS DE CONSTRUCCIÓN DE CONOCIMIENTO EN EL DOMINIO DEL ÁLGEBRA Y EL PAPEL DE LAS INTERACCIONES EN DICHA CONSTRUCCIÓN. Flavia Buffarini – Carmen Sessa Universidad Nacional de Río Cuarto - Universidad de Buenos aires – Argentina fbuffarini@exa.unrc.edu.ar Nivel: Secundario y Universitario Palabras clave: Investigación - Didáctica de la Matemática – Álgebra - Interacciones Resumen: Este trabajo se inscribe en una investigación de tesis de maestría en Didáctica de la Matemática. El objetivo de la misma fue precisar, bajo un diseño de trabajo particular, el papel que juega las interacciones en la re-apertura, re-flote o inauguración - dependiendo del sistema inicial de conocimientos de cada alumno - del álgebra como herramienta de modelización y validación. Para ello se planificó y se ejecutó una intervención en el aula organizada a partir de un problema y de un cierto dispositivo didáctico que propicia las interacciones entre los alumnos, sostenidas por la intencionalidad docente, como condición para hacer evolucionar las relaciones iniciales que los estudiantes hacen jugar para abordar el problema. En primer lugar se presenta el dispositivo didáctico, se delinea el análisis a priori del mismo y se muestra parte del estudio de un proceso de producción particular en una clase de alumnos del primer año universitario a partir de la implementación de dicho dispositivo. Por último se enuncian reflexiones que intentan atrapar parte de la complejidad inherente a los procesos de construcción de conocimiento en el dominio del álgebra y el papel de las interacciones en dicha construcción. Introducción En este trabajo se hace público la intimidad de un proceso de aprendizaje, una trama de construcción particular. Se analizan los “vericuetos” por los que cada estudiante circula al encontrarse con dudas e incertidumbres respecto de la tarea que enfrenta cuando deben recurrir a la herramienta algebraica para interpretar y validar por qué un cierto cálculo aritmético que se desencadena a partir de un número variable, conduce siempre al mismo resultado, cualquiera sea el valor de la variable. Este proceso de producción de conocimientos lo describimos, lo explicamos y lo caracterizamos a partir del análisis de las distintas etapas en que fue organizada la clase según se estableció en el diseño del dispositivo didáctico construido para esta investigación. En este trabajo bosquejamos el análisis a priori de dicho dispositivo y estudiamos la implementación del mismo. A partir del trabajo en interacción con la producción del otro, fueron objetos de análisis los pedidos de explicación que los alumnos demandan a sus compañeros sobre las producciones individuales, las explicaciones y justificaciones que dan, las discusiones que se generan, la coordinación de procedimientos propios con los del otro, las co-elaboraciones en el proceso de búsqueda de un acuerdo, las intervenciones del docente, los momentos en se puede identificar que hubo evolución de estrategias, entre otros. Marco teórico La problemática estudiada se ubica en la perspectiva de la Teoría de Situaciones de Guy Bousseau en el sentido que la misma propone un modelo desde el cual pensar la clase de 1 matemáticas. En este modelo la enseñanza es mirada como un proceso centrado en la producción, transformación y validación de los conocimientos matemáticos. El trabajo experimental realizado en esta investigación se piensa y se estudia desde la metodología de investigación que propone la Ingeniería Didáctica, el análisis de aspectos de la misma nos permitieron tomar una posición desde donde estudiar nuestra clase de matemática. Estos elementos teóricos nos aportaron un marco general, al cual incorporamos un estudio sobre las teorizaciones de Balacheff acerca de la validación y los procesos de prueba que nos dieron un encuadre tanto para el diseño de nuestra experimentación - dónde se ponen en juego procesos de validación- como para interpretar, en nuestra etapa experimental, las producciones de los alumnos en la búsqueda de una prueba. Además nos detuvimos en aquellos elementos específicos del contenido matemático a ponerse en juego y estudiamos didácticamente la problemática del álgebra1, y de la producción de significados en esta área2. Los mismos nos permitieron avanzar en el análisis a priori del dispositivo didáctico y, describir y estudiar los procesos efectivamente producidos a partir de la implementación de mismo. El Dispositivo Didáctico Bajo la hipótesis que los diferentes significados atribuidos a un “texto algebraico” van a determinar el tipo de justificación que se puede dar de una declaración que se hace sobre el objeto y que las justificaciones son parte indisoluble de los conocimientos que un sujeto va teniendo sobre los objetos (Lins, 2001), es que se considera que obligar a los alumnos a dar justificaciones de su trabajo, enriquecerá su conocimiento sobre los objetos y los procedimientos, vía estas justificaciones. Para tal fin se elabora un dispositivo didáctico que prevé diferentes etapas de trabajo, la primera individual, las siguientes de trabajo en grupos y para finalizar una instancia de trabajo colectivo y que considera un docente presente y activo sosteniendo las distintas instancias de interacciones entre pares. Se supone que a partir de un primer momento individual de trabajo de cada alumno, donde se anticipa que la herramienta algebraica no va a surgir pulida en ninguna de las resoluciones, se apuesta que en un trabajo de interacción con las producciones de los otros, bajo la consigna de acordar, haya una evolución hacia una forma de resolución más algebrizada. Por lo que se considera, la formación de grupos a partir de resoluciones individuales que movilicen diferentes tipos de estrategias y formas de justificación con el fin de instalar en los mismos una microcultura de clase basada en la discusión, la argumentación y la negociación entre pares. En la instancia colectiva se pondrán a disposición de toda la clase las producciones acordadas por los grupos y, se renegociarán los significados construidos. Diseño del Dispositivo Didáctico Para el diseño del dispositivo didáctico se considera el problema “El Prestidigitador” que fue extraído de la tesis doctoral de Brigitte Grugeon (1995) y se Primera Etapa. Se entrega a cada alumno la siguiente consigna: Resolver el siguiente problema de manera individual dejando por escrito los procedimientos de resolución y la justificación de la respuesta. 1 Grugeon Brigitte (1995), Chevalard (1984, 1985, 1989), Lee y Wheeler (1987) , Vergnaud (1987), Kieran (1989), Drouhard,(1995), Gascón (1994), entre otros 2 Lins Rómulo (2001) 2 El problema del ILUSIONISTA Un ilusionista está seguro de sí mismo cuando realiza la siguiente rutina. Le dice a un participante: “Piensa un número, súmale 8, multiplica el resultado por 3, réstale 4, súmale el número original, divide por 4, súmale 2, réstale el número original: el resultado es 7”. ¿La afirmación es verdadera? Justificar la respuesta. Segunda Etapa. Se arman grupos de cuatro alumnos y se les entrega la siguiente consigna A partir de lo trabajado individualmente, acordar una respuesta al problema. Escribir dicha respuesta y la justificación de la misma para que otro grupo pueda entenderla. Hacer dos copias de dicha respuesta. Divididos en subgrupos de dos alumnos compartirán sus resoluciones con otros grupos. Tercera Etapa. Se arman nuevos grupos de seis alumnos y se les entrega la siguiente consigna Analizar las resoluciones que trae cada miembro del grupo. A partir de dicho análisis, optar por un procedimiento de resolución entre los propuestos o eventualmente optar por un procedimiento nuevo. Dejar por escrito la resolución acordada y la justificación de la conveniencia de dicha resolución. Cuarta Etapa. Instancia de trabajo colectivo (No se entregan consignas a los alumnos) Se analiza con el docente, a partir de las nuevas resoluciones realizadas por los grupos, el poder de la herramienta algebraica como herramienta de modelización y de validación en situaciones matemáticas. Análisis a priori del dispositivo didáctico Primera Etapa: Se solicita resolver el problema en forma individual para que los alumnos se hagan cargo del problema y desplieguen sus propias estrategias de resolución, las mismas pueden movilizar los objetos y herramientas de los ámbitos aritmético u algebraico. Esta etapa constituye un momento de trabajo autónomo con el problema en la que el alumno produce relaciones que le servirán de marco para las etapas posteriores. Dos razones de distinta índole justifican el hecho de solicitar en la consigna que se deje por escrito los procedimientos de resolución y la justificación de la respuesta: 1ª - Para que el profesor pueda observar, al mismo momento que están resolviendo, el tipo de estrategias utilizadas por cada alumno e identificar el proceso de resolución privilegiado, de 3 naturaleza aritmética o algebraica, lo que le permitirá tomar decisiones para la formación de los grupos de la etapa siguiente. 2ª - Al solicitar al alumno que deje por escrito el procedimiento y la justificación se le exige reorganizar su resolución y a precisar su lenguaje, que implica un nivel de reflexión sobre la acción que lo obliga a tomar una posición con respecto al conocimiento puesto en juego en su resolución del problema. Dicha posición será movilizada por la consigna de acordar una resolución entre los miembros del grupo en la etapa siguiente. ¿Cuáles podrían ser las estrategias utilizadas por los alumnos que el profesor deberá tener en cuenta en la formación de los grupos en la etapa siguiente? Se identifican a priori dos estrategias típicas de resolución, la aritmética y la algebraica y, en relación con esta última, se distinguen aquellas que recurren a ecuaciones de las que lo hacen vía una expresión algebraica y se diferencias distintas formas de validación. A continuación mostraremos en un cuadro cuáles son las características que deberá tener en cuenta el profesor para la conformación de los grupos que trabajarán en la segunda etapa. Modelización / Estrategias Procedimientos Conclusión sobre la afirmación Validación Pragmática Papel de los ejemplos numéricos utilizados para hacer la cuenta: Aritméticas Sucesión de encadenadas operaciones Para algunos particulares casos Con un caso particular “no especial”. Grafía lineal global. Afirmación Verdadera/ Falsa Con un objeto concreto considerado representante de todos los pertenecientes al dominio de dicha afirmación. Repliegue numérico: Ecuación. Algebraicas Expresión algebraica a lo • “modelo para hacer la cuenta” Pragmática • “Tratamiento algebraico con inclinación a lo numérico” Tratamiento algebraico Afirmación Verdadera/ Falsa Racionalidad algebraica 4 Segunda Etapa: El profesor agrupa de a cuatro a los alumnos según los criterios de selección ya mencionados (resoluciones individuales que movilicen distintos tipos de estrategias y diferentes justificaciones). Se anticipa que mientras más diversas sean las resoluciones más necesario será fundamentar para elaborar una resolución común. Bajo la consigna de acordar se prevé que cada alumno, en tanto productor de un procedimiento, se enfrente con la necesidad de explicar su resolución y con la obligación de justificar para defender su posición e intentar convencer a los demás de la eficacia de su producto. La necesidad de optar obliga a considerar los distintos tipos de procedimientos como objeto de trabajo. Los alumnos se verán obligados a elegir o a descartar y recurrirán a criterios que tengan que ver con la pertinencia del procedimiento o de la justificación o a algunos otros más personales referidos, por ejemplo a “es más fácil” o “es más difícil”. Seguramente no serán de este tipo los argumentos convincentes para hacer renunciar a otros alumnos a sus propias producciones, por lo que se pondrán en juego el tipo de justificaciones que se pretenden. Estas negociaciones están sujetas también a las condiciones que impone el funcionamiento social del grupo (alumnos líderes, o desvalorizados) por lo que el grado de adhesión al procedimiento y justificación finalmente elegido no será el mismo para todos los alumnos del grupo por lo que se considera oportuno el planteo de la siguiente etapa. Tercera Etapa: Se hace la hipótesis de que el trabajo de discusión en los distintos grupos en la etapa dos conferirá un cierto ropaje algebraico a las producciones grupales de esa etapa. El objetivo de la tercera etapa es la confrontación entre distintas producciones algebrizadas, estableciendo diferencias y similitudes, obligando a justificar para sostener lo que se trae como producto final de un grupo al que se pertenece, lo que no garantiza igual grado de implicación y adhesión en todos sus integrantes. En esta etapa se pretende dar una nueva oportunidad. Que surja más de una resolución posible, que se establezca que distintos objetos algebraicos permiten diseñar una prueba a partir de crear un modelo para un problema específico. Que se reflexione que a partir de un mismo modelo, con un tratamiento algebraico diferente, pueden resultar “estados finales” aparentemente distintos y que es necesaria la significación de los “estados finales” en términos de la resolución algebraica para poder volver al problema y dar respuesta al mismo. Para la formación de los grupos de esta etapa nuevamente el profesor deberá seleccionar entre las producciones de los distintos grupos de la segunda etapa. Será necesario que identifique diferencias entre los modelos planteados y las justificaciones dadas por los grupos. Se hace la hipótesis que esta nueva instancia de interacción a partir de las producciones grupales de la etapa anterior, bajo la consigna de acordar un procedimiento de resolución entre los propuestos o eventualmente optar por un procedimiento nuevo les obligará a “afinar” las justificaciones que se pretenden. El análisis a priori del dispositivo didáctico nos permitió elaborar un conjunto de observables que nos sirvió como marco para interpretar las estrategias desarrolladas por los alumnos y las evoluciones de las mismas a partir de las interacciones entre pares en términos de los conocimientos puestos en juego, durante la implementación del dispositivo didáctico. La intervención en el aula y el análisis a posteriori 5 La experiencia se llevó a cabo en una comisión de práctico, de 24 alumnos, de la materia Calculo I para la carrera de Microbiología de la UNRC. Se desarrolló durante una clase de dos horas y media, en el mes de noviembre, faltando pocos días para finalizar el segundo cuatrimestre del 2003. A los alumnos se les comunicó que esta clase formaba parte de una investigación y accedieron a la propuesta con un alto grado de compromiso. Se contó con la colaboración de una profesora que gestionó la puesta en obra de la clase diseñada. La clase fue grabada en audio, se recogieron todas las producciones escritas y se realizó una crónica de la clase a partir de la observación directa. Posteriormente se realizaron registros escritos a partir del registro en audio. El análisis a posteriori nos permitió estudiar la intimidad de un proceso de producción de conocimientos en relación con la dimensión herramienta de modelización y validación del álgebra en el marco de la situación planteada. En particular se estudió cómo las interacciones entre los alumnos, con la intervención docente, juegan un papel en la evolución de sus conceptualizaciones y en la adquisición de estos aspectos del álgebra. En primer lugar se analizó la conformación de los grupos a partir de la producción individual de cada alumno que conformó cada grupo y se elaboró un cuadro que permitía comparar los procedimientos y justificaciones desarrolladas por dichos alumnos. En segundo lugar se analizó la producción grupal de la segunda etapa a partir de la producción escrita de los alumnos en la primera etapa, del registro escrito y las elaboraciones escritas de los alumnos en la segunda etapa. Se realizó una separación en “episodios” teniendo en cuenta “unidades de análisis”, se realizaron comentarios sobre cada episodio y de este análisis se fueron desprendiendo mini conocimientos que en este trabajo se presentan a partir de enunciados que intentan atrapar, por un lado, parte de la complejidad inherente a los procesos de construcción de conocimiento en el dominio del álgebra y los procesos de prueba y, por otro, el papel de las interacciones en dicha construcción. Cabe aclarar que en este trabajo y a modo de ejemplo, solo se presenta el análisis de la construcción particular de un grupo de los que conformaron la segunda etapa y reflexiones realizadas a partir de este análisis. El análisis de la tercera etapa nos conduzco a enunciar reflexiones didácticas generales que no serán presentadas en este trabajo. Análisis de las producciones individuales de los alumnos del Grupo 3 Resoluciones individuales Sole Romina 6 Paul a Pedro Cuadro comparativo de estrategias y justificaciones desplegadas por los alumnos Estrategias Alumno Romina Aritméticas Paula Sole Procedimientos Modelización del enunciado utilizando una grafía lineal global. Modelización del enunciado en sucesión de operaciones encadenadas. Modelización del enunciado a través de una ecuación. Prueba para un número Modelización del enunciado a través de una expresión algebraica. Opera algebraicament e de manera correcta. Algebraicas Pedro Prueba para un número Opera algebraicament e de manera incorrecta. Obtiene una igualdad falsa. Validación Pragmática Interpreta algebraicamente la igualdad falsa en términos del problema como “un absurdo propuesto por el ilusionista”. No explica lo obtenido algebraicamente Conclusión sobre la afirmación Afirmación Verdadera Afirmación Falsa Afirmación Verdadera Podemos observar que el profesor, para la conformación de este grupo, seleccionó alumnos con estrategias y formas de validación diferentes. Se analizará, bajo estas condiciones, los efectos del trabajo en interacción con la producción del otro con la consigna de acordar una resolución común. Segunda etapa: Análisis y reflexiones. A continuación se enuncian una serie de reflexiones de carácter general que se han podido identificar a partir del ejemplo que representa el trabajo de este grupo en particular. Se muestran los episodios que dan cuenta de los mismos y se realizan algunos comentarios sobre dichos episodios que permitieron arribar a las reflexiones enunciadas. Respecto al trabajo en interacción con la producción del otro: En relación al alumno: Permite desplegar lo individual, a veces oculto hasta para el propio productor de una “declaración”. Cuando el alumno está, de algún modo, obligado a explicitar, a dar una fundamentación de su trabajo se enfrenta más profundamente con lo que verdaderamente hizo o sabe. 7 En relación al investigador (y/o del profesor) El estudio de las interacciones entre pares permite evidenciar “lo parcial de las producciones escritas, en relación con el conocimiento de quien lo escribe. Sole: Sole: Pedro: Yo plantee una ecuación y no me dio 7, Pero a que se refiere con justificar la respuesta? Paso por paso. ¿A vos te dio? Al número que pensé le puse x le sume 8, al resultado le multipliqué 3..... al último me quedó esto, se restaron las x y me quedó 7, porque me quedó x y –x, simplifiqué las dos x y me dio, que se yo.. no se Pedro no sabe “leer” bien lo que hizo, pareciera que no tiene mucha confianza en la ecuación como herramienta algebraica, “simplifiqué las dos x y me dio, que se yo.. No se”, no logra interpretar qué significa lo que le dio, no ha podido interpretar que para cualquier valor de x la cuenta da 7. Sole: Romina: Paula: Pedro: Romina: Pedro: Paula: Pedro: ¿Vos lo planteaste todo como una ecuación? No, yo directamente pensé un número y lo hice, no me puse hacer eso Yo también ¿Y a vos también te dio 7? ¿Vos que número pensaste? El 2 ¿Y vos? El 18 ¿Y da igual? Sorpresa!! A Pedro su cuenta algebraica no le sirve como anticipación de que siempre va a dar 7 independientemente del valor de x. A partir de analizar su resolución individual no se deduce esto, ya que él plantea y opera algebraicamente bien y enuncia que la afirmación es verdadera, nada hace pensar que no puede interpretar su resolución. A través de la interacción se hace explícito, que más allá de lo que pueda escribir en su resolución, una cosa es que de 7 a través del tratamiento algebraico y otra cosa es probar con números y que de 7, “y da igual?”. Se explicita algo que desde el punto de vista de un sistema de conocimientos construidos sería contradictorio, sorprenderse de algo que ya había probado. Si analizamos su resolución individual hasta podríamos decir que tiene cierto dominio y control sobre su trabajo en álgebra elemental. Sin embargo, seguramente sus conocimientos se fundan en el aprendizaje de traducciones del lenguaje coloquial al simbólico y técnicas de resolución algebraica. Pedro es “un alumno difícil”, porque “sabe..... pero no sabe”. Lo interesante de la interacción será no sólo lo que nos permite ver a nosotros como investigadores sobre su sistema de conocimientos sino lo que le va a permitir a él. Romina: Sole: Pedro: Si No se, me da un error (mira la ecuación que planteo correctamente pero resolvió mal) así que no se Pero si lo hicieron con distintos números y dio Para Pedro la contradicción es la resolución incorrecta de la ecuación versus ejemplos y no versus su resolución algebraica. Pedro pareciera que desconoce el poder de la herramienta algebraica utilizada en su propia resolución. La resolución individual de Pedro y la conclusión arribada a partir de la misma sin un trabajo en interacción con sus compañeros con la consigna de acordar, nos hubiera hecho creer que 8 Pedro “sabe”, que el álgebra fue puesta en juego en su resolución como herramienta de modelización y de prueba. Sin embargo se pone en evidencia que lo que sabe es traducir y operar algebraicamente y necesita realizar un repliegue a lo numérico para validar. Analizar a Pedro permite ver como lo que está escrito en una resolución no atrapa los conocimientos, las relaciones que se pusieron realmente en juego en la resolución. El trabajo en interacción con los otros permite aún más, a Pedro también se le hace evidente que el desarrollo algebraico de su resolución individual no era realmente interpretado desde su sistema de conocimientos y este evoluciona en la labor con sus compañeros en busca de justificaciones. Este ejemplo muestra un aspecto de la riqueza de este momento de interacción entre pares: es un medio que permite un despliegue de lo individual que no queda atrapado en la producción escrita de los alumnos. Respecto a la construcción del conocimiento en el dominio del álgebra: Un resultado conocido en didáctica del álgebra: Confusión entre las soluciones de una ecuación de la forma p(x)= a y el número a, considerado como resultado de una cuenta. Piensan y miran las distintas resoluciones Sole: Y haciendo paso por paso Piensan....Y no se ponen de acuerdo, les perturba que el planteo en ecuación le da “un absurdo” y revisan el planteo y comparan el planteo de Pedro con el de Sole. Romina: Tiene que dar 7 y ahí no da ¿Dónde espera Romina que le de 7? ¿Confunde el valor del segundo miembro de la ecuación con la solución de la misma? En otro episodio “yo despeje y me dio otro resultado” ó “a mi no me dio el resultado, eso fue lo que me dio a mi” y se muestra la resolución de su ecuación. Respecto a la validación de afirmaciones matemáticas En relación a la validación de la afirmación que se predica para cualquier número: Si “da” para números “feos”, “grandes” es más seguro que “de” para cualquiera. Pedro: Romina: Pedro: Comparen con lo que yo hice Andá viendo con lo que yo te voy diciendo. Al número (señala x) sumale 8, multiplicalo por 3, después todo eso menos 4...... Rehace en su hoja el planteo de la expresión y entre todos resuelven, controlan las cuentas. Le da 7 Si, si lo reemplazo da Parece que Pedro le pide a Romina y a Sole que les ayude a entender lo que hizo. Pedro sigue sin entender que si la cuenta le da 7 con x, le va a dar 7 reemplazando x por cualquier valor (calculador ciego, Drouhard,1995). Sole: Pedro: ¿Te da? Si lo reemplazo por 3 da (hace las cuentas en su hoja, como sucesión de operaciones separadas, el resultado que va obteniendo lo pone debajo y le aplica la operación siguiente). 9 Pedro intenta comparar su producción “algebraica” con las de sus compañeros. Revisan su resolución, le da 7 pero no pueden interpretar lo que se obtiene y nuevamente hay un repliegue hacia lo numérico. Romina: Pedro: Sole: Pedro: Poné números bien grandes ¿Está bien 15? Pone un número de tres cifras. ¿Tres cifras? 315, también me dá (Hace las cuentas en su hoja usando la misma forma de registrarlas como con el número 3) Sole: Romina: Sole: ¿Te da, también? Si da... , hay algo raro, entonces te equivocaste en las cuentas. Sería algo lógico, pero no me doy cuenta. Nadie dio por finalizada la búsqueda. Hay mayor confianza en la validación pragmática al recurrir a muchos ejemplos, usando distintos números con diferentes cantidades de cifras. Pareciera que si se elige números “feos”, grandes y “da” entonces es más seguro que dé para todos. Se impone así la conclusión obtenida a partir de los ejemplos frente a la alcanzada por Sole a partir de la resolución de la ecuación. Justificar con números es “más directo” Al comienzo del trabajo en esta etapa Sole indaga a Romina sobre su resolución, ella responde que no lo planteó en ecuación sino “directamente pensé un número y lo hice, no me puse hacer eso”. Entre “letras” y “números” se opta por números, no se tiene construido qué aporta usar letras en un proyecto de generalización. Cabe aclarar que el trabajo en interacción va permitir “moverse” y “avanzar” entre los dos extremos, el alcance del ejemplo y la resignificación del papel de la modelización algebraica La aceptación por contrato del trabajo algebraico Mas adelante algunos alumnos llegan a decir “es más matemático hacerlo con letras, es más serio, estamos en la facultad”. Pareciera que es una cuestión de estatus. Romina, por ejemplo 10 dice con respecto a su resolución con estrategias aritméticas, “bien de primaria lo hice yo”. A pesar de que aparece como una imposición un tanto externa, Romina y el resto del grupo comienzan a intentar estrategias algebraicas. Finalmente terminan comprendiendo la fertilidad de la herramienta. Respecto a la construcción del conocimiento en el dominio del álgebra: Para la mayoría de los alumnos, las expresiones algebraicas están asociadas a “ejercicios para operar algebraicamente” no como herramienta de modelización. Pedro: Pero ustedes entienden lo que yo hice? Alumnas: Si, si entendimos (se ríen), estuvo re claro Pedro: Yo me fijo a que es igual esto y ella (se refiere a Sole) iguala esto igual a algo... Romina: Claro, como si el planteo fuera un ejercicio común que querés saber cual es el resultado, y ella quiere ver que es cierto que es igual a 7, Paula: Pero no llega. Recordemos que Pedro traduce el enunciado simbólicamente a través de una expresión algebraica y opera correctamente, sin embargo su trabajo no le sirve para dar respuesta al problema, no puede interpretar lo obtenido algebraicamente en relación al problema. Falla la tercera fase de la modelización algebraica que tiene que ver con la interpretación del trabajo y de los resultados obtenidos dentro del sistema modelizado (Chevalard 1989 y Gascón 1994) Para Romina el planteo de Pedro es como un “ejercicio común que querés saber cual es el resultado”, lo que probablemente muestre que trabajar con expresiones algebraicas sea considerado como un ejercicio para operar y que no es considerado como una herramienta de modelización. Identidades obtenidas a partir de una misma ecuación no informan lo mismo: “0=0” no informa nada, “7=7” es interpretado en términos del problema. Romina: Paula: Lo que pasa es que trabajas de un solo lado resolviendo y te queda 7 =7 o vas pasando al otro lado y te da 0=0 Queda como en un sistema... ….. Sole: Romina: Pedro: Romina: Ponele que si yo hubiera dejado esto acá, me quedaría 7=7 y sino así, miren. Claro Pero igual se lo podes poner o no si total te va a dar 7 Si yo quiero que me de 7, el problema es el pasaje de términos. Es equivalente obtener el resultado 7 al operar con la expresión algebraica a que se obtenga 7=7. “...el problema es el pasaje de términos”, si se hace trasposición no se va a obtener 7, es un “problema”. Pero 7=7 no se interpreta como solución de una ecuación. Es confuso lo que es: la expresión, la ecuación y las soluciones de la ecuación. Posee un estatuto muy particular lo que queda a ambos lados del igual cuando se está resolviendo. Si quedan números, éstos deben informar algo en términos del problema. ¿0=0 qué informa? 11 …. Sole: Sin igualarlo a 7 nos da. . Si yo dejo el 7¿puede quedar 7=7? Profesora: ¿Y si llego 7= 7 a qué llego? ¿Qué significaría eso? Sole: Que es verdad lo que él dijo Profesora: ¿Por qué es verdad? Romina: Porque llega al resultado que él propone. Pedro: Porque cualquier número que yo ponga va a dar 7 Cualquiera que ponga se simplifica, entonces no importa el número que elija el participante Sole: El problema estaría en el pasaje de términos, porque lo que yo hice en lo anterior es empezar a pasar para el otro lado. La profesora está dando datos de que no es necesario igualar a 7 ya que sólo indaga sobre lo que ocurre si se iguala la expresión a 7. Al fin Pedro parece entender que significa que se le simplifiquen las x, “Cualquiera que ponga se simplifica, entonces no importa el número que elija el participante”. Resolver la ecuación realizando trasposición de términos no responde al problema del ilusionista. Sole dice “el problema estaría en el pasaje de términos” es mejor no pasar al otro lado y llegar a 7=7 y ahí se lee que para todo número da 7. ….. Sole: Romina: Sole: Pedro: Ya lo se pero si resuelvo pasando ¿que me va a dar? ¿Qué queda? 0=0, ah queda como si fueran dos rectas paralelas, no dos rectas encimadas. Ah significa que cualquiera, el número que ponga me va a dar lo mismo. Bueno entonces es lo mismo que 7=7 y me parece que se ve mejor la justificación. 0=0 sólo puede interpretarse a partir de una declaración en el contexto de los sistemas. 0=0 se lee como rectas que se superponen por lo que vale para todo x. Se interpreta a partir de “declaraciones” sobre la solución de los sistemas. Cabe preguntarse ¿por qué 7=7 no los perturba y 0=0 si? Quizás la respuesta tenga que ver con que 0=0 no les informa nada en relación al problema, sin embargo hay algo que da 7 que tiene que ver con el problema, y además quizás se tiene la idea de ecuación como procedimiento de cálculo y este procedimiento va a dar siempre igual a 7. En ningún momento ni 7=7, ni 0=0, ni la ecuación están vistas como una condición sobre un conjunto. En los dos casos arriban que la afirmación es válida para cualquier valor que se considere pero realizando una interpretación diferente de lo que informa cada identidad por lo que concluyen “entonces es lo mismo que 7=7 y me parece que se ve mejor la justificación.” Si da 0=0 sólo se lee en términos de sistemas y apelando a la interpretación gráfica de la solución de los mismos. Una razón se podría dar a partir de la mirada realizada a los libros de textos de la escuela secundaría. El tratamiento de las ecuaciones y de los sistemas, y la forma en que se trabaja para hallar la solución influye para que los alumnos interpreten esta tipo de solución en el marco de los sistemas como una declaración sobre rectas A modo de cierre: Queremos destacar que este estudio tiene valor en tanto se ha querido mostrar en un proceso particular, los distintos matices y “vericuetos” de un proceso de construcción individual y grupal de conocimiento. En nuestro análisis intentamos dar cuenta 12 del estado de conocimiento de los alumnos en relación con las prácticas algebraicas y con los objetos del álgebra. El espacio de interacción que presentamos y analizamos permitieron ver como estos estados iniciales se van modificando. En nuestro estudio pretendimos atrapar, separar, “pequeños enunciados” de interés didáctico que se desprenden de esta investigación y que fueron puestos en términos de reflexiones. Estas reflexiones se agruparon tanto en torno a los procesos de construcción de conocimientos en el dominio del álgebra y a la validación de los mismos como alrededor del papel de las interacciones como medio de evolución en la construcción de dichos conocimientos y se enunciaron a partir del ejemplo que representa el trabajo de este grupo en particular. Bibliografía Buffarini Flavia, (2005). La dimensión del álgebra como herramienta de modelización y validación: Las interacciones en el aula como medio para su evolucion. Tesis de Maestría en Didáctica de la Matemática dirigida por la Dra Carmen Sessa. UNRC. Argentina 13