Download Las Desigualdades con Valor Absoluto

República de Panamá
Ministerio de Educación
DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA
Tel.: 958-5804
Instituto Profesional y Técnico de Veraguas
Nombre del Alumno(a): ________________________________________ Grupo: 12º ______
Sección:  Bachiller Industrial
Especialidad: __________________________________
UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 3
Las Desigualdades con Valor Absoluto y Las
Desigualdades Simultáneas
3.0 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
 Resolver desigualdades con valor absoluto (o inecuaciones con módulo) y expresar la
solución en notación de intervalo y gráficamente.
 Resolver sistemas de desigualdades simultáneas con una incógnita y expresar la solución
en notación de intervalo y gráficamente.
3.1 INTRODUCCIÓN
Entre las desigualdades más importantes que se presentan en las Matemáticas Avanzadas, se
encuentran las que contienen valores absolutos.
Dos de las propiedades importantes de un número real son: su signo y su magnitud.
Geométricamente en la recta numérica real, el signo nos dice la ubicación, a la derecha o a la
izquierda del origen, y la magnitud es la distancia desde el origen al punto. Para trabajar la
propiedad de magnitud, se debe introducir el concepto de valor absoluto1.
3.2 VALOR ABSOLUTO EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
Sean a  R; b  R y supongamos que a  b ; se llama distancia entre a y b , al número no
negativo b  a
Notemos que la distancia entre dos números reales diferentes entre sí es un número positivo,
pues el menor se resta del mayor.
1
El concepto de valor absoluto de un número se emplea en algunas definiciones importantes del Cálculo.
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
1
Veamos los siguientes ejemplos:
1. La distancia entre 1 y 4 es 3 , pues 4  1  3
2. La distancia entre 2 y  3 es 5 , pues 2   3  5
3. La distancia entre  7 y  3 es 4 , pues  3   7  4
Supongamos que se desea calcular la distancia entre 0 y un número real x cualquiera. A esta
distancia la denotaremos por x y que se lee: valor absoluto de equis.
Así: x indica la distancia entre x y 0
Por ejemplos:
1) 3  3  0 es decir 3  3
3)
 5  0   5  5 es decir  5  5
2)
0  0  0 es decir 0  0
4)
 75  0   75  
5
7
es decir  75 
5
7
En general, x  R
1) Si x  0 ; tenemos x  x  0  x ; es decir si x  0 entonces x  x
2) Si x  0 ; tenemos x  0  x   x ; es decir si x  0 entonces x   x
3) Si x  0 ; tenemos x  0  0  0 ; es decir si x  0 entonces 0  0
Así tenemos la siguiente definición:
Definición: Para cada número real x , definimos su valor absoluto, y lo representamos
por x de la manera siguiente:
 x,

x   0,

  x,
si x  0
si x  0
si x  0
Por ejemplos:
1)
 7    7  7
3) 5  13   8    8  8
2) 3  3
4)
 12    12  
1
2
Observación: El valor absoluto de un número es un número positivo o cero, pero nunca es un
número negativo.
El conjunto de soluciones de una desigualdad que contienen valor absoluto, se puede
obtener utilizando la definición de valor absoluto:
 x,
x 
  x,
si x  0
si x  0
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
2
Otra definición alterna de valor absoluto es x  x 2 . Esta definición, en muchos problemas
simplifica notablemente el proceso de búsqueda del conjunto de soluciones de las desigualdades
con valores absolutos.
Por ejemplos: 1) 5  5 2  5
2)
3 
 32
 9  32  3
3.3 PROPIEDADES DE LOS VALORES ABSOLUTOS
Sea x  R+; (Es decir, sea x un número real positivo), entonces:
 x a

a  x  a
 x a

xa ó
x  a
 x a

xa ó
x  a
Las propiedades  y  son válidas si cambiamos el signo  ó  por los signos  ó  ,
respectivamente, así:
 x a

a  x  a
 x a

xa ó
x  a
3.4 RESOLVIENDO INECUACONES CON VALORES ABSOLUTOS
En general, para resolver desigualdades con valor absoluto debemos utilizar las propiedades
y métodos aprendidos anteriormente (suma, resta, multiplicación y división). Básicamente, el
conjunto solución de una desigualdad con valor absoluto debe ser calculado utilizando dos
posibilidades (por definición de valor absoluto) que cumplan con lo establecido, ejemplo: Si
x  a , donde a  0 , entonces en el conjunto solución se incluyen todas las coordenadas en la
línea que son mayores de a unidades del origen.
Ejemplo 1: Resuelva la siguiente desigualdad y grafique su solución: 4 x  2  6
Solución: Veamos las dos posibilidades: x  a
4x  2  6
ó

xa ó
4x  2   6
4x  6  2
4x   6  2
4x  4
4x   8
4
4
x 1
8
4
x  2
x
x  a
x
La solución y su gráfica serán: S   ,  2 1,  
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
3
Ejemplo 2: Resuelva la siguiente desigualdad y grafique su solución:
Solución: Veamos las dos posibilidades: x  a

3 y
6
5
a  x  a
3 y
6
5
3 y 
 6 5  5 
  6 5
 5 
 30  3  y  30
6 
 30  3   y  30  3
 1
 33   y  27
 33   y  27
33  y  27
 27  y  33
La solución y su gráfica serán: S   27, 33
Ejemplo 3: Resuelva la siguiente desigualdad y grafique su solución: 3x  2  5
Solución: Veamos las dos posibilidades: x  a
3x  2  5
3x  5  2
ó

x  a
3x  2   5
3x  5  2
3x  3
3x   7
3x 3

3 3
3x  7

3
3
7
x
3
x 1
xa ó
 7 
La solución son dos puntos aislados en la recta real: S   ; 1 y la gráfica es:
 3 
3.5 PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES CON VALORES
ABSOLUTOS
1) x  2  4
Solución: x  2  4
x42
x6
ó
x  2 4
x  4  2
x  2
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
4
La solución es la unión de dos intervalos infinitos, así: S  x  R / x   ,  2  6,  , aunque
también podemos dar la respuesta así: S   ,  2  6,   y gráfica es:
2) x  1  9
Solución:  9  x  1  9
9 1 x  9 1
 10  x  8
La solución es un intervalo abierto, así: S  x  R / x   10, 8, aunque también podemos dar la
respuesta así: S   10, 8 y gráfica es:
3) 2 x  4  3x  2
Solución:
2 x  4  3x  2
2 x  3x  2  4
x6
x  6
ó
2 x  4   3 x  2 
2 x  4   3x  2
2 x  3x   2  4
5x  2
5x 2

5 5
2
5
2

La solución son dos puntos aislados en la recta real: S   6,  y la gráfica es:
5

4) 2 x  1  3
Solución:
2x  1  3
2x  3  1
2x  4
2x 4

2 2
x2
2,   
ó

x
2x  1   3
2 x  3  1
2x   2
2x  2

2
2
x  1
  ,  1
La solución es la unión de dos intervalos infinitos, así: S  x  R / x   ,  1  2,   . Es decir,
la solución es: S   ,  1  2,   , y la gráfica es:
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
5
5) x  3  2
Solución:  2  x  3  2
23 x  23
1 x  5
La solución es un intervalo cerrado: S  x  R / x  1, 5, También la respuesta se puede
dejar así: S  1, 5 y la gráfica es:
6) x  3  5
Solución:  5  x  3  5
5  3 x  5  3
8  x  2
La solución es un intervalo cerrado: S  x  R / x   8, 2, También la respuesta se puede
dejar así: S   8, 2 y la gráfica es:
PRÁCTICA N°1
TEMA: LAS DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO
I. Dada las siguientes expresiones de desigualdades con valor absoluto, escriba la desigualdad,
según su enunciado. Por ejemplo: “El valor absoluto de equis menos tres, es menor o igual
que un cuarto”, es: x  3 
1
4
1) “El valor absoluto de ye más dos, es mayor que cuatro”, es:
2) “El valor absoluto de equis al cuadrado más nueve, es menor o igual que cero”, es:
3) “El valor absoluto de equis sobre diez, es mayor o igual que cero”, es:
II. Halle el conjunto de solución de las siguientes ecuaciones con valor absoluto:
1) 5x  7  11
2)
x3
7
x3
3) 7  2 x  9
4) 3x  4  5
5)
x4
5
x3
6) x  2  5
7) 2 x  1  4 x  3
8)
x 1
1
 x
2 3
5
9) 5x  7  3
III Resuelve las siguientes desigualdades con valor absoluto y expresar los resultados en
notación de intervalo, y hacer la gráfica:
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
6
1) 2 x  7  9
2) x  4  7
3) 7  4 x  9
4) x  1  5
5) x  1  7
6) 5  x  7
7) 3  x  5
8) 8x  10  26
9)
x4
2
2
10) 1 
13) 2 x  3  7
14) 2 x  3  7
x 1
1
2
17)
2
x 5
3
18)
3
x3 9
4
11)
x
3
x2
15) x  8  3
19)
9
x  32  31
5
12)
x3
2
2
16) 3x  4  2
20) 1 
4
x 2
3
21) 3  4 x  8
22) 5x  7  3
23) 3x  4  2
24) 6 x  5  7
25) 2 x  5  13
26) 7  3x  2
27) x  4  7
28) x  3  4
29)
x2
4
2x  3
30)
33) 2 x  3  1
1
1
x2 
3
6
34) 2 x  1  9
31)
x5
7
x3
32)
2x  1
3
x2
35)
5
x  32   40
9
36)
5
x  32  40
9
3.6 DESIGUALDADES O INECUACONES SIMULTÁNEAS
Dos o más desigualdades se dice que son desigualdades simultáneas si tienen soluciones
comunes.
Un sistema de desigualdades es un conjunto de dos o más desigualdades simultáneas que
contienen la misma variable.
3.7 SOLUCIÓN DE DESIGUALDADES O INECUACONES SIMULTÁNEAS
La solución de desigualdades simultáneas está dada por la intersección de sus conjuntos
soluciones.
La solución de un sistema de desigualdades es el intervalo2 de valores que hacen ciertas a
todas las desigualdades del sistema simultáneo.
3.8 PROBLEMAS RESUELTOS DESIGUALDADES SIMULTÁNEAS
Obtenga el intervalo solución de los siguientes sistemas de desigualdades:
Ejemplo 1: 3 x  4  16
y
8 x6
Solución: Lo primero que obtenemos es el intervalo de solución para cada una de las
desigualdades y después los intersecamos:
2
El intervalo solución del sistema es la intersección de los intervalos de cada una de las desigualdades.
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
7
3 x  4  16
8  x 6
3 x  16  4
 x  68
3 x  12
x  2
 1
x 4
 , 4
x  2
 , 2
El intervalo de solución del sistema está comprendido entre   y 2 , ya que en ese intervalo se
verifica las dos desigualdades, es decir, todo valor de x  2 evidentemente es menor que 4 ,
entonces el intervalo solución será: S   , 2 y su gráfica es:
Ejemplo 2: 3x  4  2 x  1
y
2 x  2  3x  8
Solución: Primero que obtenemos es el intervalo de solución para cada una de las
desigualdades y después los intersecamos:
2 x  2  3x  8
3x  4  2 x  1
2 x  3x   8  2
3x  2 x   1  4
x  5
 1
 ,  5
 x  6
x  6
 , 6
El intervalo de solución del sistema está comprendido entre   y  5 incluyendo el  5 , ya que
en ese intervalo se verifican las dos desigualdades, entonces el intervalo solución será:
S   ,  5 y su gráfica es:
Ejemplo 3: 5 x  10  3x  2
y
Solución: 5 x  10  3x  2
5 x  3 x   2  10
2x  8
8
x
2
x 4
4,   
3x  1  2 x  6
3x  1  2 x  6
3x  1  2 x  6
3x  2 x  6  1
x 5
 , 5
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
8
El intervalo de solución del sistema es el conjunto de valores donde al mismo tiempo se verifican
las dos desigualdades, es decir, la solución es todos los valores de x  4 pero x  5 es decir, que
la solución está entre 4  x  5 , entonces el intervalo solución será: S  4, 5 y su gráfica es:
Ejemplo 4: x  3x  2  x x  5
y
4 x  2  x  1
Solución: x  3x  2  x x  5
4 x  2  x  1
x 2  2 x  3x  6  x 2  5 x
4x  2  x 1
x  x  6  x  5x
4x  x  1 2
 x  6  5 x
3x  3
2
2
 x  5x  6
3
3
x 1
x
4x  6
x
6
4
 x
 32 ,
3
2
1,
El intervalo de solución del sistema está comprendido entre
3
2
y   , ya que en ese intervalo se
3

verifican las dos desigualdades, entonces la solución será: S   ,    y su gráfica es:
2

Ejemplo 5:
3x
1
5
2x

 
4
3
2
3
Solución:
y
3x
4
1
5x



2
5
2
3
3x
1
5
2x

 
4
3
2
3
3x
4
1
5x



2
5
2
3
 3x 
1
5
 2x 
12    12    12    12  
 4
3
2
 3 
3 3 x   4 1  6 5  4 2 x 
 3x 
4
1
 5x 
30    30    30    30  
 2
5
2
 3 
15 3x   6 4  15 1  10 5 x 
9 x  4  30  8 x
45 x  24  15  50 x
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.
9
45 x  50 x  15  24
9 x  8 x  30  4
17 x  34
 1
34
x  2
17
 , 2
x 
 5 x  39
5 x   39
39
5
 395 ,
x  
El intervalo de solución del sistema está comprendido entre 
39
y 2 incluyendo el 2 , entonces
5
 39 
el intervalo solución será: S    , 2 y su gráfica es:
 5 
Ejemplo 6: 3 x  4  5  x  1   x  4
y


2 x 2  2  3 x  8  2 x  2x  4

Solución: 3 x  4  5  x  1   x  4

2 x 2  2  3  x  8  2 x  2x  4

2 x 2  4  3 x  24  2 x 2  4 x  2 x  8
3 x  12  5  x  1  x  4

2 x 2  4  3 x  24  2 x 2  12 x  16
3 x  x  x   1  4  12  5
 3 x  12 x   24  16  4
3 x  2 x   13  9
 15 x   4    x  154
x  4
 4,  
 , 154 
El intervalo de solución del sistema es el conjunto de valores donde al mismo tiempo se verifican
las dos desigualdades, es decir, está comprendido entre  4 y
4
15
incluyendo el  4 , entonces el
intervalo solución será: S   4, 154  y su gráfica es:
Ejemplo 7: x  1x  2  x  2 x  3
y
Solución: x  1x  2  x  2 x  3
x  3x  5  x  4x  3
x  3x  5  x  4x  3
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V. 10
x 2  2 x  x  2  x 2  3x  2 x  6
x 2  5 x  3 x  15  x 2  3 x  4 x  12
2 x  x  3x  2 x   6  2
5 x  3 x  3 x  4 x  12  15
5 x  3x   4
5x  4 x   3
2x   4
x  3
x
4
2
 x  2
 ,  2
 3,   
El intervalo de solución del sistema es el conjunto de valores donde al mismo tiempo se verifican
las dos desigualdades, es decir, la solución común a ambas desigualdades es el conjunto que
pertenece al mismo tiempo a x   2 y a x   3 es decir, que la solución está entre  3  x   2 ,
entonces el intervalo solución será: S   3,  2 y su gráfica es:
PRÁCTICA N°2
I. Dadas los siguientes sistemas de desigualdades, obtenga el intervalo solución de cada una
de ellas e indique la solución del sistema, en notación de intervalo y grafíquelo:
1)
z 5  7 y z  2
2)
y   5 y 2y  4
3)
x  12  16 y
4)
x
 3  2 x  1 y 2 x  2  x  7
3
5)
2 x  6  x  3x  3  8 x y x  6  3x  x  7  2
6)
2 x  x  x  3  8 x y 2 x  16  3x  2 x  7  2
7)
31  2x   x 10 y 2 x  x  2  0
8)
3x  8  11  3x y x  7x  2  x  5
9)
x  5  2x  5  9x  2 y
10)
2x x 2x 2
2
 x  5  1  2 x  2
 
 y
3 2 5 3
3
5 7 3
12)
x  8 4x  3

0 y
2
3
11) 
1
x  2  2
3
2x
  x  5  x  8
3
2 9x 1
7 x


y
3
4
4 2
x 2x  1

0
3
5
II. Hallar la solución de los siguientes sistemas de desigualdades y represéntelo:
1) 5m  4  7m  16 y 8  7m  16  15m
2) 2 x  3  x  10 y 6x  4  5x  6
3) 6t  5  4t  11 y 4  2t  10  5t
4) 2 s  12  s  8
5) z  3  5
6) 5  w  6 y 2w  9  3w
7)
y 2 z  5  17
x 1x  2  x  2x  3
x  3x  5  x  4x  3
y
8)
y 10s  3  30s  46
x  2x  3  x  2x  8
y
x  12  x  5x  4
Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V. 11