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Curso Académico: 2006-07
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA FINANCIERA Y CONTABILIDAD I
LICENCIATURA EN ADMINISTRACION Y DIRECCION DE EMPRESAS
PLAN 2000
MATEMÁTICAS EMPRESARIALES I
9 Créditos
Código 606 G
Profesor de la Asignatura para los Grupos A y B:
Santiago Garma Pons
Asignatura Troncal y anual
Primer Curso
Curso 2006-07
Titulación: LICENCIATURA EN ADMINISTRACION Y DIRECCION DE EMPRESAS
Departamento: ECONOMIA FINANCIERA Y CONTABILIDAD I
Nombre de asignatura:
Código:
Tipo:
MATEMÁTICAS
606
Troncal
EMPRESARIALES I
Plan:
Curso
Semestre
Créditos:
2000
1º
Anual
9
Horas semanales: 3
Teoría: 1
Prácticas: 2
Nombre del profesor/es que imparte/n la asignatura: Santiago Garma Pons
Objetivos: La asignatura de Matemáticas Empresariales I que se imparte en el primer curso
de la
Licenciatura en Administración y Dirección de Empresas tiene por objeto conseguir que el alumno aprenda la
teoría, con sus aplicaciones, del Álgebra Lineal y el Cálculo Infinitesimal. El conocimiento y la comprensión
formal y rigurosa de los axiomas, definiciones, teoremas y en su caso de las demostraciones, de los dos temas
citados proporcionará a los alumnos una forma de razonar, una lógica del razonamiento, sobre los problemas
que se plantean en Álgebra y Cálculo que le servirá para estudiar las restantes materias eficazmente. Además
los temas y problemas que se estudian son base para estudiar y comprender los propuestos por las restantes
asignaturas de la Licenciatura, particularmente por las que tratan problemas financieros
Competencias o destrezas que se van a adquirir: Cálculo con vectores. Cálculo de
aplicaciones lineales o no. Derivar. Diferenciar. Integrar. Analizar. Funciones
Prerrequisitos para cursar la asignatura: Matemáticas de la opción de ciencias o
conocimientos de análisis algebraico
Contenido (breve descripción de la asignatura): Álgebra lineal y cálculo infinitesimal
Bibliografía básica recomendada (máximo 4 títulos):
APOSTOL, Tom. M. (1989), Calculus I Y II, ed. Reverté, Barcelona.
LENTIN, A. y RIVAUD, J. (1976), Álgebra moderna, ed. Aguilar, Madrid.
Problemas:
AYRES, Frank (1993), Cálculo diferencial e integral, ed. McGraw Hill,
Madrid.
LIPSCHUTZ, Seymour (1993), Álgebra lineal ed. McGraw-Hill, Madrid
Método docente:
La exposición de los temas consistirá en dar principios, axiomas, definiciones, y
enunciados de teoremas rigurosamente, explicando su significado y que sentido tienen y que papel juegan
dentro de la materia que se desarrolla. En los temas se señalaran especialmente donde están y cuales son las
dificultades que hay que superar para poderlos comprender y saber. Esta exposición se completará con el
enunciado y la resolución con detalle de problemas relativos a la teoría. Los alumnos matriculados en esta
asignatura deberán estudiar, además de las notas que tomen en clase, los temas del Programa en los libros de
la Bibliografía recomendada de manera detallada y las partes de estos temas que por no ofrecer dificultad no
se han expuesto con detalle en la clase. En cualquier caso, los alumnos deben plantear al Profesor todas las
dudas que tengan en relación con el desarrollo del Programa. Los libros que recomiendan en la bibliografía
dedicados a solución de problemas son importantes en el estudio de las Matemáticas Empresariales.
Tipo de evaluación: (exámenes/trabajos/evaluación continua): Exámenes mensuales.
Evaluaciones continuas. Posibles trabajos en equipo
Idioma en que se imparte: Español
Observaciones: La teoría y el cálculo en los problemas tienen la misma importancia
Tema 1: INTRODUCCIÓN
Historia de la matemática aplicada: economía, empresa y matemáticas. El lenguaje de
las matemáticas, los fundamentos y la lógica matemática. Operadores lógicos y tablas de
verdad. Conjuntos, operaciones. Aplicaciones. Relaciones binarias. Producto cartesiano.
Estructuras algebraicas.
Tema 2: ESPACIOS VECTORIALES
Espacio afín.- Vectores en dos y tres dimensiones.- Definición de espacio vectorial.
Subespacios vectoriales.- Espacios vectoriales cocientes. Intersección y suma de
subespacios vectoriales.- Dependencia e independencia lineal.- Bases en un espacio
vectorial. Dimensión.- Dimensión de un subespacio.
Tema 3: ESPACIO AFÍN
Ecuaciones de un subespacio afín.- Coordenadas en un espacio afín. Cambio de
coordenadas.- Conjuntos convexos.- Producto escalar. Normas, distancias.- Desigualdad
de Cauchy-Schwarz.- Ortogonalidad, base ortonormal. Método de Gram-Schmidt.Complemento ortogonal.- Espacio vectorial Euclídeo.
Tema 4: APLICACIONES LINEALES
Transformaciones y aplicaciones lineales.- Núcleo e imagen.- Rango de una aplicación
lineal.- El espacio vectorial L(E,F).- Composición de aplicaciones lineales. Dual de un
espacio vectorial.- Aplicaciones y formas bilineales. Formas multilineales.
Tema 5: MATRICES
Definición de matriz. Matrices sobre un cuerpo K.- Operaciones con matrices. Espacio
vectorial de las matrices m x n.- Producto de matrices.- Anillo de las matrices
cuadradas.- Matriz inversa de una matriz dada. Traspuesta de una matriz. Propiedades.Cambio de base.- Matrices equivalentes. Matrices semejantes.
Tema 6: DETERMINANTES
Signatura de una permutación, sustituciones. Formas multilineales alternadas.Determinante de una aplicación lineal de E en E. Determinante de una matriz cuadrada.Calculo de un determinante por bloques.- Determinante de un producto de matrices.Desarrollo de un determinante por los elementos de una fila o columna. Cálculo de un
determinante.
Tema 7: INVERSA DE UNA MATRIZ
Cálculo de rango de una matriz.- Cálculo de la inversa de una matriz.- Método de Gauss.
Tema 8: MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL
Matriz de una aplicación lineal. Endomorfismos.- Relación de las operaciones entre
aplicaciones lineales y matrices.- Efecto de un cambio de base en la matriz de una
aplicación lineal.- Matrices especiales.- Matriz de una forma bilineal.
Tema 9: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de ecuaciones lineales.- Teorema de Rouché-Frobenius. Regla de Cramer.Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos.
Tema 10: DIAGONALIZACION DE MATRICES
Matrices cuadradas y Endomorfismos.- Vectores propios y valores propios.- Ecuación
característica y Polinomio característico.- Subespacios propios. Teorema de CayleyHamilton.- Endomorfismos y matrices diagonalizables. Condiciones necesarias y
suficientes.- Introducción a la forma reducida de Jordan
Tema 11: FORMAS CUADRÁTICAS
Formas bilineales simétricas.- Formas cuadráticas.- Reducción de una forma cuadrática
a suma de cuadrados.- Ley de inercia de las formas cuadráticas.- Formas cuadráticas
definidas.- Clasificación del las formas cuadráticas. Clasificación de Jacobi.- Formas
cuadráticas restringidas.
Tema 12: CONCEPTOS TOPOLOGICOS
Normas y distancias. Concepto de espacio métrico.- Puntos de acumulación. Conjuntos
abiertos, conjuntos cerrados.- Teorema de Bolzano-Weierstrass. Teorema de
recubrimiento de Heine-Borel. Conjuntos compactos.
Tema 13: SUCESIONES DE NÚMEROS REALES
Sucesiones de números reales. Límite de una sucesión.- Criterios de convergencia.Sucesiones de Cauchy. Sucesiones monótonas.- Cálculo de límites. Infinitésimos e
infinitos. Indeterminaciones- Espacio métrico completo. Completitud de un espacio.
Tema 14: SERIES NUMÉRICAS
Definición de serie numérica.- Series convergentes y divergentes.- Resto en una serie y
convergencia.- Criterio de convergencia de Cauchy.- Comparación de series de términos
positivos.- Convergencia absoluta.- Series alternadas.- Criterios de convergencia de
Dirichlet y Abel.
Tema 15: FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL
Función de una variable real.- Representación gráfica.- Limite de una función.- Álgebra
de los límites. Teoremas sobre limites.- Continuidad de una función de variable real.Continuidad de una función compuesta. Continuidad global.- Teorema de Bolzano para
funciones continuas. Propiedades de las funciones continuas.- Función inversa de una
función continua monótona.- Funciones uniformemente continuas.
Tema 16: DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL
Derivada de una función de variable real.- Interpretación geométrica.- Continuidad y
derivabilidad.- Derivadas laterales.- Definición de diferencial.- Álgebra de las derivadas
y las diferenciales.- Derivadas sucesivas. Regla de la cadena.- Derivada de una función
compuesta. Derivada de inversa de una función.
Tema 17: TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES
Teorema de Rolle. Teoremas de valor medio.- Regla de L'Hospital.- Extremos de una
función de variable real.- Funciones convexas. Convexidad y concavidad. Puntos de
inflexión.
Tema 18: INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL
Concepto de integral para funciones en escalera.- Integral de funciones continuas.Primitivas. Integral indefinida.- Propiedades de la integral. Integración por partes.
Cambios de variable.- Integrales de funciones racionales, irracionales y transcendentes.
Tema 19: FORMULA DE TAYLOR. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES.
Aproximación de una función por polinomios.- Fórmula de Taylor con resto. Resto de
Lagrange.- Estudio de la variación de una función en el entorno de un punto.
Determinación de los extremos de una función de una variable real.
Tema 20: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES
Funciones de varias variables reales: campos escalares y campos vectoriales.Funciones vectoriales de variable real.- Representación geométrica de las funciones de
dos variables reales. Líneas y superficies de nivel.- Límites y continuidad de funciones
de varias variables.- Límites y continuidad de funciones vectoriales.
Tema 21: DERIVADAS PARCIALES.
Derivada parcial. Interpretación geométrica.- Derivada de un función compuesta.Derivadas parciales sucesivas. Teorema de Schwarz.- Fórmula de Taylor. Extremos de
funciones de dos o más variables.- Multiplicadores de Lagrange.- Programas sin
restricciones.- Programas con restricciones de igualdad.
Tema 22: DERIVADAS DIRECCIONALES
Derivada de una función en la dirección de un vector. Derivada direccional.- Teorema de
valor medio.- Derivada en un campo vectorial. Matriz Jacobiana.
Tema 23: FUNCIONES DIFERENCIABLES
Definición de diferencial para funciones de varias variables.- Diferencial de una función
de varias variables. Gradiente. Propiedades.- Condición suficiente de diferenciabilidad.Diferencial de funciones compuestas. Regla de la cadena.- Diferencial de funciones
vectoriales.- Diferencial de funciones vectoriales compuestas.Regla de la cadena.Teorema de la función inversa.
Tema 24: FUNCIONES IMPLÍCITAS
Función implícita. Derivadas y diferenciales de funciones implícitas.- Teorema de
existencia de la función implícita.- Sistemas de funciones implícitas.
Tema 25: FUNCIONES HOMOGÉNEAS
Polinomios y funciones homogéneas.- Propiedad de las funciones homogéneas. Fórmula
de Euler.
BIBLIOGRAFÍA:
APOSTOL, Tom. M. (1989), Calculus I Y II, ed. Reverté, Barcelona.
BARBOLLA, Rosa; SANZ, Paloma (1998), Álgebra lineal y teoría de matrices ,
ed. Prentice Hall, Madrid.
CABALLERO FERNANDEZ, R. E., et al. (2000), Matemáticas aplicadas a la
economía y a la empresa, ed. Pirámide, Madrid.
DIXMIER, J. (1977), Matemáticas generales I y II, ed. Aguilar, Madrid.
LENTIN, A. y RIVAUD, J. (1976), Álgebra moderna, ed. Aguilar, Madrid.
Problemas:
AYRES, Frank (1993), Cálculo diferencial e integral, ed. McGraw Hill,
Madrid.
LIPSCHUTZ, Seymour (1993), Álgebra lineal ed. McGraw-Hill, Madrid.