Download 1.4Negación de proposición

UNIVERDIDAD JUÁREZ AUTÓNOMA DE TABASCO
DIVISIÓN ACADÉMICA DE CIENCIAS BIOLÓGICAS
PENSAMIENTO MATEMÁTICO
LICENCIATURA:
Biología
TEMA:
UNIDAD: ELEMENTOS DE LOGICA
TRABAJO QUE PRESENTA:
Verónica Rodríguez montejo
Lic; Filemón Baeza Vidal
VILLAHERMOSA, TABASC0, MÉXICO
15 DE FEBREO DE 2010
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| verónica rodríguez montejo
INDICE
UNIDAD 1 PENSAMIENTO MATEMATICO
Introducción…………………………………………………………………………
……3
1.1 Elementos que componen un lenguaje
formal………………………………………3 1.1.2Ejemplos de
lenguajes formales ………………………………………………..4
1.1.3Especificación de lenguajes
formales……………………………………………4
1.2 Símbolo,………………………………………………………………………………..
…………………………………………..4
1.2.1 Definición
……………………………………………………………………………………………………
……. …4
1.2.2
axioma…………………………………………………………………………………………
…………………….., 5
1.2.3proposición……………………………………………………………………
..,7
1.2.4
teorema……………………………………………………………………….12
1.2.5corolario………………………………………………………………………
13
1.3 El lenguaje
matemático……………………………………………………………… 13
1.4Negacion de
proposición………………………………………………………………15
1.5
Cuantificadores……………………………………………………………………………
……………………………….. 15
1.5.1 Para todo
1.5.2 Existe
1.6 Conectivos lógicos entre
proposiciones……………………………………………………………………………..1
5
2
| verónica rodríguez montejo
1.6.1
Disyunción……………………………………………………………………………………
…………………..19
1.6.2
Conjunción……………………………………………………………………………………
…………………18
1.6.3
Implicación………………………………………………………………21
1.6.4
Equivalencia………………………………………………………………26
Conclusión
………………………………………………………………………………26
INTRODUCCION
Esta unidad está diseñada para expresar, aprender usos y
definiciones para lo cual se aplicaran en las tablas de verdad, y
proposiciones entre otras cosas.
1.1Lenguaje formal
En matemáticas, lógica, y ciencias de la computación, un lenguaje
formal es un lenguaje cuyos símbolos primitivos y reglas para unir esos
símbolos están formalmente especificados.1 Al conjunto de los símbolos
primitivos se lo llama el alfabeto (o vocabulario) del lenguaje, y al
conjunto de las reglas se lo llama la gramática formal (o sintaxis). A una
cadena de símbolos formada de acuerdo a la gramática se la llama una
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fórmula bien formada (o palabra) del lenguaje. Estrictamente hablando,
un lenguaje formal es idéntico al conjunto de todas sus fórmulas bien
formadas. A diferencia de lo que ocurre con el alfabeto (que debe ser un
conjunto finito) y con cada fórmula bien formada (que debe tener una
longitud también finita), un lenguaje formal puede estar compuesto por
un número infinito de fórmulas bien formadas.
Por ejemplo, un alfabeto podría ser el conjunto {a,b}, y una gramática
podría definir a las fórmulas bien formadas como aquellas que tienen el
mismo número de símbolos a que b. Entonces, algunas fórmulas bien
formadas del lenguaje serían: ab, ba, abab, ababba, etc.; y el lenguaje
formal sería el conjunto de todas esas fórmulas bien formadas.
Para algunos lenguajes formales existe una semántica formal que puede
interpretar y dar significado a las fórmulas bien formadas del lenguaje.
Sin embargo, una semántica formal no es condición necesaria para
definir un lenguaje formal, y eso es una diferencia esencial con los
lenguajes naturales.
En algunos lenguajes formales, la palabra vacía (esto es, la cadena de
símbolos de longitud cero) está permitida, notándose frecuentemente
mediante , o .

1.1.2Ejemplos de lenguajes formales
Un conjunto de todas las palabras sobre
.
El conjunto
es un número primo.
El conjunto de todos los programas sintácticamente válidos en un
determinado lenguaje de programación.
El conjunto de todas las fórmulas bien formadas en la lógica de
primer orden.




1.1.3Especificación de lenguajes formales
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Los lenguajes formales se pueden especificar de una amplia variedad de
formas, como por ejemplo:
Cadenas producidas por una gramática formal (véase Jerarquía de
Chomsky).
Cadenas producidas por una expresión regular.
Cadenas aceptadas por un autómata, tal como una máquina de
Turing.



1.2.Símbolo
Un símbolo es la representación perceptible de una idea, con rasgos
asociados por una convención socialmente aceptada. Es un signo sin
semejanza ni contigüidad, que solamente posee un vínculo convencional
entre su significante y su denotado, además de una clase intencional
para su designado. El vínculo convencional nos permite distinguir al
símbolo del icono como del índice y el carácter de intención para
distinguirlo del nombre. Los símbolos son pictografías con significado
propio. Muchos grupos tienen símbolos que los representan; existen
símbolos referentes a diversas asociaciones culturales: artísticas,
religiosas, políticas, comerciales, deportivas, etc.
Símbolo científico-técnico
En el ámbito científico y técnico, el símbolo es una abreviación
constituida por signos o letras que difieren de la abreviatura por carecer
de punto. Tal es el caso de los símbolos químicos (ej. C, O, H20, C4H10),
matemáticos (ej.
), las unidades (ej. m, kg, cd), los
puntos cardinales (ej. N, O), los símbolos de monedas (ej. $, €),
etcétera, y cuyo fin fundamental es simplificar la escritura y la
trasmisión de las ideas y el conocimiento.
1.2.1Definición
Una definición es una proposición que trata de exponer con claridad y
exactitud las características específicas y diferenciadoras de algo
material o inmaterial.
Definición en sentido clásico
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La doctrina clásica aristotélica establece que, como norma general, una
definición ha de incluir el género y la diferencia específica, es decir, la
clase de objetos a la que pertenece lo definido, y las características que
lo diferencian de esa clase de objetos. Por ejemplo, en la definición de
lápiz (instrumento de escritura formado por una barra de grafito
envuelta en madera), la primera parte (instrumento de escritura...) es el
género, y la segunda (...formado por una barra de grafito envuelta en
madera) es la diferencia específica.
Las principales reglas aristotélicas para hacer una definición son:
un concepto será definido por medio de la mayor aproximación
posible a su tipificación (de género y especie), y diferenciación.
la diferenciación debe ser una característica o grupo de
características que estén presentes.


1.2.2Axioma
Un axioma, en epistemología, es una "verdad evidente" que no requiere
demostración, pues se justifica a sí misma, y sobre la cual se construye
el resto de conocimientos por medio de la deducción; aunque, no todos
los epistemólogos están de acuerdo con esta definición "clásica". El
axioma gira siempre sobre sí mismo, mientras los postulados y
conclusiones posteriores se deducen de éste.
En matemática, un axioma no es necesariamente una verdad evidente,
sino una expresión lógica utilizada en una deducción para llegar a una
conclusión.

Etimología
La palabra axioma proviene del griego αξιωμα (axioma), que significa "lo
que no parece justo" o aquello que es considerado invidente y sin
necesidad de demostración. La palabra viene del griego αξιοειν (axioein)
que significa "valorar", que a su vez procede de αξιος (axios) que
significa "valuable" o "digno". Entre los antiguos filósofos griegos, un
axioma era aquello que parecía ser verdadero sin ninguna necesidad de
prueba.
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Lógica
La lógica del axioma es partir de una premisa calificada verdadera por sí
misma (el axioma) e inferir sobre esta otras proposiciones por medio del
método deductivo, obteniendo conclusiones coherentes con el axioma.
Los axiomas han de cumplir sólo un requisito: de ellos, y sólo de ellos,
han de deducirse todas las demás proposiciones de la teoría dada.
Matemáticas
En lógica matemática, un axioma no es necesariamente una verdad
evidente, sino una expresión lógica utilizada en una deducción para
llegar a una conclusión. En matemática se distinguen dos tipos de
axiomas: axiomas lógicos y axiomas no-lógicos.
Axioma es un enunciado aceptado como cierto, el cual contiene términos
no definidos (punto, elemento, conjunto y otros conceptos primitivos a
los cuales no hay forma de definirlos sino con ellos mismos).
Axiomas lógicos
Éstas son ciertas fórmulas en un lenguaje que son universalmente
válidas, esto es, fórmulas que son satisfechas por cualquier estructura y
por cualquier función variable, en términos coloquiales, éstos son
enunciados que son verdaderos en cualquier universo posible, bajo
cualquier interpretación posible y con cualquier asignación de valores.
Usualmente uno toma como axiomas lógicos un conjunto mínimo de
tautologías que es suficiente para probar todas las tautologías en el
lenguaje.
Ejemplos
En el cálculo proposicional es común tomar como axiomas lógicos todas
las fórmulas siguientes, donde , , y pueden ser cualquier fórmula en
el lenguaje:
1.
2.
3.
Cada uno de estos patrones es un esquema de axiomas, una regla para
generar un número infinito de axiomas. Por ejemplo, si A, B, y C son
variables proposicionales, entonces
y
son instancias del esquema 1 y por lo
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tanto son axiomas. Puede probarse que con solamente estos tres
esquemas de axiomas y la regla de inferencia modus ponens, alguien
puede probar todas las tautologías del cálculo proposicional, también
puede probarse que ningún par de estos esquemas es suficiente para
probar todas las tautologías utilizando modus ponens. Este conjunto de
esquemas axiomáticos también es utilizado en el cálculo de predicados
pero son necesarios más axiomas lógicos.
Ejemplo: Sea un lenguaje de primer orden. Para cada variable
fórmula
es universalmente valida.
, la
Esto significa que, para cualquier símbolo variable , la fórmula
puede considerarse un axioma. Para no caer en la vaguedad o en
una serie infinita de "nociones primitivas", primeramente se necesita ya
sea una idea de lo que queremos decir con
o un definir un uso
puramente formal y sintáctico del símbolo , y de hecho, la lógica
matemática lo hace.
Axiomas no-lógicos
Los Axiomas no-lógicos son fórmulas específicas de una teoría y se
aceptan solamente por acuerdo. Razonando acerca de dos estructuras
diferentes, por ejemplo, los números naturales y los números enteros
puede involucrar a los mismos axiomas lógicos, sin embargo, los
axiomas no-lógicos capturan lo que es especial acerca de una estructura
en particular (o un conjunto de estructuras). Por lo tanto los axiomas
no-lógicos, a diferencia de los axiomas lógicos, no son tautologías. Otro
nombre para los axiomas no-lógicos es postulado.
Casi cualquier teoría matemática moderna se fundamenta en un
conjunto de axiomas no-lógicos, se pensaba que en principio cualquier
teoría puede ser axiomatizada y formalizada, posteriormente esto se
demostró imposible.
En el discurso matemático a menudo se hace referencia a los axiomas
no-lógicos simplemente como axiomas, esto no significa que sean
verdaderos en un sentido absoluto. Por ejemplo en algunos grupos, una
operación puede ser conmutativa y esto puede ser afirmado
introduciendo un axioma adicional, pero aún sin la introducción de este
axioma se puede desarrollar la teoría de grupos e incluso se puede
tomar su negación como un axioma para estudiar los grupos noconmutativos.
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Un axioma es el elemento básico de un sistema de lógica formal y junto
con las reglas de inferencia definen un sistema deductivo.
1.2.3PROPOSICION
En el idioma científico, una proposición se refiere a un enunciado que
puede ser verdadero o falso, generalmente una oración enunciativa,
base de lo que constituye el lenguaje formal de la lógica simbólica.
Una proposición lógica es Expresión enunciativa a la que puede
atribuirse un sentido o función lógica de verdad o falsedad.
Aunque existen lógicas polivalentes, en orden a la claridad del concepto,
aquí consideramos únicamente el valor de Verdad o Falsedad.
Otro tipo de entes que se utilizan en computación que también está
asociado a “dos” opciones, es lo que se conoce como expresiones
booleanas. Estas expresiones, que deben su nombre a George Boole, se
pueden ver caracterizadas como verdaderas ó falsas y de acuerdo a esta
condición se desarrolla el estudio sobre dichos conceptos. Este tema se
conoce como cálculo de proposiciones.
Un enunciado lingüístico (generalmente en la forma gramatical de una
oración enunciativa) puede ser considerado como proposición lógica
cuando es susceptible de ser verdadero o falso. “Es de noche”.Son A
,Ante ,bajo ,con ,contra ,de ,desde ,durante ,en ,entre ,hacia ,hasta
,para ,por ,segun ,sin ,sobre y tras
Los argumentos son una de las formas más comunes en matemáticas,
en lógica y en computación de establecer razonamientos para llegar a la
verdad. Si tenemos un conectivo lógico OR de dos valores de entrada y
después un inversor, cuál es la salida. O si en un programa con una
instrucción tipo if se tiene la condición X > 3 and X < 10 cómo se sabe
si se ejecutó el comando.
Desarrollo.
La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de
razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y
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técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El
razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar
teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no
correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar
conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida
cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa
en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier
actividad.
Proposiciones y operaciones lógicas.
Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o
verdadera pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento
fundamental de la lógica matemática.
A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no
válidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones.
Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos
puntos y la proposición propiamente dicha. Ejemplo.
p: La tierra es plana.
q: −17 + 38 = 21
r: x > y-9
s: El Morelia será campeón en la presente temporada de Fut-Bol.
t: Hola ¿como estas?
w: Lava el coche por favor.
Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o
verdadero; por lo tanto son proposiciones validas. El inciso r también es
una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende
del valor asignado a las variables x y y en determinado momento. La
proposición del incisos también está perfectamente expresada aunque
para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que
terminara la temporada de fut-boll. Sin embargo los enunciados t y w no
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son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno
de ellos es un saludo y el otro es una orden.
Conectivos lógicos y proposiciones compuestas.
Existen conectores u operadores lógicas que permiten formar
proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los
operadores o conectores básicos son:
Operador and (y)
Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para
que se pueda obtener un resultado verdadero. Si símbolo es: {Ù, un
punto (.), un paréntesis}. Se le conoce como la multiplicación lógica:
Ejemplo.
Sea el siguiente enunciado “El coche enciende cuando tiene gasolina en
el tanque y tiene corriente la batería” Sean:
p: El coche enciende.
q: Tiene gasolina el tanque.
r: Tiene corriente la batería.
De tal manera que la representación del enunciado anterior usando
simbología lógica es como sigue:
p=qÙr
Su tabla de verdad es como sigue:
qrp=qÙr
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
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Dónde.
1 = verdadero
0 = falso
En la tabla anterior el valor de q=1 significa que el tanque tiene
gasolina, r=1 significa que la batería tiene corriente y p = q Ù r=1
significa que el coche puede encender. Se puede notar que si q o r valen
cero implica que el auto no tiene gasolina y que por lo tanto no puede
encender.
Operador Or (o)
Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de
las proposiciones es verdadera. Se eindica por medio de los siguientes
símbolos: {Ú,+,È}. Se conoce como las suma lógica. Ejemplo.
Sea el siguiente enunciado “Una persona puede entrar al cine si compra
su boleto u obtiene un pase”. Donde.
p: Entra al cine.
q: Compra su boleto.
r: Obtiene un pase.
qrp=qÙr
1
1
0
0
q
1
0
1
0
r
1
0
0
0
La única manera en la que no puede ingresar al cine (p=0), es que no
compre su boleto (q=0) y que no obtenga un pase (r=0).
p =q Ú r
111
101
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011
000
Operador Not (no)
Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna
proposición es verdadera y se le aplica el operador not se obtendrá su
complemento o negación (falso). Este operador se indica por medio de
los siguientes símbolos: {‘, Ø,-}. Ejemplo.
La negación de está lloviendo en este momento (p=1), es no está
lloviendo en este momento (p’=0)
p p’
10
01
Además de los operadores básicos (and, or y not) existe el operador
xor, cuyo funcionamiento es semejante al operador or con la diferencia
en que su resultado es verdadero solamente si una de las proposiciones
es cierta, cuando ambas con verdad el resultado es falso.
PROPOSICIÓN LÓGICA.
Es cualquier expresión que puede ser verdadera o falsa pero nunca
ambas.
PROPOSICIÓN ABIERTA
Una expresión que contiene una o mas variables y al sustituir las
variables por valores específicos se obtienen una proposición lógica.
viii) Los cocodrilos pueden volar
Proposición Lógica
ix) Las matemáticas son agradables Proposición Abierta
x) Esta expresión es falsa
Frase
1.2.4Teorema
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Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada como
verdadera dentro de un marco lógico. Demostrar teoremas es el asunto
central en la matemática.
Un teorema generalmente posee un número de condiciones que deben
ser enumeradas o aclaradas de antemano y que se denominan
respuesta. Luego existe una conclusión, una afirmación matemática, la
cual es verdadera bajo las condiciones en las que se trabaja. El
contenido informativo del teorema es la relación que existe entre la
hipótesis y la tesis o conclusión.
Se llamará corolario a una afirmación lógica que sea consecuencia
inmediata de un teorema, pudiendo ser demostrada usando las
propiedades del teorema previamente demostrado
Terminología
En matemática una afirmación debe ser interesante o importante dentro
de la comunidad matemática para ser considerada un teorema. Las
afirmaciones menos importantes se denominan:
Lema: una afirmación que forma parte de un teorema más largo.
Por supuesto, la distinción entre teoremas y lemas es arbitraria. El
Lema de Gauss y el Lema de Zorn, por ejemplo, son considerados
demasiado importantes per se para algunos autores, por lo cual
consideran que la denominación lema no es adecuada.
Corolario: una afirmación que sigue inmediatamente a un
teorema. Una proposición A es un corolario de una proposición o
teorema B si A puede ser deducida sencillamente de B.
Proposición: un resultado no asociado a ningún teorema en
particular.



Una afirmación matemática que se cree verdadera pero no ha sido
demostrada se denomina conjetura o hipótesis. Por ejemplo: la
conjetura de Goldbach o la hipótesis de Riemann.
Teoremas dentro de la lógica matemática
Un teorema requiere de un marco lógico; este marco consistirá en un
conjunto de axiomas (Véase también: sistema axiomático) y un
proceso de inferencia, el cual permite derivar teoremas a partir de los
axiomas y teoremas que han sido derivados previamente.
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| verónica rodríguez montejo
En lógica matemática y en lógica proposicional, cualquier afirmación
demostrada se denomina teorema. Más concretamente en lógica
matemática se llama demostración a una secuencia finita de fórmulas
lógicas bien formadas F1, ...,Fn, tales que cada Fi es o bien un axioma o
bien un teorema que se sigue de dos fórmulas anteriores Fj y Fk (tales
que j<i y k<i) mediante una regla de deducción. Dada una demostración
como la anterior si elemento final Fn no es un axioma entonces es un
teorema.
Resumiendo lo anterior puede decirse formalmente, un teorema es una
fórmula bien formada, que no es un axioma, y que puede es el elemento
final de alguan demostración, es decir, un teorema es una fórmula
lógica bien formada para la cuale existe una demostración.
1.2.5 COROLARIO
1. Corolario.- En un triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es
igual al cuadrado de la hipotenusa menos el cuadrado del otro cateto.
a2 = c2 - b2
b2 = c2 - a2
2. Corolario.- En un triángulo rectángulo isósceles, el cuadrado de la
hipotenusa es igual al duplo del cuadrado de un cateto.
c2 = a2 + b2
pero como b = a
entonces c2 = 2a2
ó
c2 = 2b2
1.3 Lenguaje matematico
Las matemáticas o la matemática (del lat. mathematĭca, y éste del
gr. μαθηματικά, derivado de μάθημα, conocimiento) es una ciencia que,
a partir de notaciones básicas exactas y a través del razonamiento
lógico, estudia las propiedades y relaciones cuantitativas entre los entes
abstractos (números, figuras geométricas, símbolos).2 Mediante las
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matemáticas conocemos las cantidades, las estructuras, el espacio y los
cambios. Los matemáticos buscan patrones,3 4 formulan nuevas
conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante rigurosas
deducciones. Éstas les permiten establecer los axiomas y las
definiciones apropiados para dicho fin.5
Existe cierto debate acerca de si los objetos matemáticos, como los
números y puntos, realmente existen o si provienen de la imaginación
humana. El matemático Benjamin Peirce definió las matemáticas como
"la ciencia que señala las conclusiones necesarias".6 Por otro lado, Albert
Einstein declaró que "cuando las leyes de la matemática se refieren a la
realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se refieren a la
realidad".7
Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las
matemáticas han evolucionado basándose en las cuentas, el cálculo y
las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el
movimiento de los objetos físicos. Las matemáticas, desde sus
comienzos, han tenido un fin práctico (véase: Historia de la
matemática). Las explicaciones que se apoyaban en la lógica
aparecieron por primera vez con la matemática helénica, especialmente
con los Elementos de Euclides. Las matemáticas siguieron
desarrollándose, con continuas interrupciones, hasta que en el
Renacimiento las innovaciones matemáticas interactuaron con los
nuevos descubrimientos científicos. Como consecuencia, hubo una
aceleración en la investigación que continúa hasta la actualidad.
Hoy en día, las Matemáticas se usan en todo el mundo como una
herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran
las ciencias naturales, la ingeniería, la medicina y las ciencias sociales, e
incluso disciplinas que, aparentemente, no están vinculadas con ella,
como la música (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica).
Las matemáticas aplicadas, rama de las matemáticas destinada a la
aplicación de los conocimientos matemáticos a otros ámbitos, inspiran y
hacen uso de los nuevos descubrimientos matemáticos y, en ocasiones,
conducen al desarrollo de nuevas disciplinas. Los matemáticos también
participan en las matemáticas puras, sin tener en cuenta la aplicación de
esta ciencia, aunque las aplicaciones prácticas de las matemáticas puras
suelen ser descubiertas con el paso del tiempo.8
Etimología
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| verónica rodríguez montejo
La palabra "matemática" (del griego μαθηματικά, «lo que se aprende»)
viene del griego antiguo μάθημα (máthēma), que quiere decir «campo
de estudio o instrucción». El significado se contrapone a μουσική
(musiké) «lo que se puede entender sin haber sido instruido», que
refiere a poesía, retórica y campos similares, mientras que μαθηματική
se refiere a las áreas del conocimiento que sólo pueden entenderse tras
haber sido instruido en las mismas (astronomía, aritmética).9 Aunque el
término ya era usado por los pitagóricos en el siglo VI a. C., alcanzó su
significado más técnico y reducido de "estudio matemático" en los
tiempos de Aristóteles (siglo IV a. C.). Su adjetivo es μαθηματικός
(mathēmatikós), "relacionado con el aprendizaje", lo cual, de manera
similar, vino a significar "matemático". En particular, μαθηματική τέχνη
(mathēmatikḗ tékhnē; en latín ars mathematica), significa "el arte
matemática".
La forma plural matemáticas viene de la forma latina mathematica
(Cicerón), basada en el plural en griego τα μαθηματικά (ta
mathēmatiká), usada por Aristóteles y que significa, a grandes rasgos,
"todas las cosas matemáticas".
1.4Negación de proposición
Una proposición es cualquier enunciado lógico al que se le pueda
asignar un valor de verdad (1) o falsedad (0).
Dada una proposición p, se define la negación de p como la
proposición p' que es verdadera cuando p es falsa
y que es falsa cuando p es verdadera. Se lee "no p".
A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden
efectuar diversas operaciones lógicas para construir
nuevas proposiciones; en este caso, se necesita conocer su valor
de verdad o falsedad en función de los valores de
las proposiciones de que se componen, lo cual se realiza a través
de las tablas de verdad de dichas operaciones.
Por ejemplo, la tabla de verdad de la negación es la siguiente:
17
p
p'
1
0
| verónica rodríguez montejo
0
1
1.5Cuantificador
En Teoría de conjuntos, un cuantificador se utiliza para indicar cuántos
elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Existen
tres tipos de cuantificadores, cuyas características resumimos en la
siguiente tabla:
Cuantificador universal

Para todo x, y...
Cuantificador existencial

Existe/n por lo menos un/os x, y...
Cuantificador existencial único

Existe un único x, y...
Negación del cuantificador existencial

No existe ningún x, y...
Declaraciones cuantificadas
Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma:

Para todo x que pertenece a R, se cumple que 2x pertenece a R.
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| verónica rodríguez montejo

Para todo a que pertenece a R, existe x que pertenece a R, que esta
comprendido entre a y a+1.

Para todo a que pertenece a R diferente de cero, existe un único x que
pertenece a R, que cumple que a por x es igual a 1.
1.6CONECTIVOS LÓGICOS.
Una proposición es compuesta si se puede partir en partes constitutivas
que son a su vez proposiciones simples y están unidas por conectivos
lógicos.Comenzamos por hacer abstracciones de ciertas propiedades del
lenguaje informal. En particular hacemos abstracción de las propiedades
lógicas de las conectivas con las cuales combinamos proposiciones
simples para formar proposiciones compuestas. Tenemos que hacer
reglas precisas sobre el modo como estas conectivas combinan
proposiciones y, para construir un álgebra necesitamos tener una
manera simbólica de representar las proposiciones simples y también las
conectivas. No debemos olvidar que dentro de la esfera de la lógica
tradicional, calcada sobre un gramaticismo un tanto confuso y discutible,
el lenguaje corriente presenta ambigüedades. Por eso, en la lógica
moderna se trata de simplificar y de purificar el lenguaje lógico de todo
elemento que se preste a confusiones y de que, por la tanto, de lugar a
malentendidos. Veamos por ejemplo, como ejemplo, lo siguiente: Si
quisiéramos expresar en términos de lógica simbólica la siguiente
expresión
Lenguaje natural: "Pancho es un artista de cine y María se enojó"
Se traduciría en lenguaje simbólico en "p ^ q", en donde:
p = Pancho es un artista de cine
q = María se enojo
^ = conjunción conectiva "y"
Por lo pronto vamos a considerar las siguientes conectivas (conectores
lógicos), signos de importancia para el manejo de las traducciones al
simbolismo lógico, así como para la determinación de verdad o falsedad
de las proposiciones. El término "conectivas" se refiere a ciertas
conjunciones lógicas que gobiernan las distintas fórmulas lógicas.
19
| verónica rodríguez montejo
Recordemos lo siguiente, según Moisés Chong: "llamamos
proposiciones coligativas a aquellas proposiciones compuestas, es
decir, son proposiciones que consisten en la unión de dos o más
proposiciones", Y así, como se vio en el ejemplo anterior, la unión de las
proposiciones componentes se efectúa mediante las conjunciones. La
característica fundamental de toda proposición coligativa es que su
verdad depende de la verdad de las proposiciones coligadas. He aquí las
conectivas más corrientes:
La negación
La conjunción
La disyunción inclusiva
La disyunción exclusiva
La condicional
La bicondicional
CONECTIVOS LÓGICOS Y TABLA DE VERDAD.
A partir de los conectores u operadores lógicos, listado anteriormente,
es posible formar proposiciones compuestas (formadas por varias
proposiciones simples y conectadas entre sí por los conectores lógicos),
sin embargo los criterios de verdad resultantes de los operadores lógicos
están regidos por determinadas reglas de la lógica booleana que
señalaremos a en forma posterior.
Pero para ser más preciso es necesario tener en cuenta que las
proposiciones simples están determinadas por condiciones dialécticas de
tiempo y espacio. Por ejemplo si se señala "llueve y no tengo paraguas",
al construir la tabla de verdad es necesario resolver ¿en dónde? y
¿cuándo? La afirmación "llueve" se entiende en que es en ese momento
y ese lugar y con una simple mirada al cielo sabemos si es cierto o falso.
Hechas estas observaciones pasamos a revisar las reglas específicas que
rigen a cada conector lógico.
LA NEGACIÓN
La negación se simboliza, generalmente por el signo "~". Este signo
puede ser traducido en palabras, así: "no es el caso que" o, más
brevemente, "no".
A partir de la teoría de conjuntos, establecimos si un elemento
pertenece o no a un conjunto y se señaló que si no es elemento del
conjunto, entonces es elemento del conjunto complemento. Por tanto la
negación se refiere al conjunto complemento.
Se establece el siguiente principio para la negación lógica: la negación
de un enunciado verdadero es falsa; la negación de un enunciado falso
es verdadero. Lo que equivale a decir que la negación de la negación de
una proposición verdadera es verdadera; y la negación de la negación
de una proposición falsa es falsa. Además la conectiva no es la única de
tipo singular del listado de conectores lógicos señalado anteriormente.
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p ~p
V F
F
1.6.2LA CONJUNCIÓN.
La conjunción es el operador correspondiente al término "y", siendo su
símbolo más corriente el siguiente, "^", se le conoce como la
multiplicación lógica. Expresado en el lenguaje matemático, la
conjunción está regida por la ley asociativa, "(pq)r" equivale a decir
"pqr". Pero también es de carácter conmutativo: "pq" y "qp" son
irrelevantes en su orden.
La regla para establecer los criterios de verdad de la conectiva lógica
conjunción es la siguiente:
Una conjunción de enunciados en los cuales todos son verdaderos, es
verdadera
Una conjunción de enunciados en donde no todos son verdaderos es
falsa.
Lo que equivale a decir que basta que uno de sus componentes sea falsa
para que toda la proposición sea falsa y sólo será verdadera en el caso
de que ambos componentes lo sean.
La expresado anteriormente se resumen simbólicamente de la siguiente
manera:
P
q
p^
q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Ejemplo:
Sea el siguiente enunciado "el auto enciende cuando tiene gasolina en el
tanque y tiene corriente en la batería"
Sean:
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p= tiene gasolina el tanque
q = tiene corriente la batería
r = el auto enciende = p ^ q
La conclusión resultante es que para que el auto encienda se debe tener
gasolina en el tanque y corriente en la batería, sino se tiene una de
estas dos condiciones el auto no arrancará.
1.6.1LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA
La disyunción inclusiva, llamada también, alternación, expresada
ordinariamente mediante la palabra "o", simbólicamente se le
representa por medio de la letra "v", colocada entre dos proposiciones.
Sin embargo, la "o" en este caso no tiene carácter de encrucijada o de
dilema, y se puede interpretar como " o uno u otro o ambos". Por
ciertas analogías con el álgebra se le llama también suma lógica. La
alternación posee, igualmente, la propiedad asociativa que consiste en
la no importancia de la agrupación en relación con la verdad o la
falsedad de una proposición dada. También es afectada por la ley
conmutativa de que el orden de las alternativas no afecta a la
alternación.
La regla de la tabla de verdad para esta conectiva lógica es la siguiente:
Una disyunción inclusiva es verdadera cuando por lo menos una de sus
alternativas es verdadera; solamente será falsa si las dos lo son.
La tabla de verdad del enunciado anterior es como sigue:
p
q
pv
q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Ejemplo:
Sea el siguiente enunciado "Una persona puede entrar al cine si compra
boleto u obtiene un pase"
Sean:
p= compra boleto
q = obtiene un pase
r = una persona entra al cine = p v q
La conclusión resultante es obvia, puesto que para entrar al cine es
necesario tener por lo menos una de las dos condiciones: comprar un
boleto o tener un pase, si se tiene ambas también se puede entrar, si no
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tengo ninguna de las dos alternativas entonces no se puede entrar al
cine.
LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
La disyunción exclusiva se simboliza pro el signo "v", corresponde a
la expresión " o uno u otro, pero no ambos a la vez". Una de las
propiedades de esta conectiva es la de ser conmutativa y la de poseer el
carácter asociativo. Se puede mostrar la equivalencia de los esquemas
proposicionales así como establecer que es inesencial la agrupación por
la cual optemos. Ejemplos de expresiones afines a esta conectiva son "
a menos que…" o "salvo que…"
La regla de la tabla de verdad para esta conectiva lógica es la siguiente:
Una disyunción exclusiva es verdadera cuando una de sus alternativas
es verdadera; y será falsa si las dos alternativas son falsas o
verdaderas.
La tabla de verdad del enunciado anterior es como sigue:
p
q
pv
q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
LA CONDICIONAL
La condicional, expresada por la frase "si,… entonces", se simboliza
mediante el signo "→" colocado entre las dos proposiciones.. La primera
proposición lleva el nombre de antecedente y la segunda proposición la
de consecuente. Algunos lógicos la denominan "proposición hipotética" o
"proposición implicativa". La importancia de esta clase de proposiciones
es la de que la utiliza frecuentemente en el lenguaje de las ciencias,
particularmente en la ciencia de la física y en la matemática. El
condicional, según veremos, es una conectiva para la cual importa el
orden de las cláusulas, esto es, se trata de un conector no
conmutativo. En este caso el antecedente es una condición suficiente
respecto del consecuente y el consecuente es una condición necesaria
respecto del antecedente.
La regla de la tabla de verdad para esta conectiva lógica es la siguiente:
La condicional será falsa sólo cuando el antecedente es verdadero y el
consecuente es falso, en los demás caso será verdadera.
La tabla de verdad del enunciado anterior es como sigue:
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p
q
p→
q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Ejemplo:
Si se tiene lo proposición "Si un cuerpo se calienta, entonces se dilata",
se observa que estamos diciendo es que la primera proposición "si el
cuerpo se calienta" implica a la segunda proposición " entonces se
dilata", pero no se afirma que el antecedente es verdadero, ni el
consecuente es verdadero, puede ser que el cuerpo no se calentó y el
cuerpo se dilato por causa de otros factores ajenos a la temperatura, un
golpe
LA BICONDICIONAL
La bicondicional, expresada por la frase "si y solo sí…", denotada por
el signo"↔", significa una relación bidireccional en donde ambas
proposiciones se necesitan entre sí.
La regla de la tabla de verdad para esta conectiva lógica es la siguiente:
La conectiva bicondicional será verdadera solamente si y solo si las dos
sentencias que la componen son a la vez verdaderas o si son ambas
falsas.
La expresado anteriormente se resumen simbólicamente de la siguiente
manera:
p
q
p
↔
q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
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1.6.3 Implicación
Etimológicamente del latín “in ─ plicare”, significa el hecho de algo que
está “plegado” o doblado en el interior de algo que oculta lo que hay en
su interior que, por tanto, aunque está, no es visible o perceptible.
Su contraposición se manifiesta en el término latino “explicare”. La
“explicación” es el hecho de desplegar lo que está plegado; sacar al
exterior, hacer visible, o comprensible, aquello que está “implicado” en
el interior de algo que lo hacía oculto o no comprensible.
La realidad del mundo como un orden implicado
La realidad del mundo no se nos manifiesta como un conjunto de cosas
o de hechos aislados, sino que, por el contrario, aparece como un
proceso, como un conjunto de hechos y de cosas relacionados entre sí
de forma que unos "dependen" de otros, unos hechos "suceden" a otros,
o suceden "siempre y cuando" se dé un orden de determinadas
circunstancias etc. etc.
Estas relaciones en las que unas cosas dependen de otras, o unos
hechos suceden a otros, solemos comprenderlas, de forma general, bajo
la idea de causa.1
El conocimiento del mundo lo elaboramos a través de unos datos
captados por los sentidos; y lo manejamos conceptual y
lingüísticamente y lo comunicamos a los demás según interpretamos la
realidad y "creemos" que conocemos el mundo como realidad.
Esta creencia en el modo de conocer el mundo como relación de causas,
la expresamos en el pensamiento y el lenguaje mediante las oraciones
hipotéticas u oraciones condicionales que en lógica se formalizan
lingüísticamente2 como:
"Si llueve el suelo está mojado"
"Cuando llueve el suelo está mojado"
"Siempre que llueve el suelo está mojado"
"Llueve, luego el suelo está mojado"
"Llueve, por tanto, el suelo está mojado" etc.
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Que de forma general vienen a decir que:
"El suelo está mojado porque llueve"
"La lluvia causa que el suelo esté mojado"
"El suelo está mojado a consecuencia de la lluvia"
"Todas las lluvias mojan el suelo"
En el cálculo lógico de deducción natural este tipo de
expresiones se formalizan simbólicamente como
que se leen e interpretan como más adelante se explica.
Al percibir algunas cosas o algunos hechos, "esperamos", "creemos",
que van a suceder otras; o "suponemos" que estas cosas suceden
porque antes han sucedido otras. En otras palabras damos por supuesto
que unas cosas implican otras y los hechos están implicados unos en
otros.
Esta implicación de las cosas y los hechos del mundo suceden no de
forma arbitraria sino de forma legal, conforme a leyes. El mundo se nos
manifiesta conforme a unas "leyes naturales" según las cuales las cosas
suceden así por "necesidad", porque tienen que ser así, y no de forma
arbitraria, "por voluntad de los dioses" o el "azar".
Al expresar nuestro conocimiento por medio del lenguaje, utilizamos
unas reglas gramaticales y lógicas que, aunque no las conozcamos, las
manejamos de forma inconsciente y natural. Pero mediante ellas,
creemos que conocemos y expresamos la realidad del mundo.
Pensamos que el conocimiento, cuando es una interpretación adecuada
de la realidad, es verdadero.
Luego reflexionamos que dicho conocimiento es producto de nuestra
interactuación con ella, la realidad, puesto que nosotros somos parte de
la misma y del mismo proceso, y esta reflexión es el fundamento del
pensamiento racional que da lugar a la ciencia y a la filosofía.3
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El conocimiento de la ciencia y de la reflexión filosófica supone una gran
depuración del conocimiento vulgar. De ahí que la noción de causa, de
implicación, de ley científica, la misma noción de experiencia en el
contexto científico y filosófico, aunque tengan el mismo fundamento que
la noción corriente, requiere un proceso de depuración o formalización
para adecuar las nociones lo mejor posible al contenido experimental
(que no es lo mismo que la experiencia) de las mismas4
El comprender la realidad del mundo en sus "implicaciones" se hace
mediante las "explicaciones" de la ciencia.
La ciencia, por su parte, como pensamiento racional, se somete a unas
reglas de razonamiento o funcionamiento de la razón, conocidas,
elaboradas y formalizadas, que es lo que normalmente entendemos por
lógica.
En este artículo consideramos la "implicación" en su sentido lógico.
Reservando la explicación al ámbito del método científico.5
La implicación lógica requiere algunas precisiones para su correcta
comprensión:
Implicación y condición
Aunque en el lenguaje ordinario no suele tener importancia esta
distinción, en su sentido lógico y científico las diferencias pueden tener
un sentido importante.
Tanto la condición como la implicación en el cálculo lógico se expresa
según el esquema A → B, que puede leerse de dos formas:
Si A entonces
B
"Si hoy es martes entonces mañana es
miércoles"
A implica B
"Hoy es martes", implica que, (por tanto)
"mañana es miércoles"
En el primer caso hemos leído como un condicional. En el segundo como
una implicación.
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1.- Observamos que, en su escritura, la expresión difiere de forma
fundamental en el uso de las comillas:
“si A entonces B” es una proposición como tal y, por tanto, en su
interpretación lógica, puede tener dos valores posibles de verdad. Su
tabla de valores de verdad nos indica que solamente es falsa en el caso
en que “A” sea verdadera y “B” sea falsa, y en los demás casos posibles
es verdadera.
“A” implica “B” afirma dos proposiciones; pero de manera diferente cada
una. De modo que afirmando A, como sentencia verdadera en su
contenido semántico, se exige la afirmación de B como sentencia
verdadera en su contenido semántico. Dicho de otra manera, la
afirmación de la segunda depende de la validez epistemológica de la
primera.
2.- Lo condicional es una afirmación hipotética sobre una relación
meramente formal. “si se da una condición (antecedente), tiene que
darse también lo condicionado (consecuente)”. El hecho de que no se dé
la condición no afecta al hecho de que se dé o no se dé lo condicionado.
En la implicación, sin embargo, la relación se establece sobre sentencia
en su condición de "contenido semántico". A debería tomarse como
afirmación sobre "A"; y B como afirmación sobre "B".
Mientras la condición es una relación meramente sintáctica, la
implicación exige además una relación semántica. En este segundo caso
la condición responde a un contenido material.
Así pues implicación debe entenderse como:
“La verdad de ‘A’ exige, o lleva implícita, la verdad de ‘B’ ”; o, si
queremos ponerla en forma
hipotética, si se afirma como verdadero A tiene que afirmarse como
verdadero B.
Lo que nos viene a sugerir que, siendo los dos conceptos similares,
se debe reservar la implicación sólo a los casos en los que la
condición es siempre verdadera
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Un ejemplo que solemos usar en el lenguaje ordinario puede servir de
de ejemplo para lo que intentamos decir.
Cuando alguien está contando algo que el oyente considera una fantasía
que no puede ser admitida de ningún modo como verdadera, es
frecuente, en español, que el oyente manifieste su incredulidad
diciendo: “Si esto es verdad, yo soy el Papa de Roma”.
Si interpretamos dicha expresión como un condicional, entonces la
proposición como tal es lógicamente verdadera, puesto que, partiendo
de la falsedad del antecedente, el valor de verdad del consecuente no
incide en la verdad del condicional como verdad formal, según las tablas
de verdad.
Pero si lo interpretamos como una implicación: “Lo que dices” implica
que “yo soy el Papa de Roma”, entonces no tiene sentido alguno. Porque
“Lo que dices” (como significado) no tiene nada que ver conmigo ni con
el Papa de Roma (como significado), y es por tanto un absurdo.
"Si esto es un triángulo entonces la suma de sus ángulos tendrá que ser
180º", es una afirmación hipotética, por tanto débil, mínima, similar en
su forma a la anterior. Mientras que "Esto es un triángulo implica que
(por tanto) la suma de sus ángulos sea (son) 180º", es una afirmación
plena en su contenido.
Para la prueba argumentativa, o derivación formal en un cálculo, basta
la afirmación mínima hipotética, por lo que en la práctica del cálculo
formal lógica no es necesario tener en cuenta esta distinción, no así en
las afirmaciones con pretensión de verdad cuando hablamos del mundo.
"Si llueve el suelo está mojado", es una afirmación formal e
hipotética, que no habla del mundo.
"Llueve, por tanto el suelo está mojado", es una afirmación con
contenido de verdad y habla del mundo. Equivale materialmente a la
afirmación doble: "Llueve" y "el suelo está mojado".
Implicación lógica
La implicación supone un contenido semántico además de formal.
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un sistema lógico se define como una estructura compuesta por un
lenguaje formal junto con una relación binaria de consecuencia
semántica (o implicación lógica) o una relación binaria de consecuencia
sintáctica ├ (derivabilidad), o ambas. La relación de consecuencia
semántica se define con respecto a una clase de estructuras y la
relación de consecuencia sintáctica, con respecto a un sistema de
pruebas.6
El cálculo lógico formal sirve para establecer una relación, o derivación
entre una condición y su condicionado, o el establecimiento de una
afirmación hipotética. Si las premisas son verdaderas lo es también la
conclusión.
Cuando el cálculo tiene una intención argumentativa en su contenido
semántico, entonces partimos de un contenido material afirmado como
verdadero, cuya verdad es condición necesaria de la verdad de lo
condicionado en la conclusión, como implicación.
Normalmente el uso lógico del pensamiento es argumentativo en este
sentido, y por ello esta distinción no tiene mayor importancia en la vida
ordinaria, y suele confundirse con facilidad.
1.6.4 La equivalencia
La equivalencia es la igualdad entre las superficies de dos figuras, con
independencia de la forma de cada una de ellas. Por ejemplo, los dos
triángulos dibujados son equivalentes pues tienen la misma base y la
misma altura, aunque sean de distinta forma.
La equivalencia tiene su campo de aplicación, entre otros, en la
ingeniería en el calculo de conductos de distinta sección, donde se debe
de mantener un flujo constante a pesar del cambio de forma, para lo
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que se recurre a que se mantenga la misma sección o que sean
equivalentes.
CONCLUCION
Este trabajo
Nos enseño a utilizar las tablas de verdad, saber definiciones,
hacer proposiciones, saber más de la lógica matemática.
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