Download PC1 20111 - iNeurona.com

MATEMÁTICA ANALÍTICA 3 (MA337)
Examen Parcial
2015-1
Profesor : Alfredo Ortiz, Oswaldo Huamán, Walter Figueroa.
Sección : El31, EL32, IM32
Duración : 170 minutos





Solo serán calificadas las preguntas desarrolladas en las caras derechas del cuadernillo, donde debe aparecer el procedimiento y la respuesta. Las caras izquierdas se utilizarán
como borrador.
El orden y la claridad de los procedimientos de desarrollo serán considerados para la calificación.
Está permitido el uso de calculadoras programables y graficadoras.
No se permite el intercambio ni préstamo de útiles durante la práctica.
No se permite el uso de libros ni apuntes de clase.
1. Indique el valor de verdad (V ó F) de las siguientes proposiciones, justificando claramente sus respuestas:
 La intersección de
las superficies


3
y
r2
en
coordenadas
geométricamente un arco de la esfera centrada en el origen y de radio 2 u.
Falso  


3
cilíndricas,
representa
(1,0 punto)
es un plano y r  2 es un cilindro; la intersección es una recta
El flujo que atraviesa la lámina rectangular mostrada situado dentro del campo eléctrico uniforme de
magnitud 75
N
N.m2
, que se ve en la figura es 6,16
.
C
C
(1,0 punto)
Verdad   E.n. A
  E.n. cos A  751 cos70º 0,6000,400
  6,16

N.m 2
C
Si el gradiente de una función se anula en un punto, entonces el punto es un extremo relativo. (1,0 punto)
Falso
13/05/2015
grad  f   f x ; f y ; f z  0 es un punto crítico y no siempre un punto crítico es un extremo.
Página 1


2. Si la función f ( x; y; z )  4  4 x 2  4 y 2  log 2 8  2 x 2  2 y 2  2 z 2 , se pide:
a. El dominio de f.
b. La descripción de dicho dominio en coordenadas cilíndricas.
(1,5 puntos c/u)
Solución:
a.


Dom  f   x; y; z   R 3 / 4  4 x 2  4 y 2  0  8  2 x 2  2 y 2  2 z 2  0
4  4x 2  4 y 2  8  2x 2  2 y 2  2z 2
x2  y2  1  x2  y2  z 2  4
Un cilindro y un esfera respectivamente
z 2  4  x2  y2
z2  4  r2
b.
13/05/2015

Dom  f   r; ; z   R 3 / 0  r  1; 0    2   4  r 2  z  4  r 2

Página 2
3. Un conductor rectilíneo infinito, que empieza en el origen de coordenadas, está ubicado en el primer octante y
tiene ángulos directores de 60 y 45 con los ejes X e Y, respectivamente. Si la carga eléctrica almacenada en
el conductor está expresada en función de la longitud del mismo (medida en metros desde el origen de
coordenadas) mediante la expresión q (l )  0,16 (2  l 2 ) l C:
a. Calcule la densidad lineal de carga ρL en el conductor.
(1,5 puntos)
b. Halle la carga q en el conductor hasta el punto de coordenada y  10 m.
(1,5 puntos)
Solución:
q (l )  0,16 (2  l 2 ) l
dq
   0,32  0,46 l 2 C / m
dl
b. Hallando l para y  10
1
2
2 
2 
2
Como cos   cos 4  cos 3  1  cos   4
primer octante.
Por ser una recta que pasa por el origen.
a.
x; y; z  cos
y  l. cos

4
 

3 pues el ángulo se encuentra en el



; cos ; cos .l
3
4
3
 l  2 y  l  10 2




3
 q (10 2 )  0,32 10 2  0,16 10 2  323,2 2 C
13/05/2015
Página 3
4. Una partícula describe una curva dada por
r (t )  2 t i  e t j  e t k . Si las longitudes se miden metros y
los tiempos en segundos, determine.
a. La recta tangente a la curva en el punto
0;1;1 .
(1,0 punto)
b. Los vectores velocidad y aceleración de dicha partícula en el tiempo t.
c. La longitud de la curva desde el punto
0; 1; 1 hasta el punto 
2; e ; e
1
.
(1,0 punto)
(2,0 puntos)
Solución:
a. Si el punto es
0;1;1 , entonces t  0
r(t )  2 i  et j  e t k
 r(0) 
La ecuación de la recta tangente es
b. Velocidad vt   r(t ) 
Aceleración
Si el punto es
c.
13/05/2015
1
0
0
x; y; z  0;1; 1   2 ; 1;  1
2 i  et j  e t k
0; 1; 1 entonces
1
2 ; 1;  1
t  0 y si el punto es
LC    r t  dt   2  e 2t  e 2t dt  e 


2 ; e ; e 1 entonces t  1
1
e
Página 4
m
, viaja paralela a la dirección
s
2
positiva del eje Y e ingresa a un campo de inducción magnética de intensidad constante B  10 T en el punto
P 2; 2; 0 . Si el campo B apunta hacia la dirección negativa del eje X, determine:
5. Una partícula con carga
Q  106 C , masa m  10 7 kg y rapidez v  40
a. El centro y radio de la trayectoria de la partícula.
b. Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria.
(1,5 puntos)
(2,5 puntos)
Solución:
a) Radio de la trayectoria es R 
m.v
10 7.40
 6 2  400 m
q.B 10 .10
En el punto de ingreso al campo, la velocidad inicial producirá una fuerza Fm  q.v  B
Fm  0; 0; 0,4.10 6
 Fm  4.106
Luego el centro C  2; 2; 0  R
Fm
 2; 2;400
Fm
C  2; 2; 400
b) Situemos la trayectoria en un nuevo plano X 0Y 
Construyamos la matriz de transformación M donde:
i 
 FCP
;
FCP
j 
v0
;
v0
k 
B
los vectores i, j, k son las columnas de la matriz M
B
0 0 1 
M  0 1 0
1 0 0
Hallando las coordenadas del centro de la trayectoria en el nuevo sistema X Y  Z 
 x  R cos t  h
 2   h 





M 1  2    k   entonces las ecuaciones de la trayectoria es  y  Rsent  k 
 z  l 
 400   l  


  
 x
 x 
 


Para volver al sistema antiguo y  M  y  
 
 z 
 z 
 
13/05/2015
Página 5
6. Determine:
(1,0 punto c/u)
a. La región en el plano complejo correspondiente a la siguiente desigualdad.
b. El ángulo de giro al multiplicar el número complejo
2  z  3  j4  5
z  x  j y por el número complejo z  j .
Explique geométricamente este fenómeno.
c. La curvatura de la curva definida en el plano complejo por:
z(t )  2t  jt 2 .
Solución:
2  z  3  j 4  5  2  x  3  j y  4  5
a.
x  32   y  42  5
2
2
4  x  3   y  4  25
2
Son dos circunferencias una de radio 2 y otra de radio 5 con centro común en (3;-4)
b. Al multiplicar un complejo
c.
z  x  j y por j , se gira un ángulo de

2
 x(t )  2t
z (t )  2t  jt 2  
2
 y(t )  t
Podemos hallar la curvatura a una curva en el plano cuya función vectorial es:
k
r (t )  r (t )
r (t )
3

r (t )  2t; t 2 ; 0
4
4  4t 2
Monterrico, 13 de Mayo del 2015
Puntaje de la EA
Pregunta
1
2
3
4
5
6
Total
Puntaje
3,0
3,0
3,0
4,0
4,0
3,0
20
Nota
13/05/2015
Página 6