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El Valle Sanchinarro
Dpto. Ciencias
Asignatura: FQ 1ºBach
Ficha teórica
Trigonometría.Apunte
Páginas:
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Apunte de trigonometría
Intención del archivo
El objetivo de este archivo es que el alumno aprenda de modo natural, sin miedos, las
cuestiones más elementales de trigonometría. Que observe una vez más que los conceptos se van
desarrollando, cimentando, a partir de otros anteriores. Por ello, se ha retrocedido a la
etimología de las razones trigonométricas básicas. La historia de cómo se gestan las nuevas ideas
y conceptos ayuda mucho a entenderlos, evitando que aparezcan de repente, sin aviso, apartados
de todo y como uno más de la serie interminable que nos abordan a lo largo de nuestra
formación básica en ciencia.
En primer lugar la etimología, luego la evolución del significado asignado a los términos,
luego la idea de ángulo (de la que nos hemos ocupado en otro archivo), a continuación el
teorema de Pitágoras y luego el de Thales, para acabar desarrollando de un modo bastante
formal las razones trigonométricas, darán al alumnado una visión general del desarrollo de los
conceptos de trigonometría y la sensación de construcción ordenada de ideas cada vez más
complejas a partir de las ideas primigenias, primordiales.
Subyace en todo el archivo la intención de quitar miedos al conocimiento y sentirlo en
nuestro pensamiento como algo que crece naturalmente.
Definición de trigonometría
La trigonometría es una parte de la geometría dentro de las matemáticas, que estudia los
triángulos, cómo resolverlos o conocer todas sus partes a partir de algunas. También nos
permite medir ángulos al relacionar los lados del triángulo.
Como aplicaciones importantes de la trigonometría citamos que es el fundamento del
sistema de triangulación topográfica (en lo que se basa el GPS), permite medir distancias entre
puntos inaccesibles y es imprescindible para el estudio de matemática superior. Se divide en
trigonometría rectilínea, que se ocupa de triángulos rectilíneos y trigonometría esférica, que
estudia los triángulos esféricos.
Etimología de seno y coseno
El astrónomo y matemático hindú Aria Bhatta (476-550 d. C.) estudió el concepto de seno
con el nombre de ardhá-jya, siendo ardhá mitad o medio y jya cuerda.
Recordemos que en geometría, cuerda es el segmento de una recta interceptado por una
circunferencia, siempre que la recta no pase por el centro de la circunferencia. De esta definición
se entiende muy bien la idea de este científico hindú para denominar al cateto opuesto a un
ángulo. Si bien es cierto, que para hablar de seno, es necesario imponer una condición más a esta
recta, R, la de que sea paralela al eje de ordenadas, al eje OY.
y
R
x
c
A
O
A

A
b
A
B
A
a
A
C
A
Cuando los escritores árabes tradujeron sus obras al árabe transcribieron el término
sánscrito como jiba. Sin embargo, en el árabe escrito se omiten las vocales, por lo que el término
x
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quedó abreviado en jb. Escritores posteriores que no conocían el origen de la palabra creyeron
que jb era la abreviatura de jiab, que quiere decir bahía. A finales del siglo XII, el traductor
italiano Gherardo de Cremona (1114-1187) tradujo estos escritos al latín, reemplazando jiab por
su traducción latina sinus, que significa hueco, vano, curva, cavidad, bahía. Después, sinus pasó al
español como seno.
Otra explicación de la etimología es que en latín, la cuerda interceptada por un círculo se
llama inscripta corda, o simplemente inscripta, y a la mitad de la cuerda se la denominaba semis
inscriptae. La abreviatura sería s.ins, que toma la forma sins, que derivó finalmente a sinus, de
donde viene seno.
La palabra coseno fue creada por E. Gunter, y deriva de las relaciones entre funciones
trigonométricas de ángulos complementarios. Coseno viene de la abreviatura latina de la
expresión complementi sinus, que significa seno del complemento. Luego se abrevió a co sinus o
cosinus, de donde en español a coseno.
En la figura siguiente, el seno (la mitad de la cuerda) del ángulo complementario, , al
ángulo inicial, , se llamaría complementi sinus, coseno, en definitiva. De modo que si referimos
ambos lados al ángulo inicial, tendríamos que al paralelo al eje OY le llamamos sinus y al
perpendicular complementi sinus, en definitiva, seno y coseno.
y
x
R
b
A

B
A
c
A
O
A
a
A

C
A
x
Evolución del significado de los términos seno y coseno
Actualmente, se llama seno a la razón trigonométrica que relaciona cateto opuesto con
hipotenusa, no al cateto opuesto. Sin embargo, las razones trigonométricas se definen en la
circunferencia goniométrica, cuyo radio, es decir, cuya hipotenusa, posee valor 1, de modo que la
razón trigonométrica coincide con el cateto opuesto. Lo mismo ocurre con el coseno.
Desarrollo y definición de las razones trigonométricas
Cuando se acuñaron los nombres de seno y coseno para dos de lados de un triángulo
rectángulo, ya se conocían el concepto de ángulo y el teorema de Pitágoras, por tanto, estos dos
nuevos conceptos se apoyaron en los anteriores, de manera que se definieron basándose en el
ángulo y en el teorema de Pitágoras. Al cateto opuesto al ángulo se le llamó seno, y al cateto
contiguo al ángulo se le llamó coseno. Así, se diferenciaron e identificaron los dos catetos del
triángulo rectángulo tomando como referencia el ángulo y el teorema de Pitágoras.
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Debido al teorema de Thales, sabemos que sea cual sea la longitud de los catetos, o de
seno y coseno, la proporción entre cada lado y la hipotenusa se mantiene constante.
R´´
R´
R

O
P
P
P´
P´´
La relación entre senos y las hipotenusas
correspondientes se mantiene constante:
La relación entre cosenos e hipotenusas
correspondientes se mantiene constante:
RP R´P´ R´´P´´
=
´=
OR OR´
OR´´
OP OP´ OP´´
=
´=
OR OR´ OR´´
Por tanto, las razones trigonométricas son razones (cocientes) entre segmentos que se
definen de manera independiente al ángulo, (al espacio angular). De hecho, en bibliografía
(p.9435 del tomo20 de la enciclopedia ASURI) se encuentra otro modo, muy intuitivo y sencillo
de nombrar a las razones trigonométricas sin necesidad de emplear el ángulo: ¡con el arco que
describen las semirrectas que definen el ángulo:
senAM =
RP R´P´ R´´P´´
=
´=
OR OR´
OR´´
cos AM =
OP OP´ OP´´
=
´=
OR OR´ OR´´
Sin embargo, la constancia de ambos conceptos permitía relacionar ángulo y razones de
manera segura y razonable, y tan intuitiva o más que con el arco, de modo que se adoptó este
modo de establecer las razones trigonométricas: a partir del ángulo en vez de a partir del arco.
De este modo se comenzó a hablar de seno o coseno de un ángulo:
senAM = sena =

RP R´P´ R´´P´´
=
´=
OR OR´
OR´´
cos AM = cos a =
OP OP´ OP´´
=
´=
OR OR´ OR´´
El teorema de Thales se cumple para cualquier tipo de triángulo, pero las funciones trigonométricas se definen para
triángulos rectángulos, y por ello hemos dibujado las rectas de manera que nos quedasen triángulos rectángulos. En general, el
teorema de Thales se representa con rectas que al ser cortadas por varias rectas que no definen triángulos rectángulos.
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A continuación vamos a definir de manera formal las funciones o razones trigonométricas a
partir de la circunferencia. Se observa que a partir de seno y coseno se definen el resto.
En la circunferencia O tomemos un punto M de la trayectoria como modelo de cualquier
otro.
S´
B
S
I
II
M´
´
A´
M
+
r
O
P´
y
x

-
T
P
A
+
-
M´´
III
IV
M´´´ T´
B´
Vemos que determina o define un triángulo rectángulo donde podemos desarrollar las
funciones trigonométricas. En la figura hemos dejado como coordenadas (x,y), pero también
podríamos haberlo simbolizado con (xM,yM). pues la longitud del cateto contiguo al ángulo es el
valor de la coordenada x y la longitud del cateto opuesto al ángulo es el valor de la coordenada y.
Consideramos al punto A como eje de arcos, de modo que el arco completo, partiendo de A, sería
ABA´B´. El diámetro AA´, que pasa por el origen de arcos, lo consideramos en el eje de abscisas,
con OA como semieje positivo y OA´ como semieje negativo. El diámetro perpendicular al
anterior es el eje de ordenadas, con su semieje positivo OB y negativo OB´. Para cualquier arco
AM (M, cualquier punto de la circunferencia o de una trayectoria circular) o para su ángulo
central correspondiente, , las razones trigonométricas quedan definidas así:
MP ordenada del punto M y
=
=
OM
radio
r
OP abscisa del punto M x
cos a =
=
=
OM
radio
r
MP ordenada del punto M y
tga =
=
=
abscisa del punto M
x
OP
sena =
OM
1
r
=
=
MP sena y
OM
1
r
sec a =
=
=
OP cos a x
OP
1
x
cotga =
=
=
MP tga y
coseca =
Si se tomase el radio como unidad de medida, o si el radio fuera 1, las relaciones
anteriores nos quedarían:
sen=MP
cosec=OS
cos=OP
sec=OT
tg=TA
cotg=BS
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Para el resto de arcos definidos en los otros cuadrantes, quedaría de modo análogo.
Obsérvese que en este caso se emplea la nomenclatura de arcos y no de ángulos, aunque también
se podrían trazar los correspondientes ángulos ´´, ´´´, solo hemos trazado  y ´ para no
complicar demasiado el esquema geométrico.
senAM´ = sena ´=
AM´
= P´M
OM´
senAM´´ = sena ´´=
A´M´´
AM´´´
= PM´´´
= P´M´´ senAM´´´ = sena ´´´=
OM´´´
OM´´
Podríamos seguir con el resto de razones trigonométricas, pero nuestra intención no llega a
tanto, sencillamente buscamos afianzar la trigonometría a un nivel básico para entender el
movimiento circular y en general los curvilíneos.
¿Te atreves a entender mejor las razones trigonométricas inversas?
Teniendo en cuenta la sencillez con que quedan las razones anteriores y el dibujo,
podemos intentar relacionar las razones trigonométricas inversas con la geometría, es decir, con
segmentos, lo mismo que siempre hemos hecho con las razones trigonométricas directas (seno,
coseno y tangente) y que sin duda nos han ayudado a entenderlas.
Al observar las razones inversas en este caso, y el dibujo, se entiende que este grupo de
razones relaciona los segmentos que se consiguen con la semirrecta que define el ángulo y las
tangentes a la circunferencia trazadas paralelamente a ambos ejes.
A modo de conclusión: Calculo de los valores numéricos de las razones trigonométricas
Por ello, si conocemos una razón trigonométrica conocemos el ángulo, y viceversa. El
ángulo, como ya ha quedado dicho, vendrá dado en grados sexagesimales o en radianes. No es
común que venga dado en cantidad de vueltas: un ángulo de ¼ de vuelta o de revolución, o un
ángulo de 0,46 vueltas no son valores que se empleen, pero sería correcto.
Lo más inmediato, aunque resulte lo más laborioso, es hallarlas gráficamente.
Si nos dan el ángulo, podríamos representarlo gráficamente con un transportador de
ángulos. Si lo hacemos en la circunferencia de radio 1, a continuación proyectaríamos el punto en
ambos ejes, para por fin medir las coordenadas, que serían directamente el seno y el coseno.
Para obtener el ángulo a partir de cualquier función trigonométrica, haríamos lo inverso:
representaríamos el valor del seno, por ejemplo, en el eje OY, proyectaríamos
perpendicularmente hasta obtener un punto en la circunferencia goniométrica y mediríamos el
ángulo con el transportador.
Todas estas operaciones geométricas, tienen su reflejo en expresiones analíticas
matemáticas, que relacionan ángulo con coordenadas, es decir, con las funciones
trigonométricas. Con estos algoritmos matemáticos funcionan operan las calculadoras pero esa
es otra historia, aunque para muestra, un botón….
¥
x 2n
cos x = å (-1)
(2n)!
n=1
n
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Equivalencias de las medidas angulares
Razones
trigonométricas
sen360=sen2π =0
cos360=cos2π =1
tg360=tg2π =0
sen45=senπ/4=√2/2
cos45=cosπ/4 =√2/2
tg45=tgπ/4 =1
sen90=senπ/2 =1
cos90=cosπ/2 =0
tg90=tgπ/2 =
sen180=senπ =0
cos180=cosπ =-1
tg180=tgπ=0
sen270=sen2π/3=-1
cos270=cos2π/3 =0
tg270=tg2π/3 =
Grado sexagesimal
Vueltas o
revoluciones
Radianes
360° o 0
1 vuelta
2π rad
45°
1/8 de vuelta
π /4 rad
90°
¼ de vuelta
π/2 rad
180°
½ de vuelta
π rad
270°
¾ de vuelta
2π/3 rad
Bibliografía
Para elaborar este archivo se han consultado diversos conceptos en la Wikipedia; los
términos trigonometría y ángulo en la enciclopedia Asuri, y los temas correspondientes a
ángulos y trigonometría de los apuntes para oposición de Carlos M. Abrisqueta Valcárcel de
2002.