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Álgebra y Geometría I
Respuestas a las actividades propuestas para la
unidad recta en el plano
F.C.E.I.A. UNR
Las respuestas fueron elaboradas por las Prof. Luciana Calderón y Prof. María de los Ángeles Fernández
quienes realizan una adscripción en la Cátedra.
CORRESPONDEN A LA GUÍA DE APRENDIZAJE
Intersección de rectas (pág 2)
a) P(1;1)
b) P(3;2)
Propuestas (pág 3)
1)
a) Hay dos soluciones r4 ) x  2 y  12  0 y r5 ) x  2 y  4  0
b) Respuesta que resulta de considerar el rombo determinado por las rectas r1 , r2 , r3 y r4 .
Ecuaciones paramétricas de las diagonales:
1

 x   2  8t
d1 ) 
7
y 
4

t R
y
9

 x   2  12t
d2 ) 
1
 y    2t
4

t R
El producto escalar entre los vectores direcciones de las diagonales da cero, por lo tanto son
perpendiculares.
c) Área =16
2) r2 ) x  3 y  5  0
y
r3 )  3x  y  3  0
y
r4 )  3x  y  9  0
3) Área = 12
CORRESPONDEN AL CUADERNILLO TEÓRICO
Actividad Nº 1
a) No pertenece
b) Por ejemplo: A(0;1) B( - 1 ; 0) C(2;5) D(1,3) E(-1; -1)
2
Actividad Nº 2
a) y = x
b) y = -x
Actividad Nº 3
1) En general
 x  u1 .t
r) 
 y  u 2 .t
 x  2.t
con t  R son las ecuaciones
t  R . Por ejemplo: 
 y  3.t
paramétricas de una recta por el origen que tiene la dirección del vector (2 , -3).
t es proporcional a la distancia del punto P(x,y) al origen de coordenadas.
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2)
 x  2t

 y  3  2.t
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t R
 x  3  t
3) a. 
t R
y  2
b.
4) a. P  r y Q  r
b. t = 4
 1 
c. t   ;2
 4 
 x  t
e. 
t R
 y  9  4.t
 x  3

y  2t
d. Área =
 x  5t

 y  9  20.t
t R
81
8
t R
Actividad Nº 4
1) ax + by = 0 con a y b no simultáneamente nulos. Por ejemplo 3x + y = 0.
2) Son paralelas.
3)a) y + c = 0  x, c  R
b) y = 0  x
c) x + c = 0  x, c  R
Por ejemplo
y-2=0
x
y = 0 x
x -3 = 0  y
3) Si c = 0 entonces todos los puntos del plano la verifican.
Si c  0 entonces ningún punto del plano la verifica.
5) P1  r
y P2  r
 3 
Ix   ;0  Iy 0,3
 2 
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d) x = 0  y
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6) b) x + 3y – 7 = 0
c) La recta perpendicular que contiene al origen es: y - 3x = 0
Actividad Nº5
1) a)
x
5
2
y
 5  1
3
5 
5
b) Ix  ;0  Iy  0, 
3
2 

2)
x
3

y
5
1
Actividad Nº 6
y
1) Sí, se llega a la misma conclusión pues
y = mx+h
tg  tg (   )  tg
tg 
h
h
 m
 tg( )  m
m
P(0,h)
h
2) a) y = mx, por ejemplo y = -2 x

0
No puede escribirse en forma explícita la recta de ecuación x = 0  y

R( -h/m,0)
x
r
b) y = h  x. Es una recta paralela al eje x.
c) Las rectas que son paralelas al eje y no pueden representarse mediante ecuaciones de la
forma explícita. El ángulo que forman con el semieje positivo x es de 90º. No está definida la
tangente para
  90º .
d) Primer y tercer cuadrante: y = x. Segundo y cuarto cuadrante: y = -x
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 y  y1 
( x  x1 )  y1 ( x1  x 2 )
3) y   2
 x2  x1 
4) y   3.( x  2)  3
5) y = -8x + 13
Actividad Nº 7
1) a) 45º
b) 90º
2) Son paralelas
b) y  3.( x  1)  1
3) a) 81º 52’ 11”(aprox.)
4) m2 = tg  = tg (90º+) = - cotg () = 
1
1
1
=
 m2 =
 m2 . m1 = - 1
m1
m1
tg
Actividad Nº 8
1) 5
2) Son paralelas. La distancia es
3) C(1;7)
13
10
D(5;8)
 73 11 
4) R '  ; 
 5 5
Actividad Nº 9
  2 11 
; 
a) P 
 7 7
b) Son rectas coincidentes. El conjunto está formado por todos los puntos cuyas coordenadas
satisfacen a cualquiera de las ecuaciones.
c) Son paralelas y no coincidentes. Entonces el conjunto solución es vacío.
Actividad Nº 10
a)
b)
c)
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d) S =

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Ejercicios Adicionales
1) a)
b)
 x  1  2t
2) a) 
 y  1  3t
c)
t R
-3x + 2y + 1 = 0
 x5
b) 
y  3  t
t R
x = 5 y
c) 3x + 2y – 2 = 0
 x  1  t
d) 
t R
 y  5t
 x  1  t
3) a ) 
 y  2  3t
t R
b) B  r
c) 3x + y + 1 = 0
4) a) Paralelas
b) Paralelas
c) Perpendiculares
d) Ni paralelas, ni perpendiculares
El ángulo que forman las rectas es 11º 18' 35,76' '
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5) Dos soluciones
r1) 5x + 12y + 26 = 0
r2) 5x + 12y – 26 = 0
6) b = - 3
7) –x + 2y – 1  0
8) C no pertenece a la recta bisectriz
18  2 85 .x  4 y  6
18  2 85 .x  4 y  6
9) b1 )
b2 )
85  46  0 es la ecuación pedida
85  46  0
10) a) i) ( AB; AC )  67º 22' 48,49' '
( BA; BC )  56º 18' 35,76' '
(CB; CA)  56º 18' 35,76' '
ii) Altura =
12
13
iii) Área = 6
 3x  2 y  2  0

b)   4 y  8  0
 3x  2 y  22  0

11)
12)
2
2
x  3  t
a) r1 
 y  2t
t R
 x  4  2s
b) r3 
 y  2  4s
sR
 x  2s
r2 
 y  6  2s
sR
 x  3  2t
r4 
 y  4t
t R
c) Perímetro es 2 5  2 37
13)
 x  5  5s
r3 
 y   2  3s
 x  3  5s
14) 
y  4 s
sR
5

 x  2  3t
r4 
1
 y    5t
2

sR
15) y = -x + 3
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t R
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16) 18º 26’ 5,82”
 9 x  2 y  15  0

3
17) a)  y   x  3
4

  x y 3 0
b) P(3,6)
d) Dist(P,s) = 21/5
e) Área = 21/4
20) Operando algebraicamente se obtiene una ecuación lineal en x e y, que para cada valor de k
representa una recta perpendicular a n  a1  k .a 2 ; b1  k .b2  . Además, las coordenadas del punto
P1(x1, y1) satisfacen a dicha ecuación cualquiera sea k.
a) 331x – 210 y – 57 = 0
21)
b) 2 x  3 y 
552
0
41
c) 5 x  4 y 
69
0
41
22) a) k  
23) r1 )
r3 )
5
4
b) k  
5
3
1
y   ( x  4)  1
4
c) k  1
r2 )
3 2 2 
 ( x  4)  1
y  

4


3 2 2 
 ( x  4)  1
y  

4


43 2 23 2  43 2 23 2 
 Q

;
;
24) P
 

2
2
2
2

 

 y4
 x3

1
 y 
x
25) a) 
3
x y
3  2  1

 x  0
d) k 
x y

 1

6 8

 y   3x  3 3
b) 
1
1
 8x 6 y0
 1
1
3
 x  y   0
6
8
 8
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9
8