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Números complejos
1. Introducción
Podemos pensar en las progresivas ampliaciones de los conjuntos numéricos como el
método necesario para resolver ecuaciones algebraicas progresivamente complicadas.
Así, el paso de N a Z se justificaría por la necesidad de dar solución a una ecuación como
x + 5 = 0,
y el paso de Z a Q por la necesidad de dar solución a ecuaciones de la forma
5x = 1.
El paso de Q a R es más complicado de explicar en este momento, puesto que es más
topológico que algebraico, pero permite además dar solución a ecuaciones como
x
2
− 2 = 0.
El paso de R a C viene motivado históricamente por la necesidad de trabajar con las
soluciones de ecuaciones como
x
2
+ 1 = 0,
es decir, con raíces cuadradas de números negativos. Inicialmente, se trabajaba con
dichas raíces, llamadas números imaginarios por Descartes, como paso intermedio hasta
llegar a un número real (típicamente elevando el número imaginario al cuadrado en algún
momento de los razonamientos). Posteriormente, en los siglos XVIII y XIX, se formaliza la
noción de número complejo, lo que convierte a estas entidades algebraicas en “miembros
de pleno derecho” de las familias numéricas.
2. Definición
Un número complejo, z, es un número que se expresa como z = x + iy o, de
manera equivalente, z = x+yi, donde x є R e y є R. Se conoce a i como la unidad
imaginaria, además,
i
2
= −1.
Se denotará con x = Re z a la parte real del número z y con y = Im z a la parte
imaginaria de z. Los números complejos de la forma z = x + i0 se denominan reales
puros o, simplemente, reales; y los números complejos de la forma z = 0 + iy se
denominan imaginarios puros.
Decimos que dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales son
iguales y sus partes imaginarias son iguales. En otras palabras, si
z = a + ib, w = c + id,
y
z = w,
entonces
a = c, b = d.
No existe relación de orden en los números complejos; al contrario, las conocidas
relaciones de orden que se usan en el caso de los números reales no son válidas. Usando
números reales podemos decir, por ejemplo, que 5 > 3; pero no tiene sentido afirmar que
1 + i < 2 + 3i.
3. Operaciones algebraicas
Podemos sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos obteniendo como
resultado otro número complejo. Sean z1 = a + ib y z2 = c + id números complejos.
La suma de los números complejos z1 y z2 se define como:
z1 + z2 = (a + c) + i(b + d).
La resta de los números complejos z1 y z2 se define como:
z1 - z2 = (a − c) + i(b − d).
La multiplicación de los números complejos z1 y z2 se define como:
z1 · z2 = (ac − bd) + i(ad + bc).
La división de los números complejos z1 y z2 con z2 ≠ 0 se define como:
z
z
1
2

ac  bd
c d
2
2
i
bc  ad
c d
2
2
4. Representación geométrica
Se puede establecer una correspondencia uno a uno entre cada número complejo
z = x + iy y el punto (x, y) del plano cartesiano xy. De esta forma, cada número complejo
se puede representar geométricamente como un punto en el plano cartesiano. Cada vez
que utilicemos el plano para representar un número complejo lo denominaremos plano
complejo o plano z. En estas circunstancias, el eje x, o eje horizontal, se llama eje de
los números reales, mientras que el eje y, o eje vertical, se conoce como eje de los
números imaginarios.
Otra representación posible de z en este plano es en forma de vector. Mostramos a
z = x+iy como una línea dirigida que comienza en el origen del plano y termina en el punto
(x, y). Así, podemos representar un número complejo como un punto o como un vector en
el plano xy.
5. Valor absoluto y conjugado.
Definición.1.- Se define el valor absoluto del número complejo z = x + iy, denotado por
|z|, como
|z| =
x y
2
2
. Definición.2.- Se define el conjugado del número complejo z = x + iy, denotado por
z , como z = x - iy
5.1. Propiedades de la conjugación.
Sean z1 y z2 números complejos. Las siguientes identidades son ciertas.
1.
z
2.
z z
2

z z
2
3.
z z
2

z z
2
4.
z ·z  z ·z
= z1.
1
1
1
1
2

1
 z2 
1

2
z 
z 

z
1
1
5.  z1  
6.
1
2
z
1
La siguiente proposición establece una relación entre el módulo y el conjugado de un
número complejo.
Proposición.- Si z = x + iy, entonces z·z 
z
2
Demostración.- Se tiene que
2
z z = (x + iy)(x − iy) =  x 

y
2
 + i(yx − xy) =  2 

x
y
2
 =

z
2
5.2. Propiedades del valor absoluto.
Sean z1 y z2 números complejos. Las siguientes identidades son ciertas.
1. |z| ≥ |Re z| ≥ Re z.
2. |z| ≥ |Im z| ≥ Im z.
3. | z1·z2 | = | z1| |z2 |.
4.
z
z
1
2

z
z
1
2
5.3. Desigualdad Triangular.
El proceso de sumar el número complejo
z  x  iy
2
2
2
z  x  iy
1
1
1
al número complejo
tiene una interpretación simple en términos vectoriales. El vector que
representa la suma de los números complejos z1 y z2 se obtiene sumando
vectorialmente los vectores de z1 y z2; es decir, empleando la regla del paralelogramo.
La desigualdad triangular se puede obtener a partir de este esquema geométrico. La
longitud de un lado cualquiera de un triángulo es menor o igual que la suma de
las longitudes de los otros lados. La longitud correspondiente a z1 + z2 es |z1 + z2|, que
debe ser menor o igual que la suma de las longitudes, |z1| + |z2|.
Proposición (Desigualdad Triangular). Si z1 y z2 son números complejos, entonces
|z1 + z2| ≤ | z1| + |z2|.
Demostración. Se tiene que
z  z z  z 
|z1 + z2|2 =
1
2
1
2
=
z  z ·z  z 
=
z z z z z z z z
1
1
2
1
2
=
z1 
2
=
z1 
1
2
2
2
1
2
2
1
2
z2  z z  z z
1
2
2
1
2
z2  z z  z z
1
2
1
2
,
pero
z z z z
1
2
1
2
= 2Re
z z  ≤ 2 z z
1
2
1
=2
2
z ·z
1
2
= 2 |z1|·|z2|.
luego
|z1 + z2|2 ≤
2
z1 
2
z 2  2 z1
z
2

 z1  z 2 
2
de donde se deduce que
|z1 + z2| ≤ | z1| + |z2|,
con lo cual queda establecida la desigualdad triangular.
6. Forma polar.
El número complejo z = x + iy queda determinado por las coordenadas (a,b) en el
plano complejo. También se puede expresar z en función de (r,θ), donde r =|z| y θ es el
ángulo que forma el vector (x,y) con el eje x positivo (θ se cuenta en sentido antihorario).
A la distancia r se le llama módulo del número complejo y se designa por r =|z|; al
ángulo θ se le llama argumento del número complejo y se designa por arg(z)= θ.
Así que, podemos expresar z en forma polar como:
z = rθ
Se puede ver, al expresar un número en forma polar, que su módulo es único pero que
sus argumentos son infinitos, pues θ = θ + 2πk, con k = 0,1,2,3…
6.1. Transformación de forma binómica a forma polar.
Sea z = x + iy un número complejo, podemos expresarlo en forma polar utilizando
las siguientes transformaciones:
r = |z| =
tg θ =
2

x y
2
y
 y
   arctg  
x
x
(El argumento, θ, se elige teniendo en cuenta en que cuadrante del plano complejo
se encuentra z).
6.2. Transformación de forma polar a forma binómica.
Como se puede apreciar en la figura de arriba:
y = r senθ
x = r cosθ,
Por tanto, es fácil ver que cualquier número complejo, z, se puede expresar como:
z = r (cosθ + i senθ)
A esta nueva manera de expresar z le llamaremos forma trigonométrica.
6.3. Operaciones con números complejos en forma polar.
1) Producto. Sean z = rθ y z’= r’β , entonces z·z’ = rθ · r’β = (r r’)θ+β
Demostración.- z·z’ = rθ · r’β = r(cosθ + i senθ) · r’(cosβ + i senβ)
= r·r’ [(cosθ cosβ- senθ senβ)+i(cosθ senβ+ cosβ senθ)]
= r·r’ [cos(θ+β) + i sen(θ+β)] = (r·r’)θ+β.
Este resultado se puede generalizar para n-productos:
z1·z2 ···zn = (r1·r2···rn)·[cos(θ1 +θ2+···+θn)+i sen(θ1 +θ2+···+θn)]
= (r1·r2···rn)θ1+···+ θn
2) Cociente. Sean z = rθ y z’= r’β , entonces
z

z'
r   r 
r '  r ' 

Demostración.-
r   r  cos   isen 
r '  r '  cos   isen
 r  cos  cos   sensen  i ( sen cos   sen cos  )
 
cos   isen  (cos   isen  )
 r' 
r
r
=  ·cos     isen       
 r' 
r'
 

.

En la segunda igualdad hemos multiplicado arriba y abajo por (cosβ - i senβ),
que es el conjugado de (cosβ + i senβ).
3) Potencia: Sea z = rθ , entonces
Demostración.-
z
n
z
n

r   r
n
n
n
 z···z  r···r ·cos ···   isen  ···  
r···r 
  ···
 r n .
n
De esta expresión se puede deducir la fórmula de De Moivre:
cos isen   cos n  isenn 
n
Una aplicación de la potenciación utilizando la forma polar es el cálculo del inverso:
z
1

r 
1
1

r
 r   
1

*Podemos darnos cuenta que la forma polar es muy útil para multiplicar, dividir,
elevar a una potencia y calcular el inverso de un número complejo. Por otro lado,
para sumar y restar números complejos es más útil la forma binómica.
4) Raíces de un número complejo.
La raíz de un número complejo, z, es otro número complejo, w. Igual que antes, el
cálculo de raíces resulta mucho más sencillo utilizando la forma polar.
Sea z C, w C tal que
n
z  w . Si z = rθ , ¿w?
w se puede escribir como w = ρα , y como sabemos que z = rθ entonces
n
z wn
r
   r 

    
n
n
n
 n r 
 r  n 




  2k 



  2k  n 

n 
Por tanto,
n
 r
z n
  2k
.
n

+ 2π, con lo cual podemos ver
n

claramente que es igual a la primera solución (cuando k=0): α =
n
*     2k ya que θ se repite cada 2π.
* k=0,1,2,3,…,(n-1). Ya que si k=n, entonces α =
* La raíz de un número complejo también se puede entender como una ecuación
compleja:

n
 z , donde z es conocido.
7. forma exponencial
La fórmula de Euler, la cuál se deriva del teorema de Taylor al aplicarlo sobre
(cosθ + i senθ), es
i
e
 cos   isen   . Con lo cual, siempre podemos expresar un
i
número complejo z = r (cosθ + i senθ) como z = r e .
Esta forma también va a ser muy útil, puesto que facilita los cálculos más que ninguna
otra.