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Notas de clase. Curso de Lógica. Tautologías. II P.A.2011
Tautologías
Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera, cualesquiera que sean los valores de verdad
de las proposiciones simples que la componen.
En una tautología se pueden sustituir sus proposiciones simples por otras proposiciones simples
cualesquiera verdaderas o falsas y la proposición también es verdadera.
Por ejemplo para cualesquier proposición simple 𝑝 , 𝑝 ∨∽ 𝑝 es una tautología
𝑝
~𝑝
𝑝 ∨∽ 𝑝
V
F
V
F
V
V
¿Es la proposición 𝑝 ∨ 𝑞 → 𝑝 una tautología?
Definición:
Una proposición es una tautología si y solo si es verdadera para todas las combinaciones de asignaciones
de valores de verdad atribuidas a cada una de las distintas proposiciones simples.
Una proposición 𝒑 implica tautológicamente una proposición 𝑞 si y solo si el condicional 𝑝 → 𝑞 es una
tautología. Así, una implicación tautológica es una tautología cuya forma es la de una proposición
condicional. Una proposición que es una implicación tautológica indica que el condicional correspondiente
es una tautología.
Para verificar si una proposición compuesta es una tautología se hace uso del método de la tabla de
verdad.
Ejercicios
1. Si 𝑝 y 𝑞 son proposiciones simples diferentes, determine cuáles de las siguientes proposiciones son
tautologías?
 (𝑝 → 𝑞) ↔ (𝑞 → 𝑝)
 (~𝑝 ∨∼ 𝑞) → (𝑝 → 𝑞)
 (𝑝 → 𝑞) ↔∼ (𝑝 ∧∼ 𝑞
 ∼ (p ∧∼ q) ↔ (~p ∨ q)
 𝑝 → ~𝑝
2. Sean 𝑃, 𝑄 y 𝑅 proposiciones simples diferentes, determine cuáles de las proposiciones siguientes
son tautologías?
 𝑃 → (𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅
 𝑃∧𝑄 →𝑃∨𝑅
Definición Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes si en cualquier posible asignación
de valor de verdad las dos tienen el mismo.
Una contradicción es una proposición simbolizada que es falsa en todos los casos (es decir,
independientemente del valor de verdad de las proposiciones simples que la compongan y de cuáles sean
tales proposiciones simples). En este sentido las contradicciones son exactamente lo opuesto de las
tautologías: son las ―antileyes de la lógica.
Una contingencia es una proposición simbolizada que es verdadera en por lo menos un caso y también es
falsa en por lo menos un caso. Así, las contingencias son proposiciones que, en lo que respecta a verdad y
falsedad, se sitúan en posiciones intermedias entre las tautologías y las contradicciones.
La siguiente es una lista de tautologías:
NOMBRE
TAUTOLOGIA
Ley del tercio (o tercero o medio) 
excluido
Leyes de simplificación


𝑃 ∨∼ 𝑃
Leyes de simplificación trivial (o de 
redundancia)

𝑃∧𝑃 ↔𝑃
𝑃∨𝑃 ↔𝑃
Leyes de adición


𝑃 →𝑃∨𝑄
𝑃 →𝑄∨𝑃
Leyes conmutativas


𝑃 ∧ 𝑄 ↔ 𝑄 ∧ 𝑃;
𝑃∨𝑄 ↔𝑄∨𝑃


𝑃
𝑄↔𝑄
𝑃
(𝑃 ↔ 𝑄) ↔ (𝑃 ↔ 𝑄)


𝑃 ∧ (𝑄 ∧ 𝑅) ↔ (𝑃 ∧ 𝑄) ∧ 𝑅
𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅


𝑃
(𝑄
R) ↔ (P
Q
R)
[𝑃 ↔ (𝑄 ↔ 𝑅)] ↔ [(𝑃 ↔ 𝑄) ↔ 𝑅]
Leyes modulativas


P∧V↔P
P∨F ↔P
Leyes de Morgan


~(𝑃 ∧ 𝑄) ↔ (~𝑃 ∧ ~𝑄)
~(𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (~𝑃 ∨ ~𝑄)
Leyes distributivas (o de factorización):


𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) ↔ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟)]
𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) ↔ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)]

𝑝 ∧ (𝑞


𝑝 → (𝑞 ∧ 𝑟) ↔ [(𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑝 → 𝑟)]
𝑝 → (𝑞 ∨ 𝑟) ↔ [(𝑝 → 𝑞) ∨ (𝑝 → 𝑟)]
Ley de la doble negación

∼∼ 𝑝 ↔ 𝑝
Leyes de significados de los conectivos


𝑝 ∧ 𝑞 ↔∼ (∼ 𝑝 ∨ ~𝑞)
𝑝 ∨ 𝑞 ↔∼ (∼ 𝑝 ∧ ~𝑞)

𝑝
𝑞 ↔ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧∼ (𝑝 ∧ 𝑞)

𝑝
𝑞 ↔ (𝑝 ∧∼ 𝑞) ∨ (𝑞 ∧∼ 𝑝)

𝑝
𝑞 ↔∼ (𝑝 ↔ 𝑞)
Leyes asociativas
𝑃 ∧ 𝑄 → 𝑃;
𝑃∧𝑄 →𝑄
𝑟) ↔ [(𝑝 ∧ 𝑞)
(𝑝 ∧ 𝑟)]




(𝑝 → 𝑞) ↔ (∼ 𝑝 ∨ 𝑞)
(𝑝 → 𝑞) ↔∼ (𝑝 ∧∼ 𝑞)
(𝑝 ↔ 𝑞) ↔ (𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑝)
(𝑝 ↔ 𝑞) ↔ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞)
Ley de la contrarrecíproca

(𝑝 ↔ 𝑞) ↔ (∼ 𝑞 ↔∼ 𝑝)
Ley del silogismo Hipotético

(𝑝 ↔ 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑟) ↔ (𝑝 → 𝑟)
Principio de Sustitución. Sea una proposición P en cuya construcción interviene otra proposición 𝑸 .
Supóngase que la equivalencia lógica 𝑸 ↔ 𝑸′ es válida. Sea 𝑷′ la proposición resultante de sustituir a 𝑸 por
𝑸′ en 𝑷 . Entonces la equivalencia lógica es válida𝑷 ↔ 𝑷′ es valida.
Ejemplo. Consideremos la proposición
Si Juan no canta y María baila entonces María no baila
Sean:
P:Juan canta
Q:María baila
Entonces una simbolización de la proposición dada es:
~𝑃 ∧ 𝑄 → ~𝑄
La siguiente es una secuencia de proposiciones lógicamente equivalentes entre sí. Podemos considerar
que, a partir de la segunda, todas ellas se obtienen mediante aplicación del Principio de Sustitución, incluso
en aquellos casos en que una proposición se sustituye, en su totalidad, por otra lógicamente equivalente.
Entonces, en particular, tenemos que la equivalencia lógica:
[~𝑃 ∧ 𝑄 → ~𝑄] ↔ 𝑄 → 𝑃
Es valida. Es decir, la proposición original es lógicamente equivalente a:
Si María baila entonces Juan canta
TALLER
¿Cuál de las siguientes proposiciones es tautológicamente equivalente con 𝑃?
𝑃∨𝑄
𝑃 ∨∼ 𝑃
∼𝑃→𝑃
𝑃 → ~𝑃
𝑄 ∨∼ 𝑄 → 𝑃
Sean 𝐴, 𝐵, 𝐶 tres proposiciones atómicas distintas cualesquiera. Decidir mediante
las tablas de verdad cuales de las siguientes proposiciones son tautologías
 ∼ (𝐶 ∧∼ (𝐷 ∨ 𝐶)
 (𝑃 → 𝑄) → 𝑃
 𝐴 ∧ 𝐵 → (𝐴 ↔ 𝐵 ∨ 𝐶)
3. Para cada una de las siguientes proposiciones identifique cual es una tautología,
una contradicción o una contingencia
 𝑝 ∨ 𝑝,
 𝑝 ∨∼ 𝑝
 𝑝∧𝑝
 𝑝→𝑝
 (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∨ 𝑞)
4. Utilizando la proposición (∼ 𝑝 ∨ 𝑞) , mediante la tabla de verdad, determine a
cuáles de las siguientes proposiciones implican tautológicamente.( Sugerencia:
determine cuales proposiciones de la forma (∼ 𝑝 ∨ 𝑞) →?son tautologías)
 𝑝
 𝑞→𝑝
 𝑝→𝑞
 ~𝑞 → ~𝑝
 ~𝑝 ∧ 𝑞
5.
1.





2.