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Unidad PC.3: Coordenadas polares y números complejos
Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Identidades de ángulo doble
A descubrir las identidades
Parte 1:
Se les dará a los estudiantes una identidad (no básica) sin decírseles que se trata de una identidad.
Como tienen más experiencia con ecuaciones condicionales, asumirán que es únicamente cierta para
ciertos valores de la variable. Rétalos a encontrar una solución adivinando y luego verificando sus
hipótesis en la calculadora. Reúne todas las soluciones "correctas" y discútelas. Continúa dándoles más
ejemplos y termina con una condicional. Lo más probable es que no habrá ningún estudiante que
encuentre accidentalmente una solución de la condicional.
1. Diles a los estudiantes que es hora de hacer un juego rápido para ver quién es el estudiante con más
suerte de la clase. Primero, cada estudiante debe escoger un ángulo cuyos valores trigonométricos
haya memorizado. Diles que no le digan a nadie cuál es su ángulo especial. Pídeles que utilicen la
medida radián para cada comparación más tarde. (Otra cosa que puedes hacer es usar calculadora y
permitirles que escojan cualquier valor del ángulo.)
2. Ahora diles que tienes una ecuación especial cuya respuesta los miembros con suerte de la clase han
adivinado. Escribe lo siguiente en la pizarra: 1 + (tan x)2 = (sec x)2. Pídeles que introduzcan su ángulo
para ver si son la persona con suerte con la solución correcta, pero que no se lo digan a nadie.
3. Ahora, diles que verán unas cuantas más para ver quién tiene más suerte que nadie. Intenta la
siguiente ecuación como segundo ejemplo: sen x = cos (𝜋/2 - x). Intenta esta para la tercera: (1 - cos
x)(1 + cos x) = (sen x)2.
4. Finalmente, pídeles que intenten la siguiente como cuarto y último ejemplo: 2 sen x = 1 - 5 sen x.
5. Ahora pregúntales: ¿quién es la persona con suerte? A menos que hayan hecho un error de cálculo,
lo que adivinaron todos debe haber satisfecho las primeras tres identidades, y nadie debe haber
satisfecho con su adivinanza la condicional final. ¿Qué está sucediendo?
6. Entabla una discusión: ¿alguien tiene idea de lo que está pasando? Si nadie recuerda el concepto de
los enunciados condicionales versus las identidades de Álgebra 1, pídeles que consideren las
siguientes dos ecuaciones sencillas de Álgebra 1: 3(2x - 2) - x = 5x – 6, y 3(2x - 2) - x = 4x - 6.
Parte 2:
Con algo de ayuda, los estudiantes descubrirán las identidades recíprocas, pares/impares y de
cofunción. Se llevará a cabo un estudio de los seis valores trigonométricos de un ángulo para hacer
observaciones que lleven a las identidades recíprocas. Un estudio de los seis valores trigonométricos de
un ángulo, en comparación con los del negativo del mismo ángulo, les ayudará a los estudiantes a ver la
lógica de las identidades pares/impares. Finalmente, los estudiantes observarán las identidades de
cofunción por medio de un estudio de las seis funciones trigonométricas de cada uno de los ángulos
oblicuos del mismo triángulo rectángulo.
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Matemáticas
Ejemplo para plan de lección - Identidades de ángulo doble
1. Por medio de observaciones y ejemplos sencillos, debes poder hacer que los estudiantes generen las
identidades recíprocas, pares/impares y de cofunción.
2. Recíprocas: estas son las más sencillas y son el resultado directo de las definiciones de las seis
funciones.
a. Pídeles a los estudiantes que dibujen un triángulo rectángulo con longitudes laterales de 3, 4 y
5, y que el ángulo x esté del lado opuesto del 4.
b. Pídeles que enumeren los valores de las seis identidades trigonométricas del ángulo x en forma
de fracción.
c. Pídeles que se dividan en parejas y observen cuáles pares de funciones trigonométricas usan los
mismos lados. ¿Cómo podemos expresar la relación en forma general? (Por ej., el sen x y el csc x
usan el "4" y el "5", con uno en la recíproca del otro: sen x = 1/(cos).) Confirma que el patrón se
mantenga al observar nuestros datos memorizados usando x, y y t, así como el adyacente, el
opuesto y la hipotenusa.
3. Identidades pares/impares: ahora tendremos que ir al plano cartesiano.
a. Pídeles que usen el mismo ángulo x del problema anterior y que lo pongan en los ejes de x y de
y. Coloquen el ángulo x en el mismo conjunto de ejes.
b. Mencionen los valores de seno, coseno y tangente de ambos ángulos: ¿qué observas? (sen (-x) =
- sen x , etc.)
c. En parejas, los estudiantes deberán discutir lo que ven y probar sus reglas hipotéticas con
ángulos generados al azar en una calculadora.
4. Identidades de cofunción: no son difíciles de ver con el arreglo adecuado:
a. Regresen al primer diagrama y rotulen el segundo ángulo agudo y (el opuesto del lado con
longitud de 3).
b. Ya tienen una lista de los valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo x; ahora
pídeles que hagan lo mismo con el ángulo y.
c. Como en ambos casos estamos usando los mismos tres lados, no debe sorprenderles que
obtengamos las mismas seis razones.
d. Pídeles que generalicen el patrón que ven, incluida la relación entre x y y. Oriéntalos de ser
necesario para llevarlos de sen x = cos y hasta t.
Fuente: www.curriculumframer.com
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