Download GUÃ A Variables aleatorias , funcion probabilidad

Conceptos previos.
RANGO
Rango o recorrido es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos.
DESVIACIÓN ESTÁNDAR o TÍPICA
Es una medida de dispersión y nos indica cuánto tienden a alejarse los datos del
promedio aritmético.
Para calcular la desviación estándar (  ) se utiliza la siguiente fórmula:
Para datos no agrupados
x  x  x
2

1
2 x
  x
2
3 x

2

 ...  x n  x

2
n
Para datos agrupados en tablas de frecuencia


f1 x1  x

2

 f2 x 2  x

2

 f3 x 3  x

2

 ...  fn x n  x

2
f1  f2  f3  . . .  fn
Donde x i = marca de clase, f i = frecuencia,
PROPIEDADES
Sea x una variable aleatoria y k un número real
1)  (x) ≥ 0 2) (k) = 0 3)  (x + k) =  (x)
4)  (kx) = k·  (x)
Varianza es otra medida de dispersión que corresponde al cuadrado de la
desviación estándar. Es decir Varianza = 2
x  x  x

2
2
2 
1

f1 x1  x

2
2
x
  x
2
3
x

2

 ...  x n  x

2
f1  f2  f3  . . .  fn

 f2 x 2  x

2

 f3 x 3  x

f1  f2  f3  . . .  fn
2

 ...  fn xn  x

2
PROPIEDADES DE LA VARIANZA
Sea x una variable aleatoria y k un número real
1) Var (x) ≥ 0
2) Var (k) = 0
3) Var (x + k) = Var (x)
4) Var (kx) = k2 · Var(x)
Ejercicios
1. El rango en el conjunto de datos {3, 7, 8, 11, 1, 10, 15, 20, 21, 22, 24, 23} es
A) 12 B) 20 C) 21 D) 22 E) 23
2. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) SIEMPRE verdadera(s)?
I) La desviación estándar es un número real no negativo.
II) La diferencia entre un dato y el promedio de la muestra puede ser positiva o
negativa.
III) El rango es una medida de dispersión que puede ser negativa.
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo II y III D) I, II y III
E) Ninguna de ellas
3. Con respecto a la tabla de frecuencias adjunta, ¿cuál(es) de la siguientes
proposiciones es (son) verdadera(s)?
I) El promedio es 6.
II) El total de datos es 5.
III) La desviación estándar es 6 .
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
4. En una familia las edades de sus hijos son 3, 4, 7, 9 y 12 años. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Si todos aumentaran un año, entonces la media sería 5 unidades mayor.
II) La muestra es amodal.
III) La desviación estándar es de 10, 8 años.
A) Solo II B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) Solo II y III.
5. Se tiene un conjunto de 4 números enteros cuya desviación estándar es p. Si a
cada valor
se agregan 3 unidades. Entonces, la nueva desviación estándar es
A) p + 3
B) 4p
C) p
D) p + 12
E) 12p.
6. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) La varianza puede ser igual a la desviación estándar.
II) Si sumamos a todos los valores de la variable una constante, la varianza no
cambia.
III) La varianza es la raíz cuadrada de la desviación estándar.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
7. Al analizar los puntajes de los 4 controles realizados por Juan y Pedro, se
obtuvieron los
siguientes resultados:
Promedio
Juan
Pedro
613
613
Desviación
54,47 168,74
De acuerdo con esta
información, ¿cuál(es)
estándar
de las siguientes
afirmaciones es (son)
siempre verdadera(s)?
I) Juan tiene puntajes más cercanos a su promedio.
II) Ambos han obtenido los mismos puntajes en los controles.
III) Existe un error en el cálculo de las desviaciones estándar de Pedro o de
Juan, porque ambos tienen el mismo promedio.
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
8. Se tienen cuatro números x, y, z, w cuya varianza es , entonces la varianza de
kx, ky, kz, kw, con k un número natural, es
A) 4k 
B) k4
C) k2
D) k 
E) 4(k + )
9. Sea una desviación estándar , tal que 0 <  < 1, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones son siempre verdadera(s)?
I) La varianza es mayor que la desviación estándar.
II) La media aritmética esta entre cero y uno.
III) La mediana esta entre cero y uno.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo II y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas
10. De acuerdo a la tabla adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es
(son)
verdadera(s)?
xi
(xi – x )2
I) A + B = 5
II) La desviación estándar es
III) La varianza es 2.
A) Solo I
de ellas
B) Solo II
C) Solo II y III
2
D) I, II y III
E) Ninguna
4
B
5
1
6
0
7
A
8
4
11. En una muestra de 10 datos se obtiene una desviación estándar igual a 1,5. Si
a cada elemento de la muestra se agregan 10 unidades, entonces, la nueva
desviación estándar y varianza son, respectivamente
A) 101,5 y 102,25
B) 101,5 y 12,25
C) 11,5 y 12,25
D) 1,5 y 102,25
E) 1,5 y 2,25
VARIABLES ALEATORIAS
Se llama VARIABLE ALEATORIA a toda función en que a cada elemento del
espacio muestral de un experimento aleatorio le asocia un número real, estas
pueden ser variables aleatorias discretas o variables aleatorias continuas
OBSERVACIÓN: Se simbolizan con letras mayúsculas, por ejemplo: X ; Y ; Z ;…
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS (VAD)
Son aquellas que pueden tomar una cantidad finita de valores
Ejemplos: Suma de puntos en el lanzamiento de dos dados, las preguntas
correctas en una prueba, números de hijos de una familia etc.
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (VAC)
Son aquellas que pueden tomar todos los valores posibles dentro de un cierto
intervalo en los números reales.
Ejemplos: peso de los alumnos de un curso, tiempo de funcionamiento de un
dispositivo electrónico, cantidad de agua consumida en mes por una familia, etc.
EJEMPLO:
Se define la variable aleatoria X como el número de hijos varones que puede
tener un matrimonio que tiene tres hijos. La tabla muestra los posibles resultados,
representando con m a las hijas y con v a los hijos, y los valores de la variable X:
Resultados posibles
Valores de x
(m, m, m)
0
(v, m, m); (m, v, m); (m, m, v)
1
(v, v, m); (v, m, v); (m, v, v)
2
(v, v, v)
3
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta “X” a la
aplicación que asocia a cada valor de xi de la variable su probabilidad pi. Se
denota por f(x) = P(X = xi)
PROPIEDADES
1. 0  f(xi)  1
2. f(x1) + f(x2) + … + f(xn) = 1
EJEMPLO
Definida la variable X como el número de hijos varones que puede tener un
matrimonio que tiene tres hijos. La tabla muestra la probabilidad para los
diferentes valores de X:
Resultados posibles
El Dom. tiene 4 elementos y el
Rec. tiene 2
Valores
de x
f(xi) = P(X = xi)
(m, m, m)
0
1/ 8
(v, m, m); (m, v, m); (m, m, v)
1
3/ 8
(v, v, m); (v, m, v); (m, v, v)
2
3/ 8
(v, v, v)
3
1/ 8
Dom
Rec
f(x1)  f(x 2 )  f(x 3 )  f(x 4 )  1
1 3 3 1
   1
8 8 8 8
12. Se lanza dos veces un dado y se define la variable aleatoria X, como el valor
absoluto de la diferencia de los puntos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es
(son) verdadera(s)?
I) X es una variable aleatoria discreta.
II) El recorrido de la variable tiene 6 elementos.
III) El conjunto de valores posibles de variable aleatoria X son {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
13. Una bolsa contiene 4 cubos azules y 3 verdes, el experimento consiste en sacar
dos cubos uno tras otro sin reposición. Si se define la variable aleatoria X: número
de cubos azules obtenidos, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I) Los valores de la variable aleatoria son {0, 1, 2}
II) El máximo de cubos azules que se pueden obtener en el experimento es cuatro.
III) P(1) = 4/ 7
A) Solo II
B) Solo I y II
C) Solo II y III
D) Solo I y III
E) I , II y III
14. Una bolsa contiene 3 pañuelos de seda en buen estado y 2 pañuelos con
algunas fallas.
Se extraen dos pañuelos sin devolución. Se define la variable aleatoria X de la
siguiente forma
1, si son dos con fallas

x   0, si uno es bueno y el otro fallado
 1 si son dos en buen estado

¿Cuál de las alternativas corresponde a la función de probabilidad de la variable
aleatoria?
15. En una urna hay 4 fichas marcadas con el número 2; 4 fichas con el 0 y 4
fichas con el -2.
El experimento consiste en sacar dos fichas sin reposición, y se define la variable
aleatoria
X como el producto de los números que tienen las fichas que se sacan.
¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I) Los posibles valores de variable aleatoria X son {4, 0, -4}.
II) P(x = -4) > P(x = 4)
III) P(x = 0) = 8/ 33
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I , II y III
16. La tabla adjunta, muestra la función de probabilidades de una variable
aleatoria X
Entonces, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I) P(20  x < 40) = 0,85
II) P(x  5) = 0
III) P(x ≥ 30) = 1 – P(x  30)
A) Solo II
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) Solo II y III
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
La función de distribución de probabilidad F(x) asocia a cada valor de x la
probabilidad acumulada, es decir F(x) = P(X  x).
PROPIEDADES
1. Como F(x) es una probabilidad, se cumple que 0  F(x)  1
2. Si a < b, entonces P(a < x  b) = F (b) – F (a)
3. P(X > a) = 1 – P(X  a) = 1 – F(a)
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD  asociada a  Frecuencia relativa
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD  asociada a  Frecuencia relativa
acumulada
Ejemplo
17. Para la variable X definida como el número de hijos varones que puede tener
un matrimonio que tiene tres hijos, la siguiente tabla muestra la función
probabilidad para los diferentes valores de X:
Ejercicios
18. La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de la variable aleatoria X
¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I) El valor de m = 0,26.
II) P(x ≥ 1) = 0,74
III) P(x ≥ 0) = 1 – P(x = -1)
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
19. La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria
W:
W
[1, 2[
[2, 3[
[3, 4[
[4, 5[
P(W=wi
0,1
0,3
0,2
0,4
¿Cuál es el gráfico de la función de distribución de probabilidad de la variable
aleatoria W?
20. Si la función de distribución de una variable aleatoria X está dada en la tabla
adjunta, entonces, el valor de P(X = 3) es
A) 0,30
B) 0,45
C) 0,50
D) 0,20
E) 1,00
21. Se define la función de distribución de la variable aleatoria X como: f(x) =
1
1 donde x ≥ 1, entonces P(2 < x  4) es
x
A) 3/ 8
B) 1/ 3
C) 1/ 4
D) 1/ 2
E) 1/ 12
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Para variables aleatorias continuas X, la función de
probabilidad es denominada Función de densidad de
probabilidad, es una función continua y la probabilidad
de que la variable esté comprendida en el intervalo [a,
b] está dada por el área bajo la curva de la función
entre los puntos a y b.
P(a < x < b)
La distribución más importante dentro de las
distribuciones continuas es la Distribución Normal.
Es un modelo matemático, que recibe su nombre debido a que en cierto
momento se pensó que la mayoría de los fenómenos estaban distribuidos de
dicha manera. Esta distribución permite representar fenómenos estadísticos de
manera probabilística.
El gráfico de la función de densidad de una variable
aleatoria con distribución normal es similar al
mostrado en la figura, es decir tiene una forma
conocida como Campana de Gauss, y es simétrico
con respecto a la media, . Esta distribución queda
definida por dos parámetros: la media () y la
desviación estándar (), y se denota X ~ N( ; ).
CARACTERÍSTICAS
1. El área bajo la curva es igual a la unidad
2. Es simétrica con respecto a x =  , y deja un área igual a 0,5 a la izquierda y
otra de 0,5 a la derecha, es decir, hay una probabilidad del 50% de observar
un dato mayor a la media y un 50% de observar un dato menor a la media.
3. Es asintótica al eje de las abscisas, es decir, la curva se acerca lo más posible al
eje de las
X sin llegar a tocarlo.
4. La media, moda y mediana coinciden.
5. La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.
Además, se sabe que si una población tiene media  y desviación típica σ, se
cumple lo siguiente:
a. El 68,3% de los
individuos se encuentran
en el intervalo
b. El 95,5% de los
individuos se encuentran
en el intervalo
[μ –σ, μ + σ]
[μ–2σ, μ+2σ]
c. El 99,7% de
individuos
encuentran
en
intervalo
[μ–3σ, μ + 3σ]
los
se
el
La distribución normal describe la distribución de datos, que en general se
relacionan con mediciones relacionadas con variables, tales como, el tamaño de
las especies, rendimiento intelectual, variables sociales, etc.
Se puede demostrar que si x es una variable que se distribuye N (μ, σ)
x 
Utilizando la variable z 
, distribuirá N(0, 1).

A este procedimiento se le conoce como Tipificación o Estandarización
La ventaja de la variable Z es que existen valores tabulados para ella, de modo
que se pueden hacer cálculos de probabilidades y tamaños de grupos de
población con solo usar correctamente la tabla, y luego hacer los cálculos
correspondientes.
Tabla que esta como anexo al final de este documento
EJERCICIOS
22. La longitud, en cm, de los palillos que fabrica una empresa, tiene una
distribución
N(10 ; 0,3). ¿Cuál es la probabilidad de que un palillo mida menos de 10 cm?
A) 1
B) 0,7
C) 0,5
D) 0,4
E) 0,3
23. En una distribución normal estándar si P(X  a) = m; entonces P(X > a) =
A) -m
B) m
C) m – 1
D) 1 – m
E) no se puede determinar.
24. Si X ~ N(0, 1) , entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdaderas?
I) La probabilidad P(X < 0) es 50%.
II) P(X > 2,1) = 1 – P(X < 2,1).
III) P(X = 0,5) = 0.
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
25. En una distribución normal N(90, 15), ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones
es (son)
verdadera(s)?
I) P(90 < x < 105) = 0,3413
II) P(60 < x < 90 ) = 0,4772
III) P(105 < x < 120) = 0,1359
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo II y III
D) I , II y III
E) Ninguna de ellas
26. En una distribución normal estándar X ~ N(0, 1), ¿Cuál de las alternativas NO es
la correcta?
A) P( x  2) = 0,9773
B) P( x  -2) = 0,025
C) P( x ≥ 2) = 0,025
D) P( x ≥ -2) = 0,9773
E) P(-2  x  2) = 0,0456
27. El tiempo de duración que tienen los focos fabricados por una empresa, se
distribuye en forma normal con media 1.020 horas y desviación estándar 51 horas.
¿Cuál es la probabilidad en porcentaje de que dure más de 1.173 horas?
A) 0,27%
B) 2,7 %
C) 0,027%
D) 0,15%
E) 13,5%
28. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a tres distribuciones de
probabilidad normal con la misma media y diferentes desviaciones estándar?
29 Los promedios obtenidos por los alumnos de un colegio, en su último semestre
de cuarto medio, tiene una distribución N(5,0 ; 0,8). ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
a)
b)
c)
d)
e)
Aproximadamente, el 68% de los alumnos tiene promedio entre 4,2 y
5,8.
Aproximadamente, el 2,3% de los alumnos tiene promedio menor a 3,4.
Un 13,6%, aproximadamente, tiene promedio entre 5,8 y 6,6.
Solo I
Solo II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
30. Sea una distribución normal N (18,6 ; 2,6), entonces ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es FALSA?
a)
b)
c)
d)
e)
La desviación estándar es igual a 2,6
El promedio de la muestra es 18,6
P(X > 18,6 ) = 0,5
P (X < 2,6 ) = 0,5
P( 16,0  X  21,2 ) = 68%
31. Sea F(x) una función de distribución de probabilidad de una variable aleatoria
discreta de valores { 0, 1, 2, 3 }, equiprobable, entonces los valores de z e y,
respectivamente son:
1
y1
2
1 1
b)
y
2 2
3
c)
y1
4
1
d) 1 y
2
3
e) 1 y
4
1
 si
4

F(x)  P(X  x) 1 si
2
 z si

 y si
a)
0  x 1
1 x  2
2x3
3x
32. La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de variable aleatoria x
X
-1
0
1
2
3
P( X = xi )
0,04
0,22
0,30
w
0,10
¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera (s)?
I. P(0  x  2)  0,64
a) Solo I
II.
P(x  0)  0,96
III.
P(x  1)  63%
b) Solo II
c) Solo III
d)Solo I y II
e) I, II y III
33. Si la función de distribución de una variable aleatoria x está dada en la tabla
adjunta, entonces el valor de
5
X
1
2
3
4
P(2  x  4) es
a)
b)
c)
d)
e)
30%
45%
50%
60%
20%
P( X = xi )
0,1
0,30
0,60
0,8
1
34. Sabiendo que en una función de probabilidad p(X ≤ 2) = 0,7
0,75.
Hallar
p(X > 2)
1
a)
4
y
p(X ≥ 2) =
3
10
9
20
3
d)
4
4
e)
5
c)
35. Sea X una variable con distribución normal. Se puede conocer cuántos
elementos están en el intervalo del promedio menos una desviación estándar y el
promedio más una desviación estándar, si se conoce que:
(1)
Un 68,3% de la muestra se encuentra en ese intervalo.
(2)
Todos los elementos de la muestra.
a) (1) por si sola
b) (2) por si sola
c) Ambas juntas (1) y (2)
d) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
e) Se requiere información adicional
36. Sea X una variable aleatoria discreta y F(x) la función distribución de
probabilidad. Se puede conocer la probabilidad de P(xi) si se conoce:
(1) F(x i 1)
(2) F(xi )
a)
b)
c)
d)
e)
(1) por si sola
(2) por si sola
Ambas juntas (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
17
1
8
1
9
2
0
E
A
B
A
C
D
A
C
E
D
E
C
D
C
C
A
Ej
m
E
B
D
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
7
2
8
2
9
3
0
3
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
6
C
C
D
E
D
E
D
A
E
D
C
E
C
B
B
E
Consideremos ahora que la tabla que entrega el DEMRE para la PSU
es la siguiente, que tiene solo valores positivos para z (ésta podría
estar más ampliada)
Si Z es una variable aleatoria
continua, tal que Z  N(0, 1) y
donde la parte sombreada de la
figura representa a P(Z  z),
entonces se verifica que:
(z representa la cantidad de
desviaciones estándar, P(Z  z)
representa la probabilidad de
obtener una variable de esa área
sombreada)
En distribuciones normales
La tabla nos da las probabilidades de P(Z ≤ z ), siendo z la variable
tipificada.
Estas pr obabilidades nos dan la función de dist ribución
Búsqueda en la tabla de valor de z
Usar en forma correcta la simet ría de la campana de gauss
P(Z ≤ z)
P(Z > z) = 1 - P(Z ≤ z)
P(Z ≤ −z) = 1 − P(Z ≤ z)
P(Z > −z) = P(Z ≤ z)
P (a < Z ≤ b ) = P (Z ≤ b ) − P (Z ≤ a )
P ( − a < Z ≤ b ) = P (Z ≤ b ) + P (Z ≤ a ) - 1
Obs P(−a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − [1 − P( Z ≤ a )]
P ( − b < Z ≤ − a ) = P (a < Z ≤ b )
Ejercicios distribución Normal
Solamente con z se entra a la tabla 
z
xx

1. En una ciudad s e estima que la tempera tura máxima en el mes de
junio con una distri bución normal , tiene media 23° y desviación típica
5°.
Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar
máximas entre 21° y 27°.
Solución
p[21  x  27] Ahora tipificar
27  23 
 21 23
 p
Z
5 
 5
 p  0,4  Z  0,8 
 p(Z  0,8)  p(Z  0,4)1
=0,7881+ 0,6554-1=0,4435
Ahora 0,4435· 30 días = 13 días
2. La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y
la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se di stribuyen
normalmente , hallar cuántos estudiantes pesan:
Solución
a. Entre 60 kg y 75 kg.
 p 60  Z  75 Ahora
tipificar
75  70 
 60  70
 p
Z
3 
 3
 p  3,33  Z  1,67
 p(Z  3,33)  p(Z  1,67)  1
= 0,99957+0,95254 -1
= 0,95211
Ahora 0,9521· 500 estudiantes = 476 estudiantes
b. Más de 90 kg.
Solución
90  70 

p(x  90)  p  Z 
 p( Z  6,67 ) = 1 – 1 = 0
3 

Ahora 0· 500 = 0 estudiantes
c . Menos de 64 kg.
 p Z  64
64  70 

 p Z 
3 

 p( Z   2 )
 1 p(Z  2 ) = 1 0, 9772=
=0,02128
Ahora 0,02128 · 500 estudiantes = 11 estudiantes
d. 64 kg.
64  70 

p(x  64) p  z 
 p(z  2)  0 · 500  0
3 

Obs. El área bajo l a curva de un punto es cero , ya que la variable es
continua
3. Se supone que l os resultados de un examen siguen una distribución
normal con media 78 y desviación típica 36. Se pide:
a. ¿Cuál es la prob abilidad de que una persona que se presenta en
el examen obtenga una calificación superior a 72?
 72  78 
p  x  72   p 
  p(z  0,16 )  p(z  0,16 )  0,56356
 36 
b. Calcular la prop orción de estudiantes que tienen puntuaciones
que exceden p or l o menos en conco puntos de la puntuación que
marca la frontera entre Ap to y el No - Apto ( son declarados No aptos el 25% de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones mas
bajas).
So lu ci ón .
p[x  N]  0,25

N  78 

p Z 
=0 ,2 5
36 

N  78 

1 p  Z 
 0,25
36 


 r ec o de m o s q u e
N  78
< 0 
36
N  78
 0,68 de sp ejan d o  N =5 4 
36
 59  78 
p(x  54  5)  p(x  59)  p  z 
 p(z  0,53)  _____________________________  70,19%
36 

4. Tras un tes t de c ultura general se observa que las puntuaciones
obtenidas siguen una distribución normal N(65, 18). Se desea
clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general,
de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de
modo que hay en el primero un 20% l a población, un 65% el segu ndo
y un 15% en el terc ero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que
marcan el paso de un grupo al otro?
P(Z  z1)  0,2
z1  0,84
x1  65
 0,84
18
x1  49,88
P(Z  z 2 )  0,85
z 2  1,04
x 2  65
 1,04
18
x 2  83,72
Baja cultura has ta 49 puntos.
Cultura aceptable entre 50 y 83.
Excelente cultura a partir de 84 puntos.
5. Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una
ley normal con media 100 y desviación típica 15.
a. Determinar el porcentaje de población que obtendría un
coeficiente entre 95 y 110.
110  100 
 95  100
p( 95  x  110 )  p 
z
  p   0,33  z  0,67  
15
15


 ___________________________________________________________  el 37,79%
b. ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población?
p  0,75  z  0,675 
x  100
 0,675  x  110 Entonces
15
promedio es 100, 10 para cada lado
como el
[90, 100]
c. En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se
esperan que tengan un coeficiente superior a 125?
Solución
125  100 

p(x  125) p  z 
  p(z  1,67)  1 p(z  1,67)  1 0,9525  0,0475
15


Ahora 0,0475· 2.500  119
Ahora usaremos la tabla ampliada de la distribución Normal
EJERCI CIOS:
1. Alejandr o usa todos los días el colectivo de su barrio para llegar al
colegio. La frecuencia con la que pasa uno de ellos con pasaje
disponible tiene una distribución normal con un tiempo promedio de
15 minutos y des viación estándar de 3,5 minutos. ¿Cuál es la
probabilidad de que espere como máximo 12 minutos por un colectivo
con disponibilidad? 0,2
¿Qué porcentaje de colectivos suele demorarse más de 20 minutos en
pasar? 7,6%
2. El tiempo que demora el vuelo de un avión directo desde la ciudad
de Arica a Santiago tiene una distribución normal, con media de 3,5
horas y una desviación estándar de 0,4 horas. En un vuelo cualquiera,
¿cuál es la probabilidad de que demore más de 3,3 horas y menos de
3,6 horas ? 0,29
3. En algunos test, los puntajes asociados al coeficiente intelectual de
una persona se distribuyen en forma normal con media 100 y
desviación estándar igual a 16. Si se escoge al azar a una persona,
determina la probabilidad de que su c oeficiente intelectual:
a) sea mayor que 120. 0,1055
b) se encuentre entre 90 y 110. 0,468
4. El tiempo que se demoran los postulantes, año a año, en contestar
un test de ingreso a una escuela de idiomas se modela por una
distribución normal con media de 80 minutos y desviación estándar de
10 minutos . ¿Qué porcentaje de postulantes, se estima, terminará el
test antes de los 65 minutos? 0,066
5. La vida media de una pila (en horas) tiene una distribución N (150,
50). ¿Cuál es la pr obabilidad apro ximada de que dure menos de 50
horas? 0,022
6. En un colegio de 4000 estudiantes, las notas en Matemática tienen
una distribución N(5,2 ; 0,6). ¿Alrededor de cuántos estudiantes tienen
promedio s obre 6,0? 360
7. ¿Cuáles son los valores respectivos de la me dia y la desviación
estándar de una variable aleatoria con distribución normal estándar?
Media= 0; =1