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Problemas
(2°) Si se sabe que 𝑎 + 𝑏 = √135 , ¿cuál es el área del triángulo?
(1° 2°) Los dígitos 1, 3, 5, 8 y 9 son usados una vez cada uno para formar un
número de 5 dígitos 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒. Tal número cumple que el número de 3 dígitos 𝑎𝑏𝑐
es divisible por 11, el número 𝑏𝑐𝑑 es divisible por 3 y el número 𝑏𝑑𝑒 es divisible
por 5. ¿Cuántos de estos números hay? Si hay más de uno, encuentra la descomposición en
primos de la diferencia entre el más grande y el más chico. Si hay uno, encuentra su
descomposición en primos, y si no hay, explica por qué.
(2°) Un número de 5 dígitos se dice doble capicúa si es un número capicúa y además es la suma de
dos números capicúa de 4 dígitos. Encuentre todos los números doble capicúa.
(Prim) Los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son usados una vez cada uno para formar el número 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓. Si
el número 𝑎𝑏𝑐 es divisible por 4, 𝑏𝑐𝑑 es divisible por 5, 𝑐𝑑𝑒 es divisible por 3 y 𝑑𝑒𝑓 es divisible por
11, ¿cuál es el número 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓?
(2°, 3°) En el paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐷𝐸 corta a la diagonal 𝐴𝐶 en 𝐺 y a 𝐵𝐶 en 𝐹. Si 𝐷𝐺 = 6 y 𝐺𝐹 =
4, ¿cuánto mide 𝐷𝐸?
(prim, 1°) Si 𝑎 y 𝑏 son dos números enteros positivos que multiplicados dan 1998 y cuya diferencia
es la menor posible, ¿cuál es esa diferencia?
(prim, 1°) En la figura, 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 es un hexágono regular, y los
cuadrados 𝐵𝐴𝑋𝑌 y 𝐶𝐵𝑍𝑇 se trazan fuera del hexágono, mientras que
los cuadrados 𝐷𝐸𝑅𝑆 y 𝐷𝑃𝑄𝐶se trazan en el interior. ¿Cuál es la
diferencia entre las longitudes de los segmentos 𝑃𝑆 y 𝑌𝑍?
(prim, 1°, 2°) En la figura se muestra parte de un polígono regular de
20 lados 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 …, un cuadrado 𝐵𝐶𝑌𝑍 y un pentágono regular
𝐷𝐸𝑉𝑊𝑋. Demuestra que el punto 𝑋 se encuentra en la línea que une 𝐷 con 𝑌.
(prim, 1°) Decimos que un número se llama rodante si es de 4 dígitos y tiene al menos dos dígitos
consecutivos iguales. Por ejemplo, 3334 y 2199 son rodantes, pero 3131 no lo es. ¿Cuántos
números rodantes hay?
(2°) En la siguiente figura hay 2 círculos tangentes entre sí,
ambos de radio 4. Se trazó una línea desde el centro de uno de
ellos y que es tangente al otro. ¿Cuánto vale el área rayada?
(3°) Un círculo es tangente a tres de los lados de un rectángulo
de medidas 2 y 4, como en la figura. ¿Cuánto mide el segmento
𝐴𝐵?
(2°, 3°) En la secundaria Gibrailth (la cual es muy muy grande) los casilleros para los alumnos se
acomodan en grupos de 20. Cada grupo consiste de 6 columnas; las primeras dos contienen dos
casilleros grandes cada una, mientras que las restantes 4 tienen 4 casilleros pequeños cada una, y
se numeran como en la
figura:
a) ¿Cuánto vale la suma de los números en los casilleros de hasta abajo de los primeros 10
grupos?
b) La suma de los números de los casilleros de una columna es 287. ¿En qué grupo está y qué
números hay en ellos?
c) Misma pregunta que en b), pero la suma es 538
d) ¿La suma de los números de los casilleros de alguna columna puede ser 2013? ¿Por qué?
¿Y 2007?
(prim, 1°) Encuentra cuántos números enteros cumplen las siguientes 3 propiedades a la vez:
a) El número está entre 1000 y 10000
b) Sus dígitos son todos distintos y enteros consecutivos
c) Es múltiplo de 3
(2° 3°) ¿Cuántos números del 1 al 102014 hay tales que la suma de sus dígitos es 2?
(1°) Considera el número 2002! Claramente, 2001 lo divide. ¿Cuál es el número 𝑛 más grande tal
que 2001𝑛 divide a 2002! ?
(2° 3°) Considera dos posibles operaciones para hacerle a una fracción: 1) Sumarle 8 al numerador
y 2) Sumarle 7 al denominador. Se hicieron cierta cantidad 𝑛 ≥ 1 de operaciones (en algún orden)
7
8
a la fracción , y se obtuvo una fracción con el mismo
valor. ¿Cuál es el mínimo valor para 𝑛?
(prim) Un triángulo equilátero gira alrededor de un
cuadrado como se muestra en la figura. ¿Cuál es la
longitud del camino que describe el punto negro
hasta que regresa a su posición original?
(3°) Juana elige dos números 𝑎 y 𝑏 del conjunto {1, 2, … , 26} (tales números son distintos). El
producto 𝑎𝑏 es igual a la suma de los restantes 24 números. ¿Cuánto vale la diferencia entre 𝑎 y
𝑏?
(2° 3°) Sean 𝐴𝐵𝐶 un triángulo y 𝐴𝐷 la altura sobre el lado 𝐵𝐶. Tomando a 𝐷 como centro y a 𝐴𝐷
como radio, se traza una circunferencia que corta a la recta 𝐴𝐵 en 𝑃 y a 𝐴𝐶 en 𝑄. Demuestra que
el triángulo 𝐴𝑄𝑃 es semejante al triángulo 𝐴𝐵𝐶.
(prim 1° 2°) En la figura se muestra un polígono formado por dos
cuadrados, un triángulo de área 3𝜋, y un paralelogramo. ¿Cuál es el
área de la región sombreada?
(prim) Gaby escribe 12 números elegidos del 1
al 9 en una cuadrícula de 4x3, de tal manera que la suma de los números en
cada renglón y columna es la misma. ¿Qué número debe ir en la esquina
sombreada?
(2° 3°) Una caja contiene 900 cartas numeradas del 100 al 999, cada par de cartas tienen números
distintos. Carlos agarra cierta cantidad de cartas y calcula la suma de los dígitos del número de
cada carta que saca. ¿Cuántas cartas debe sacar al menos para asegurar que tiene 3 cartas con la
misma suma?
(prim) Los puntos 𝑃 y 𝑄 son vértices opuestos de un hexágono y 𝑅 y 𝑆 son
puntos medios de segmentos opuestos, como se muestra. Si el área del
hexágono es 138, ¿cuánto vale el producto entre las longitudes de 𝑃𝑄 y 𝑅𝑆?
(prim) En la figura, las áreas de los triángulos son 5 y 10 y las líneas 𝑎, 𝑏 y 𝑐
son paralelas. Si la distancia entre las líneas 𝑎 y 𝑐 es 6, ¿cuánto mide 𝑃𝑄?
(1° 2°) Varios triángulos isósceles que no se traslapan tienen un vértice 𝑂 en común. Cada
triángulo comparte un lado con su vecino de al lado. El ángulo más pequeño en 𝑂 de un triángulo
es 𝑚, donde 𝑚 es un entero positivo. Los otros triángulos tienen ángulos con medida
2𝑚, 3𝑚, 4𝑚, … y así sucesivamente. En la figura se ve un arreglo con 5 triángulos. ¿Cuál es el
mínimo valor que puede tomar 𝑚?
PRIMARIA EXAMEN
Los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son usados una vez cada uno para formar el número 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓. Si el
número 𝑎𝑏𝑐 es divisible por 4, 𝑏𝑐𝑑 es divisible por 5, 𝑐𝑑𝑒 es divisible por 3 y 𝑑𝑒𝑓 es divisible por
11, ¿cuál es el número 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓?
En la figura se muestra parte de un polígono regular de 20 lados 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 …, un cuadrado 𝐵𝐶𝑌𝑍 y
un pentágono regular 𝐷𝐸𝑉𝑊𝑋. Demuestra que el punto 𝑋 se encuentra en la línea que une 𝐷 con
𝑌.
Decimos que un número se llama rodante si es de 4 dígitos y tiene al menos dos dígitos
consecutivos iguales. Por ejemplo, 3334 y 2199 son rodantes, pero 3131 no lo es. ¿Cuántos
números rodantes hay?
Un triángulo equilátero gira alrededor de un cuadrado
como se muestra en la figura. ¿Cuál es la longitud del
camino que describe el punto negro hasta que regresa a
su posición original?
Si 𝑎 y 𝑏 son dos números enteros positivos que multiplicados dan 1998 y cuya diferencia es la
menor posible, ¿cuál es esa diferencia?
PRIMARIA EJERCICIOS
En la figura, 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 es un hexágono regular, y los cuadrados 𝐵𝐴𝑋𝑌 y
𝐶𝐵𝑍𝑇 se trazan fuera del hexágono, mientras que los cuadrados 𝐷𝐸𝑅𝑆 y
𝐷𝑃𝑄𝐶se trazan en el interior. ¿Cuál es la diferencia entre las longitudes
de los segmentos 𝑃𝑆 y 𝑌𝑍?
En la figura se muestra un polígono formado por dos cuadrados, un
triángulo de área 3𝜋, y un paralelogramo. ¿Cuál es el área de la región
sombreada?
Encuentra cuántos números enteros cumplen las siguientes 3 propiedades a la vez:
a) El número está entre 1000 y 10000
b) Sus dígitos son todos distintos y enteros consecutivos
c) Es múltiplo de 3
Gaby escribe 12 números elegidos del 1 al 9 en una cuadrícula de 4x3, de tal
manera que la suma de los números en cada renglón y columna es la misma.
¿Qué número debe ir en la esquina sombreada?
Los puntos 𝑃 y 𝑄 son vértices opuestos de un hexágono y 𝑅 y 𝑆 son puntos
medios de segmentos opuestos, como se muestra. Si el área del hexágono
es 138, ¿cuánto vale el producto entre las longitudes de 𝑃𝑄 y 𝑅𝑆?
En la figura, las áreas de los triángulos son 5 y 10 y las líneas 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son
paralelas. Si la distancia entre las líneas 𝑎 y 𝑐 es 6, ¿cuánto mide 𝑃𝑄?
1° SECUNDARIA EXAMEN
Los dígitos 1, 3, 5, 8 y 9 son usados una vez cada uno para formar un número de 5 dígitos 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒.
Tal número cumple que el número de 3 dígitos 𝑎𝑏𝑐 es divisible por 11, el número 𝑏𝑐𝑑 es divisible
por 3 y el número 𝑏𝑑𝑒 es divisible por 5. ¿Cuántos de estos números hay? Si hay más de uno,
encuentra la descomposición en primos de la diferencia entre el más grande y el más chico. Si hay
uno, encuentra su descomposición en primos, y si no hay, explica por qué.
Decimos que un número se llama rodante si es de 4 dígitos y tiene al menos dos dígitos
consecutivos iguales. Por ejemplo, 3334 y 2199 son rodantes, pero 3131 no lo es. ¿Cuántos
números rodantes hay?
Considera el número 2002! Claramente, 2001 lo divide. ¿Cuál es el número 𝑛 más grande tal que
2001𝑛 divide a 2002! ?
En la figura se muestra un polígono formado por dos cuadrados, un triángulo de área 3𝜋, y un
paralelogramo. ¿Cuál es el área de la región sombreada?
Varios triángulos isósceles que no se traslapan tienen un vértice 𝑂 en común. Cada triángulo
comparte un lado con su vecino de al lado. El ángulo más pequeño en 𝑂 de un triángulo es 𝑚,
donde 𝑚 es un entero positivo. Los otros triángulos tienen ángulos con medida 2𝑚, 3𝑚, 4𝑚, … y
así sucesivamente. En la figura se ve un arreglo con 5 triángulos. ¿Cuál es el mínimo valor que
puede tomar 𝑚?
1° SECUNDARIA EJERCICIOS
Si 𝑎 y 𝑏 son dos números enteros positivos que multiplicados dan 1998 y cuya diferencia es la
menor posible, ¿cuál es esa diferencia?
Encuentra cuántos números enteros cumplen las siguientes 3 propiedades a la vez:
a) El número está entre 1000 y 10000
b) Sus dígitos son todos distintos y enteros consecutivos
c) Es múltiplo de 3
En la figura, 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 es un hexágono regular, y los cuadrados 𝐵𝐴𝑋𝑌 y
𝐶𝐵𝑍𝑇 se trazan fuera del hexágono, mientras que los cuadrados 𝐷𝐸𝑅𝑆 y
𝐷𝑃𝑄𝐶se trazan en el interior. ¿Cuál es la diferencia entre las longitudes
de los segmentos 𝑃𝑆 y 𝑌𝑍?
En la figura se muestra parte de un polígono regular de 20 lados
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 …, un cuadrado 𝐵𝐶𝑌𝑍 y un pentágono regular 𝐷𝐸𝑉𝑊𝑋. Demuestra que el punto 𝑋 se
encuentra en la línea que une 𝐷 con 𝑌.
2° SECUNDARIA EXAMEN
Si se sabe que 𝑎 + 𝑏 = √135 , ¿cuál es el área del triángulo?
Un número de 5 dígitos se dice doble capicúa si es un número capicúa y además
es la suma de dos números capicúa de 4 dígitos. Encuentre todos los números
doble capicúa.
En el paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐷𝐸 corta a la diagonal 𝐴𝐶 en 𝐺 y a 𝐵𝐶 en 𝐹. Si
𝐷𝐺 = 6 y 𝐺𝐹 = 4, ¿cuánto mide
𝐷𝐸?
En la siguiente figura hay 2 círculos tangentes entre sí, ambos de radio 4. Se trazó una línea desde
el centro de uno de ellos y que es tangente al otro. ¿Cuánto vale el área rayada?
Una caja contiene 900 cartas numeradas del 100 al 999, cada par de cartas tienen números
distintos. Carlos agarra cierta cantidad de cartas y calcula la suma de los dígitos del número de
cada carta que saca. ¿Cuántas cartas debe sacar al menos para asegurar que tiene 3 cartas con la
misma suma?
2° SECUNDARIA EJERCICIOS
En la secundaria Gibrailth (la cual es muy muy grande) los casilleros para los alumnos se acomodan
en grupos de 20. Cada grupo consiste de 6 columnas; las primeras dos contienen dos casilleros
grandes cada una, mientras que las restantes 4 tienen 4 casilleros pequeños cada una, y se
numeran como en la figura:
a) ¿Cuánto vale la suma de los números en los casilleros de hasta abajo de los primeros 10
grupos?
b) La suma de los números de los casilleros de una columna es 287. ¿En qué grupo está y qué
números hay en ellos?
c) Misma pregunta que en b), pero la suma es 538
d) ¿La suma de los números de los casilleros de alguna columna puede ser 2013? ¿Por qué?
¿Y 2007?
En la figura se muestra parte de un polígono regular de 20 lados 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 …, un cuadrado 𝐵𝐶𝑌𝑍 y
un pentágono regular 𝐷𝐸𝑉𝑊𝑋. Demuestra que el punto 𝑋 se encuentra en la línea que une 𝐷 con
𝑌.
¿Cuántos números del 1 al 102014 hay tales que la suma de sus dígitos es 2?
Considera dos posibles operaciones para hacerle a una fracción: 1) Sumarle 8 al numerador y 2)
Sumarle 7 al denominador. Se hicieron cierta cantidad 𝑛 ≥ 1 de operaciones (en algún orden) a la
7
fracción 8, y se obtuvo una fracción con el mismo valor. ¿Cuál es el mínimo valor para 𝑛?
Sean 𝐴𝐵𝐶 un triángulo y 𝐴𝐷 la altura sobre el lado 𝐵𝐶. Tomando a 𝐷 como centro y a 𝐴𝐷 como
radio, se traza una circunferencia que corta a la recta 𝐴𝐵 en 𝑃 y a 𝐴𝐶 en 𝑄. Demuestra que el
triángulo 𝐴𝑄𝑃 es semejante al triángulo 𝐴𝐵𝐶.
En la figura se muestra un polígono formado por dos cuadrados, un
triángulo de área 3𝜋, y un paralelogramo. ¿Cuál es el área de la
región sombreada?
Los dígitos 1, 3, 5, 8 y 9 son usados una vez cada uno para formar un número de 5 dígitos 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒.
Tal número cumple que el número de 3 dígitos 𝑎𝑏𝑐 es divisible por 11, el número 𝑏𝑐𝑑 es divisible
por 3 y el número 𝑏𝑑𝑒 es divisible por 5. ¿Cuántos de estos números hay? Si hay más de uno,
encuentra la descomposición en primos de la diferencia entre el más grande y el más chico. Si hay
uno, encuentra su descomposición en primos, y si no hay, explica por qué.
Varios triángulos isósceles que no se traslapan tienen un vértice 𝑂 en común. Cada triángulo
comparte un lado con su vecino de al lado. El ángulo más pequeño en 𝑂 de un triángulo es 𝑚,
donde 𝑚 es un entero positivo. Los otros triángulos tienen ángulos con medida 2𝑚, 3𝑚, 4𝑚, … y
así sucesivamente. En la figura se ve un arreglo con 5 triángulos. ¿Cuál es el mínimo valor que
puede tomar 𝑚?
3° SECUNDARIA
Un círculo es tangente a tres de los lados de un rectángulo de
medidas 2 y 4, como en la figura. ¿Cuánto mide el segmento 𝐴𝐵?
En la secundaria Gibrailth (la cual es muy muy grande) los casilleros para los alumnos se acomodan
en grupos de 20. Cada grupo consiste de 6 columnas; las primeras dos contienen dos casilleros
grandes cada una, mientras que las restantes 4 tienen 4 casilleros pequeños cada una, y se
numeran como en la figura:
a) ¿Cuánto vale la suma de los números en los casilleros de hasta abajo de los primeros 10
grupos?
b) La suma de los números de los casilleros de una columna es 287. ¿En qué grupo está y qué
números hay en ellos?
c) Misma pregunta que en b), pero la suma es 538
d) ¿La suma de los números de los casilleros de alguna columna puede ser 2013? ¿Por qué?
¿Y 2007?
¿Cuántos números del 1 al 102014 hay tales que la suma de sus dígitos es 2?
Considera dos posibles operaciones para hacerle a una fracción: 1) Sumarle 8 al numerador y 2)
Sumarle 7 al denominador. Se hicieron cierta cantidad 𝑛 ≥ 1 de operaciones (en algún orden) a la
7
fracción 8, y se obtuvo una fracción con el mismo valor. ¿Cuál es el mínimo valor para 𝑛?
Sean 𝐴𝐵𝐶 un triángulo y 𝐴𝐷 la altura sobre el lado 𝐵𝐶. Tomando a 𝐷 como centro y a 𝐴𝐷 como
radio, se traza una circunferencia que corta a la recta 𝐴𝐵 en 𝑃 y a 𝐴𝐶 en 𝑄. Demuestra que el
triángulo 𝐴𝑄𝑃 es semejante al triángulo 𝐴𝐵𝐶.
3° SECUNDARIA EJERCICIOS
Juana elige dos números 𝑎 y 𝑏 del conjunto {1, 2, … , 26} (tales números son distintos). El producto
𝑎𝑏 es igual a la suma de los restantes 24 números. ¿Cuánto vale la diferencia entre 𝑎 y 𝑏?
En el paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐷𝐸 corta a la diagonal 𝐴𝐶 en 𝐺 y a 𝐵𝐶 en 𝐹. Si 𝐷𝐺 = 6 y 𝐺𝐹 = 4,
¿cuánto mide 𝐷𝐸?
En la siguiente figura hay 2 círculos tangentes entre sí, ambos de
radio 4. Se trazó una línea desde el centro de uno de ellos y que
es tangente al otro. ¿Cuánto vale el área rayada?
Una caja contiene 900 cartas numeradas del 100 al 999, cada par
de cartas tienen números distintos. Carlos agarra cierta cantidad de cartas y calcula la suma de los
dígitos del número de cada carta que saca. ¿Cuántas cartas debe sacar al menos para asegurar que
tiene 3 cartas con la misma suma?