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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
CURSO: ENSEÑANZA DE LA FÍSICA –MECÁNICA-
ACELERÓMETRO DEL CELULAR
PHYSICSSENSOR
Diego L. Aristizábal R.
Profesor asociado con tenencia de cargo, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín
Mayo de 2014
ÍNDICE
1.
2.
3.
4.
Gravedad efectiva
¿Qué es lo que mide un acelerómetro?
El acelerómetro del celular
El programa Acelerómetro Celular ANDROID de PhysicsSensor
1. Gravedad efectiva
Un péndulo simple de longitud L que se cuelga del techo de un vehículo el cual se mueve con una
aceleración
a
respecto a un marco de referencia inercial sirve de acelerómetro, es decir se
puede usar para medir esta aceleración.
Para analizar se elegirá como marco de referencia inercial al suelo O. Las fuerzas que actúan
sobre la masa pendular son la fuerza de tensión
F
y su peso
P.
Por lo tanto aplicando la
segunda ley de Newton se obtiene,
F + P = m a p/o
En donde
a p/o
corresponde a la aceleración de la masa pendular respecto al marco de
referencia inercial O. Ahora si
O’ se tiene,
a p/o'  a p/o  a o'/o
y por lo tanto,
a p/o'
es la aceleración de la masa pendular respecto al vehículo
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2
a p/o  a p/o'  a o'/o
a p/o  a p/o'  a
y se obtiene,
F + P = m  a p/o'  a 
F + P - m a = m a p/o'
2
F + m g - m a = m a p/o'
F + m  g - a  = m a p/o'
Por lo tanto se concluye el movimiento del péndulo visto desde el vehículo es equivalente al de
un péndulo normal en un sistema en reposo, si se cambia la gravedad en este caso por una
gravedad efectiva,
gefectiva = g - a
[1]
donde tanto la gravedad como la aceleración deben ser tratados vectorialmente.
Esta es una expresión general en donde
a
es la aceleración del vehículo en donde se encuentra
el péndulo, g efectiva la aceleración de la gravedad medida dentro del vehículo o mejor la
gravedad efectiva y g la aceleración de la gravedad REAL o mejor la gravedad medida desde
un marco de referencia inercial.
El péndulo simple al oscilar tiene un periodo P que se calcula para pequeñas oscilaciones
mediante la expresión,
P = 2π
L
g
En este caso
P = 2π
g será la magnitud de la gravedad efectiva g efectiva ,
L
g efectiva
[2]
Para mayor claridad se analizarán tres casos, en los cuales se podrá observar que conocido el
periodo se puede calcular la magnitud de la aceleración
a
:
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
El vehículo es un ascensor que se mueve verticalmente con aceleración

El vehículo es un auto que se mueve horizontalmente con aceleración

El vehículo es un cajón que desliza por un plano inclinado muy liso con aceleración
3
a.
a.
Caso 1: El vehículo es un ascensor que se mueve verticalmente con aceleración
a.
a.
En la Figura 1 se ilustra esta situación. Aplicando la ecuación [1] se obtiene
3
gefectiva = - g ˆj - a ˆj
gefectiva = -  g + a  ˆj
Figura 4
El periodo de oscilación es con base en la ecuación [2],
P = 2π
L
g+a
si descendiera con esa aceleración el resultado sería,
g efectiva = -  g - a  ˆj
y el periodo de oscilaciones,
P = 2π
L
g-a
y en caída libre,
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gefectiva = 0
y por lo tanto el periodo es infinito es decir el péndulo no oscila.
Caso 2: El vehículo es un ascensor que se mueve horizontalmente con aceleración
a.
En la Figura 2 se ilustra esta situación. Aplicando la ecuación [1] se obtiene
4
Figura 2
gefectiva = - g ˆj - a ˆi
es decir,
g efectiva = g 2 + a 2
Y por lo tanto el periodo de oscilación es,
P = 2π
L
g2 + a 2
Caso 3:El vehículo es un cajón que desliza por un plano inclinado muy liso con aceleración
a.
En la Figura 2 se ilustra esta situación. La aceleración la de un cuerpo que desliza por en un
plano inclinado, sin rozamiento ni rodadura, es debida exclusivamente a la componente del peso
paralela al plano (ya que la componente normal es compensada por la reacción del plano). Por lo
tanto,
a = g senφ ˆi
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Aplicando [1],


g efectiva = g senφ ˆi - g cosφ ˆj - g senφ ˆi
y por lo tanto,
gefectiva = - g cos φ ˆj
Esto quiere decir que la gravedad efectiva es perpendicular al plano inclinado, y por tanto al
suelo del cajón. Es decir, un observador situado en el interior del cajón sin acceso al exterior,
vería el péndulo colgando normalmente.
Figura 3
El periodo de oscilación es,
P = 2π
L
g cosφ
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2. ¿Qué es lo que mide un acelerómetro?
Un acelerómetro NO MIDE la aceleración de la gravedad.
Un acelerómetro mide la aceleración que generaría la fuerza neta que actúa sobre el
cuerpo en el cual se encuentra apoyado pero sin tener en cuenta el peso del mismo. Esta
aceleración, que en este documento se denotará como g'efectiva es el NEGATIVO de la
denominada gravedad efectiva g efectiva . Por lo tanto según la ecuación [1] es,
g'efectiva = a - g
[2]
en donde la aceleración a es la aceleración del cuerpo sobre el que se apoya el
acelerómetro y es medida desde un marco de referencia inercial y g la aceleración de
la gravedad REAL en la superficie de la Tierra ( g = 9,81 m.s-2, es su valor estándar).
La unidad utilizada por los acelerómetros es la unidad g : que es en magnitud la aceleración de
la gravedad en el planeta Tierra en “caída libre”, es decir en condiciones ideales (sin atmósfera
u otro rozamiento). Una aceleración de 1 g es generalmente es igual a la gravedad estándar,
que es de 9.80665 m/s2 (aproximada a 9,81 m/s2).
2.1 Análisis dinámico con base en la segunda ley de Newton
Si un cuerpo tiene una aceleración
a respecto a un marco de referencia inercial se cumple,
F = m a
Por lo tanto,
  F
otras
+ P=ma
  F
En donde
otras
corresponde a la suma de las fuerzas sin tener en cuenta la fuerza de
gravedad, es decir sin tener en cuenta el peso
  F
otras
a g 
+ mg=ma
  F
m
otras
P,
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En donde,
g'efectiva =
  F
otras
m
[3]
Esta es la aceleración medida por el acelerómetro, es decir es el negativo de la gravedad
efectiva (observar que es precisamente la aceleración que tendría el cuerpo si se computan las
fuerzas que actúan sobre él sin tener en cuenta su peso), y por lo tanto,
7
a = g + g'efectiva
que es la ecuación [2].
A continuación se analizarán algunos ejemplos para lograr aclarar estos conceptos.
2.2 Ejemplos
Un acelerómetro está ligado a un cuerpo. En cada una de las siguientes situaciones se deberá
reportar la lectura del acelerómetro.
(a) Si el cuerpo está en “caída libre” observado desde un marco de referencia inercial ( a = g )
la única fuerza que actúa sobre éste es el PESO. Por lo tanto g'efectiva es igual a cero ya que
no hay una fuerza diferente a éste que genere una aceleración. El acelerómetro estará en
el estado de la Figura 4(a). Este valor se puede verificar aplicando la ecuación [2].
(b) Si el cuerpo está reposando sobre una superficie horizontal, es decir, la aceleración
medida desde un marco de referencia inercial es
a = 0 , la g'efectiva es igual + g ya que la
fuerza normal (fuerza que ejerce el piso sobre el cuerpo) si actuara sola sobre el cuerpo
generaría una aceleración igual a la aceleración de la gravedad pero verticalmente hacia
arriba. El acelerómetro estará en el estado de la Figura 4(b).
(c) Si el cuerpo está reposando en el piso de un ascensor que sube con una aceleración
a
medida desde un marco de referencia inercial, la g'efectiva es igual según la ecuación [2] a
a + g . Esta es la aceleración que generaría la acción de la fuerza normal si actuara sola
sobre el cuerpo. En la Figura 4(c) se ilustra un caso.
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Figura 4: Los acelerómetros están en unidades g
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(d) Si el cuerpo está reposando en el piso de un ascensor que baja con una aceleración
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a
medida desde un marco de referencia inercial, la g'efectiva es igual según la ecuación [2] a
- (a - g) . Esta es la aceleración que generaría la acción de la fuerza normal si actuara sola
sobre el cuerpo. En la Figura 4(d) se ilustra un caso.
En las Figuras 4(e) y 4(f) se ilustra otros dos ejemplos.
(e) Si el cuerpo está descendiendo por un plano inclinado un ángulo  con fricción despreciable
con una aceleración
a medida desde un marco de referencia inercial, Figura 5, la g'efectiva
es igual según la ecuación [2]
g'efectiva ˆj =
 a - g senα 
ˆi + g cosα ˆj
Esta es la aceleración que generaría la acción de la fuerza normal si actuara sola sobre el
cuerpo.
En componentes rectangulares se obtiene,
g'efectiva, x  a - g senα = 0
g'efectiva, y  g cosα
Por lo tanto un acelerómetro con marca en X
g'efectiva, x  a - g senα = 0
dando como resultado que la aceleración inercial es en dirección x e igual a,
a = g senα
y en Y marca,
g'efectiva, y  g cosα
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Figura 5: Los acelerómetros están en unidades g
(f) Si el cuerpo está reposando en un plano inclinado un ángulo  (f es la fuerza de rozamiento)
Figura 6, la g'efectiva es igual a según la ecuación [2]
g'efectiva ˆj = - g senα ˆi + g cosα ˆj
Figura 6: Los acelerómetros están en unidades g
Esta es la aceleración que generaría la acción de la fuerza resultante de la suma de la fuerza
normal y la fuerza de fricción si actuaran solo ellas sobre el cuerpo.
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Se puede observar que en esta situación de reposo sobre el plano inclinado el acelerómetro
sirve de inclinómetro. Para esto se puede utilizar la dirección de la aceleración de la gravedad,
g = - g'efectiva
g ˆj = g senα ˆi - g cosα ˆj
tanα =
gx
gy
[4]
11
3. El acelerómetro del celular
En esta sección se analizará el acelerómetro de un teléfono celular. Para este caso se
considera que el sistema de coordenadas es el que se ilustra en la Figura 7 (convención
internacional).
Figura 7
Por lo tanto dependiendo de la orientación del celular la gravedad g medida desde un marco
de referencia inercial con un sistema de coordenadas fijo a él con la misma orientación del
sistema de coordenadas del celular tendrá las siguientes componentes rectangulares,
g = g x ˆi + g y ˆj + g z kˆ
Análogamente las componentes de la aceleración
a
del celular (que es la del móvil donde está
ubicado) y de la gravedad efectiva g'efec (la cual mide su acelerómetro) son,
a = a x ˆi + a y ˆj + a z kˆ
g'efec = g'efec,x ˆi + g'efec,y ˆj + g'efec,z kˆ
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La ecuación [2] se debe cumplir y por lo tanto,
a  g'efectiva + g
[5]
Ejemplo
En la Tabla 1 se ilustran algunos ejemplos del celular en reposo respecto a un marco de
referencia inercial pero en diferentes orientaciones con alguno de sus ejes en posición
vertical. Los valores de las aceleraciones no se han reportado en unidades g sino que se han
convertido a m.s-2.
Tabla 1:
a=0
ORIENTACIÓN
DEL CELULAR
Eje XY en plano
horizontal y eje +Z
hacia arriba
Eje XY en plano
horizontal y eje +Z
hacia abajo
Eje XZ en plano
horizontal y eje +Y
hacia arriba
Eje XZ en plano
horizontal y eje +Y
hacia abajo
Eje YZ en plano
horizontal y eje +X
hacia arriba
Eje YZ en plano
horizontal y eje +X
hacia abajo
g [m.s-2]
g'efec [m.s-2]
g
g'efec,x
g'efec,y
g'efec,z
g'efec
-9,81
0
0
+9,81
9,81
0
+9,81
0
0
-9,81
9,81
-9,81
0
0
+9,81
0
9,81
gx
gy
gz
0
0
0
0
9,81
0
+9,81
0
0
-9,81
0
9,81
-9,81
0
0
+9,81
0
0
9,81
+9,81
0
0
-9,81
0
0
9,81
Ejemplo
En la Figura 8 se ilustra un celular en reposo sobre un plano inclinado 30 o. f es la fuerza de
rozamiento.
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Figura 8
En la Tabla 2 se ilustra los valores correspondientes de las aceleraciones. Los valores de las
aceleraciones no se han reportado en unidades g sino que se han convertido a m.s-2.
Tabla 2: Según ecuación [4] a  g efec + g y por lo tanto, g efec = a  g .
g [m.s-2]
a
[m.s-2]
g'efec [m.s-2]
ax
ay
az
a
gx
gy
gz
g
g'efec,x
g'efec,y
g'efec,z
g'efec
0
0
0
0
0
+4,91
-8,50
9,81
0
-4,91
+8,50
9,81
Ejemplo
Supóngase que el celular se monta en un carrito que rueda hacia abajo de un plano inclinado
30,0o de fricción despreciable con una aceleración de 2,00 m.s-2, Figura 9. La orientación del
celular es como se indica en la figura.
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Figura 9
En la Tabla 3 se ilustra los valores correspondientes de las aceleraciones. Los valores de las
aceleraciones no se han reportado en unidades g sino que se han convertido a m.s-2.
Tabla 3: Según ecuación [4] a  g efec + g y por lo tanto, g efec = a  g .
g [m.s-2]
a
[m.s-2]
g'efec [m.s-2]
ax
ay
az
a
gx
gy
gz
g
g'efec,x
g'efec,y
g'efec,z
g'efec
0
+2,00
0
2,00
0
+4,90
-8,50
9,81
0
-2,90
+8,50
8,98
En la Figura 10 se ilustra un acelerómetro de tres ejes comercial. Su valor es alrededor de
$US 15.
Figura 10: http://img231.imageshack.us/img231/4799/acelerometroqr4.jpg
En la Figura 11 se ilustra el acelerómetro de un teléfono celular.
Figura 11: http://www.omicrono.com/wp-content/uploads/2012/05/acelerometromovil.jpg
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4. El programa Acelerómetro Celular ANDROID de PhysicsSensor
PhysicsSensor posee software para ANDROID para dos tipos de acelerómetros: no inercial e
inercial
4.1
Acelerómetro tipo NO INERCIAL
En éste se despliega en un instrumento virtual el valor de las componentes en los tres ejes de
la aceleración g'efectiva . También despliega la gráfica en el tiempo de estas componentes y de la
magnitud de g'efectiva .
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Ejemplo
En la Figura 12 se ilustra el celular reposando sobre una superficie supuestamente horizontal.
En esta situación debería marcar el valor +g en el eje z y cero en los ejes x e y.
Figura 12: X (izquierda), Y (centro), Z (derecha)
Al realizar las lecturas se obtiene en x 0,15 m.s-2, en y 0,15 m.s-2 y en z 9,65 m.s-2. Se debe
considerar que las diferencias en los resultados comparados con los teóricos se deben a la
apreciación del acelerómetro del celular la cual no es reportada en el manual técnico del celular
pero podría ser del orden de 0,2 m.s-2 (esto es una estimación de los autores de este
documento con base en los resultados obtenidos en múltiples experimentos).
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Ejemplo
Tomar el celular en la mano y darle una orientación muy general. Obtener los cosenos
directores del vector aceleración de la gravedad
g.
Solución:
De la ecuación [2],
g'efectiva = a - g
y como el celular está en reposo
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a = 0 y por lo tanto.
g = - g'efectiva
Por ejemplo para una orientación dad del celular se obtuvo,
m
g'efectiva = -5,36 ˆi + 4,90 ˆj + 6,44 kˆ  2

 s
Por lo tanto,
m
g = 5,36 ˆi - 4,90 ˆj - 6,44 kˆ  2

 s
g = 9,70
m
s2
Debería dar 9,81 .s-2 pero se debe recordar que las diferencias que se encuentren es debido a
la apreciación del acelerómetro del celular.
Los cosenos directores son,
cos θ x 
5,36
 0,55
9, 70
cos θ y 
4,90
  0,51
9, 70
cos θ z 
6, 44
  0, 66
9, 70
Para verificar el resultado,
cos 2θ x + cos 2θ x + cos 2θ x = 0,9982
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Debería dar 1 pero el resultado es muy aceptable.
Ejemplo
Ubicar el celular en un plano inclinado, Figura 13. Si se obtiene que,
m
g'efectiva = - 1,53 ˆj + 9,50 kˆ  2

 s
Calcular el ángulo de inclinación del plano.
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Solución:
De la ecuación [2],
g'efectiva = a - g
y como el celular está en reposo
a = 0 y por lo tanto.
g = - g'efectiva
Figura 13
Por lo tanto,
m
g = 1,53 ˆj - 9,50 kˆ  2

 s
tanφ =
gy
gz
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1,53
= 0,16
9,50
tanφ =
φ =9,1o
4.2
Acelerómetro tipo INERCIAL
En éste se despliega en un instrumento virtual el valor de las componentes en los tres ejes de
la aceleración medida en el marco de referencia inercial
a  g'efectiva + g
a . Retomando la ecuación [5],
18
[5]
Por lo tanto dependiendo de la orientación del celular la gravedad g medida desde un marco
de referencia inercial con un sistema de coordenadas fijo a él con la misma orientación del
sistema de coordenadas del celular tendrá las siguientes componentes rectangulares,
g = g x ˆi + g y ˆj + g z kˆ
Análogamente las componentes de la aceleración
a
del celular (que es la del móvil donde está
ubicado) y de la gravedad efectiva g'efec (la cual mide su acelerómetro) son,
a = a x ˆi + a y ˆj + a z kˆ
g'efec = g'efec,x ˆi + g'efec,y ˆj + g'efec,z kˆ
El software toma el valor medido por el acelerómetro de las componentes del vector gravedad
efectiva g'efec y el valor de las componentes del vector aceleración de la gravedad para obtener
las componentes del vector
a
y los despliega en el instrumento virtual.
Ejemplo
El celular se encuentra en reposo en una superficie. Verificar que el valor de las componentes
de la aceleración
a
son iguales a cero usando el acelerómetro inercial de PhysicsSensor.
Solución:
En la Figura 14 se ilustra el resultado.
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Figura 14: De izquierda a derecha se ilustran las lecturas de las componentes en X, en Y, en Z
y la magnitud de la aceleración
a medida desde un marco de referencia inercial. Todas las
lecturas son cero ya que a = 0
Ejemplo 4.5
Usando el acelerómetro inercial de PhysicsSensor desplegar las gráficas de las componentes
de la aceleración
a
cuando se hace oscilar el celular.
Solución:
En la Figura 15 se ilustra el resultado.
Figura 15: Amarillo (ax), azul (ay), rojo (az), blanco (a)
FIN