Download Teorema de Fermat

Universidad de Panamá
Facultad de Ciencias Naturales y Exactas
Licenciatura de Matemáticas
Trabajo de Graduación
Tema:
Los Teoremas de Fermat, Wilson y Euler:
Profesor: Jaime Gutiérrez
Estudiante: Francisco Javier Urriola
9-721-189
Año: IV
Año: 2011
Dedicatoria
Dedico este trabajo con mucho cariño a mi familia por trabajar en conjunto para que hoy
mis metas sean una realidad. A mis padres Francisco y Ramona Urriola, mi hermano
David, José Luis y Fernando gracias por el esfuerzo que día tras día me brindaron para
obtener una buena educación.
Agradecimiento
En primer lugar doy gracias a Dios por permitirme seguir adelante cada día de vida, por
brindarme la Fe, Fuerza y Sabiduría para continuar en todo momento en esta carrera y
que fueron necesarios para lograr mis sueños. Gracias señor por tu bendición.
Agradezco al profesor que dicto el seminario El Dr. Jaime Gutiérrez por la oportunidad
brindada en este trabajo de graduación, a todos los Profesores de la licenciatura por
brindarme la oportunidad de adquirir nuevos conocimiento a la Profesora Teresita de
Ávila, Edith de Hernández por su consejo para seguir adelante.
También quiero agradecer al Profesor Manuel Avilés y familia por brindarme su apoyo
en todo momento, a quien aprecio y respeto y quien considero otro hermano mas de mi
familia.
INDICE
Dedicatoria
Agradecimiento
Índice General
Introducción.
Reseña Histórica.
Contenido
Sección 1: Congruencias:
Definición, propiedades y teorema de congruencias.
Sección 2: Teorema de Fermat:




Biografía de Fermat
Definición del Teorema de Fermat.
Demostración del Teorema de Fermat.
Consecuencias del Teorema de Fermat.
Sección 3: Teorema de Fermat




Biografía de Wilson.
Definición del Teorema de Wilson.
Demostración del Teorema de Wilson.
Consecuencias del Teorema de Wilson.
Sección 4: Teorema de Euler:





Biografía de Euler.
Definición del Teorema de Euler.
Función Indicatriz de Euler.
Demostración del Teorema de Euler.
Consecuencias del Teorema de Euler
Sección 5:
 Solución de problemas aplicando los teoremas estudiados.
Recomendaciones y Conclusión.
INTRODUCCIÓN
El siguiente trabajo de graduación tiene como objetivo el estudio de tres teoremas
relacionados con la Teoría de Números, pero antes cabe destacar una pequeña definición
de La teoría de Números para tener conocimiento de lo que se está estudiando.
La Teoría de Números es la rama de las Matemática que estudia las propiedades
aritméticas de los números enteros, donde las propiedades aritméticas son aquellas que
tienen que ver con suma y producto de números. Por ejemplo, dado un número entero n,
el problema de hallar todos sus divisores es un problema típico de la Teoría de Números.
Estudiar la Teoría de Número es estudiar la obra de grandes genios que se dedicaron a
ella y es una excelente forma de adquirir lo que se conoce como madurez Matemática. Se
considera como el área mas rica de las Matemáticas en ella confluyen las demás y de ella
nacen muchas otras, es por esto que Gauss la llego a considerar como la reina de las
Matemáticas.
En el siguiente trabajo les presentaremos tres teoremas importantes en el campo de la
Teoría de Números que son los Teoremas de Wilson, el Teorema de Fermat y el Teorema
de Euler. Ellos nos permitirán entre otras cosas, decidir de una manera rápida cuando un
número es primo.
Presentaremos una reseña histórica del tema antes mencionado, una pequeña introducción
de Congruencias y Teoremas que serán de gran ayuda para el desarrollo del tema,
biografía y demostración de los Teoremas de Fermat, Wilson y Euler, consecuencias de
los mismos y solución de problemas aplicando dichos teoremas.
Para del desarrollo de esta monografía hemos realizado un minucioso estudio de la
biografía
de los Teoremas Fermat, Wilson y Euler, y teoremas necesarios para su
desarrollo, tomando como referencias libros y textos de Teoría de Números y consultas
con el profesor. Esperando que este trabajo sirva de referencia para aquellos que en algún
momento lo requieran para el estudio de la Teoría de Números y la importancia de la
Teoría de Número en el desarrollo de la Matemática.
Reseña Histórica:
El estudio de los Teoremas de Fermat, Wilson y Euler nacen a raíz del origen de la
Teoría de Números, esta teoría se remonta a los orígenes de la civilización, a partir de
ellos aparecen los primeras estudios que se hallan escritos en símbolos cuneiforme,
podemos mencionar que en la antigüedad los problemas se resolvían de manera particular
sin dar un método general para hallar las soluciones.
Es importante afirmar que la civilización China fue la primera cultura en estar interesada
en la Aritmética Modular e introdujeron el concepto del estudio de los número primo que
guarda relación al tema que se está estudiando. Existe una hipótesis, documentada por
Joseph Needham según la cual los números de la forma 2p − 2 fueron estudiados por esta
civilización. Así pues, Matemáticos Chinos formularon la hipótesis (a veces conocida
como hipótesis China) de que p es primo si y sólo si 2p ≡ 2 (mod p). Es verdad que, si p
es primo, entonces 2p ≡ 2 (mod p) (este es un caso especial del pequeño Teorema de
Fermat), pero el recíproco (si 2p ≡ 2 (mod p), entonces p es primo) no lo es, por lo que la
hipótesis es falsa.
Se cree ampliamente que la hipótesis China fue desarrollada 2000 años antes del trabajo
de Fermat en el siglo XVII. Aunque la hipótesis sea parcialmente incorrecta, es notable
que pueda haber sido conocida por los Matemáticos de la antigüedad. Algunos, sin
embargo, sostienen que la creencia de que esta hipótesis fuera conocida hace tanto tiempo
es fruto de un error de comprensión, y que se desarrolló realmente en 1872.
Alrededor de 1636, Pierre de Fermat enunció el teorema. Aparece en una de sus cartas a
su confidente Frénicle de Bessy, fechada el 18 de octubre de 1640, con el siguiente texto:
p divide a ap-1 - 1 cuando p sea primo y a sea coprimo o relativamente primo con p.
Aunque actualmente lo conozcamos como pequeño teorema de Fermat, lo cierto es que
hasta el siglo XX fue conocido como teorema de Fermat, como recoge por ejemplo Carl
Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones arithmeticae. El término pequeño teorema de
Fermat, tal como lo conocemos actualmente, fue usado por primera vez por el matemático
Alemán Kurt Hensel en 1913 en su libro Zahlentheorie.
He aquí el teorema fundamental que se cumple en cada grupo finito, llamado
habitualmente pequeño teorema de Fermat, porque Fermat fue el primero en probar una
parte especial de él.
Fermat estableció tal resultado en una carta a Frénicle de Bessy, pero como era habitual
en él, omitió la prueba del mismo:
Todo número primo mide una de las potencias menos uno de cualquier progresión en la
que el exponente es un múltiplo del primo dado menos uno, y ésta proposición es
generalmente cierta para todas las progresiones y todos los números primos; le enviaría la
prueba, si no temiese que es demasiado larga.
La primera demostración publicada se debe a Leonhard Euler en 1736 en un artículo
titulado Theorematum Quorundam ad Números Primos Spectantium Demonstratio. Daría
otras dos demostraciones más a lo largo de su vida, aunque era la primera de todas ellas la
misma que había en un manuscrito personal de Gottfried Leibniz, escrito sobre 1683 y
que nunca llegó a publicar. Gauss publicaría otra prueba más en su libro Disquisitiones
aritmética en 1801.
A lo largo de la historia han sido varios los matemáticos que se han fascinado con estudio
de los números, y le han dedicado bastante esfuerzo al estudio de estos, una de las
interrogantes que más motivaron a los matemáticos por mucho tiempo, fue el encontrar
una forma de averiguar si un número era primo o no (hablamos de números grandes que
no se pueden deducir a simple vista). El Teorema de Wilson encuentra esta solución,
aunque es atribuido a John Wilson por Edward Waring, nunca se encontró pruebas de que
fuera de este matemático. Se sabe que fue obra de Alhazen, quien lo postuló ya en el siglo
XI. En esta misma línea de investigación, aparece en 1771 una demostración de un
teorema propuesto por Wilson:
p es un número primo si y sólo si (p - 1)! + 1 es un múltiplo de p.
En el campo de la Teoría de Números, Euler inicio una nueva etapa en esta área, al probar
algunos teoremas usando métodos del análisis. Esta nueva rama iniciada por Euler se
conoce con el nombre de Teoría Analítica de Números. A manera de ejemplo,
mencionaremos su demostración de la infinitud de los números primos, la cual se basa en
demostrar que la serie
1
𝑝
diverge, donde p recorre el conjunto de los números primos.
Es importante destacar la labor realizada por Euler, al continuar la obra de Fermat,
resolviendo algunos problemas difíciles planteados por este ultimo. Así pues, Euler probó
en forma general el pequeño teorema de Fermat, el cual ya hemos mencionado, y además
dio un resultado mucho más general, para lo cual introdujo una nueva función en los
números enteros. Si n es un entero positivo, entonces la función 𝜑(𝑛) de Euler, aplicada a
n, es un número entero positivo 𝜑(𝑛) el cual es igual al número de enteros 𝑥, 1 ≤ 𝑥 < 𝑛
que son primos relativos con 𝑛. El teorema del cual hablamos, llamado Teorema de Euler,
establece
𝑎𝜑(𝑝) ≡ 1𝑚𝑜𝑑 𝑝
Para todo entero a.
Euler poseía una capacidad de cálculo extraordinaria, muy superior a la de cualquier
𝑛
matemático de su época. Fermat había supuesto que todo número de la forma 22 + 1
siempre es primo, para cualquier n.
Este resultado lo comprobó el mismo Fermat, para los valores de n = 1, 2, 3, 4. Sin
embargo Euler probó que para n= 5 el resultado es falso, mostrando la factorización
𝑛
22 + 1 = 4,294,967,297 = 6,700,417 x 641.
Resultado este, que habla por si sólo de las habilidades de Euler para factorizar números
compuestos bastante grandes.
Fue Euler quien se ocupó de la Teoría de Números de una manera definitiva. Comenzó
estudiando los teoremas de Fermat, para desarrollar a continuación todos los aspectos de
esta teoría.
A él debemos la actual Teoría de Congruencias, a la que llegó tras extensos trabajos sobre
la divisibilidad y tras introducir el concepto de raíz primitiva según el módulo m.
El Teorema de Fermat quedó demostrado como un resultado del teorema de Euler, pues
es un corolario del teorema de Euler. En notación de congruencias, el teorema de Fermat
establece que:
Si p es un número primo y a es un entero no divisible por p, entonces
𝑎𝜑(𝑝) ≡ 1(𝑚𝑜𝑑𝑝)
Dado que si p es un número primo, todos los números {1,2,3, … . , 𝑝 − 1} son primos
relativos con 𝑝, se cumple que 𝜑(𝑝) = 𝑝 − 1 y por tanto el teorema de Fermat es una
consecuencia directa del teorema de Euler. Por ésta razón al teorema de Euler se le
conoce en ocasiones como teorema de Euler -Fermat.
Sección 1:
Congruencias:
En esta sección hablaremos sobre la definición y propiedades más importantes de
congruencias que serán de gran importancia en el desarrollo del tema que estamos
estudiando.
La notación de congruencias fue introducida por Gauss en su libro Disquisitions
Arithmeticae, en 1799. Gauss desarrollo gran parte de la teoría de congruencias, planteo
muchos problemas interesantes sobre este tema y resolvió algunos de ellos. Uno de los
más importantes fue la resolución de la ecuación cuadrática de congruencias.
La noción de congruencia se utiliza a diario para medir el tiempo.
Por ejemplo las horas del día se cuentan módulo 24, los días de la semana se cuentan
módulo 7, etc...
En lo sucesivo, m será un entero positivo fijo.
Definición:
Sea 𝑚 un entero positivo y 𝑎, 𝑏 dos números enteros. Diremos que 𝑎, 𝑏 son congruentes
módulo 𝑚 si 𝑚 divide a 𝑎 − 𝑏 . Utilizaremos la notación 𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑚, es decir,
𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑚 ⇔ 𝑚|𝑎 − 𝑏 .
Ejemplo:
11 ≡ 1𝑚𝑜𝑑 5, Puesto que 11 − 1 = 10 es múltiplo de 5.
23 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 7, Puesto que 23 − 2 = 21 es múltiplo de7, es decir 7|23 − 2.
Observación: Podemos decir que 𝑎 es congruente a 𝑏 módulo 𝑚 si existe un entero 𝑘, tal
que 𝑎 = 𝑏 + 𝑘𝑚.
También se puede definir congruencia, usando el concepto de pertenencia. Más
precisamente 𝑎 es congruente a 𝑏 módulo 𝑚 si y solo si 𝑎 esta en la sucesión de
enteros…., 𝑏 − 2𝑚; 𝑏 − 𝑚; 𝑏, 𝑏 + 𝑚; 𝑏 + 2𝑚; …
Cuando 𝑎 y 𝑏 no son congruentes módulo 𝑚, diremos que son incongruentes y lo
denotaremos por 𝑎 ≢ 𝑏 𝑚𝑜𝑑𝑚.
Teorema: (Propiedades de congruencias).
Sean a, b, c y m son tres enteros con m > 0. Se verifica:
(a) 𝑎 ≡ 𝑎 𝑚𝑜𝑑𝑚.
(b) Si 𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑚, entonces 𝑏 ≡ 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑚.
(c) Si 𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑚 y 𝑏 ≡ 𝑐 𝑚𝑜𝑑 𝑚 , entonces 𝑎 ≡ 𝑐 𝑚𝑜𝑑 𝑚.
Demostración:
Aplicaremos las propiedades de la divisibilidad:
Propiedad Reflexiva:
(a) 𝑎 ≡ 𝑎 𝑚𝑜𝑑𝑚
Teniendo en cuenta que 𝑚 ≠ 0, 𝑚|0 ⇔ 𝑚|𝑎 − 𝑎 ⇔ 𝑎 ≡ 𝑎 𝑚𝑜𝑑𝑚.
Propiedad Simétrica:
(b) Si 𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑𝑚,entonces 𝑏 ≡ 𝑎 𝑚𝑜𝑑𝑚.
En efecto, 𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑𝑚 ⇔ 𝑚|𝑎 − 𝑏 ⇔ 𝑚|(−1)(𝑎 − 𝑏) ⟹ 𝑚|𝑏 − 𝑎 ⇔ 𝑏 ≡ 𝑎 𝑚𝑜𝑑𝑚.
Propiedad Transitiva:
(c) Si 𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑𝑚 y 𝑏 ≡ 𝑐 𝑚𝑜𝑑𝑚, entonces 𝑎 ≡ 𝑐 𝑚𝑜𝑑𝑚. En efecto,
𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑𝑚 ⇔ 𝑚|𝑎 − 𝑏 y 𝑏 ≡ 𝑐 𝑚𝑜𝑑𝑚 ⇔ 𝑚|𝑏 − 𝑐 ⇒ 𝑚|(𝑎 − 𝑏) + (𝑏 − 𝑐)
⇒ 𝑚|𝑎 − 𝑐 ⇒ 𝑎 ≡ 𝑐 𝑚𝑜𝑑𝑚.
El Siguiente teorema se la conoce como Ley de la cancelación:
Teorema: Si 𝑎𝑥 ≡ 𝑏𝑦 𝑚𝑜𝑑𝑚 y 𝑚𝑐𝑑(𝑎, 𝑚) = 1, entonces 𝑥 ≡ 𝑦 𝑚𝑜𝑑𝑚.
Demostración:
Dado
que
𝑎𝑥 ≡ 𝑏𝑦 𝑚𝑜𝑑𝑚, tenemos
que
𝑚|𝑎(𝑥 − 𝑦)
𝑚𝑐𝑑(𝑎, 𝑚) = 1. Por el lema de Euclides se tiene que 𝑚|(𝑥 − 𝑦), es decir
𝑥 ≡ 𝑦 𝑚𝑜𝑑𝑚.
y
como
Dos números son congruentes si al aplicar el algoritmo de la división a cada uno por el
módulo tienen el mismo residuo. En módulo m solo tenemos los residuos
0,1, … , 𝑚 − 1, estos m residuos generan clases de equivalencia que la unión disjunta las
hace equipotente con ℤ.
Definición:
Si 𝑥 ≡ 𝑦 𝑚𝑜𝑑𝑚 entonces 𝑦 es llamado residuo de 𝑥 módulo 𝑚.
Un conjunto 𝑦1 , 𝑦2 , … . , 𝑦𝑚 es llamado un Sistema completo de Residuos si para cada
entero 𝑥 existe un único 𝑦𝑗 tal que
Si 𝑥 ≡ 𝑦𝑗 𝑚𝑜𝑑𝑚.
Definición:
Un Sistema Reducido de Residuos es un conjunto de enteros 𝑟𝑖 tales que
(𝑟𝑖 , 𝑚) = 1, 𝑟𝑖 no es congruente con 𝑟𝑗 módulo 𝑚 si 𝑖 ≠ 𝑗 y tales que ∀𝑥 ∈ ℤ,
(𝑥, 𝑚) = 1, 𝑥 ≡ 𝑟𝑖 𝑚𝑜𝑑𝑚 para alguna 𝑖.
La cardinalidad del Sistema Reducido de Residuos módulo 𝑚 es (φ)m; el sistema dice
quienes son los primos relativos a 𝑚 que están antes de él y (φ)m los cuenta.
Entonces definimos ( φ)m como el número de enteros
𝑛 ∈ ℕ : 𝑛 ≤ 𝑚 tales que
(𝑛, 𝑚) = 1.
Teorema: Si 𝑚𝑐𝑑(𝑎, 𝑚) = 1 y 𝑟1, 𝑟2,….., 𝑟𝑚, es un sistema completo de residuos modulo
m, entonces 𝑎𝑟1, 𝑎𝑟2,….., 𝑎𝑟𝑚, también lo es.
Demostración: Sabemos que cualquier sistema completo de residuos modulo 𝑚 debe
tener 𝑚 elementos, así, para ver que los enteros 𝑎𝑟1, 𝑎𝑟2,….., 𝑎𝑟𝑚, que son 𝑚, forman un
sistema completo de residuos modulo 𝑚, basta demostrar que este conjunto no tiene
elementos repetidos en el sentido de que dos elementos estén en una misma clase de
equivalencia, es decir, si 𝑟𝑖 ≡ 𝑟𝑗 𝑚𝑜𝑑𝑝 sí 𝑖 ≠ 𝑗 . Esto debe ser cierto ya que si 𝑎𝑟𝑖 ≡
𝑎𝑟𝑗 𝑚𝑜𝑑𝑝 implicaría por la ley de cancelación, que 𝑟𝑖 ≡ 𝑟𝑗 𝑚𝑜𝑑𝑝. Esto último es una
contradicción ya que 𝑟1, 𝑟2,….., 𝑟𝑚, es un sistema completo de residuos modulo 𝑚.
Ejemplo: el conjunto {1,2,3,4,5} es un sistema completo de residuos modulo
6, así, {1,5} es un sistema reducido de residuos modulo 6.
Ejemplo: si 𝑝 es primo, el conjunto {0,1, … , 𝑝 − 1} es un sistema completo de residuos
modulo 𝑝 y {1, 𝑝 − 1} es un sistema reducido de residuos modulo 𝑝.
El siguiente lema de los números primos nos permitirá demostrar los teoremas que
estamos estudiando.
Lema 1: Sea 𝑝 un primo y sea 𝑜 < 𝑘 < 𝑝. Entonces 𝑘 2 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑𝑝 si y solo si
𝑘=
1 o 𝑘 = 𝑝 − 1.
Demostración. Si 𝑘 = 1, entonces 𝑘 2 ≡ 1𝑚𝑜𝑑𝑝. Si 𝑘 = 𝑝 − 1 , entonces 𝑘 2 = 𝑝2 −
2𝑝 ≡ 1𝑚𝑜𝑑𝑝.
Recíprocamente, supongamos que 𝑘 2 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑𝑝. Entonces p| ( 𝑝|(𝑘 2 − 1) =
(𝑘 − 1)(𝑘 + 1), y como 𝑝 es primo, se tiene que 𝑝|(𝑘 − 1) ó 𝑝|(𝑘 + 1). El único número
en {1,2, … . , 𝑝 − 1} que satisface 𝑝|(𝑘 − 1) es 1, y el único número en {1,2, … . , 𝑝 − 1}
que satisface 𝑝|(𝑘 + 1) es 𝑝 − 1.
Sección 2:
Teorema de Fermat:
Primero describiremos una pequeña biografía sobre este gran matemático, Iniciando la
nueva era de la matemática moderna, encontramos la figura de Pierre de Fermat (16011665), sin duda el más grande de los matemáticos del siglo XVII en el área de Teoría de
Números. Es en este siglo cuando se dan los mayores avances en casi todas las áreas de
matemática, con la invención del cálculo por parte de Issac Newton y Leibniz, y por otra
con el descubrimiento de la geometría analítica por Descartes y el mismo Fermat.
Fermat, también llamado "el príncipe de los amateurs", era un matemático que trabajaba
la mayor parte del tiempo en soledad. Su único contacto con el resto de la comunidad
matemática fue gracias a Marin Mersenne. Cabe destacar también un breve intercambio
de cartas con Blaise Pascal. Los resultados de Fermat fueron conocidos por otros
pensadores europeos gracias a Mersenne, que los reenvió e hizo una amplia distribución.
Fermat es mejor conocido por su Enigma, una abstracción del Teorema de Pitágoras,
también conocido como último Teorema de Fermat, que preocupó a los matemáticos
durante aproximadamente 350 años, hasta que fue resuelto en 1995. Junto con René
Descartes, Fermat fue uno de los principales matemáticos de la primera mitad del siglo
XVII. Independientemente de Descartes, descubrió el principio fundamental de la
geometría analítica. A través de su correspondencia con Blaise Pascal, fue co-fundador de
la teoría de probabilidades.
El pequeño teorema de Fermat es uno de los teoremas clásicos de Teoría de Números
relacionado con la divisibilidad. Se formula de la siguiente manera:
Si p es un número primo, entonces, para cada número natural a , ap ≡ a (mod p)
Aunque son equivalentes, el teorema suele ser presentado de esta otra forma:
Si p es un número primo, entonces, para cada número natural a coprimo con p , ap-1 ≡ 1
(mod p)
Esto quiere decir que, si se eleva un número a a la p-ésima potencia y al resultado se le
resta a, lo que queda es divisible por p. Su interés principal está en su aplicación al
problema de la primalidad y en criptografía.
Este teorema no tiene nada que ver con el legendario último teorema de Fermat, que fue
sólo una conjetura durante 350 años y finalmente fue demostrado por Andrew Wiles en
1995.
Demostración del teorema de Fermat:
Para demostrar el teorema de Fermat utilizaremos el teorema anterior de un sistema
completo de residuos modulo m.
Teorema (De Fermat).
Si 𝑝 es primo, todo entero a satisface 𝑎𝑝 ≡ 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑝 y todo entero 𝑎 no divisible por 𝑝
satisface 𝑎𝑝−1 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 𝑝.
Demostración:
Supongamos primero que 𝑝 ∤ 𝑎 .Como {0,1, 2,3,…, p-1} es un sistema completo de
residuos módulo 𝑝 y 𝑚𝑐𝑑(𝑎, 𝑝) = 1 sabemos por el teorema sistema completo de
residuos modulo 𝑝 que {0𝑎, 1𝑎, 2𝑎, … (𝑝 − 1)𝑎} también es un sistema completo de
residuos módulo 𝑝.
Como 0𝑎 = 0 tenemos que 1𝑎, 2𝑎, … (𝑝 − 1)𝑎 es un reordenamiento, modulo 𝑝 de 1,
2,…, p-1. Así,
1𝑎, 2𝑎, … (𝑝 − 1)𝑎 ≡ 1,2, … , 𝑝 − 1 𝑚𝑜𝑑𝑝
⟹ 𝑎𝑝−1 (𝑝 − 1)! ≡ (𝑝 − 1)! 𝑚𝑜𝑑𝑝
⟹ 𝑝 ∕ (𝑎𝑝−1 − 1)(𝑝 − 1)!,
Dado que
𝑝 ∤ (𝑝 − 1)!, pues 𝑝 es primo, tenemos que 𝑝 ∕ (𝑎𝑝−1 − 1), es decir
𝑎𝑝−1 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 𝑝 de donde se obtiene el resultado. Para completar la demostración basta
multiplicar 𝑎𝑝−1 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 𝑝 por 𝑎, para obtener 𝑎𝑝 ≡ 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑝 que sería cierto para 𝑝 ∤
𝑎, y es trivialmente cierta en el caso que 𝑝 ∕ 𝑎.
La siguiente demostración del teorema de Fermat utilizaremos el Teorema de Wilson.
Teorema de Fermat:
Si 𝑝 es primo, todo entero 𝑎 satisface 𝑎𝑝 ≡ 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑝 y todo entero 𝑎 no divisible por
𝑝 satisface 𝑎𝑝−1 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 𝑝.
Demostración:
La idea es mostrar que los enteros 1𝑎, 2𝑎, … (𝑝 − 1)𝑎 se reducen 𝑚𝑜𝑑𝑝 a
1,2, … (𝑝 − 1), y entonces aplicamos el teorema de Wilson.
Hay 𝑝 − 1 números en el conjunto {1𝑎, 2𝑎, … (𝑝 − 1)𝑎} . Luego, lo que necesitamos
probar que ellos son distintos 𝑚𝑜𝑑𝑝. Supongamos que 1 ≤ 𝑗, 𝑘 ≤ 𝑝 − 1 y
𝑎𝑗 ≡ 𝑎𝑘 𝑚𝑜𝑑𝑝.
Esto significa que 𝑝|(𝑎𝑗 − 𝑎𝑘) = 𝑎(𝑗 − 𝑘), luego 𝑝|𝑎 ó 𝑝|(𝑗 − 𝑘). El primer caso es
descartado por hipótesis, se tiene que 𝑝|(𝑗 − 𝑘). Pero como 1 ≤ 𝑗, 𝑘 ≤ 𝑝 − 1, se tiene
𝑝|(𝑗 − 𝑘) sólo si 𝑗 = 𝑘.
Luego, {1𝑎, 2𝑎, … (𝑝 − 1)𝑎} son 𝑝 − 1 números distintos 𝑚𝑜𝑑𝑝.
Si reducimos 𝑚𝑜𝑑𝑝, obtenemos los números 1,2, … (𝑝 − 1). Luego,
1𝑎. 2 … (𝑝 − 1)𝑎 = 1.2 … . 𝑝 − 1 = (𝑝 − 1)! ≡ −1𝑚𝑜𝑑𝑝.
Por otra parte, aplicando el teorema de Wilson otra vez, tenemos que
1𝑎. 2 … (𝑝 − 1)𝑎 = 𝑎𝑝−1 (𝑝 − 1)! ≡ −𝑎𝑝−1 (𝑚𝑜𝑑𝑝). Esto es, −𝑎𝑝−1 ≡ −1𝑚𝑜𝑑𝑝.
Es decir 𝑎𝑝−1 ≡ 1𝑚𝑜𝑑𝑝.
Corolario:
Si p es primo, entonces 𝑎𝑝 ≡ 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑝 para todo 𝑎.
Demostración:
Si 𝑝/𝑎 , entonces 𝑎𝑝 ≡ 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑝 y 𝑎 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 𝑝, luego 𝑎𝑝 ≡ 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑝. Si 𝑝 no divide a
𝑎, entonces 𝑎𝑝−1 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 𝑝 . Multiplicando por 𝑎 esta congruencia, obtenemos 𝑎𝑝 ≡
𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑝.
El teorema anterior de un sistema completo de residuos modulo m es de gran utilidad en
el desarrollo de la demostraciones de los teorema que estamos trabajando
Consecuencias del teorema de Fermat:
Se presentaran algunas consecuencias importantes como lemas y teoremas generados por
el teorema de Fermat.
Lema: Si 𝑝 y 𝑞 son primos distintos y a un entero tal que 𝑎𝑝 ≡ 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑞 y 𝑎𝑞 ≡
𝑎𝑚𝑜𝑑 𝑝 , entonces 𝑎𝑝𝑞 ≡ 𝑎𝑚𝑜𝑑 𝑝𝑞.
Demostración: Utilizando el pequeño teorema de Fermat tenemos
𝑎𝑝𝑞 ≡ ( 𝑎𝑝 )𝑞 ≡
𝑎𝑝 𝑚𝑜𝑑 𝑞, además sabemos que por hipótesis 𝑎𝑝 ≡ 𝑎𝑚𝑜𝑑 𝑞 luego 𝑞 ⁄𝑎𝑝𝑞 − 𝑎
análogamente tenemos que 𝑝⁄𝑎𝑝𝑞 − 𝑎. Por ser (𝑝, 𝑞) = 1 entonces 𝑝𝑞 ⁄𝑎𝑝𝑞 − 𝑎, luego
𝑎𝑝𝑞 ≡ 𝑎𝑚𝑜𝑑 𝑝𝑞.
Teorema: Sean a y b 𝜖 ℤ
tales que 𝑎𝑝 ≡ 𝑏 𝑝 𝑚𝑜𝑑 𝑝, con p primo entonces 𝑎𝑝 ≡
𝑏 𝑝 𝑚𝑜𝑑 𝑝2
Demostración: por el teorema de Fermat se tiene que:
𝑎𝑝 ≡ 𝑎𝑚𝑜𝑑 𝑝
𝑏 𝑝 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑝
Luego a≡bmod p, pues 𝑎𝑝 ≡ 𝑏 𝑝 mod p, luego k 𝜖 ℤ tal que a= b + kp, de donde se
obtiene que 𝑎𝑝 = (𝑏 + 𝑘𝑝)𝑝
= 𝑏 𝑝 + (𝑝1)𝑏 𝑝−1kp + (𝑝2)𝑏 𝑝−2 𝑘 2 𝑝2 +…..+𝑘 𝑝 𝑝𝑝
= 𝑏 𝑝 + 𝑏 𝑝−1k𝑝2 + 𝑝2[(𝑝2)𝑏 𝑝−2 𝑘 2 +……+𝑘 𝑝 𝑝𝑝−2 ]. Luego 𝑎𝑝 ≡ 𝑏 𝑝 mod 𝑝2 .
Teorema: Sea p un número primo y a un entero cualquiera entonces
1)!
𝑝 ∕ 𝑎𝑝 + a(p –
Demostración: Por el pequeño teorema de Fermat y el teorema de Wilson tenemos
respectivamente que 𝑎𝑝 ≡ a mod p y que a(p – 1)! ≡ −a mod p, luego
𝑎𝑝 + a(p – 1)! ≡ 0 mod p ⇒ 𝑝 ∕ 𝑎𝑝 + a(p – 1)!
Lema: Sea p un primo tal que p∤ 𝑎. Se tiene que 𝑎𝑘(𝑝−1) ≡ 1 𝑚𝑜𝑑𝑝. Donde k ∈ ℤ+ .
Demostración: Por el teorema de Fermat obtenemos que 𝑎𝑝−1 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑𝑝.
Luego
𝑎𝑘(𝑝−1) ≡ ( 𝑎𝑝−1 )𝑘 ≡ 1𝑚𝑜𝑑𝑝.
Teorema: Demostrar que:
a) Si p es primo entonces 1(𝑝−1) + 2𝑝−1 +. . . +(𝑝 − 1)𝑝−1 ≡ −1𝑚𝑜𝑑𝑝.
b) Si p es un primo impar entonces 1𝑝 +2𝑝 +. . . +(𝑝 − 1)𝑝 ≡ 0𝑚𝑜𝑑𝑝
Demostración:
a) Es claro que por el pequeño teorema de Fermat,
1(𝑝−1) ≡ 1𝑚𝑜𝑑𝑝
2(𝑝−1) ≡ 1𝑚𝑜𝑑𝑝
⋮
(𝑝 − 1)𝑝−1 ≡ 1𝑚𝑜𝑑𝑝
Luego de todo lo anterior se tiene:
1(𝑝−1) + 2𝑝−1 +. . . +(𝑝 − 1)𝑝−1 ≡ 𝑝 − 1 ≡ −1𝑚𝑜𝑑𝑝.
b) Es claro que por el pequeño teorema de Fermat,
1𝑝 ≡ 1𝑚𝑜𝑑𝑝.
2𝑝 ≡ 2𝑚𝑜𝑑𝑝.
⋮
(𝑝 − 1)𝑝 ≡ 𝑝 − 1𝑚𝑜𝑑𝑝.
Luego 1𝑝 +2𝑝 +. . . +(𝑝 − 1)𝑝 ≡ 1 + 2 + (𝑝 − 1) ≡
número impar y por lo tanto
𝑝+1
2
es un entero.
𝑝(𝑝+1)
2
≡ 0𝑚𝑜𝑑𝑝. Pues p es un
Sección 3:
Teorema de Wilson:
En cuanto al Matemático John Wilson no tiene una biografía exacta fue alumno de
Edward Waring y trabajo en la Teoría de Números obteniendo resultados relacionados
con la primalidad de un número entero positivo. El Teorema de Wilson fue atribuido a
John Wilson por Edward Waring, quien en 1770 realizó un comentario acerca de que
Wilson había dejado anotado el resultado. No hay evidencia de que Wilson hubiese
hallado la demostración, y ciertamente Waring no la halló. Fue Lagrange quien, en 1771
dio la primera demostración. Con toda propiedad, el teorema debe ser atribuido a Abu
'Ali al-Hasan ibn al-Haytham, llamado en Occidente Alhazen, quien lo formuló a
comienzos del siglo XI.
En matemáticas, el Teorema de Wilson es un teorema clásico relacionado con la
divisibilidad. Se enuncia de la siguiente manera:
Si p es un número primo, entonces (p − 1)! ≡ − 1 (mod p)
El recíproco también es cierto, por lo que puede afirmarse que un número n>1 es primo si
y sólo si (n− 1)! ≡ − 1 (mod n). Sin embargo, sólo la implicación de arriba es conocida
como teorema de Wilson (o Congruencia de Wilson).
Por ejemplo, si p = 11, tenemos que: Según el teorema de Wilson
10!≡ 1.2.3…..10(mod 11)
≡ (2.6)(3.4)(5.9)(1.10)(mod 11)
≡ 1.1.1.1.(-1) (mod 11)
Si p=5 por el teorema se tiene
4! ≡1.2….4 (mod 5)
≡ (2.3)(1.4)(mod 5) ≡ 1. (-1) (mod 5)≡ -1(mod 5)
Demostración del teorema de Wilson:
Teorema de Wilson:
Si p es un número primo, entonces (𝑝 − 1)! ≡ −1𝑚𝑜𝑑𝑝 .
Demostración: Consideremos el conjunto {1,2,3, … , 𝑝 − 1}. Sea 𝑥2 la solución de la
congruencia 2𝑥2 ≡ 1𝑚𝑜𝑑𝑝, dado que el 𝑚𝑐𝑑(2, 𝑝) = 1 sabemos que existe y es única.
A 𝑥2 lo llamaremos la ¨pareja´´ de 2. Por la unicidad, la pareja de 2 es 𝑥2 . de la misma
manera encontramos la pareja de 3, y así sucesivamente. Ahora, analizaremos en qué
casos un número b es su propia pareja, se tendría que 𝑏 2 ≡ 1𝑚𝑜𝑑𝑝, es decir, (𝑏 +
1)(𝑏 − 1) ≡ 0𝑚𝑜𝑑𝑝, cuyos soluciones son 𝑏 = 1 𝑜 𝑏 = 𝑝 − 1. Todas las parejas las
podemos escoger menores que 𝑝 − 1.
Entonces (𝑝 − 1)! ≡ (2. 𝑥2 )(3. 𝑥3 ) … . . 𝑚𝑜𝑑𝑝
Multiplicando por
(𝑝 − 1) y dado que
(𝑝 − 1) ≡ −1𝑚𝑜𝑑𝑝, tenemos
(𝑝 − 1)! ≡ 1.1.1 … (−1)𝑚𝑜𝑑𝑝 ≡ −1𝑚𝑜𝑑𝑝
El siguiente teorema es el recíproco del teorema de Wilson.
Teorema: si se cumple que (𝑝 − 1)! ≡ −1𝑚𝑜𝑑𝑝, entonces p es primo.
Demostración: Supongamos por contradicción que p es compuesto, es decir, existe un
divisor d de p que satisface 1 < 𝑑 < 𝑝, por lo que d es un factor de 1.2.3(𝑝 − 1) =
(𝑝 − 1)! y se tiene que (𝑝 − 1)! + 1 ≡ 1mod𝑑, por lo tanto
(𝑝 − 1)! + 1 ≢ 0𝑚𝑜𝑑𝑝. Con lo cual se cumple (𝑝 − 1)! ≢ −1𝑚𝑜𝑑𝑝 que contradice la
hipotisis, por lo tanto, p no puede ser compuesto y se concluye que p es primo.
En la siguiente demostración se aplicara el lema 1, de la sección 1, para la demostración
de este Teorema de Wilson.
Si p es un número primo, entonces (𝑝 − 1)! ≡ −1𝑚𝑜𝑑 𝑝
Demostración:
Como p es primo, todos los elementos de 𝑚𝑜𝑑 𝑝 , excepto el 0, son invertibles. Además,
los únicos elementos de 𝑚𝑜𝑑 𝑝 que coinciden con sus inversos son 1 y p −1. En efecto,
sea r cualquiera de elemento 𝑚𝑜𝑑 𝑝 y sea x su inverso.
Entonces,
x=r
⟹ 𝑟. 𝑟 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 𝑝 1
⟹ 𝑟 2 − 1 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 𝑝
⟹ (𝑟 + 1)(𝑟 − 1) ≡ 0𝑚𝑜𝑑𝑝
⟹ 𝑝 ∕ (𝑟 + 1)(𝑟 − 1)
⟹ 𝑝⁄𝑟 + 1 𝑜 𝑝⁄𝑟 − 1 { 𝑝 𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜}
⟹ 𝑟 + 1 = 0 , 𝑟 − 1 = 0 𝑚𝑜𝑑 𝑝
⟹ 𝑟 = −1 , 𝑟 = 1 𝑚𝑜𝑑 𝑝
⟹ 𝑟 = 𝑝 − 1 𝑜 𝑟 = 1 𝑚𝑜𝑑 𝑝 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑙𝑒𝑚𝑎 1.
Por lo tanto,
𝑥 ≠ 𝑟 si y solo si 𝑟 ≠ 1 y 𝑟 ≠ 𝑝 − 1 en Zp es decir,
𝑟 𝜖 {2,3, … , 𝑝 − 2} si y solo si x ∈ {2,3, … , 𝑝 − 1} luego el producto de todos ellos es 1
en Zp, o sea, 2.3, … , (𝑝 − 2) ≡ 1𝑚𝑜𝑑 𝑝 y como
𝑝 − 1 ≡ −1𝑚𝑜𝑑 𝑝. Multiplicando ambas igualdades miembro a miembro,
2.3, … , (𝑝 − 2)(𝑝 − 1) ≡ 1(−1)𝑚𝑜𝑑 𝑝
(𝑝 − 1)! ≡ −1𝑚𝑜𝑑 𝑝.
y, consecuentemente,
Consecuencias del teorema de Wilson:
Lema: Sean m y n enteros no negativos tales que 𝑚 + 𝑛 + 1 = 𝑝, para un p primo
entonces, 𝑚! 𝑛! ≡ (−1 )𝑚+1 𝑚𝑜𝑑𝑝.
Demostración: Por el Teorema de Wilson se tiene que
−1𝑚𝑜𝑑𝑝 Luego, Porque por hipótesis se tiene
(𝑚 + 𝑛)! ≡ (𝑝 − 1)! ≡
𝑚 + 𝑛 = 𝑝 − 1.
(𝑚 + 𝑛)(𝑚 + 𝑛 − 1) … . (𝑚 + 𝑛 − (𝑛 − 1))𝑚! ≡ −1 𝑚𝑜𝑑𝑝
Observemos que
𝑚 + 𝑛 = 𝑝 − 1 ≡ −1𝑚𝑜𝑑𝑝
𝑚 + 𝑛 − 1 = 𝑝 − 2 ≡ −2𝑚𝑜𝑑𝑝
⋮
𝑚 + 𝑛 − (𝑛 − 1) = 𝑝 − 𝑛 ≡ −𝑛 𝑚𝑜𝑑𝑝.
De donde se tiene que
(−1)𝑛 𝑛! 𝑚! ≡ −1𝑚𝑜𝑑𝑝 y por lo tanto
(−1)𝑚+𝑛+1 𝑚! 𝑛! ≡ (−1)𝑚+1 𝑚𝑜𝑑𝑝 . Si p =2 claramente se obtiene el lema. Si p es
impar 𝑚 + 𝑛 = 𝑝 − 1 es par, luego 𝑚! 𝑛! ≡ (−1 )𝑚+1 𝑚𝑜𝑑𝑝.
Teorema: Sea p primo y k un entero tal que 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑝 − 1. Si (−1)𝑘 𝑘! ≡ 1𝑚𝑜𝑑𝑝,
entonces (𝑝 − 𝑘 − 1)! ≡ −1𝑚𝑜𝑑𝑝.
Demostración: Tenemos que
(𝑝 − 1)! ≡ (𝑝 − 1)(𝑝 − 2) … (𝑝 − 𝑘)(𝑝 − 𝑘 − 1)! 𝑚𝑜𝑑𝑝.
≡ (−1)𝑘 (𝑝 − 𝑘 − 1)! 𝑚𝑜𝑑𝑝.
≡ (𝑝 − 𝑘 − 1)! 𝑚𝑜𝑑𝑝. Utilizando el Teorema de Wilson tenemos
(𝑝 − 𝑘 − 1)! ≡ (𝑝 − 1)! ≡ −1𝑚𝑜𝑑𝑝.
Teorema: Sea p primo y k un entero tal que 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑝 − 1. Demostrar
(𝑘 − 1)! (𝑝 − 𝑘)! ≡ (−1)𝑘 𝑚𝑜𝑑𝑝.
Demostración: Por un lado tenemos que
(𝑝 − 1)! ≡ (𝑝 − 1)(𝑝 − 2) … (𝑝 − (𝑘 − 1))(𝑝 − 𝑘)! ≡ (−1)𝑘−1 (𝑘 − 1)! (𝑝
− 1)! 𝑚𝑜𝑑𝑝.
Por otro lado tenemos que (𝑝 − 1)! ≡ −1𝑚𝑜𝑑𝑝 . Luego
(−1)𝑘−1 (𝑘 − 1)! (𝑝 − 1)! ≡ −1𝑚𝑜𝑑𝑝.
Y por lo tanto (𝑘 − 1)! (𝑝 − 𝑘)! ≡ (−1)𝑘 𝑚𝑜𝑑𝑝.
Sección 4:
Teorema de Euler:
Después de Fermat, la Teoría de Números permaneció sin muchos progresos por un siglo,
hasta la llegada del gran matemático suizo Leonhard Euler, quien nació en 1707 en
Basilea. A la edad de 14 años, ingresa a la Universidad de Basilea, en donde recibe clases
del célebre matemático Johan Bernoulli I. Demostrando su genialidad desde temprana
edad, publica su primer resultado sobre Matemática a los 18 años. En 1726 es llamado a
la Academia de San Petersburgo, donde se le ofrece un cargo de profesor. Allí, además de
enseñar Matemática, investiga mucho en ciencias aplicadas como física, ingeniería,
navegación, construcción naval y cartografía. Luego, en 1741, se traslada a la Academia
de Ciencias de Berlín, invitado por el Rey Federico el Grande de Prusia. En esta academia
permaneció hasta 1766 cuando la Reina Catalina II de Rusia lo llama nuevamente a la
Academia de San Petersburgo, donde permanece hasta su muerte en 1783.
La vida de Euler fue una de las más fructíferas que haya tenido matemático alguno. Fue
un escritor infatigable: su obra completa alcanza más de 70 volúmenes. Lo más
asombroso es la gran cantidad de artículos escritos en los últimos diez años de su vida
cuando estaba ciego. Además de estos artículos, Euler escribió un libro llamado
Introducción al Análisis Infinito que se puede considerar como el primer libro del análisis
moderno y que tuvo mucha anuencia en la evolución de la Matemática posterior a él.
Se le considera el principal Matemático del siglo XVIII y como uno de los más grandes
de todos los tiempos. Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó
importantes descubrimientos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos.
También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática,
particularmente para el área del análisis matemático, como por ejemplo la noción de
función matemática. Asimismo se le conoce por sus trabajos en los campos de la
mecánica, óptica y astronomía.
En Teoría de Números el teorema de Euler, también conocido como teorema de EulerFermat, es una generalización del pequeño teorema de Fermat, y como tal afirma una
proposición sobre la divisibilidad de los números enteros. El teorema establece que:
Si a y n son enteros primos relativos, entonces n divide al entero aφ(n)- 1
sin embargo, es más común encontrarlo con notación moderna en la siguiente forma:
Si a y n son enteros primos relativos, entonces aφ(n) ≡ 1 (mod n)
donde φ(n) es la función φ de Euler.
El otro concepto involucrado en el teorema de Euler es el de congruencia. En Teoría de
Números, se dice que dos números a, b son congruentes respecto a un módulo n, cuando
n divide al entero a-b. La congruencia de a, b respecto al módulo n se simboliza como a
≡ b (mod n).
Una aplicación del teorema de Euler es en la resolución de ecuaciones de congruencia.
Por ejemplo, se desea encontrar todos los números x que satisfacen
5x ≡ 2 (mod 12)
en otras palabras, todos los números que al multiplicarlos por 5, dejan residuo 2 en la
división por 12. O de otra forma, todos los números x tales que 12 divida a 5x-2.
El teorema de Euler dice que
5φ (12) = 54 ≡ 1 (mod 12)
Por lo que, multiplicando ambos lados de la ecuación por 53:
53 · 5x ≡53·2 =250 ≡ 10 (mod 12)
54 x ≡ 10 (mod 12)
x≡10 (mod 12)
Entonces, la conclusión es que, cualquier número que al dividirse por 12 tenga residuo
10, será una solución de la ecuación. Se puede verificar con un ejemplo. Si se divide 34
entre 12, el residuo es 10, por lo que x=34 debe funcionar como solución. Para verificarlo,
se divide 34·5=170 entre 12, obtenemos un cociente 14 y un residuo 2, como se esperaba.
Definición: Función indicatriz de Euler.
La función φ de Euler (también llamada Función indicatriz de Euler) es una función
importante en teoría de números. Si n es un número entero positivo, entonces φ(n) se
define como el número de enteros positivos menores o iguales a n y coprimos con n.
Se define como: 𝜑(𝑚) = |{𝑛𝜖ℕ|𝑛 ≤ 𝑚 ∧ 𝑚𝑐𝑑(𝑚, 𝑛) = 1}|
Donde |.| significa la cantidad de números que cumplen la condición
Primeras propiedades y cálculo de la función:
Se sigue de la definición que 𝜑(1) = 1, pues el elemento {1} sólo puede ser primo
relativo consigo mismo. Por tanto existe un elemento. Y que:
1. 𝜑(𝑝) = 𝑝 − 1, si p es primo. Cierto porque un número primo es coprimo con
todos sus anteriores. Y, por tanto, existe p-1 elementos coprimos con p.
2. 𝜑(𝑝𝑘 ) = (𝑝 − 1)𝑝𝑘−1 si p es primo y k es un número natural.
Se demuestra con inducción:
Supongamos 𝑘 = 1, 𝜑(𝑝1 ) = 𝜑(𝑝) = (𝑝 − 1)𝑝0 = 𝑝 − 1 es cierto,
Supongamos cierto (Hipótesis I.) 𝜑(𝑝𝑘 ) = (𝑝 − 1)𝑝𝑘−1 . Probemos que se cumple
𝜑(𝑝𝑘+1 ) = (𝑝 − 1)𝑝𝑘 luego
(𝑝 − 1)𝑝𝑘 = (𝑝 − 1)𝑝𝑘−1 𝑝
y por hipótesis inducción afirmamos,
((𝑝 − 1)𝑝𝑘−1 )𝑝 = 𝜑(𝑝𝑘 )𝑝. Como 𝜑(𝑝𝑘 ) son los números coprimos con 𝑝𝑘 si lo
multiplicamos por p se añaden los p números que faltaban para encontrar el valor de
𝜑(𝑝𝑘+1 ).
Así vemos que 𝜑(𝑝𝑘 )𝑝 = 𝜑(𝑝𝑘+1 ).
3. 𝜑 es una función multiplicativa condicional: si m y n son primos entre sí, entonces
𝜑(𝑚𝑛) = 𝜑(𝑚)𝜑(𝑛).
Con esto, el valor de 𝜑(𝑛) puede calcularse empleando el teorema fundamental de la
Aritmética: si 𝑛 = 𝑝1𝑘1 … . 𝑝𝑟𝑘𝑟
Donde los pj son números primos distintos, entonces
𝜑(𝑛) = (𝑝1 − 1)𝑝1𝑘1−1 … (𝑝𝑟 − 1)𝑝𝑟𝑘𝑟−1 .
Esta última fórmula es un producto de Euler y a menudo se escribe como
1
𝜑(𝑛) = 𝑛 ∏𝑝/𝑛(1 − 𝑝).
Donde los p son los distintos primos que dividen a n.
Ejemplo de cálculo:
1
1
2 1
𝜑(36) = 𝜑(32 22 ) = 36 (1 − ) (1 − ) = 36. . = 12
3
2
3 2
1
1
2 6
𝜑(21) = 𝜑(3.7) = 21 (1 − ) (1 − ) = 21. . = 12
3
7
3 7
Se puede comprobar manualmente que los números coprimos con 36 (o sea, que no son
divisibles por 2 ni por 3) son doce: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, y 35.
𝑟𝑚
Teorema: Sea 𝑛 un entero positivo y sea 𝑛 = 𝑝1𝑟1 𝑝2𝑟2 … . 𝑝𝑚
la descomposición prima de
𝑟1 𝑟2
𝑟𝑚 (𝑝
𝑛 entonces 𝜑(𝑛) = 𝑝1 𝑝2 … . 𝑝𝑚 1 − 1)(𝑝2 − 1) … . (𝑝𝑚 − 1).
𝑟𝑚
Demostración: Tenemos que 𝜑(𝑛) = 𝑝1𝑟1 𝑝2𝑟2 … . 𝑝𝑚
𝑟𝑚
= 𝜑(𝑝1𝑟1 )𝜑(𝑝2𝑟2 … . 𝑝𝑚
)
𝑟𝑚−1
𝑟𝑚
= 𝑝𝑚
(𝑝1 − 1)𝜑(𝑝2𝑟2 … . 𝑝𝑚
)
Siguiendo el proceso tenemos que:
𝑟𝑚 (𝑝
𝜑(𝑛) = 𝑝1𝑟1 𝑝2𝑟2 … . 𝑝𝑚
1 − 1)(𝑝2 − 1) … . (𝑝𝑚 − 1).
En esta tabla se presentaran algunos valores de 𝜑(𝑛):
+0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9
0+
1 1 2 2 4 2 6 4 6
10+ 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18
20+ 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28
30+ 8 30 16 20 16 24 12 36 18 24
40+ 16 40 12 42 20 24 22 46 16 42
Demostración del Teorema de Euler:
La siguiente demostración es la generalización del “Teorema de Fermat” y se conoce
como el Teorema de Euler – Fermat.
Teorema: (De Euler) Si 𝑚𝑐𝑑(𝑎, 𝑛) = 1 entonces aφ(n) ≡ 1 (mod n).
Demostración:
Considere a1, a2,…, a𝜑(n), los enteros positivos menores que n y primos relativos con
𝑛. Sea a cualquier número tal que 𝑚𝑐𝑑(𝑎, 𝑛) = 1 por el teorema anterior
aa1, aa2,…,
a𝑎𝜑(n),
Son los primos relativos a 𝑛 y no hay dos de ellos que sean congruentes entre sí modulo
𝑛. Por lo tanto, estos últimos deben ser congruentes, con un reordenamiento, a los
números a1, a2,…, a𝜑(n), es decir
aa1, aa2,…, a𝑎𝜑(n) = 𝑎𝜑(𝑛) (a1, a2,…, a𝜑(n))≡(a1, a2,…, a𝜑(n)) mod n.
Además, como el mcd (a1, a2,…, a𝜑(n), n)= 1 pues para todo, i tenemos que mcd (ai,
n) = 1 y así, podemos aplicar la ley de cancelación de congruencias, luego aφ(n) ≡ 1 (mod
n).
Este resultado es otro de los grandes aportes de Euler a la Teoría de Números y es la
generalización del teorema de Fermat pues para p primo se tiene que 𝜑(𝑝) = 𝑝 − 1.
La siguiente de demostración del teorema de Euler, utilizaremos un sistema
reducido de resto:
Teorema: (De Euler) Si 𝑚𝑐𝑑(𝑎, 𝑛) = 1 entonces aφ(n) ≡ 1 (mod n).
Demostración:
Consideremos un sistema reducido modulo 𝑚
𝑟 = 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝜑(𝑚)
Entonces como (𝑎, 𝑚) = 1 el conjunto 𝑎𝑟 = 𝑎𝑥1 , 𝑎𝑥2 , … , 𝑎𝑥𝜑(𝑚)
es también un
sistema reducido módulo 𝑚.
Por consiguiente a cada 𝑥𝑖 𝜖 𝑟 le corresponde un solo 𝑎𝑥𝑖 𝜖 𝑎𝑟 tal que
𝑥𝑖 ≡ 𝑎𝑥𝑗 (𝑚𝑜𝑑𝑚)
Además, a elementos diferentes de R, le corresponderán elementos diferentes
de 𝑎𝑟 , por tanto, 𝑎𝑥1 , 𝑎𝑥2 , … , 𝑎𝑥𝜑(𝑚) , son congruentes con 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝜑(𝑚)
Modulo m (no necesariamente en ese orden).
Luego, 𝑎𝑥1 , 𝑎𝑥2 , … , 𝑎𝑥𝜑(𝑚) ≡ 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝜑(𝑚) (𝑚𝑜𝑑𝑚)
(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝜑(𝑚) )𝑎𝜑(𝑚) ≡ 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝜑(𝑚) (𝑚𝑜𝑑𝑚)
y como (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝜑(𝑚) , 𝑚) = 1 y aplicando la ley de la cancelación de congruencias
obtenemos que aφ(n) ≡ 1 (mod n).
Consecuencias del Teoremas de Euler:
Teoremas: Si 𝑚𝑐𝑑(𝑚, 𝑛) = 1, demuestre que la solución de la congruencia lineal 𝑎𝑥 ≡
𝑏𝑚𝑜𝑑𝑚 es 𝑥 = 𝑎𝜑(𝑛)−1 𝑏𝑚𝑜𝑑𝑛.
Demostración: Como el 𝑚𝑐𝑑(𝑚, 𝑛) = 1, por el teorema de Euler, se sabe que
𝑎𝜑(𝑛) ≡
1𝑚𝑜𝑑𝑛, sabemos que por teorema 𝑎𝜑(𝑛) 𝑏 ≡ 𝑏𝑚𝑜𝑑𝑛. Dado que la relación de
congruencia es simétrica, se refiere que 𝑏 ≡ 𝑎𝜑(𝑛) 𝑏𝑚𝑜𝑑𝑛, como además, la relación es
transitiva al aplicar la transitividad de en 𝑎𝑥 ≡ 𝑏𝑚𝑜𝑑𝑚 y 𝑏 ≡ 𝑎𝜑(𝑛) 𝑏𝑚𝑜𝑑𝑛, obtenemos
que,
𝑎𝑥 ≡ 𝑎𝜑(𝑛) 𝑏𝑚𝑜𝑑𝑚
≡ 𝑎𝑎𝜑(𝑛)−1 𝑏𝑚𝑜𝑑𝑚
Como por hipótesis se tiene 𝑚𝑐𝑑(𝑚, 𝑛) = 1, se puede aplicar la ley de la cancelación se
tiene que 𝑥 = 𝑎𝜑(𝑛)−1 𝑏𝑚𝑜𝑑𝑛.
Teorema: Sean 𝑚𝑐𝑑(𝑚, 𝑛) = 1. luego 𝑛𝜑(𝑚) + 𝑚𝜑(𝑛) ≡ 1 𝑚𝑜𝑑𝑚𝑛.
Demostración: Por el teorema de Euler se tiene que,
𝑛𝜑(𝑚) ≡ 1 𝑚𝑜𝑑𝑚.
𝑚𝜑(𝑛) ≡ 1 𝑚𝑜𝑑𝑛.
Además es claro que,
𝑛𝜑(𝑚) ≡ 0𝑚𝑜𝑑𝑛.
𝑚𝜑(𝑛) ≡ 0 𝑚𝑜𝑑𝑚.
Luego 𝑛𝜑(𝑚) + 𝑚𝜑(𝑛) ≡ 1 𝑚𝑜𝑑𝑚.
𝑛𝜑(𝑚) + 𝑚𝜑(𝑛) ≡ 1 𝑚𝑜𝑑𝑛.
Como 𝑚𝑐𝑑(𝑚, 𝑛) = 1 se tiene que,
𝑛𝜑(𝑚) + 𝑚𝜑(𝑛) ≡ 1 𝑚𝑜𝑑𝑚𝑛.
Teorema: Sean 𝑎 y 𝑛 enteros positivos con 𝑎 ≠ 0 y 𝑚𝑐𝑑(𝑎, 𝑛) = (𝑎 − 1, 𝑛) = 1 se
tiene que 1 + 𝑎 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝜑(𝑛)−1 ≡ 0𝑚𝑜𝑑𝑛.
Demostración: Como 𝑚𝑐𝑑(𝑎, 𝑛) = 1 entonces por el Teorema de Euler se tiene que
𝑛⁄𝑎𝜑(𝑛)−1 = (𝑎 − 1)(1 + 𝑎 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝜑(𝑛)−1 ). Como (𝑎 − 1, 𝑛) = 1 se tiene que
𝑛 ∕ (1 + 𝑎 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝜑(𝑛)−1 ).
Sección 5:
Resolución de Problemas:
En la siguiente sección se resolverán problemas aplicando los Teoremas de Fermat,
Wilson y Euler.
Ejemplo 1: Demostrar que el número ( 274 )9 − ( 253 )6 es divisible por 37.
Solución:
Probaremos que
(274 )9 − ( 253 )6 ≡ 𝑚𝑜𝑑37
En efecto,(274 )9 − ( 253 )6 = 2736 − 536 como 37 es primo, 27 y 5 son primos con el
luego ambos son invertibles 𝑚𝑜𝑑37. Aplicando el teorema de Fermat,
2736 ≡ 1𝑚𝑜𝑑37 y 536 ≡ 1𝑚𝑜𝑑37
Esto implica que 2736 − 536 ≡ 0𝑚𝑜𝑑37 ⇒ (274 )9 − ( 253 )6 ≡ 0𝑚𝑜𝑑37.
Es decir el número propuesto es divisible por 37.
Ejemplo 2: Encontrar el resto que se obtiene al dividir 232587 entre 7.
Solución:
Por el teorema de existencia y unicidad de cociente y resto, existirán q y r,
enteros y únicos tales que 232587 = 7𝑞 + 𝑟 0 ≤ 𝑟 < 7.
Luego, 232587 ≡ 𝑟 𝑚𝑜𝑑7. Bastará, pues, con resolver esta ecuación.
Como 𝑚𝑐𝑑(23,7) = 1, 23 es invertible en 𝑚𝑜𝑑7, además 7 es primo luego por el
teorema de Fermat, 236 ≡ 1𝑚𝑜𝑑7 .
Por otra parte,
2587 = 6.431 + 1
Luego,
232587 = (236 )431 . 23
Entonces, 236 ≡ 1𝑚𝑜𝑑7 ⇒ (236 )431 ≡ 1𝑚𝑜𝑑7
y 23 ≡ 2𝑚𝑜𝑑7
⇒ (236 )431 . 23 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑7 ⇒ 232587 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑7.
Luego el resto que se obtiene es 2.
Ejemplo 3: Calcular el resto de dividir 347 entre 23.
Solución:
El procedimiento es igual al problema anterior. Por el teorema de existencia y
unicidad de cociente y resto, existirán q y r, enteros y únicos tales que 347 = 23𝑞 +
𝑟 0 ≤ 𝑟 < 23, es decir 347 ≡ 𝑟 𝑚𝑜𝑑23. Bastara encontrar 𝑟.
Como 3 y 23 son relativamente primo, y 23 es un primo por el teorema de Fermat
322 ≡ 1𝑚𝑜𝑑23,
Por otra parte,
47 = 22.2 + 3
Luego,
347 = (322 )2 . 33
⇒ 322 ≡ 1𝑚𝑜𝑑23 ⇒ (322 )2 ≡ 1𝑚𝑜𝑑23 y
33 ≡ 4𝑚𝑜𝑑23
⇒ (322 )2 33 ≡ 4𝑚𝑜𝑑23 ⇒ 347 ≡ 4 𝑚𝑜𝑑23
Por lo tanto el resto es 4.
Ejemplo 4: Demostrar que 138! + 197138 es divisible por 139.
Solución:
Probaremos que 138! + 197138 ≡ 0𝑚𝑜𝑑139. En efecto, 139 es primo, luego
por el teorema de Wilson,
(139 − 1)! ≡ −1𝑚𝑜𝑑 139 , es decir (138)! ≡ −1𝑚𝑜𝑑 139 . (1)
Por otra parte, 139 y 197 son primos entre sí, luego por el teorema de Fermat,
197(139−1) ≡ 1𝑚𝑜𝑑 139, ósea que 197138 ≡ 1𝑚𝑜𝑑 139. (2)
Sumando (1) y (2) se tiene que, 138! + 197138 ≡ 0𝑚𝑜𝑑139.
Ejemplo 5: Determine si el entero (1340 + 40!)101 es divisible por 41.
Solución:
Por el teorema de Wilson, y dado que 41 es primo, se tiene que
40! ≡ −1 𝑚𝑜𝑑 41, además, por el teorema de Fermat se tiene que
1340 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 41, asi,
1340 + 40! ≡ 1 − 1𝑚𝑜𝑑 41 ≡ 0𝑚𝑜𝑑 41
Es decir (1340 + 40!)101 ≡ 0𝑚𝑜𝑑 41, como el residuo es cero, se demuestra que
es divisible por 41.
Ejemplo 6: Sea 𝑛 ∈ ℕ. Use el teorema de Fermat para probar que 𝑛12 es de la forma
13𝑘 ó 13𝑘 + 1 con 𝑘 ∈ ℕ.
Solución:
Como 13 es primo, se tiene del teorema de Fermat que 𝑛13 ≡ 𝑛 𝑚𝑜𝑑13, por lo
que 𝑛13 − 𝑛 = 𝑛(𝑛12 − 1), se tiene 13 divide a 𝑛(𝑛12 − 1). Por el lema de Euclides
sabemos que 13 debe dividir a 𝑛 ó 13 debe dividir a 𝑛12 − 1.
 Si 13 divide a 𝑛, tenemos que 𝑛 = 13𝑘, con lo cual
𝑛12 = (13𝑥)12 = 13(1311 𝑥12 ) = 13𝑘, es decir 𝑛12 = 13𝑘.
 Si 13 divide a 𝑛12 − 1, se tiene que, se tiene que 𝑛12 − 1 = 13𝑘, y se concluye
que 𝑛12 = 13𝑘 + 1.
Ejemplo 7: Determine los valores enteros y positivos de c que son solución de la
ecuación 33𝜑(40) + 𝑐 ≡ 3𝑚𝑜𝑑40.
Solución:
Como 𝑚𝑐𝑑(33,40) = 1 , utilizando el teorema de Euler, se tiene que 33𝜑(40) ≡
1𝑚𝑜𝑑40 y se debe cumplir que 𝑐 ≡ 2𝑚𝑜𝑑40, así, 𝑐 = 40𝑘 + 2 con 𝑘 = 1,2,3 ….
CONCLUSIÓN
En este trabajo podemos decir que fue una experiencia maravillosa ya que nos enfocamos
en temas muy importantes en la Teoría de Números que no conocíamos a fondo, lo que
implica que es fundamental que los docentes busquen la forma de introducir la Teoría de
Número como un curso fundamental en el currículo de la Licenciatura de Matemática.
Con base al contenido podemos afirmar varios puntos importantes:
 Es importante señalar que los Teoremas de Wilson, el Teorema de Fermat y el
Teorema de Euler contribuyeron enormemente en el desarrollo del campo de la
Teoría de Números, continuando con los trabajos de las antiguas civilizaciones
que dieron inicio a la Teoría de Números debido a que los problemas se resolvían
de manera particular sin dar un método general para hallar las soluciones.
 Estos teoremas nos permitirán entre otras cosas, decidir de una manera rápida
cuando un número es primo, sin necesidad de utilizar otros métodos.
 Para el desarrollo
y pruebas de estos teoremas se necesito de teoremas y
definiciones de congruencias numéricas y teoría de números.
 Es importante destacar la labor realizada por Euler, al continuar la obra de Fermat,
quien se ocupó de la Teoría de Números de una manera definitiva, a tal punto que
el Teorema de Fermat quedó demostrado como un resultado del teorema de Euler.
BIBLIOGRAFÍA
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Fermat %C3%B1o_teorema_de_Fermat