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2.
AXIOMAS DE ORDEN
Al decir que las palabras en el diccionario están ordenadas, entendemos que se
dispone de un criterio (lexicográfico) que permite establecer si una palabra
precede1 o sigue a otra.
¿Qué características se deben tener en cuenta para establecer un criterio o
criterios de ordenación en un conjunto?
Definición 2.1: Diremos que un conjunto (finito o infinito) de elementos está
ordenado linealmente cuando es posible relacionarlos entre sí mediante la relación
precede a de tal modo que:
1. Dados dos elementos A y B del conjunto se cumple sólo una de las siguientes
afirmaciones: A precede a B, o B precede a A o A = B.
2. Si A, B, C son elementos del conjunto y A precede a B, B precede a C, entonces
A precede a C.
Definición 2.2: Sean A, B y C puntos. Si B precede a C y sigue a A, se dice que está
entre A y C o entre C y A o también que separa a ambos puntos. Si B está entre A y
C escribimos A – B – C o C – B –A.
A
B
A
B
C
C
Figura 6
1
Antecede, se adelanta, se anticipa, encabeza, principia.
1
 En este concepto también se puede establecer la siguiente propiedad: Si D está
entre A y B, y B está entre A y C, entonces D está entre A y C.
C
B
D
A
Figura 7
 Los axiomas de orden determinan las posiciones de los puntos situados en una
recta. De estos axiomas se desprende el significado de la expresión estar entre.
La posición de los puntos en una recta permite establecer una relación de orden
precede a entre los puntos en esa recta.
 La recta es un conjunto linealmente ordenado de puntos que no tiene ni primero
ni último elemento y en el que no hay puntos consecutivos. La recta
⃡ .
determinada por los puntos A y B la simbolizamos por 𝐴𝐵
Axioma O.1: Si un punto B se encuentra situado entre un punto A y un punto C,
entonces A, B y C son tres puntos en la misma recta y B está entre C y A.
Axioma O.2: Dados dos puntos A y C siempre existe al menos un punto B en la
⃡ tal que C está entre A y B.
recta 𝐴𝐶
Axioma O.3: De tres puntos cualesquiera en una recta no existe más que uno de
ellos situado entre los otros dos.
Axioma O.4: Dados A, B y C tres puntos no colineales y ℓ una recta en el plano
que generan los puntos A, B, C, que no pasa por ninguno de éstos puntos, entonces
̅̅̅̅ o corta el
si la recta ℓ corta el segmento ̅̅̅̅
𝐴𝐵, también corta el segmento 𝐴𝐶
̅̅̅̅ .
segmento𝐵𝐶
2
B

A
C
Figura 8
Definición2.3: Sean, O, A y B puntos en una recta ℓ. Si O no está entre los puntos
A y B, diremos que los puntos A y B están a un mismo lado del punto O. Si O está
entre A y B diremos que los puntos A y B están en lados opuestos respecto al punto
O.
Definición 2.4: Si A y B son puntos de una recta y A precede a B, la semirrecta o
rayo de origen A y que pasa por B es el conjunto formado por los puntos A y B,
los que están entre A y B y todos los que le siguen a B y se simboliza por 𝐴𝐵.
Cada punto de una recta determina, en ella, dos semirrectas opuestas. El punto en
cuestión se denomina origen.
Origen
B
A
Figura 9
Definición 2.5: Dados dos puntos A y B en una recta ℓ con A ≠ B, llamaremos
segmento de extremos A y B al conjunto de puntos formado por A, B y todos los
puntos de la recta ⃡𝐴𝐵 que están entre A y B. El segmento de extremos A y B lo
denotamos por ̅̅̅̅
AB.
̅̅̅̅.
1. Los puntos que están entre A y B se llaman puntos interiores del segmento AB
3
2. Los puntos A y B reciben el nombre de extremos del segmento.
3. Los puntos restantes en la recta r se llaman puntos exteriores del segmento.

B
A
Figura 10
4
2.1 IMPLICACIONES DE LOS AXIOMAS DE ORDEN
Teorema 2.1: Dados A y C puntos en una recta ℓ existen puntos en ℓ que son
interiores del segmento ̅̅̅̅
AC y puntos en ℓ que son exteriores al segmento ̅̅̅̅
AC.
G

C
D
A
E
F
Figura 11
Demostración:
Sean A y C puntos de en una recta ℓ.
1. Si A y C son puntos de una recta ℓ entonces existe un punto E exterior a la recta
ℓ. Por axioma I.3.
2. En la recta determinada por los puntos A y E existe un punto F tal que E está
entre A y F. Por axioma O.2.
3. En la recta determinada por los puntos F y C, entonces existe un punto G tal que
C está entre F y G. Por axioma O.2.
4. Los puntos A, F y C son no colineales y ninguno de ellos está en la recta
generada por E y G. Por numerales 2 y 3.
5. Luego la recta que pasa por los puntos E y G corta al segmento ̅̅̅̅
AC en un punto.
Por axioma O.4.
5
̅̅̅̅, entonces D satisface la relación
6. Sea D el punto donde se intersecan ̅̅̅̅
EG yAC
estar entre A – D – C luego D es un punto interior del segmento ̅̅̅̅
AC.
7. Por otra parte dados dos puntos A y C en una recta ℓ existe al menos un punto B
tal que A − C − B .
̅̅̅̅.
8. Luego el punto B es un punto de la recta ℓ exterior al segmento AC
Teorema 2.2: Entre dos puntos de una recta existen infinidad de puntos.

C
C1
A
Figura 12
Demostración:
Sea ℓ una recta y sean A y C puntos de la recta ℓ.
1. Entre A y C existe un punto C1 situado en la recta ⃡AC. Por el teorema 2.1.
⃡ existe un punto C2 situado entre A y C1 .
2. También en la recta AC
3. De la misma forma podemos encontrar puntos C3 , C4 , … situados
respectivamente entre A y C2 , entre A yC3 .
4. El proceso puede continuar indefinidamente, luego entre A y C existen un
número indeterminado de puntos.
Definición2.6: Si A, B, C son puntos que satisfacen el orden A – B – C decimos que
A precede a B y B precede a C.
Observación:
Dos puntos cualesquiera situados en dos semirrectas opuestas y distintos de su
origen, determinan un segmento que contiene el origen de dichas semirrectas. Si los
puntos están situados en una misma semirrecta, el segmento que los une no
contiene el origen de ellas.
6
De la misma manera, como un punto P sobre una recta ℓ la divide en dos
semirrectas, toda recta divide también a un plano 𝛼 en dos regiones no vacías 𝛼𝟏 y
𝜶𝟐 separadas de acuerdo con el siguiente axioma.
Axioma O.5 (Axioma de separación del plano): Dado un plano 𝜶 y una recta 𝓵
contenida en 𝜶, el conjunto 𝜶 – 𝓵 es la unión de dos conjuntos 𝜶𝟏 y 𝜶𝟐 no vacíos
que satisfacen:
̅̅̅̅ no corta a 𝓵.
 Si A y B son puntos de 𝜶𝟏 entonces 𝑨𝑩
̅̅̅̅ corta a 𝓵.
 Si A es un punto de 𝜶𝟏 y B un punto de 𝜶𝟐 entonces 𝑨𝑩
Los conjuntos 𝜶𝟏 y 𝜶𝟐 se llaman semiplanos y 𝓵 se denomina frontera o borde de
cada uno de ellos.


C
D
A
B

Figura 13
Observación:
El axioma anterior plantea que:
 La frontera 𝓵 no pertenece a ninguno de los semiplanos que determina.
 Si dos puntos están en un mismo semiplano, entonces el segmento que los
une está en el mismo semiplano y, por tanto nunca intersecta la frontera.
 Si dos puntos están en semiplanos opuestos, entonces el segmento que une
los dos puntos siempre intersecta la frontera.
7
⃡ , 𝐂) para referirnos al semiplano cuya frontera es ⃡𝐀𝐁, al
 Escribiremos (𝐀𝐁
cual pertenece el punto 𝐂.
8
2.2 POLIGONOS
Definición 2.7: Dados tres puntos 𝐀, 𝐁 𝐲 𝐂 no colineales, la unión de las
semirrectas 𝐀𝐁 y 𝐀𝐂 se denomina ángulo y se simboliza por ∡𝐁𝐀𝐂; el punto 𝐀 se
llama vértice del ángulo y las semirrectas𝐀𝐁 y 𝐀𝐂, lados del ángulo. Si 𝐀 está
entre 𝐁 𝐲 𝐂, entonces ∡𝐁𝐀𝐂 se llama ángulo llano.
B
A
C
A
C
B
Figura 14
En ocasiones es necesario precisar cuál es el lado inicial y cuál el lado final de un
ángulo. En este caso se dice que los ángulos son orientados.
Definición 2.8: Dado un ángulo ∡𝐁𝐀𝐂, no llano, la intersección de los semiplanos
⃡ , B) se llama región angular abierta del ángulo ∡𝐁𝐀𝐂, o interior del
⃡ , C) y (𝐀𝐂
(𝐀𝐁
ángulo. Si se unen las semirrectas 𝐀𝐁 y 𝐀𝐂 se obtiene una región angular
cerrada. El conjunto de todos los puntos del plano que no pertenecen a la región
angular cerrada se denomina exterior del ángulo.
9
B
B
A
A
C
C
Figura 15
Clases de ángulos:
Ángulo nulo: Es aquel cuyos lados son semirrectas que coinciden. Un ángulo nulo
no tiene puntos interiores.
A
A
O
O
D
B
Figura 16
Ángulos adyacentes: Dos ángulos son adyacentes si y sólo si están en un mismo
plano, tienen un lado en común y sus lados no comunes son semirrectas opuestas.
A
C
D
A
O
B
A
B
O
C
B
Figura 17
C
A
O
D
D
10
B
A
A
O
C Si dos ángulos Btienen un vértice común y sus lados
Ángulos opuestos por el vértice:
son semirrectas opuestas se llaman ángulos opuestos por el vértice.
C
A
D
O
D
A
B
Figura 18
Ángulos
consecutivos: Dos ángulos se llaman consecutivos si tienen un lado en
A
A
común. En particular los ángulos adyacentes son consecutivos.
O
O
C
B
C
A
C
D
O
D
B
A
B
Figura 19
Definición2.9: Si dos rectas distintas 𝓵 𝐲 𝓻 son cortadas por una tercera recta 𝓽, en
puntos distintos, se forman ocho clases de ángulos; cuatro ángulos son interiores a
las dos rectas 𝓵 𝐲 𝓻 y cuatro son exteriores a dichas rectas. Los pares de ángulos
interiores no adyacentes que están en semiplanos opuestos a la recta 𝓽 se llaman
ángulos alternos internos. Los pares de ángulos exteriores no adyacentes que están
en semiplanos opuestos a la recta 𝓽 se llaman ángulos alternos externos. Los pares
de ángulos no adyacentes formados por uno exterior y el otro interior en el mismo
semiplano respecto a la recta 𝓽 se llaman ángulos correspondientes. Los pares de
ángulos interiores que están en el mismo semiplano con respecto a la recta 𝓽 se
llaman ángulos conjugados.
11
E

G
r
C
A
F
D
B
H
t
Figura 20
En la figura 20 si los puntos A, C, G están en una misma recta 𝓵; B, D, F en la
recta 𝓻 y E, C, D en la recta 𝓉, entonces se tiene:
 Son ángulos alternos internos: ∡𝐴𝐶𝐷 con ∡𝐶𝐷𝐹 y ∡𝐵𝐷𝐶 con∡𝐺𝐷𝐶 .
 Son ángulos alternos externos: ∡𝐸𝐶𝐴 con ∡𝐹𝐷𝐻 y ∡𝐸𝐶𝐺 con ∡𝐵𝐷𝐻.
 Son ángulos correspondientes: ∡𝐸𝐶𝐺 con ∡𝐶𝐷𝐹, ∡𝐹𝐷𝐻 con ∡𝐺𝐶𝐷, ∡𝐸𝐶𝐴
con ∡𝐶𝐷𝐵, y ∡𝐻𝐷𝐵 con ∡𝐷𝐶𝐴.
 Son ángulos conjugados: ∡𝐴𝐶𝐷 con ∡𝐶𝐷𝐵 y ∡𝐺𝐶𝐷, con∡𝐹𝐷𝐶.
Definición 2.10: Un conjunto se llama convexo si para cada par de puntos distintos
P y Q del conjunto, el segmento ̅̅̅̅
PQ pertenece al conjunto.
Definición 2.11: Si A, B, C son tres puntos no colineales, la unión de los segmentos
̅̅̅̅
AB, ̅̅̅̅
BC y ̅̅̅̅
AC se llama triángulo ABC y se simboliza por △ ABC. Los puntos A, B
̅̅̅̅, BC
̅̅̅̅ y AC
̅̅̅̅ se
y C se denominan vértices del triángulo y los segmentos AB
⃡ , C), (BC
⃡ , A), y (AC
⃡ , B), se
denominan lados. La intersección de los semiplanos (AB
̅̅̅̅ y ̅̅̅̅
denomina región triangular abierta; si se le unen segmentos ̅̅̅̅
AB, BC
AC se
llama región triangular cerrada.
12
B
B
Región
triangular
A
C
A
C
 ABC
Figura 21
Definición2.12: Dados los puntos 𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 , … 𝐴𝑘 con 𝑘 ≥ 2 de un mismo plano,
ordenados de tal forma que no existan tres puntos consecutivos colineales, la unión
̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅
de los segmentos 𝐴
𝐴3 𝐴4 , … , ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝐴𝑘−1 𝐴𝑘 , se llama línea poligonal
1 𝐴2 , 𝐴2 𝐴3 ,
A1 A2 A3 … Ak . Si 𝐴1 = 𝐴𝑘 la línea poligonal se llamada cerrada caso contrario se
llama abierta.
A3
A7
A1
A8
A2
A7
A5
A3
A8
A9
A1
A5
A2
A6
A4
A6
Línea poligonal cerrada.
A4
Línea poligonal abierta.
Figura 22
A6
Definición 2.13: Una línea poligonal cerrada en la cual no hay dos segmentos que
A puntos 𝐴 , 𝐴 , 𝐴 , … 𝐴
se corten, excepto en sus extremos, se llama polígono. Los
1 2 3
𝑘
son los vértices del polígono y ̅̅̅̅̅̅̅
𝐴1 𝐴A 2 , ̅̅̅̅̅̅̅
𝐴2 𝐴3 , ̅̅̅̅̅̅̅
𝐴3 𝐴A4 , … , ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝐴𝑘−1 𝐴𝑘 , son los lados del
polígono.
4
5
1
A3
A2
Polígono.
13
A6
A4
A6
Línea poligonal cerrada.
A4
Línea poligonal abierta.
A6
A4
A5
A1
A3
A2
Polígono.
Figura 23
Los polígonos reciben el nombre según el número de segmentos de la línea
poligonal que los forma.
En particular un polígono formado por tres segmentos se llama triángulo; por
cuatro, cuadrilátero, por cinco, pentágono, por seis hexágono, por siete heptágono,
etc. En general un polígono de n lados se llama n-ágono.
Definición2.14: Una región poligonal cerrada es la unión finita de regiones
triangulares de un mismo plano, de modo que cada uno de los triángulos que limita
estas regiones, tenga por lo menos un lado en común con otro de los triángulos y
los vértices que no pertenezcan al lado común, estén en semiplanos opuestos a éste.
El polígono que limita la región poligonal se denomina frontera y la región
poligonal, sin incluir la frontera, se denomina interior del polígono.
A2
A1
A3
A5
A4
Figura 24
Definición 2.15: Un polígono es convexo, si la recta determinada por cada par de
vértices consecutivos es tal que los vértices restantes están en el mismo semiplano
con respecto a ella. En caso contrario es cóncavo.
14
A1
A9
A2
A1
A8
A5
A3
A2
A3
A7
A4
A6
A4
A5
Polígono convexo
Polígono no convexo
Figura 25
Observación:
La región poligonal de un polígono convexo es un conjunto convexo. La
intersección finita de polígonos convexos, del plano, es un conjunto convexo del
plano.
Definición 2.16: Dado un polígono, los puntos que no pertenecen a él ni a su
interior se denominan puntos exteriores del polígono. Si el polígono es convexo
cualquier segmento que une dos vértices no consecutivos se llama diagonal. En un
polígono convexoA0 A1 A2 A3 … Ak , los ángulos con vértice en los puntos
A0 , A1 , A2 … Ak se llaman ángulos interiores del polígono y sus correspondientes
ángulos adyacentes se denominan ángulos exteriores del polígono.
15
B1
B3
Diagonal
B0
B4
B9
Ángulo
exterior
B5
Ángulo
interior.
B8
B6
B7
Figura 26
16